5.3.3. Геометрические классы
Многие проекты в машинном распознавании образов вызваны желанием классифицировать двумерные изображения того или иного внда. Для того чтобы осуществить такую классификацию, перспетрон должен быть способен выбрать для классификации поддающиеся определению геометрические свойства изображений. Мы видели, что при очень общем требовании инвариантности свойств относительно группы всех перестановок в 
единственным геометрическим свойством, на которое персептрон может реагировать, является площадь, или число «возбужденных» точек в сетчатке.
Рис. 5.4. Геометрическая фигура, содержащая три компоненты; А не имеет дыр, В имеет одну дыру, С — две дыры.
Более реальное требование — классификация персептроном изображения на основе топологически инвариантных предикатов. Рассмотрим какой-нибудь рисунок на плоскости. Он состоит из одной или нескольких компонент, каждая из которых может содержать дыру. На рис. 5.4 изображена фигура, содержащая три компоненты: без дыры, с одной дырой и с двумя дырами. Топологическим называется любое преобразование плоскости, не меняющее числа компонент (или соотношения „внутри - снаружи"). Преобразование рис. 5.4, показанное на рис. 5.5, а, является топологическим, а на рис. 
нет. Число Эйлера фигуры X определяется как
Минский и Пейперт разработали метод приведения произвольной фигуры к каноническому виду, зависящему только от числа Эйлера первоначальной фигуры. В этом методе применяются только
(кликните для просмотра скана)
топологические преобразования. Топологически инвариантный персептрон, способный различить фигуры 
также должен быть способен различить их топологически эквивалентные канонические формы. Таким образом, любое свойство, на котором основана классификация, должно быть функцией числа Эйлера.
Это условие оказывается удивительно слабым. Предикат
нельзя вычислить персептроном конечного порядка. Это вытекает из инвариантности числа Эйлера относительно топологических преобразований. В самом деле, можно построить как несвязные, так и связные фигуры с одним и тем же числом Эйлера (рис. 5.6).
