§ 16. Икосаэдр и квазикристаллы

Теория групп, порожденных отражениями, связана с кристаллографией. А именно некоторые из этих групп сохраняют кристаллическую решетку. Например, рассмотренная выше группа, порожденная отражениями относительно трех прямых на плоскости, сохраняет шестиугольную решетку (рис. 20). Все кристаллографические группы расклассифицированы, и все про них хорошо

известно. Они соответствуют простым алгебрам Ли (и, следовательно, простым группам Ли). Однако группа икосаэдра в эту классификацию не попадает, так как она не сохраняет никакой решетки в трехмерном пространстве. Точно так же не попадает под эту классификацию и группа пятиугольника. Это отражает тот факт, что правильные пятиугольники в кристаллах не встречаются и не бывает орнаментов с симметрией пятого порядка, которыми можно было бы заполнить плоскость.

Между тем в последние несколько лет физики-экспериментаторы, занимающиеся рентгеноструктурным анализом кристаллов, стали обнаруживать на рентгенограммах пятиугольники в довольно больших количествах (23). Иными словами, были обнаружены вещества, имеющие, по-видимому, пятиугольную симметрию. Они были названы квазикристаллами, в память о математической теореме, утверждающей, что настоящими кристаллами они являться не могут.

Рис. 20. Шестиугольная кристаллическая решетка

Как же все это объясняется? Оказывается, что в теории, о которой сейчас шла речь,— в теории особенностей, связанных с эвольвентами, существует конструкция, которая тоже приводят к подобным квазикристаллам.

Рассмотрим для наглядности не группу икосаэдра, а более простую группу симметрий пятиугольника. Хорошо известно, что эту группу нельзя реализовать как группу симметрий, сохраняющих некоторую решетку на плоскости. Рассмотрим, тем не менее, пятимерное пространство, в котором, точно так же как в рассмотренном выше примере, действует группа перестановок координат из 120 элементов. Эта группа, очевидно, сохраняет целочисленную пятимерную решетку. (В теории групп, порожденных отражениями, она известна как группа А4.)

Вложенная в группу перестановок группа пятиугольника тогда тоже действует в пятимерном пространстве, но это представление приводимо. Действительно, вращения плоскости, переводящие правильный пятиугольник в себя, имеют собственными числами корни пятой степени из единицы. Корни сами расположены в вершинах правильного пятиугольника, и, объединяя в пары

комплексно сопряженные корни, мы получим, что пространство распадается в сумму трех инвариантных подпространств — одномерного, соответствующего корню 1, и двух двумерных. Одномерное пространство — это диагональ — подпространство векторов, все пять координат которых равны между собой. В ортогональном дополнении к диагонали по-прежнему действует группа пятиугольника, и по-прежнему там имеется решетка, которую она сохраняет. Но в двумерных инвариантных пространствах решеток уже нет. Как показывают несложные вычисления, каждое из двумерных инвариантных подпространств лежит по отношению к решетке в иррациональным образом, т. е. не содержит кроме нуля ни одной целой точки (это следует из иррациональности золотого сечения).

Пусть теперь в объемлющем пространстве имеется функция с симметрией решетки (периодическая, т. е. инвариантная относительно сдвигов на векторы решетки и вдобавок переходящая в себя при действии всех движений и отражений, переводящих решетку в себя). Ограничение этой функции на инвариантное двумерное подпространство не будет уже периодической функцией, но будет функцией почти периодической. Эта почти периодическая функция сохраняет остатки симметрии пятиугольника. Обнаружить их можно следующим образом (24).

Разложим полученную почти периодическую функцию на плоскости в ряд типа Фурье, Волновые векторы к («номера» гармоник Фурье) пробегают некоторое множество векторов двойственной плоскости. Это множество называется спектром почти периодической функции. В спектре сохраняются следы пятиугольной симметрии исходной периодической функции, заданной в объемлющем (четырехмерном или пятимерном) пространстве.

А именно рассмотрим сначала спектр этой исходной периодической функции. Этот спектр, вообще говоря представляет собой обычную решетку, двойственную исходной решетке в объемлющем пространстве.

Каждому двумерному подпространству любого пространства отвечает двумерное фактор-пространство сопряженного пространства. Оно получается факторизацией по пространству линейных форм, равных нулю на изучаемом двумерном подпространстве.

Иными словами, пространство волновых векторов для изучаемой двумерной плоскости получается из большого пространства волновых векторов объемлющего

пространства при естественном проектировании вдоль некоторого его подпространства коразмерности два.

В этом большом пространстве волновых векторов объемлющего пространства лежит решетка гармоник Фурье исходной периодической функции, заданной в объемлющем пространстве. Спектр почти периодической функции получается из этой многомерной решетки при описанном выше естественном проектировании сопряженных пространств (двойственном вложению плоскости в объемлющее пространство).

Ввиду «иррационального» расположения двумерной плоскости по отношению к решетке периодов объемлющего пространства, проекция многомерной решетки гармоник будет всюду плотным множеством на плоскости волновых векторов. Таким образом, спектр получающейся при ограничении на плоскость почти периодической функции будет, вообще говоря, всюду плотным множеством на плоскости волновых векторов. На первый взгляд из него трудно извлечь какую-либо информацию о симметриях.

Обратим теперь внимание на коэффициенты ряда Фурье. У исходной периодической функции в объемлющем пространстве (которую мы считаем гладкой) коэффициенты Фурье быстро убывают по мере удаления волнового вектора от нуля. Поэтому заметную величину имеет только конечное число коэффициентов Фурье, отвечающих гармоникам с небольшими номерами.

Следовательно, и у получающейся ограничением почти периодической функции на плоскости заметную величину имеет только конечное число гармоник. Соответствующие точки спектра образуют конечное множество. Оно является проекцией на плоскость конечного облака близких к нулю точек многомерной решетки. Эта проекция сохраняет следы пятиугольной симметрии многомерной решетки в виде бросающихся в глаза (хотя и не совсем правильных) пятиугольников (рис. 21).

Аналогичное разложение существует и для представления группы симметрий икосаэдра (25).

Именно это разложение объясняет связь между икосаэдром и эвольвентами Гюйгенса, так что его открытие можно рассматривать как завершение начатых Гюйгенсом исследований.

С другой стороны, при рентгеноструктурном анализе кристаллов наблюдается, в сущности, спектр функции, имеющей симметрию кристаллической решетки (точнее — проекция этого трехмерного спектра на плоскость). Точки

спектра выглядят, как блики (яркие пятна) на рентгенограмме, причем яркость тем выше, чем больше амплитуда соответствующей гармоники. Поэтому практически наблюдается не весь спектр, а лишь его часть, соответствующая гармоникам с не слишком большими номерами.

И вот при анализе этих изображений для некоторых веществ были замечены регулярные структуры из приблизительно правильных пятиугольников (рис. 21). (23)

Рис. 21. Квазикристаллический спектр

Теория, построенная для объяснения связи между икосаэдром и эвольвентами, сразу же объясняет, как может получиться такой спектр. Изучаемая функция в трехмерном пространстве должна быть не периодической, а почти периодической. А именно она должна получаться из периодической функции шести переменных, допускающей симметрии икосаэдра, при ограничении на «иррациональное» трехмерное пространство. Не останавливаясь здесь на вопросе о физическом смысле трех дополнительных «квантовых» переменных, замечу только, что теории, предложенные физиками для объяснения наблюдений квазикристаллов, идейно близки к описанным выше построениям, возникшим как побочный продукт исследования особенностей эвольвент и волновых фронтов Гюйгенса, — еще один пример того удивительного единства, которое так поражало Ньютона и его современников, что они истолковывали его как доказательство существования Бога.