§ 20. Теорема Лапласа об устойчивости

Вопрос состоял в том, существуют ли на самом деле вековые возмущения, или они являются артефактами — следствием неудачной математической процедуры. (Например, рассмотрим маятник, колеблющийся по закону и предположим, что мы немного возмутили частоту заменив ее на , где а очень мало. Тогда разложение возмущений в ряд по степеням а приведет в первом же приближении по а к выражению содержащему опасный «смешанный» член с Между тем истинная амплитуда колебаний маятника вовсе не растет с течением времени, а остается ограниченной.)

Анализ планетных возмущений в конце концов привел Лагранжа (1776) и Лапласа (1784) к «теореме Лапласа об устойчивости Солнечной системы» (28): взаимные возмущения планет, движущихся по мало эксцентричным непересекающимся эллипсам почти в одной плоскости и в одну сторону, приводят лишь к почти что периодическим

колебаниям эксцентриситетов и наклонений вблизи нуля, в то время как расстояния до Солнца колеблются вблизи своих начальных значений.

Иными словами, большие оси кеплеровых эллипсов не имеют вековых возмущений.

«Теорема» Лапласа не была им в строгом смысле доказана, так как он представлял возмущения рядами и доказал лишь отсутствие вековых слагаемых среди первых членов ряда.

Впоследствии отсутствие вековых и смешанных слагаемых установили для всех членов ряда. Но из того, что вековых членов нет, не следует, что длины больших осей кеплеровых эллипсов вечно останутся близкими к своим начальным значениям, так как сами ряды расходятся (некоторые их члены велики). Первые члены ряда дают хорошее приближение на ограниченном отрезке времени, но не позволяют судить о поведении орбит на космогонических временах.

Что касается взаимных возмущений Юпитера и Сатурна, то они, как показал Лаплас в 1784 году, приводят лишь к долгопериодическому, а не вековому изменению эксцентриситетов орбит, с периодом примерно 900 лет. За 450 лет, в течение которых возмущение накапливается, оно успевает сдвинуть Сатурн и Юпитер меньше чем на один градус.

Очень ваяшо, что орбиты находятся почти в одной плоскости; если бы орбита Луны повернулась на 90°, то эксцентриситет Луны под влиянием возмущений от Солнца начал бы расти так быстро, что Луна врезалась бы в Землю всего через 4 года (29).