5.3.4. Предикаты малого порядка

Перенесем наш анализ с персептронов конечного порядка и всех возможных преобразований на персептроны „разумных размеров“ и „разумные преобразования". Особый интерес представляют преобразование, сохраняющее положение, и перенос. Если в качестве сетчатки взять всю плоскость, то естественным было бы желание уметь распознавать обычные геометрические фигуры (треугольники, прямоугольники, окружности) без относительно их положения и ориентации. Можно было бы также пожелать научиться распознавать их независимо от размера, так что в некоторых случаях должны допускаться сжатие и растяжение.

На персептронах первого порядка можно построить лишь весьма ограниченные предикаты, инвариантные относительно переноса. Это связано с тем, что перенос помещает все точки сетчатки в один и тот же класс эквивалентности, так что применимы рассуждения, аналогичные тем, которые использовались для доказательства инвариантности размера (см. обсуждение считающих предикатов).

Если заданы две фигуры, то можно выяснить, найдется ли для их различения персептрон второго порядка, не строя сам персептрон. Для этого достаточно вычислить одно свойство, называемое спектром фигуры. Представим любую точку как точку на плоскости; следовательно, она определяется значениями ее двух координат. Для любых двух точек в вектором разности соответствующих векторов называется вектор -координата точки -координата точки -координата точки -координата точки Две маски размера 2 эквивалентны относительно переноса тогда и только тогда, когда

Это очевидно. Вектор разности выражает положение точки относительно а перенос помещает в любом месте на плоскости.

Необходимо допустить для вектора разности смену знака, чтобы указать на то, что и хгхг — одна и та же маска. Наконец, чтобы быть последовательными, надо трактовать одиночную точку (маску размера 2) как „двухточечную" маску с вектором разности

Пусть будет числом одиночных точек или пар точек в X с вектором разности Спектром разности изображения X назовем список числа пар точек с данным вектором разности в X. Это понятие иллюстрируется на рис. 5.7 двумя изображениями с одинаковым спектром. Соответствующий спектр приведен в табл. 5.1.

Рис. 5.7. Два изображения с одинаковым спектром.

Таблица 5.1. (см. скан) Спектр разности изображений на рис. 5.7

Персептрон второго порядка может вырабатывать только такие инвариантные относительно переноса предикаты, которые помещают все изображения с одинаковым спектром в один класс. Доказать это утверждение можно, непосредственно применяя основные теоремы (разд. 5.2). По теореме о масках предикат, который нужно выработать, можно представить линейным предикатом на множестве масок. По теореме об инвариантности относительно группы все маски с вектором разности должны иметь и и те же коэффициенты. Следовательно, линейное различие между изображениями возможно только тогда, когда по крайней мере для одного вектора разности

Если возможности персептронов второго порядка настолько ограничены, то что можно сказать о персептронах лишь чуть более

высокого порядка? Персептроны порядка 3 и 4 могут решать интересные задачи классификации образов, например различить выпуклые и невыпуклые фигуры. Основная проблема, однако, состоит в том, что не всегда можно построить персептроны ограниченного порядка для распознавания компоненты изображения в контексте других компонент. Например, предикат „X - квадрат" имеет порядок 2, но предикат „X содержит квадрат в качестве одной из компонент" не имеет конечного порядка. Это серьезное ограничение на персептроны, поскольку некоторые важные проблемы распознавания образов, такие, как распознавание предметов на аэрофотоснимках, требуют распознавания с учетом контекста.