§ 22. Задача трех тел

В то время как задача о движении двух точек решена Ньютоном, точное аналитическое решение задачи о движении хотя бы трех притягивающихся материальных точек при общих начальных условиях (задачи трех тел, поставленной еще в Principia) не только не найдено, но и в некотором смысле невозможно (31).

Тем не менее уже Эйлер (32) указал несколько специальных решений, при которых взаимное расположение всех трех тел остается постоянным — тела все время расположены либо в вершинах правильного треугольника (Лагранж (33)), либо на одной прямой.

Эти решения казались чисто математическим курьезом, пока (в 1906 году и позже) на орбите Юпитера не были обнаружены «греки» и «троянцы» — две группы малых планет, образующих с Солнцем и Юпитером два равносторонних треугольника (троянцы отстают, а греки опережают Юпитер; рис. 23).

Рис. 23. «Греки» и «Троянцы»

Соответствующие треугольникам решения задачи трех тел устойчивы, по меньшей мере в линейном приближении, в то время как решения, при которых все три тела расположены на одной прямой, заведомо неустойчивы и потому до последних лет считались практически бесполезными.

Однако в эпоху космонавтики положение изменилось. Станция, помещенная в соответствующую эйлерову решению «точку либрации» между Землей и Солнцем, находится в оптимальных условиях для наблюдений Солнца. Это положение неустойчиво, подобно положению маятника «вверх ногами». Небольшие случайные отклонения станции от точки либрации с течением времени нарастают. Но, поскольку точка либрации соответствует точному решению, скорость роста возмущений вблизи нее мала. Оказывается, затраты энергии на постоянное

корректирование орбиты, заставляющее станцию все время находиться вблизи точки либрации, невелики (они тем меньше, чем меньшее отклонение считается допустимым). Учет возмущающего влияния других тел не приводит, при правильном выборе корректирования, к изменению окончательного вывода (34).

Таким образом, точные решения, обнаруженные еще в XVIII веке, сейчас практически используются в космонавтике.