§ 15. Эвольвенты и икосаэдр

Дальнейшее продолжение этих исследований приводит к изучению особенностей в трехмерном пространстве или особенностей на плоскости, но в более сложной ситуации.

Получающиеся при этом кривые и поверхности оказываются тоже весьма замечательными. Многие из них изучались во времена Гюйгенса или чуть позднее. Например, знаменитая каустика была введена Чирнгаузеном ненамного позже работ Гюйгенса, а волновые фронты и связанные с ними семейства эвольвент присутствуют уже в первом учебнике анализа, написанном Лопиталем по лекциям Бернулли.

В этой книге разобран, в частности, следующий случай. Предположим, что на плоскости задана кривая общего положения. У такой кривой может быть точка перегиба, но только простейшая (третья производная соответствующей функции отлична от нуля, так как вторая и третья производная не могут одновременно обратиться в нуль для функции общего положения). Нужно выяснить, как будет выглядеть семейство эвольвент такой кривой.

Рис. 17. Эвольвента кубической параболы

Насколько я понимаю, для математиков тех времен — Барроу, Ньютона, Лейбница, Бернулли и даже для его ученика Лопиталя — эта задача была вполне посильна. Конечно, она для них представляла некоторые трудности, но не столь большие, как для современных математиков. Я думаю, что большинство современных студентов, изучающих анализ, даже отличников, построить эвольвенту кубической параболы вообще не в состоянии. Ответ в этой задаче весьма замечательный (рис. 17). Как и прежде, эвольвента имеет особенность типа 3/2 на самой кривой, но, кроме того, у нее есть особенность типа 5/2 на касательной, проведенной через точку перегиба. Если менять длину нити, то получится семейство линий, особенности которых заполняют две кривые — саму кубическую параболу и касательную перегиба (рис. 18). Эту картинку Беннекен (1) и обнаружил в учебнике Лопиталя «Основы анализа».

Хотя эта картинка и присутствует в старых работах, обнаружить ее смогли только потому, что ее нарисовали современные математики, занимавшиеся другой задачей, правда, тоже связанной с эвольвентами. В современной математике было обнаружено что встречающиеся здесь

особенности связаны с группами, порожденными отражениями. В частности, наша картинка связана с группой Это — группа симметрий икосаэдра, которая порождена отражениями относительно его 15 плоскостей симметрии (21).

Появление правильных многогранников часто бывает неожиданным.

Еще Кеплер, изучая движение планет, наряду с известными сейчас тремя законами, сформулировал четвертый, мистический закон, утверждающий, что большие полуоси орбит вычисляются через правильные многогранники. С тех пор правильные многогранники появлялись столь же неожиданно и в других случаях, где, однако, они более связаны с существом дела.

Рис. 18. Семейство эвольвент вблизи точки перегиба кривой

У группы симметрий икосаэдра можно рассмотреть так называемый дискриминант. Вот как он получается. Пространство комплексифицируется и превращается в комплексное трехмерное пространство, где тоже действует группа . Фактор-пространство по этой группе снова изоморфно пространству (это немедленно следует из аналога основной теоремы о симметрических многочленах, которая, кстати, тоже исчезла из курса алгебры). Таким образом, здесь имеются три базисных инварианта, через которые все инвариантные многочлены этой группы выражаются полиномиально (22), С другой стороны, в исходном находятся зеркала, относительно которых производятся отражения (числом 15). Число образов у точки, не лежащей ни на одном из зеркал, равно порядку группы, т. е. 120. Для точки на зеркале число образов будет меньше. Точка фактор-пространства — орбита этой группы в исходном трехмерном пространстве — называется регулярной, если точки, из которых она

состоит, не лежат на зеркалах. Остальные орбиты и соответствующие им точки фактор-пространства называются нерегулярными. Множество всех нерегулярных орбит — образ одного зеркала при отображении факторизации — является подмногообразием в фактор-пространстве. Пересечением этого подмногообразия с множеством вещественных точек будет некоторое многообразие с особенностями, которое и называется дискриминантом группы

Точно так же по любой другой группе, порожденной отражениями, можно построить некоторое многообразие с особенностями.

Вот пример, когда все это можно увидеть явно. Рассмотрим на плоскости три прямые под углами 120° друг к другу (рис. 19). Группа, порожденная отражениями относительно этих прямых, содержит шесть элементов, а регулярная орбита состоит из шести точек.

Рис. 19. Группа отражений, ее зеркала, орбита и дискриминант

Все это можно представить себе так. Реализуем нашу плоскость как плоскость в трехмерном пространстве с координатами заданную уравнением . В этом трехмерном пространстве действует группа перестановок из трех элементов, переставляющая оси координат. Эта группа порождена отражениями в зеркалах следы которых на нашей плоскости и есть исходные три прямые. Поэтому орбиты на плоскости — это просто тройки чисел с нулевой суммой, рассматриваемые с точностью до перестановок. Регулярные орбиты — это тройки, все три числа в которых различны. Каким же естественным способом можно параметризовать такие неупорядоченные тройки чисел (комплексных, так как полагается сделать комплексификацию), дающих в сумме нуль? Этот способ хорошо известен, так как неупорядоченный набор из трех чисел однозначно определяется как множество корней кубического уравнения Но наши числа в сумме дают нуль, поэтому и пространство орбит этой группы, порожденной отражениями,

взаимно однозначно параметризуется кубическими уравнениями вида . То есть фактор-пространство — это просто плоскость с координатами Каждой точке этой плоскости соответствует кубический многочлен, а каждому многочлену — три его корня, среди которых могут оказаться равные. Если у многочлена есть совпадающие корни, то соответствующая ему орбита будет нерегулярной. Таким образом, уравнение дискриминанта этой группы в пространстве мы получим, приравняв нулю дискриминант кубического многочлена с коэффициентами Итак, дискриминант в данном случае — это кривая полукубическая парабола. Именно эта группа, порожденная отражениями, соответствует всем тем полукубическим особенностям, которые встречались у Гюйгенса.

Для дискриминантов других групп, порожденных отражениями, тоже существуют аналогичные конструкции. Итак, для группы, порожденной отражениями в плоскостях симметрий икосаэдра, получается некоторая поверхность в трехмерном пространстве. Теорема, которую можно по этому поводу доказать, состоит в том, что эта поверхность диффеоморфна поверхности, изображенной у Лопиталя (19). Если особенности эвольвент в окрестности точек выпуклости кривой — это особенности типа 3/2, по точкам перегиба соответствует особенность, устроенная как пространство нерегулярных орбит группы икосаэдра.

Чтобы из семейства эвольвент кубической параболы получить поверхность в трехмерном пространстве, нужно все эти эвольвенты поместить в в разных горизонтальных плоскостях, а именно эвольвенту соответствующую значению параметра а, поднять на высоту а. Рис. 18 можно поэтому трактовать как изображение поверхности, и теорема утверждает, что эта поверхность диффеоморфна дискриминанту группы симметрий икосаэдра