§ 31. Доказательство Ньютона и современная математика

Теорема Ньютона переносится на гиперповерхности в четномерном пространстве (В. А. Васильев, 1988). В нечетномерном пространстве дело обстоит сложнее. Например, в трехмерном случае объем сферического сегмента алгебраически зависит от отсекающей его плоскости (теорема Архимеда). Отличные от эллипсоидов алгебраически квадрируемые тела мне неизвестны, но, как показал В. А. Васильев, если они и существуют, то только очень специального вида. Очевидные связи этого вопроса с теорией особенностей, интегральной геометрией и томографией, вероятно, позволяют его решить.

Сегодня идеи, на которых основано доказательство Ньютона, называются идеями аналитического продолжения и монодромии. Они лежат в основе теории римановых поверхностей и ряда отделов современной топологии, алгебраической геометрии и теории дифференциальных уравнений, связанных прежде всего с именем Пуанкаре, — тех отделов, где анализ скорее сливается с геометрией, чем с алгеброй.

Забытое (44) доказательство Ньютона алгебраической неквадрируемости овалов было первым «доказательством невозможности» в математике нового времени — прообразом будущих доказательств наразрешимости алгебраических уравнений в радикалах (Абель) и неразрешимости дифференциальных уравнений в элементарных функциях или в квадратурах (Лиувилль), и Ньютон недаром сравнивал его с доказательством иррациональности корней квадратных в «Началах» Евклида.

Сравнивая сегодня тексты Ньютона с комментариями его последователей, поражаешься, насколько оригинальное изложение Ньютона современнее, понятнее и идейно богаче, чем принадлежащий комментаторам перевод его геометрических идей на формальный язык исчисления Лейбница.