§ 27. Теорема Ньютона о локальной неалгебраичности

Итак, локально алгебраически квадрируемый овал может иметь сколь угодно большую конечную гладкость (может всюду задаваться функциями со сколь угодно большим числом производных). Однако во всех наших примерах на овале есть особая точка, где производная некоторого порядка разрывна.

Ньютон считал истинно гладкой кривой лишь такую, которая в окрестности каждой точки является графиком функции, разлагающейся в сходящийся степенной ряд

(где начало координат выбрано в рассматриваемой точке). Сейчас такие кривые называются аналитическими.

Замечание. Различие в поведении кривых различной конечной гладкости было Ньютону хорошо известно и обсуждается в Principia, а разложение всех алгебраических и элементарных функций в быстро сходящиеся степенные ряды было одним из основных его математических достижений.

Из теоремы § 25 Ньютон выводит гораздо более сильное утверждение.

Теорема. Любой аналитический овал алгебраически не квадрируем даже и локально.

Доказательство локальной алгебраической неквадрируемости аналитических овалов.

Если бы овал был локально, но не глобально алгебраически квадрируем, то заметенная площадь выражалась бы одной алгебраической функцией по одну сторону от некоторой его точки и другой — по другую. Но для аналитического овала заметенная площадь аналитически зависит от направления луча. Поэтому обе указанные алгебраические функции разлагаются в окрестности этой точки аналитического овала в один и тот же сходящийся степенной ряд. Значит, обе эти алгебраические функции совпадают и в окрестности указанной точки. Но тогда они совпадают вообще всюду (это следует из того, что многочлен, не равный тождественно нулю, не может иметь больше корней, чем его степень).

Итак, если бы существовал локально алгебраически квадрируемый аналитический овал, то он был бы алгебраически квадрируем и в целом. А поскольку это невозможно (§ 25), то аналитический овал не может быть алгебраически квадрируем даже и локально.