Добавление 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭЛЛИПТИЧНОСТИ ОРБИТ

Доказательство, основано на следующих двух теоремах.

Рассмотрим эллипс с центром в точке 0 на плоскости комплексных чисел.

Теорема 1. При возведении чисел в квадрат такой эллипс переходит в эллипс с фокусом в точке 0.

Для доказательства удобно воспользоваться эллипсами Жуковского, определяемыми следующей конструкцией (рис. 35).

Лемма 1. Когда точка пробегает окружность точка пробегает эллипс с центром 0.

Доказательство леммы 1. Пусть Тогда где что и требовалось: полуоси эллипса Жуковского равны а и

Рис. 35. Эллипсы Гука и Ньютона

Лемма 2. Фокусы эллипса Жуковского лежат в точках

Доказательство леммы 2.

Лемма 3. При возведении в квадрат эллипс Жуковского переходит в эллипс Жуковского, сдвинутый на 2.

Доказательство леммы 3.

Доказательство теоремы 1. Квадрат эллипса Жуковского имеет 0 фокусом, так как при сдвиге на 2 фокус—2 переходит в 0. Любой эллипс с центром в точке 0 получается из подходящего эллипса Жуковского растяжением и поворотом. Значит, и его квадрат имеет 0 фокусом.

Следствие 1. Всякий эллипс с фокусом 0 является квадратом (единственного) эллипса с центром 0.

Доказательство следствия 1. Среди эллипсов Жуковского встречаются эллипсы с любыми отношениями полуосей.

Основной элемент доказательства эллиптичности орбит в поле тяготения — сведение движения по закону тяготения к движению по закону Гука при помощи возведения последнего движения в квадрат — заключен в следующей теореме Болина (45).

Теорема 2. Пусть точка плоскости комплексных чисел движется по закону Гука Возведем в квадрат и введем на траектории точки новое время так, чтобы выполнялся закон площадей. Тогда удовлетворяет уравнению закона тяготения

Доказательство. Из закона площадей Выбираем Тогда

вдоль траектории по закону сохранения энергии). Теорема доказана;

Эллиптичность движений с отрицательной полной энергией в поле притягивающего по обычному закону тяготения центра вытекает из теорем 1, 2 и следствия 1. Действительно, теорема 2 показывает, что квадраты гуковских эллипсов являются орбитами движения в поле тяготения, а теорема 1 — что эти квадраты сами являются эллипсами

с фокусами в притягивающем центре, наконец, из следствия 1 видно, что эти квадраты подходящих гуковских эллипсов достают решения уравнения закона тяготения с любыми наперед заданными начальными условиями, для которых полная энергия в начальный момент отрицательна. Поскольку предъявленные решения гладко зависят от начальных условий, других решений с такими начальными условиями нет.

Замечание. Несколько таинственная выкладка в доказательстве теоремы Болина становится, быть может, понятнее, если слегка обобщить результат.

Теорема 3. Траектории движения точки по плоскости комплексных чисел в центральном поле притяжения, сила которого пропорциональна расстоянию до центра в степени переходят при преобразовании в траектории движения в центральном поле, сила которого пропорциональна расстоянию до центра в степени А, если

Рис. 36. Двойственные законы притяжения

Таким образом, для каждого степенного закона притяжения имеется единственный двойственный закон (рис. 36). Например, закону Гука двойствен закон тяготения и обратно. Формулу, связывающую двойственные законы, можно извлечь из приведенного Ньютоном выражения для угла между перицентрами

почти круговой орбиты (46). Самодвойственные законы отвечают Эти случаи также особо выделены в Principia.

Доказательство теоремы 3 повторяет выкладку доказательства теоремы 2:

Следствие 2. Траектории движения в центральном поле притяжения, сила которого обратно пропорциональна пятой степени расстояния до центра, поворачиваются при подходящей инверсии.

Движение в поле, сила которого обратно пропорциональна пятой степени расстояния, рассмотрено уже в Principia: Ньютон доказал, что среди траекторий имеются окружности, проходящие через центр притяжения (47).

Следствие 3. Все траектории движения в обычном поле тяготения после извлечения квадратного корня превращаются в траектории движения в линейном центральном поле на плоскости комплексных чисел.

Теорема 4. Все траектории движения в обычном поле тяготения — конические сечения с фокусом в притягивающем центре.

Доказательство теоремы 4. Следствие 3 получается из теоремы 3 при Поэтому знаки противоположны. Траектории движения в линейном поле — центрально-симметричные эллипсы при гиперболы при прямые при Возведя эллипсы в квадрат, получим кеплеровы эллипсы (по теореме 1).

Гипербола с центром в 0 при возведении в квадрат превращается в половину гиперболы с фокусом в 0. Чтобы в этом убедиться; достаточно рассмотреть гиперболы Жуковского: — пробегает такую гиперболу, когда пробегает прямую, проходящую через 0. Гиперболы Жуковского конфокальны эллипсам Жуковского. При возведении в квадрат фокус —2 сдвигается в начало координат (как для эллипсов).

Кроме того, исчезает вторая ветвь, так как пробегает уже не прямую, а только луч.

Случай можно получить предельным переходом. Впрочем, он проще рассмотренных: прямая при возведении в квадрат превращается в параболу

Ее фокус — точка 0, директриса — прямая Ибо

Теорема 5. При движении в любом поле притяжения, сила которого пропорциональна степени расстояния до центра, некоторые траектории являются образами прямых при преобразовании

Пример. В поле закона всемирного тяготения это параболические траектории, . В поле, сила которого обратно пропорциональна пятой степени расстояния до центра — окружности, проходящие через центр,

Доказательство. Если в выкладке доказательства теоремы 3 положить то т. е. траектории прямые.