Глава 5. ВТОРОЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА И ТОПОЛОГИЯ АБЕЛЕВЫХ ИНТЕГРАЛОВ

§ 25. Теорема Ньютона о трансцендентности интегралов

В Principia есть две чисто математические страницы, содержащие удивительно современное топологическое доказательство замечательной теоремы о трансцендентности абелевых интегралов (42).

Затерянная среди небесно-механических исследований, эта теорема Ньютона почти не обратила на себя внимания математиков. Возможно, это произошло потому, что топологические рассуждения Ньютона обогнали уровень науки его времени на пару сотен лет. Доказательство Ньютона в сущности основано на исследовании некоторого эквивалента римановых поверхностей алгебраических кривых, поэтому оно непонятно как с точки зрения его современников, так и для воспитанных на теории множеств и теории функций действительного переменного математиков двадцатого века, боящихся многозначных функций. К тому же Ньютон очень краток и не объясняет очевидные для него, но вошедшие в общематематический обиход много позже факты. Вдобавок, доказав теорему, он сообщает напоследок и об известных ему контрпримерах к ней.

Рис. 27. Лемниската (не Бернулли) — алгебраическая кривая линия уровня энергии на фазовой плоскости частицы, движущейся в силовом поле с двумя симметричными потенциальнымиямами Кривая на плоскости называется алгебраической, если она удовлетворяет уравнению где Р — ненулевой многочлен. Например, окружность алгебраическая кривая. Алгебраическими кривыми являются эллипсы, гиперболы, лемниската (не Бернулли) (рис. 27). Синусоида — не алгебраическая кривая (почему?).

Функция называется алгебраической, если ее график—алгебраическая кривая. Например, -двузначная алгебраическая функция.

Рассмотрим алгебраический овал (замкнутую выпуклую алгебраическую кривую).

Определение. Овал называется алгебраически квадрируемым, если площадь любого его сегмента выражается алгебраически.

Рис. 28. Площадь как функция от неалгебраична

Иными словами, площадь сегмента, отсекаемого прямой (рис. 28), должна быть алгебраической функцией от прямой, т. е. должна удовлетворять алгебраическому уравнению где Р — ненулевой многочлен.

Замечание. Если овал алгебраически квадрируем, то и площадь сектора, отсекаемого от него углом с лежащей внутри овала вершиной, является алгебраической функцией от прямых, образующих угол. Ибо площадь треугольника, отличающего сектор от сегмента, алгебраична (подробности см. ниже в § 29).

Ньютон поставил себе целью найти все алгебраически квадрируемые овалы. Его результат таков:

Теорема. Всякий алгебраически квадрируемый овал имеет особые точки: все гладкие овалы алгебраически не квадрируемы.

Пример. Эллипс алгебраически не квадрируем. Отсюда следует, что уравнение Кеплера, определяющее положение планеты на кеплеровом эллипсе как функцию времени (в соответствии со вторым законом Кеплера, по которому площадь, заметенная радиус-вектором, пропорциональна времени), — трансцендентное и не может быть решено в алгебраических функциях.

Этот пример и привел Ньютона к его общей теореме. Удивительна теорема потому, что на первый взгляд между алгебраической квадрируемостью и особыми точками не видно никакой связи.

Замечание. В современных обозначениях уравнение Кеплера имеет вид Это уравнение сыграло большую роль в истории математики. Со времен Ньютона решение искали в виде ряда по степеням эксцентриситета Ряд сходится при

Исследование происхождения этой загадочной константы привело Коши к созданию комплексного анализа.

Такие фундаментальные математические понятия и результаты как функции Бесселя, ряды Фурье, топологический индекс векторного поля и «принцип аргумента» теории функций комплексного переменного также впервые появились при исследовании уравнения Кеплера.

Доказательство теоремы Ньютона.

Выберем точку О внутри овала и будем поворачивать выходящий из нее луч. Если овал алгебраически квадрируем, то площадь, заметаемая радиус-вектором точки овала (рис. 29) должна быть алгебраической функцией от тангенса угла наклона луча к оси

Рис. 29. Заметенная радиус-вектором площадь как функция от не алгебраична

Заставим луч обегать овал снова и снова. При каждом обороте заметенная площадь будет увеличиваться на всю величину площади, ограниченной овалом. Следовательно, заметенная площадь, рассматриваемая как многозначная функция от , имеет для одного и того же положения луча бесконечно много различных значений.

Но алгебраическая функция не может быть бесконечно многозначной, так как число корней ненулевого многочлена не превосходит его степени.

Следовательно, заметенная площадь — не алгебраическая функция, а потому овал алгебраически не квадрируем.

Ньютон замечает, что такое же рассуждение доказывает и неалгебраичность длины дуги овала.