§ 26. Глобальная и локальная алгебраичность

Итак, алгебраически квадрируемые овалы не существуют? Нет, Ньютону уже были известны примеры овалов, площади сегментов которых выражаются алгебраически, и он упоминает о них при обсуждении своей теоремы в Principia.

Простейший пример доставляет овал рис. Обозначим через тангенс угла наклона секущей, Тогда откуда получается параметрическое представление овала,

Из этого представления видно, что интеграл площади многочлен относительно Поэтому площадь любого сегмента, отсекаемого от этого овала прямой, вычисляется алгебраически.

Хотя построенный овал не гладкий, рассуждение Ньютона к нему применимо. Оно показывает, что площадь, заметенная радиус-вектором, не выражается в целом единой алгебраической функцией. И действительно, каждый раз, когда проходит через особую (угловую) точку овала, алгебраическая функция, выражающая заметенную площадь, скачком заменяется на новую алгебраическую функцию.

Рис. 30. Локально алгебраически квадрируемый овал с одной особой (угловой) точкой

Предыдущий пример показывает, что функция может быть локально алгебраической, не будучи алгебраической в целом (рис. 31). В этом смысле наш овал рис. 30 можно назвать локально алгебраически квадрируемым.

Практически, локальная алгебраическая квадрируемость почти столь же полезна, как и настоящая, глобальная. Поэтому у Ньютона естественно возник вопрос: может ли гладкий алгебраический овал быть локально алгебраически квадрируемым? То есть может ли площадь сегмента, отсекаемого прямой быть алгебраической функцией от в окрестности каждой точки?

Чтобы построить (методом рис. 30) локально алгебраически квадрируемый овал, всюду имеющий касательную, достаточно подобрать подходящую пару многочленов. Например, многочлены задают овал рис. 32, имеющий даже непрерывную кривизну (почему?). Таким образом, мы получили совершенно гладкий на вид овал, который локально алгебраически

квадрируем (глобальная алгебраическая квадрируемость и здесь исключается рассуждением Ньютона).

Рис. 31. График локально алгебраической, но не алгебраической функции

Рис. 32. Локально алгебраически квадрируемый овал с непрерывной кривизной

Задача. Построить (локально) алгебраически квадрируемый овал с одной особой точкой, являющийся в окрестности особой точки графиком функции, имеющей 1989 непрерывных производных (а в окрестностях остальных точек — графиком неограниченное число раз дифференцируемой функции).