§ 11. Лейбниц

Говоря об истории анализа, нельзя не сказать несколько слов о сопернике Ньютона — Лейбнице. Ньютон чрезвычайно серьезно относился к приоритетным вопросам. Он довольно рано сформулировал такой принцип: каждый человек должен однажды сделать выбор — либо ничего не публиковать, либо потратить всю жизнь на борьбу за свой приоритет. Для себя Ньютон, по-видимому, тоже принял по этому поводу решение, выбрав и то, и другое. Он, во-первых, почти ничего не опубликовал, а во-вторых, постоянно боролся за свой приоритет.

Что касается изобретения анализа, то здесь первые публикации принадлежат Лейбницу, говорившему, что

он разработал свое дифференциальное и интегральное исчисление независимо от Барроу и Ньютона. Тем не менее дискуссия по этому поводу разгорелась настолько бурная, что в результате возникло мнение, что лучше уж вообще не отстаивать приоритет, чем вести такие дискуссии.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) был дипломатом майнцского курфюрста, посланным им в 1672 году в Париж в очень тяжелой обстановке. В то время Франция уже была объединенной, абсолютной державой под властью Людовика XIV, чрезвычайно сильной в военном отношении, а Германия была раздробленной и не могла ничего противопоставить военной мощи Людовика XIV, чьи кавалерийские корпуса могли прокатиться по всей Германии за; считанные дни и часы. Немцы этого очень опасались и хотели найти какой-нибудь выход. Лейбниц, с присущим ему дипломатическим умением, изобрел метод спасения Германии от французского нашествия и был послан в Париж для осуществления этого плана. Метод Лейбница состоял в следующем: он хотел подсунуть Людовику XIV проект завоевания Египта. Лейбниц составил соответствующий проект и действительно вручил его французскому правительству. Французское правительство через некоторое время проект реализовало. Произошло это не очень скоро, уже при Бонапарте, но проект восходит к Лейбницу.

Хотя Людовик XIV и не реализовал проект Лейбница, поездка в Париж не была бесполезной. Лейбниц там познакомился с Гюйгенсом. Гюйгенс был голландским ученым, но в 1666 году был приглашен во Францию, чтобы стать первым председателем Академии. Впоследствии, когда после отмены Нантского эдикта во Франции возобновились преследования за религиозные убеждения, ему пришлось вернуться в Голландию.

От Гюйгенса Лейбниц узнал о существовании очень интересных математических работ. Лейбниц и раньше интересовался математикой, потому что всегда интересовался всякими общими вещами и имел всякие общие идеи.

Например, он считал, что надо объединить все религии если все не удастся, то по крайней мере все христианские если православные не соглашаются — хотя бы католиков и протестантов, ну а если и это невозможно, то объединить хотя бы всех протестантов. Правда, и это ему не удалось, хотя он и прилагал все усилия.

Точно так же Лейбниц считал, что надо открыть так называемую характеристику, нечто универсальное, что соединит все в науке и будет содержать в себе все ответы на все вопросы. Он и изобретал всевозможные универсальные приемы для решения всех задач сразу. Например, он изготавливал вычислительные машины вслед за Паскалем. (В отличие от арифмометра Паскаля, арифмометр Лейбница умел еще извлекать квадратный корень.) Сам арифмометр не сохранился, но до нас дошли свидетельства о поездке Лейбница в Англию, где он демонстрировал его работу британским ученым (Гук тотчас же улучшил его конструкцию).

Рис. 8. Инфинитезимальный треугольник Паскаля и различные функции

Итак, математика Лейбницу очень нравилась, он хотел объединить все ее методы, и Гюйгенс посоветовал ему изучить Паскаля. Лейбниц раздобыл у наследников Паскаля его письма и записки (впоследствии утерянные) и нашел у Паскаля картинку, на которой был изображен знаменитый дифференциальный треугольник (рис. 8). К этому времени Декарт, Ферма, Паскаль умели дифференцировать многочлены и знали, как проводить касательные к параболам всех степеней, а фундаментальный бесконечно малый треугольник уже явно присутствовал в

работах Паскаля. В работах других Геометров — Гюйгенса, Барроу — также фигурировали многочисленные объекты, связанные с данной кривой. На рис. 8, например, имеются такие величины: абсцисса, ордината, касательная (отрезок касательной от оси абсцисс до точки касания), наклон касательной, площадь криволинейпой фигуры, подкасательная, нормаль, поднормаль и т. д. Обычно все эти объекты рассматривались по отдельности. Барроу, к примеру, выводил соотношения между поднормалью и подкасательной при помощи новой кривой, рисовавшейся в новой плоскости. Лейбниц, со свойственным ему стремлением к универсальности, решил, что надо все это рассматривать единым образом. Для этого он ввел единый термин для любой из величин, связанных с данной кривой, исполняющих по отношению к данной кривой какую-нибудь функцию, — термин функция. Примерами функций были все величины, встречающиеся на рис. 8. Например, абсцисса, ордината, поднормаль, подкасательная и т. д.

Таким образом, по Лейбницу с кривой было связано много функций. У Ньютона был другой термин — флюэнта, означавший текущая величина, переменная величина, и связанный тем самым с движением. На основании изучения Паскаля и своих собственных рассуждений Лейбниц довольно быстро развил формальный анализ в том виде, в котором мы его сейчас знаем. То есть в виде, специально приспособленном для обучения ему людей, которые его совсем не понимают. Лейбниц писал: «Плохая голова, обладая вспомогательными преимуществами, . . . может перещоголять самую лучшую, подобно тому, как ребенок может провести по линейке линию лучше, чем величайший мастер от руки». (Guhrauer, Leibniz’s deutbche Schrif-ten, Bd. I,S. 377-381). Формальные правила оперирования с бесконечно малыми, смысл которых неясен, Лейбниц довольно быстро установил.

Способ у Лейбница был такой. Он считал, что вся математика, так же как и вся наука, находится внутри нас, и с помощью одной философии можно до всего додуматься, если внимательно прислушаться к процессам, происходящим внутри нашего разума. Таким методом он открывал различные законы и иногда очень успешно. Например, он открыл, что и это замечательное открытие немедленно заставило его задуматься о том, чему же равен дифференциал произведения. В соответствии с универсальностью своих размышлений он быстро пришел к выводу, что дифференцирование — гомоморфизм

кольца, т. е. что должна иметь место формула Но через некоторое время он убедился, что это приводит к каким-то не приятным следствиям, и нашел правильную формулу которая теперь называется правилом Лейбница. Никому из индуктивно мыслящих математиков — ни Барроу, ни Ньютону, которого впоследствии называли эмпирическим ослом, — никогда бы не пришла в голову первоначальная гипотеза Лейбница, так как им было совершенно очевидно, чему равен дифференциал произведения, из простой картинки (рис. 9). Ясно, что приращение площади прямоугольника составляется из трех слагаемых: площадей двух бесконечно тонких прямоугольников и бесконечно малого более высокого порядка которым можно пренебречь. Имея перед глазами такую геометрическую интерпретацию, никак не заподозришь, что искомое приращение равно этой пренебрегаемой величине. Но для схоласта Лейбница такой алгебраический ход мыслей очень типичен.

Рис. 9. Формула Лейбница