8.1. Формализация подхода, использующего факторный анализ

Пусть X — -матрица, в которой каждая строка описывает объект в терминах основных измерений. Таким образом, объект описывается вектор-строкой

Если каждое основное измерение соответствует взвешенной сумме значений основных признаков объекта то

Где коэффициент отражает вклад признака в измерение, а значение соответствует содержанию признака в рассматриваемом объекте I. После того как введены эти определения, можно выразить X через -матрицу значений индивидуальных признаков и -матрицу вкладов (называемых нагрузками) признака (или фактора, если придерживаться терминологии, принятой в факторном анализе) в измерение. Соответствующим матричным уравнением будет

Задача состоит в определении и А при условии, что заданы наблюдения X. Ясно, что уравнению (3) удовлетворяют бесконечно много матриц, так что требуется дополнительное ограничение. Рассматривались различные критерии; интересующийся читатель может ознакомиться с обсуждением этого вопроса Харманом (1967). Мы изложим наиболее широко применяемый метод, называемый методом главных компонент.

Пусть — матрица корреляций между основными измерениями. Ее диагональные элементы определяются множественной корреляцией с остальными измерениями. Пусть — матрица, строки которой являются собственными векторами, соответствующими наибольшим собственным значениям матрицы в порядке убывания от самого большого к самому малому. Наконец, пусть будет собственным значением. Матрица А образована элементами

Тогда из (3) получается матрица факторов

Остается единственная проблема — найти Обычно это делают при помощи статистического критерия. Пусть — сумма квадратов расстояний от каждой точки до центра тяжести точек в исходном -мерном пространстве измерений, и пусть — та же мера для точек в -мерном пространстве признаков. Начиная с постоянно увеличивают размер пространства признаков до тех пор, пока разность или не станет достаточно малой.

Метод главных компонент допускает очевидную наглядную интерпретацию. Этот метод находит наилучший эллипсоид в -мерном пространстве для точек х, определяющих рассматриваемый объект. Каждый фактор соответствует какой-нибудь оси этого эллипсоида, причем сначала находится наибольшая ось, затем следующая за ней по величине и т. д. Процесс продолжается до тех пор, пока не удовлетворяется критерий остановки.