§ 30. Алгебраически неквадрируемые кривые с особенностями

Таким образом, все бесконечно гладкие овалы алгебраически неквадрируемы (даже локально). Более того, рассуждения Ньютона доказывают локальную алгебраическую неквадрируемость бесконечно гладких невыпуклых замкнутых несамопересекающихся кривых и даже многих кривых с особенностями.

Рис. 34. Локально алгебраически неквадрируемые кривые с точками возврата

Локально алгебраически неквадрируемы все кривые, все особые точки которых являются точками возврата!

в частности кривые, заданные уравнениями или (рис. 34), или кривые с особенностями типа где нечетно, и т. п.

Ньютон замечает, что для того, чтобы гарантировать локальную алгебраическую неквадрируемость, достаточно потребовать, чтобы к точкам замкнутой кривой не подходили «сопряженные ветви кривой, уходящей на бесконечность». Видимо, он имел в виду примеры вроде рис. 30 и 32, где такие «сопряженные ветви» есть.

В действительности, слова «уходящие на бесконечность» поставлены тут по ошибке, нужно обязательно потребовать отсутствия каких бы то ни было самопересечений. Достаточное условие отсутствия самопересечений на замкнутой кривой, удовлетворяющей уравнению состоит в том, что многочлен Р обращается в нуль ровно в двух точках окружности с центром в любой точке кривой, если радиус окружности достаточно мал (более ученое условие отсутствия самопересечений таково: овал является взаимно однозначным образом одной из вещественных компонент связности своей нормализации).

Методом Ньютона доказывается

Теорема. Все несамопересекающиеся в указанном смысле алгебраические кривые алгебраически неквадрируемы (даже локально).

Напротив, самопересекающая замкнутая кривая вполне может оказаться локально алгебраически квадрируемой (эту возможность Ньютон почему-то упустил, когда писал «уходящие на бесконечность»). Примером является лемниската (не Бернулли) (рис. 27):

— алгебраическая функция.

Но и для самопересекающихся кривых алгебраическая квадрируемость — редкость.

Из рассуждений Ньютона видно, что суммарная площадь, ограниченная самопересекающейся замкнутой локально алгебраически квадрируемой кривой (с учетом

знаков), равна нулю. Например, лемниската алгебраически квадрируема лишь потому, что обе петли лемнискаты дают в суммарную площадь противоположные вклады. И если продеформировать лемнискату так, чтобы модули площадей петель стали неравными, то она утратит локальную алгебраическую квадрируемость.