5.1.4. Определение персептронов

Персептрон — это гипотетическое устройство, которое может вычислять все предикаты, линейные относительно фиксированного множества частных предикатов. Линейный предикат является правилом классификации, так как он относит любые изображения X либо к классу 0, либо к классу 1. Персептрон, следовательно, представляет собой „предельно мощное“ устройство распознавания образов, формирующее линейные правила классификации. По

теореме о сходимости, доказанной в гл. 4, такое устройство распознавания образов существует. Для того чтобы яснее представить себе эту связь, будем считать предикаты из Ф координатными осями евклидова пространства признаков. Если точки, описываемые 2 возможными векторами, сгруппированы в линейно отделимые классы, то существует функция удовлетворяющая (4). Ее можно найти, определив подходящий весовой вектор по алгоритмам, изложенным в гл. 4.

Минский и Пейперт выделили классы примитивных предикатов, налагая ограничения на их носители, т. е. на множества точек в на которые „смотрит" каждый примитивный предикат при классификации изображения. Затем они задались вопросом: „Какие возможны ограничения на персептрон и каковы будут ограничения на классификации?" Это приводит нас к следующим определениям:

Персептрон называется ограниченным порядка, если носители его предикатов состоят не более чем из точек. Интуитивно понятно, что порядок устройства указывает на степень сложности его элементарных операций.

Идея персептрона конечного порядка непосредственно связана с идеей персептрона порядка. Если персептрон — конечного порядка, то существует такое число что он — ограниченный порядка. На первый взгляд может показаться, что утверждение о конечном, но не фиксированном порядке персептрона очень слабое, но это не так. Предположим, что порядок некоторого персептрона так же велик, как и число точек в Это означает, что некоторый предикат персептрона „смотрит" на всю сетчатку. Поскольку на сложность предиката за исключением его порядка, нет ограничений, такой предикат а; мог бы просто быть отображением, показывающим для каждого из возможных изображений X, должна ли соответствующая классификация быть 0 или 1. Если порядок персептрона меньше размера сетчатки, то у нас уже нет такого сильного частного предиката, и существование линейного предиката для каждой из возможных классификаций не гарантировано. Обычно так и бывает. Нам нужен персептрон для формирования линейных комбинаций логических функций локальных свойств изображения X, чтобы осуществить классификацию, основанную на его глобальном свойстве. Для каких задач это возможно?

Предикат называется ограниченным по диаметру, если точки его носителя удалены друг от друга не более чем на фиксированное расстояние (здесь интерпретируется как множество точек евклидовой плоскости).

Предикат называется маской, если он принимает значение истина тогда и только тогда, когда все точки конечного множества являются единицами, т. е. находятся в „возбужденном" состоянии. Сама маска — это линейный предикат порядка 1. Обозначим через число элементов множества и определим Ф как

множество предикатов для всех Тогда маску можно определить так:

Размером маски назовем число элементов ее носителя.