Добавление 2. ЛЕММА XXVIII ИЗ PRINCIPIA НЬЮТОНА

«Не существует такой замкнутой овальной кривой, для которой площадь, отсекаемая произвольно проводимыми прямыми, определялась бы в общем виде уравнениями с конечным числом членов и конечной степени.

Пусть внутри овала взята какая-нибудь точка, около которой, как около полюса, равномерно вращается прямая линия, и одновременно из полюса выходит точка и движется по этой прямой со скоростью, пропорциональной квадрату длины отрезка этой прямой, заключенного внутри овала, между полюсом и периметром. При таком движении точка описывает спираль из бесчисленного множества оборотов. Если бы часть площади овала, отсекаемая сказанной прямой, могла бы быть найдена при помощи алгебраического уравнения с конечным числом членов, то при помощи того же уравнения нашлось бы и расстояние точки спирали до полюса, которое этой площади пропорционально; следовательно, все точки

спирали могли бы быть найдены при помощи конечного алгебраического уравнения, поэтому и точки пересечения с какой угодно заданной по положению прямой определялись бы при помощи алгебраического уравнения конечной степени. Но всякая неопределенно продолженная прямая пересекает спираль в бесконечном числе точек, уравнение же, с помощью которого находятся точки пересечения двух линий, доставляет их всеми своими корнями и в том же числе, следовательно, степень уравнения должна быть такою же, каково число точек пересечения.

Так, например, два круга пересекаются в двух точках, и каждая из них находится не иначе, как при помощи уравнения второй степени, которым определяется вместе с нею и вторая точка пересечения. Два конических сечения могут пересекаться в четырех точках, и эти точки, вообще, нельзя найти иначе, как при помощи уравнения четвертой степени, которым они все определяются совместно. Это происходит потому, что если бы искать каждое из этих пересечений в отдельности, то так как для них для всех условия одни и те же, то и вычисление для каждого пересечения будет то же самое, поэтому и получится одно и то же окончательное уравнение, которое должно доставлять все пересечения совместно, полно и безразлично. Таким образом, пересечения конического сечения и кривой третьего порядка, так как их может быть шесть, доставляются совместно уравнением шестой степени; пересечения двух кривых третьего порядка, которых может быть девять, доставляются уравнением девятой степени. Если бы это могло быть иначе, то все задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, можно было бы сводить на задачи плоские, т. е. решаемые при помощи уравнений первой и второй степени. Все же задачи высших степеней — к задачам третьей степени (48). Здесь я говорю о кривых неприводимых, ибо если уравнение, определяющее кривую, может быть приведено к уравнению низшей степени, то эта кривая не простая, а составленная из двух или нескольких, которых пересечения и могут быть находимы в отдельности для каждой. Таким образом, пересечения двух прямых и конического сечения доставляются всегда уравнениями второй степени, трех прямых и неприводимой кривой третьего порядка — уравнениями третьей степени, четырех прямых и неприводимой кривой четвертого порядка — уравнениями четвертой степени и т. д. до бесконечности.

Следовательно, бесчисленное множество точек пересечения прямой и спирали, так как эта кривая простая и неприводимая, потребуют для своего определения уравнения с бесконечным числом корней и бесконечно большой степени, которое могло бы доставить все пересечения совместно, ибо для всех них один и тот же закон и одно и то же вычисление. Если из полюса опустить на сказанную секущую перпендикуляр и вращать его вместе с секущей около полюса, то пересечения спирали будут переходить одно в другое; то, которое было первым или ближайшим к основанию перпендикуляра, через один оборот станет вторым, после двух оборотов — третьим и т. д., между тем самое уравнение не иначе может измениться, как только от изменения величины тех количеств, которыми определяется положение самой секущей. А так как после каждого полного оборота эти количества принимают свои прежние значения, то и уравнение вновь принимает свой первоначальный вид и, следовательно, будучи единственным и оставаясь неизменным, должно доставить все точки пересечения в бесконечном числе, следовательно, оно должно иметь бесчисленное число корней. Итак, нельзя определить, вообще, пересечения прямой и спирали при помощи конечного уравнения, поэтому и не существует замкнутого овала, коего площадь, отсекаемая произвольно взятою прямой, могла бы выражаться в общем виде при помощи таких уравнений.

Подобным же образом, взяв за расстояние между полюсом и подвижною точкою, описывающей спираль, длину, пропорциональную отсекаемой части периметра овала, можно доказать, что длина периметра не может быть найдена вообще при помощи уравнений конечной степени. Под замкнутым овалом я разумею здесь такие кривые, которые не касаются сопряженных с ними кривых, уходящих в бесконечность.

Следствие. Таким образом, для эллипса площадь, описываемая радиусом, проводимым из фокуса к движущемуся телу, не может быть получена по данному времени при помощи конечного алгебраического уравнения, и поэтому не может быть определена пересечением эллипса с геометрически рациональной (алгебраической) кривой. Я называю геометрически рациональными (алгебраическими) кривыми такие, все точки которых определяются при помощи длин, определяемых в свою очередь алгебраическими уравнениями, т. е. при помощи сложных и составных отношений между длинами. Прочие же кривые

(как спирали, квадратрисы, трохоиды) я называю геометрически иррациональными (трансцендентными), подобно тому как длины называются арифметически рациональными, если они относятся друг к другу, как целое число к целому, если же такого отношения не существует — то арифметически иррациональными, как о том сказано в книге X «Элементов».

Отсечение же от эллипса площади, пропорциональной времени, при помощи геометрически иррациональной кривой исполняется следующим образом...»

Фраза об отсутствии уходящих на бесконечность ветвей вставлена Ньютоном лишь во втором издании, в 1714 году. По-видимому, Ньютону не были известны замечания Лейбница и Гюйгенсаз критиковавших текст 1687 года.

«Я не считаю возможным приписать Ньютону его предложение, так как он никак не использует природу того, что он называет овалом, а только то, что это замкнутая кривая, замыкающаяся после одного оборота, что не исключает даже случаи квадрата или треугольника» — писал Гюйгенс Лейбницу в 1691 году (49).

«Ньютон, для защиты невозможности квадратуры овалов, должен бы был ответить, что такой овал [образованный дугами двух парабол] не настоящий и не составлен одной обегающей его кривой, как того требует, по-видимому, его рассуждение, ибо одна из парабол при продолжении не пойдет по другой. Но Ваша кривая в форме восьмерки действительно обегаема, и его рассуждение применимо к ней, хотя она и не совсем имеет форму овала; итак, по его рассуждению она не должна бы быть квадрируемой общим образом [иметь алгебраические площади сегментов]. Было бы полезно рассмотреть само его рассуждение, чтобы понять, чего же в нем не хватает. Что касается круга или эллипса, то невозможность их общего квадрирования доказана в достаточной мере, но я еще не видел никакого доказательства неквадрируемости целого круга или какой-либо определенной его части» — писал Лейбниц Гюйгенсу 10/20 апреля 1691 года (49).

Кривая в форме восьмерки — лемниската «не Бернулли» обсуждавшаяся Гюйгенсом в предыдущих письмах. Таким образом, ошибка как исходного, так и исправленного текста Ньютона была замечена Гюйгенсом еще до того как Ньютон внес исправления.

Фразы о неприводимости кривых также вставлены лишь во второе издание. Непонятно, зачем Ньютону потребовалось пересекать кривую третьей степени с тремя прямыми, четвертой — с четырьмя и т. д. До внесения упоминания о неприводимости это место допускало иное толкование: пересечение (прямой) с кривой третьей степени, как и с тремя прямыми, отыскивается с помощью кубического уравнения, с кривой четвертой степени, как и с четырьмя прямыми, — с помощью уравнения четвертой степени и т. д.

В таком случае это место может рассматриваться как план очень простого топологического доказательства теоремы Везу: при подсчете числа точек пересечения двух кривых можно кривую заменить прямыми, число которых равно степени кривой (поскольку для кривых данных степеней общего положения число комплексных точек пересечения не зависит от специального выбора кривых, его достаточно посчитать для кривых, близких к полностью распавшимся на прямые; для них же число точек пересечения такое же, как для полностью распавшихся кривых, т. е. равно произведению степеней).

Ньютон по поводу доказательства теоремы Безу ссылается на то, что иначе кубические иррациональности сводились бы к квадратичным и т. д. — можно также сказать, что он ссылается на неразрешимость проблемы резольвент или тринадцатой проблемы Гильберта для алгебраических функций (в отличие от теоремы Безу, эти утверждения в общем случае не доказаны и сегодня). Впрочем, нужная Ньютону часть теоремы Безу очевидна.

Непонятно, для чего Ньютон опускает перпендикуляр на подвижную прямую: для доказательства достаточно ограничиться прямыми, проходящими через центральную точку, и от нее и начинать отсчет. По-видимому, Ньютон для чего-то хотел рассматривать площадь как функцию прямой, определенную для всех прямых (вопреки мнению, что он избегал функций многих переменных, здесь сразу вводится, в духе преобразования Радона, интегральной геометрии или томографии, функция на многообразии прямых).

Связь между трансцендентностью фукций и трансцендентностью чисел, на которую намекает Лейбниц в в конце цитированного письма Гюйгенсу, глубже, чем кажется на первый взгляд (см. 7-ю проблему Гильберта).