Глава 3. ОТ ЭВОЛЬВЕНТ ДО КВАЗИКРИСТАЛЛОВ

§ 13. Эвольвенты Гюйгенса

Ньютону анализ был нужен в основном для исследования кривых, которые возникают в механике и в

геометрии. Мы уже видели некоторые способы возникновения кривых. Другие способы были найдены Гюйгенсом, который исследовал ряд задач анализа, оптики и механики. Например, за 11 лет до первых публикаций Лейбница по анализу и за 13 лет до появления «законов Ньютона» Гюйгенс опубликовал свое вычисление центробежной силы при движении по окружности (т. е. дважды продифференцировал вектор-функцию и использовал «второй закон Ньютона»).

Гюйгенс решал все задачи при помощи элементарных геометрических построений, но при этом добивался значительных результатов.

Одним из важных достижений Гюйгенса было исследование введенных им эвольвент. Эвольвенты присутствовали во многих старых учебниках анализа, начиная от первого учебника Лопиталя и приблизительно до Гурса, но в современных курсах имеется тенденция о них умалчивать.

Рис. 10. Образование эвольвенты при помощи нити

Пусть дана кривая. Ее эвольвента — это траектория, которую описывает конец натянутой нити, сматываемой с нашей кривой (рис. 10). Замечательным свойством эвольвенты является то, что у нее имеется острие в точке Р, и, пытаясь описать ее в окрестности этой точки с помощью ряда Тейлора, мы убеждаемся, что она в этом месте не гладкая, хотя и кажется нам таковой (и, более того, имеет касательные во всех точках). Негладкость следует из того, что радиус кривизны в точке X эвольвенты равен длине свободного конца нити а так как нить становится все короче по мере приближения точки X к Р, то кривизна в точке Р оказывается бесконечной, а сама точка,

следовательно, особой. Оказывается, в этой точке эвольвента имеет особенность типа 3/2, т. е. в окрестности точки Р она диффеоморфна полукубической параболе Почему на рисунке эвольвента изображена с двумя ветвями? Во-первых, записав уравнение полукубической параболы в виде мы увидим и у нее вторую ветвь, а во-вторых, это можно понять, если посмотреть на эту картину с точки зрения современной геометрии.

Предположим, что наша кривая выпукла, и пусть натуральный параметр вдоль нее (т. е. длина кривой), радиус-вектор точки кривой, соответствующей значению параметра длина свободного участка нити. Тогда радиус-вектор точки X эвольвенты, получающейся, когда нить отрывается от кривой в точке У, равен так как это длина вдоль кривой. Мы, таким образом, получаем отображение плоскости с координатами на плоскость, в которой лежит наша кривая. Легко видеть, что это отображение гладкое, но диффеоморфизмом оно не является.

Рис. 11. Построение двух прообразов точки X

Рис. 12. Образование эвольвент при складывании

Несложный анализ отображения показывает, что образом его является часть плоскости, лежащая по одну сторону от кривой, причем все точки образа, не принадлежащие кривой, имеют ровно два прообраза (см. рис. 11), а у каждой из точек кривой прообраз только один. Поэтому отображение устроено как отображение проектирования на плоскость поверхности, сложенной над нашей кривой (рис. 12). Такое отображение называется отображением складывания.

Теперь видно, откуда берется эвольвента. Она возникает, если фиксирована длина нити, т. е. сумма .

Уравнение определяет на плоскости семейство параллельных прямых, которое превращается в некоторое гладкое семейство линий на складываемой поверхности и после проектирования дает семейство кривых внизу. Каждая эвольвента соответствует какому-то, значению длины а и поэтому лежит целиком на одной из этих кривых. Но каждая из таких кривых имеет две ветви. Одна ветвь соответствует верхней части линии на поверхности, а другая — ее нижней части. Поэтому-то у эвольвенты и нарисована вторая ветвь, которая соответствует нижней части.

Рис. 13. Образование обеих ветвей эвольвент при помощи пити

Рис. 14. Изохронный маятник Гюйгенса

Это две части одной кривой, и вторая является аналитическим продолжением первой, соответствующим отрицательным значениям параметра (физически это означает, что нить теперь сматывается по другому; рис. 13).

Наличие у эвольвент замечательных особых точек открыл Гюйгенс. Он очень хорошо использовал эти замечательные точки при создании изохронного маятника. Если маятник, подвешенный на нити, заставить колебаться между щечками, сделанными в форме циклоиды (рис. 14), то он будет двигаться по эвольвенте циклоиды (которая тоже является циклоидой) и все его колебания (т. е. не только малые, но и большие) будут иметь один и тот же период.