§ 29. Алгебраичность локально алгебраически квадрируемых овалов

Гладкий неалгебраический овал алгебраически неквадрируем. Это следует из доказанного выше, ибо справедлива

Теорема. Всякий локально алгебраически квадрируемый овал алгебраичен.

Этот факт Ньютон использует как очевидный. Видимо, он рассуждал так:

Лемма. Огибающая любого алгебраического семейства прямых алгебраична.

Иными словами, если множество касательных к кривой удовлетворяет алгебраическому уравнению, то сама кривая алгебраична.

Рис. 33. Огибающая алгебраического семейства прямых алгебраична Доказательство леммы. Рассмотрим две близкие касательные с тангенсами угла наклона к оси равными (рис. 33). Их точка пересечения пробегает при переменном и фиксированном алгебраическую кривую (изображенную на рис. 33 штриховой линией). Степень этой кривой (т. е. степень многочлена,

ее задающего) ограничена не зависящей от постоянной. (Это следует из того, что условие совместности двух алгебраических уравнений выражается равенством нулю многочлена от их коэффициентов — факт, обсуждающийся Ньютоном все на тех же двух страницах Principia, где заодно объясняется, что две алгебраические кривые степеней пересекаются не более чем в точках.)

При стремлении к нулю точка пересечения близких касательных стремится к исходной кривой. Будучи пределом алгебраических кривых ограниченной степени, исходная кривая также является алгебраической.

Доказательство теоремы. Касательные к овалу отсекают от него сегменты нулевой площади. Поэтому касательные к алгебраически локально квадрируемому овалу удовлетворяют алгебраическому уравнению (см. § 25). По лемме овал алгебраичен, что и доказывает теорему.