§ 28. Аналитичность гладких алгебраических кривых

Кривая называется бесконечно гладкой, если она локально является графиком функции, дифференцируемой сколько угодно раз.

Теорема. Бесконечно гладкая алгебраическая кривая аналитична.

Этот факт был Ньютону известен, так как Ньютон умел записывать уравнение любой «ветви» алгебраической кривой в окрестности любой ее точки в виде быстро сходящегося ряда

(где начало координат помещено в исследуемую точку).

[Теорему о сходимости этого ряда Ньютон формулировал так: «Чем дальше развертывается при достаточно малом результат, тем более он подходит к истинному значению у, так что разность, на которую он отличается от точного значения у, делается, наконец, меньше всякой данной величины» (43).

Ряд строится при помощи многоугольника Ньютона; см. § 8.]

Каждый член ряда с нецелым показателем имеет лишь ограниченное число производных. Если в ряду присутствует хотя бы один такой член нецелой степени, то определенная рядом кривая уже не может быть бесконечно гладкой в окрестности изучаемой точки.

Для бесконечно гладкой алгебраической кривой в разложении участвуют поэтому только целые степени, а это и значит, что кривая аналитична.

Следствие. Всякий бесконечно гладкий алгебраический овал алгебраически неквадрируем даже локально.

Итак, бесконечно гладкая замкнутая выпуклая кривая не может быть даже локально алгебраически квадрируемой, если она алгебраична. Может быть, локально алгебраически квадрируемые кривые следует искать среди неалгебраических овалов?