§ 9. Барроу

Теперь речь пойдет о началах анализа, и начну я с рассказа о Барроу. Учитель Ньютона Исаак Барроу родился в 1630 году и умер в 1677 году (13). В отличие от робкого и застенчивого Ньютона, который, даже будучи избран представителем от Кембриджа в Парламент, не произнес там ни слова (утверждают, правда, что один раз Ньютон все-таки выступил на заседании Парламента, но с очень краткой речью: он попросил закрыть окно), Барроу в юности был очень буйным человеком. Отец его — лондонский торговец полотном — убедился, что пускать сына из-за буйства характера по купеческим делам нельзя, и отправил его учиться.

Барроу обучался разным наукам, но больше всего его привлекла теология. По его собственным словам, ход мыслей, определивший его дальнейший путь, был таким: «Чтобы быть хорошим теологом, надо знать хронологию. . .»

Идея о том, что хронология — очень важная наука, была для всех в то время очевидной, не обошла она и Ньютона. И сейчас некоторые математики, вероятно, вслед за Барроу и Ньютоном, хотя и не в Англии, а в Москве,

остро интересуются проблемами хронологии (14). Ньютоз очень серьезно занимался хронологией Древнего Египта В ней была следующая проблема. Исторических свиде тельств, открытых к тому времени, накопилось уже столь ко, что они никак не согласовывались с библейскими сроками сотворения мира. Промежуток времени, отпущенный по Библии на все человечество от Ноя до рождества Христова, всего 2348 лет, а фараонов и династий много и все не умещаются. Ньютон писал специальные тексты, в которых предлагался некоторый выход из этого затруднения. Он нашел в Библии фараона, имя которого начинается с буквы С (Сесак), а у Геродота упомянут другой фараон, с другим, правда, именем, но тоже на С (Сезеострис, теперь называемый Сенурсет). Вот Ньютон и предложил считать этих двух фараонов одним, исправив соответствующим образом древнеегипетскую хронологию (сократив ее на 2000 лет — вполне в духе современных математиков). Но, по-видимому, в это время созревали и более научные подходы к этому вопросу. Барроу, например, предполагал использовать свидетельства о затмениях. И поэтому он говорит: «Чтобы быть хорошим теологом, надо знать хронологию, которая требует знания астрономии.»

Знакомство с астрономией в свою очередь привело Барроу к геометрии. Это связано с двумя причинами. Во-первых, надо телескоп наводить на звезды, а во-вторых, телескоп надо делать, т. е. шлифовать для него линзы. Начало деятельности Ньютона тоже связано с астрономией. Он изготовил первый рефлектор: зеркальный телескоп (15).

Барроу начал с того, что открыл свою знаменитую формулу линзы которую теперь проходят в школе (без упоминания имени Барроу). Чтобы вывести эту формулу, надо уметь проводить касательные к линзе, искать точки пересечения бесконечно близких нормалей, анализировать получающиеся фокальные точки. Так Барроу занялся геометрией.

Но жизнь у него, надо сказать, была очень тяжелая, так как в Англии в то время были еще очень сильны пережитки феодализма, там менялись династии, происходили революции, люди подвергались преследованиям за религиозные убеждения (в то время это считалось вполне допустимым даже в самых цивилизованных странах). Религиозные представления Барроу не совпадали с теми, которые в данный момент господствовали в Англии.

Поэтому ему надо было куда-нибудь оттуда уехать, и он отправился к Гробу Господню, чтобы заодно все проверить на месте. Но во время путешествия на их корабль напали пираты, и, хотя Барроу, единственный из пассажиров с мечом в руках присоединившийся к команде, принял участие в абордажной битве и пиратов победил, до цели путешествия он не добрался. Барроу благополучно вернулся в Англию, в которой к тому времени сменилась династия и религиозная обстановка. Поэтому он смог получить кафедру, основанную неким Лукой (Генри Лукасом), завещавшим деньги на организацию кафедры математики в Кембридже. Барроу, изучивший к тому времени геометрию, начал читать там лекции по математике. Ньютон был тогда студентом-второкурсником, он, по-видимому, слушал эти лекции. Лекции Барроу были впоследствии изданы, одну из его книг в 1673 году купил Лейбниц. Лейбниц, правда, говорил потом, что он редко видел человека или книгу, из которых он не мог бы сделать какого-нибудь употребления, но книгу Барроу поставил на полку и не читал.

Что же содержалось в лекциях Барроу? Бурбаки пишет с некоторым презрением, что в его книге на сто страниц текста приходится около 180 чертежей (16). (О книгах самого Бурбаки можно сказать, что там на тысячи страниц не приходится ни одного чертежа, и не совсем ясно, что хуже.) И из-за обилия этих чертежей, по мнению Бурбаки, никто не заметил того, что содержалось в этой книге, так как все ее содержание находилось в геометрическом обличии. В этой книге не вводилось новых терминов и понятий, там не было ни функций, ни производных. В основном она была посвящена развитию одного единственного принципа, из которого было выведено очень много следствий. Принцип этот заключается в том, что между задачами о касательных и задачами о площадях имеется двойственность.

Эта двойственность позволяет нам всякий раз, когда решена какая-нибудь задача о касательных (мы знаем, как провести к некоторой кривой касательную или вычислить подкасательную, нормаль и т. д.), решить соответствующую задачу о площадях, в которой эта кривая будет ответом. В двойственной задаче речь идет о площадях под другой кривой, которую можно получить из

первой геометрически. Таким образом, эта книга фактически была посвящена формуле Ньютона — Лейбница, чего Барроу знать не мог, так как дело происходило лет на двадцать раньше их первых публикаций. Барроу выводил из этого принципа также и следствия, которые порой заходили довольно далеко. Если посмотреть внимательно, то можно обнаружить два основных таких следствия. С одной стороны, это формула замены переменных в определенном интеграле, а с другой — интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Причем в конце, дойдя до теоремы о замене переменной в интеграле, Барроу добавляет, что, к сожалению, он открыл этот факт очень поздно, а если бы знал его раньше, то многое в предыдущем тексте можно было бы упростить. Но из-за того, что у Барроу тоже было много других дел, он этих изменений в тексте не произвел.

Книга Барроу действительно читается с большим трудом (17), и недаром говорит Бурбаки, что, не разбирая эти 180 чертежей, понять в ней ничего нельзя. Но Ньютон слушал лекции Барроу и поэтому все понимал и прекрасно разбирался в содержании книги. Во многих случаях он даже упрощал или улучшал изложение, о чем Барроу, человек крайне добросовестный, сообщал читателю в соответствующей ссылке. Но главных пунктов — формулы Ньютона — Лейбница и решения уравнений с разделяющимися переменными — эта помощь Ньютона совершенно не касается. Это заслуга самого Барроу, и Ньютон на эти открытия никогда не претендовал.

Барроу, заметив такого способного ученика, которому в 27 лет уже принадлежало несколько глубоких открытий и в улучшении телескопа, и в оптике, и в геометрии, счел, что сам он уже слишком стар для того, чтобы занимать свою кафедру (ему было 39 лет) и решил перейти на идеологическую работу, а кафедру передать Ньютону. Впоследствии он столкнулся с большой трудностью. Дело в том, что Барроу имел сан священнослужителя и только благодаря этому мог постоянно занимать и кафедру. В те далекие времена постоянно занимать кафедру, не приняв священнического обета, было невозможно. Ньютон не хотел принимать обет (хотя ему обещали деканство). Тем самым Ньютон не мог оставаться на кафедре Кембриджа более, чем семь лет. Но Барроу был влиятельным человеком и, покинув Кембридж, сделался в Лондоне придворным проповедником. Поэтому он смог добиться

для Ньютона специального разрешения от короля в порядке исключения. Так Ньютон сохранил кафедру в Кембридже и продолжал там свою очень плодотворную деятельность.