§ 8. Многоугольник Ньютона

Кроме степенных рядов, в которые раскладывались решения дифференциальных уравнений, Ньютон пользовался и дробно-степенными, применяющимися, когда

надо найти разложение для алгебраической функций заданной уравнением Пусть, например, надо решить алгебраическое уравнение

Тогда, говорит Ньютон, надо сделать следующее преобразование (сейчас аналогичные преобразования называют преобразованиями Фурье, но в данном случае это все-таки преобразование Ньютона). Многочлен перестают считать функцией переменных х и у, а рассматривают его как функцию на целочисленной решетке на плоскости. В точке с координатами эта функция принимает значение, равное коэффициенту многочлена при хтуп. Теперь отметим на решетке точки, соответствующие одночленам с ненулевыми коэффициентами, и возьмем их выпуклую оболочку. Получится многоугольник Ньютона (рис. 7).

Рис. 7. Многоугольник Ньютона

Оказывается, что одночлены, которые соответствуют вершинам, оказавшимся внутри многоугольника, на форму ряда не влияют, про них пока можно забыть, а рассматривать надо только стороны. Например, стороне на рис. 7 отвечает двучленное уравнение

Решив это уравнение, забыв пока про все остальное, найдем у как функцию от Эта функция дает хорошее приближение около нуля к решению нашего уравнения. Если мы хотим найти следующее приближение, то надо написать и подставить это в исходное уравнение. После подстановки снова получится алгебраическое уравнение, но теперь относительно с которым надо поступать точно так же. Итерируя этот процесс, мы получим дробно-степенной ряд (теперь он называется рядом Пюизо), который дает решение уравнения в окрестности начала координат. Этот метод всегда действует. Если бы мы начали с другой стороны многоугольника, то пришли бы к другому ряду, который соответствует другой ветви алгебраической функции. Сторона на рис. 7 отвечает за асимптотику на бесконечности.

Я рассказал здесь этот небольшой кусочек из работы Ньютона, которой он очень гордился и которая помещена в том же самом письме 1676 года Ольденбургу, отчасти

потому, что его, к сожалению, не рассказывают студентам на первом курсе, хотя это основной рабочий аппарат в локальном анализе, и к тому же очень красивый. В современной математике многоугольники (и многогранники) Ньютона включаются в геометрию торических многообразий, возникшую около 1973 года, а в физике и в механике — в теории подобия, размерностей и автомодельности.

Письмо к Ольденбургу предназначалось, как уже говорилось, Лейбницу. Но Лейбниц жил в Германии, а Ньютон жил в Англии, и в те времена было небезопасно переписываться с иностранными учеными. Ньютон письма Лейбницу не посылал, а отправил его секретарю Королевского общества Ольденбургу, чтобы письмо дошло официальным путем. Ольденбург же передал это письмо Лейбницу. Предосторожность Ньютона не была излишней. Чересчур общительного Ольденбурга заключили в Тауэр за связь с иностранцами.