§ 14. Волновые фронты Гюйгенса

Эвольвенты связаны с объектом, встречающимся в другом исследовании Гюйгенса, а именно в теории волновых фронтов. Гюйгенс, рассматривая распространение волн, испускаемых каким-то источником, обнаружил, что и здесь тоже могут возникнуть особенности.

Пусть, например, источник имеет форму эллипса и волны распространяются внутрь эллипса с единичной

скоростью. По принципу Гюйгенса, через время волновой фронт будет огибающей семейства окружностей радиуса с центрами на эллипсе и при небольших будет эквидистантой эллипса. Если будет возрастать, то в некоторый момент на огибающей появятся особенности (рис. 15). Они тоже будут полукубического типа. Особые точки были очень важны для Гюйгенса при исследовании соответствия между волнами и объектами, которые мы теперь относим к вариационному исчислению, оптимизации, гамильтоновой механике...

Рис. 15. Особенности волнового фронта

Рис. 16. Эвольвенты как волновые фронты

Поэтому в его работах и по теории волн, и по теории маятника, выполненных еще в 50-х годах XVII века, содержится много подобных рисунков с исследованием всех возникающих там особенностей.

Рассмотрим на плоскости область, ограниченную некоторой кривой, и пусть в одной из точек кривой помещен источник возмущения (рис. 16). Тогда фронты, состоящие из точек, до которых возмущение может дойти за какое-то определенное время, огибая препятствие, ограниченное кривой, будут вблизи границы препятствия эвольвентами этой кривой. Таким образом, эвольвенты кривой, ограничивающей какую-то область, можно рассматривать как гюйгенсовы волновые фронты на многообразии с краем. Такой фронт, хотя это и кажется на первый взгляд удивительным, имеет особенность типа 3/2 в точках кривой (и, следовательно, после аналитического продолжения у него появится вторая ветвь).