§ 10. Ряды Теййора

Интегрирование встречается уже у Архимеда, дифференцирование — у Паскаля и Ферма, связь между обеими операциями была известна Барроу. Что же сделал Ньютон в анализе? В чем его основное математическое открытие? Ньютон изобрел ряды Тейлора — основное орудие анализа.

Конечно, тут может возникнуть некоторое недоумение, связанное с тем, что Тейлор был учеником Ньютона и соответствующая его работа относится к 1715 году. Можно даже сказать, что в работах Ньютона рядов Тейлора вообще нет. Это верно, но только отчасти. Вот что было сделано на самом деле. Во-первых, Ньютон нашел разложения всех элементарных функций — синуса, экспоненты, логарифма и т. д.— в ряды Тейлора и таким образом убедился, что все встречающиеся в анализе функции разлагаются в степенные ряды. Эти ряды — один из них так и называется формулой бинома Ньютона (показатель в этой формуле, разумеется, не обязательно натуральное число) — он выписал и постоянно их использовал. Ньютон справедливо считал, что все вычисления в анализе надо проводить не путем кратных дифференцирований, а с помощью разложений в степенные ряды. (Например, формула Тейлора служила ему скорее для вычисления производных, чем для разложения функций — точка зрения, к сожалению, вытесненная в преподавании анализа громоздким аппаратом бесконечно малых Лейбница.) Ньютон вывел аналогичную ряду Тейлора формулу в исчислении конечных разностей — формулу Ньютона, и, наконец, у него есть и сама формула Тейлора в общем виде, только в тех местах, где должны быть факториалы, стоят какие-то невыписанные явно коэффициенты.

Ньютон мог сказать, какие там должны быть коэффициенты (ведь в формуле для конечных разностей факториалы он поставил), но не посчитал нужным это сделать. Вероятно, на это у него была психологическая причина.

Дело в том, что величины для Ньютона не были абстрактными числами, а имели какую-то физическую сущность. Но все величины в формуле Тейлора имеют разные размерности, и, чтобы все было в порядке, перед каждой должен стоять коэффициент с соответствующей размерностью. Но тогда в другой системе единиц коэффициент тоже должен быть другим. Единой системы единиц в то время не было, единицы измерения менялись от страны к стране и даже от графства к графству. Поэтому размерные коэффициенты предпочитали не указывать в формулировках законов, а говорили просто о пропорциональности, как, например, в законе Гука: «яко удлинение, тако и сила». Если формулу Тейлора тоже записать в таком безразмерном виде, то факториалы пропадут и получится, что слагаемые в приращении функции прямо пропорциональны производной и степени приращения аргумента. Коэффициент пропорциональности после этого каждый может найти сам в зависимости от тех единиц, которыми он пользуется.

В формуле Ньютона исчисления конечных разностей факториальные коэффициенты потому были выписаны явно, что в этом случае единица измерения фиксирована выбором шага решетки. Громоздкие обозначения старших производных по Лейбницу удобны именно тем, что автоматически учитывают размерности, так что формулы выглядят одинаково при любой системе единиц.

Своих открытий в области анализа Ньютон не опубликовал. Он только сообщил Лейбницу, что умел «сравнивать площади любых фигур за половину четверти часа». Не знаю, достигается ли этот уровень владения анализом современными первокурсниками.