§ 6. Доказал ли Ньютон эллиптичность орбит?

В заключение рассказа о законе всемирного тяготения стоит сказать несколько слов о дискуссии, которая развернулась вокруг него в самые последние годы в физических журналах. В прошлом такая дискуссия была бы невозможной, но теперь ситуация изменилась благодарятому, что дух современной математики проник и в ряды физиков, нанеся им, как это сейчас станет ясно, некоторый ущерб. Они начали сомневаться в таких вопросах, о которых раньшеникто бы и разговаривать всерьез не стал. В этой дискуссии приняло участие большое число физиков (отчет о ней можно прочесть в одном из выпущенных недавно сборников «Физика за рубежом» (10), а тема спора формулировалась следующим образом: доказал ли Ньютон, что из закона всемирного тяготения следует первый закон Кеплера?

В действительности, речь идет вот о чем. Для траектории движущегося под действием силы тяжести тела законы Ньютона дают дифференциальное уравнение

Вместо того чтобы решать его по всем правилам науки, Ньютон в своей книге предъявил много решений этого уравнения и проверил, что для любого начального условия среди них имеется удовлеворяющее ему решение. Иными словами, для любой точки и вектора в пространстве во множестве найденных Ньютоном орбит найдется такая, которая в начальный момент проходит через эту точку и имеет там данный вектор скорости. При этом, если начальная скорость тела не слишком велика, то орбита получается эллиптической. Но кто сказал, спрашивают искушенные в математических тонкостях физики, что не существует какой-нибудь другой траектории, удовлетворяющей тем же самым начальным условиям, по которой тело движется, соблюдая закон всемирного тяготения, но совершенно иначе? Математики знают, что отсутствие такой другой траектории называется теоремой единственности. Таким образом, чтобы выводить из закона

всемирного тяготения, что тела движутся так, а не иначе, Ньютону надо было не только предъявить много решений дифференциального уравнения, но и доказать для него теорему единственности. Доказывает он ее? Нет. Ну, тогда и пользоваться этим законом для описания действительности тоже, вообще говоря, нельзя, пока не доказана теорема единственности. Кто это сделал первым? Иоганн Бернулли. Значит, это он, а не Ньютон, вывел закон Кеплера из закона всемирного тяготения, ему и должна принадлежать вся слава. Вот как говорят физики, участвовавшие в дискуссии, повторяя давно сказанное математиками (например, в книге А. Винтнера 1941 года).

На самом деле весь этот спор основан на глубоком заблуждении. Современные математики действительно различают теоремы существования и теоремы единственности для дифференциальных уравнений и даже приводят примеры уравнений, для которых теорема существования выполнена, а теорема единственности нет (41). Так что возможны различные неприятности, и, если бы уравнение Ньютона было неприятным, действительно нельзя было бы делать никаких выводов. Ошибочная точка зрения происходит из-за неоправданного расширения класса рассматриваемых функций. Дело в том, что в современной математике понятия функция, векторное поле, дифференциальное уравнение приобрели иной смысл по сравнению с классической математикой. Говоря о функции, мы можем иметь в виду довольно скверный объект — нечто один раз дифференцируемое или даже ни разу, при этом мы должны задумываться о содержащем его функциональном классе и т. д. А во времена Ньютона под словом функция поникли только очень хорошие вещи. Иногда это были много лены, иногда рациональные функции, но во всяком случае все они были аналитическими в своей области определения и разлагались в ряды Тейлора. В этом случае теорема единственности никакой проблемы не представляет, и о ней тогда просто никто не думал.

Но в действительности у Ньютона все доказано и по более строгим меркам. Верна такая теорема.

Пусть имеется дифференциальное уравнение

и пусть для любого начального условия а предъявлено решение причем это решение гладким (т. е. бесконечно дифференцируемым) образом

зависит от а. Тогда для этого уравнения верна теорема единственности.

Теорема эта доказывается очень легко. Из существования гладко зависящего от начальных данных решения следует, что существует (локальный) диффеоморфизм, который выпрямляет исходное поле направлений, приводя его к стандартному виду поля горизонтальных направлений (наше решение и дает этот диффеоморфизм: . А для выпрямленного поля теорема единственности, очевидно, выполнена, так как уравнение принимает вид

Таким образом, из существования решения единственность, вообще говоря, не следует, но все будет в порядке, если предъявленное решение гладко зависит от начального условия.

Посмотрим, что было у Ньютона. Он для каждого начального условия предъявил решение, описал его, и из этого описания сразу становилось ясно, что указанное решение гладким образом зависит от начального условия. Итак, сомнений в единственности нет, и Ньютон правильно доказал первый закон Кеплера.

Можно, конечно, возразить, что Ньютон не знал этой теоремы. Действительно, он ее не формулировал в таком виде, как это сейчас сделали бы мы. Но по существу он ее наверняка знал, так же как и многие другие приложения теории возмущений, - математический анализ Ньютона в значительной мере и есть далеко развитая теория возмущений.

Ньютон заметил, что законы природы выражаются изобретенными им дифференциальными уравнениями. Отдельные, и порой очень важные, дифференциальные уравнения рассматривались и даже решались и раньше, но именно Ньютону они обязаны своим превращением в самостоятельный и очень мощный математический инструмент.