ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ТЕОРИЯ

— совокупность знаний о свойствах электрических и магнитных цепей, о закономерностях и методах анализа протекающих в них процессов, о методах синтеза таких цепей по принятым критериям качества. Областью исследования Э. ц. т. являются такие устр-ва и сигналы в цепях, характеристики и условия наблюдения которых таковы, что в некоторой ограниченной области простр. существенно проявляется лишь одна сторона электромагн. процесса. Это обстоятельство позволяет перейти от распределенных в простр. векторных величин составляющих напряженности электр. поля, вектора электр. смещения, вектора плотности электр. тока, вектора напряженности магн. поля и вектора магн. индукции к таким интегральным понятиям, как эдс, напряжение, электр. заряд, ток, магн. поток, и от реальных электр. и магн. цепей (РЦ) к гра-фо-аналитической абстракции, выражаемой в представлении РЦ в различной форме через набор идеальных электр. и магн. элементов (электр. и магн. сопротивлений, емкостей, индуктивностей, источников напряжений, токов и потоков и пр.), отражающий осн. явления, происходящие в реальном устр-ве.

Совокупность электр. элементов, предназначенная для интерпретации реального устр-ва, электромагн. процессы в котором можно описывать с помощью понятий об эдс, токе и напряжении, наз. идеальной электрической цепью (ЭЦ). Аналогично совокупность магн. элементов, предназначенная для интерпретации реального устр-ва с образующими замкнутые контуры ферромагнитными телами, в которых при наличии магнитодвижущих сил образуются магн. потоки, наз. идеальной магнитной цепью (МЦ). При наличии в реальном электр. устр-ве электронных ламп, транзисторов, фоторезисторов, полупроводниковых диодов и др. электронных элементов интерпретирующий набор элементов наз. электронной цепью.

Представление реальной цепи посредством идеальной выполняют, учитывая характеристики используемых сигналов, т. к. они существенно влияют на степень абстракции протекающих физ. процессов. Напр., для определенного типа проволочного резистора наиболее существенным параметром на низких частотах является активное сопротивление, а на высоких — емкостное. В то же время для среднего диапазона частот нельзя пренебрегать ни активной, ни реактивной составляющей сопротивления, и в этом случае данный резистор целесообразно рассматривать как сложную RLC-цепь. Следовательно, интерпретация реального резистора идеальными электр. элементами должна быть различной в зависимости от спектра частот рабочих сигналов цепи. Если же рассматривать ЭЦ и МЦ, то для них возможны формальные определения и формальные

преобразования, основывающиеся на совокупности некоторых понятий, не связанных с сигналами. Абстрагирование цепи до уровня объекта исследования, независимого от сигнала, позволяет локализовать собственные свойства цепей безотносительно к характеристикам сигналов, а тем самым и выполнить важные обобщения в рамках единой теории абстрактных цепей. В связи с этим современный подход в Э. ц. т. связывается с применением фундаментальной теории пространства состояний (фазового пространства), согласно которой цепи рассматривают с позиции теории систем и соответствующих ей понятий: объект, состояние, вход, выход, эквивалентность, устойчивость систем и состояний и т. п. Сущностью теории систем является отыскание не физ. аналогий в осн. свойствах исследуемой системы, а матем. связей между ними, вследствие чего изучение систем, в том числе и цепей, сопровождается решением в том или ином виде следующих проблем: а) выявление осн. свойств объектов, входящих в состав системы; б) определение соотношений между этими свойствами; в) представление взаимодействия между различными объектами в виде соотношений между их свойствами; г) составление полной совокупности соотношений между свойствами системы; д) составление ур-ний связи между свойствами, изменяемыми экспериментатором (входы), и свойствами, которые наблюдаются, но непосредственному изменению не подлежат (выходы).

Э. ц. т. включает в себя две осн. области исследования — анализ и синтез ЭЦ и МЦ. Анализ цепей связан с решением задач нахождения состояний, напр., расчета распределения токов, напряжений, зарядов и потокосцеплений в элементах цепи, задач устойчивости электрич. и магн. цепей как систем, задач по определению чувствительности к изменениям характеристик и т. д. При этом число независимых ур-ний, которое обычно можно составить, равно числу неизвестных, благодаря чему задачи анализа сопровождаются решением определенных систем ур-ний. Задачи же синтеза цепей сложнее и заключаются в разработке методов построения цепей с заданными свойствами, напр., для электронных цепей одной из важных задач синтеза является задача построения цепей, описываемых желаемыми матем. ур-ниями. В задачах синтеза цепей число ур-ний, которое можно составить, обычно меньше числа неизвестных, поэтому и решение их практически всегда неоднозначно.

Реальная электр. цепь — это объект, состоящий из совокупности проводящих тел и сред, образующих замкнутые пути для электр. тока. А поскольку интерпретирующая ее ЭЦ является абстрактным образом, то в зависимости от назначения и форма представления ЭЦ различна: схема соединения, геом. образ, матричная форма представления и др. Важное практ. значение имеет материальное воплощение абстрактной ЭЦ в набор реально соединенных физ. элементов, характеристики которых максимально приближены к идеальным. Это позволяет создавать моделирующие устр-ва для анализа и исследования сложных РЦ и ЭЦ и конструировать новые приборы с наперед заданными характеристиками.

В основе большинства методов анализа ЭЦ лежит идея расчленения их на составные части — элементы цепи. Элементы разделяются на пассивные (резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы и пр.) и активные (источники тока, источники напряжения, электронные лампы, транзисторы и пр.). Совокупность взаимосвязей между элементами образует схему соединения. Схема соединения ЭЦ без указания характера элементов наз. ее геом. образом. Те элементы ЭЦ, которые могут соединяться с остальными только двумя полюсами (зажимами), наз. двухполюсниками. Аналогично вводят понятия о трехполюсниках, четырехполюсниках и вообще о многополюсниках. Точки, в которых соединяются три и более полюсов, наз. узлами ЭЦ; части, соединяющие два любых узла — ее ветвями, а любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям — контуром ЭЦ. Процессы, происходящие в ЭЦ, подразделяются на установившиеся (стационарные) и переходные (нестационарные), а сами ЭЦ, в зависимости от реакции на процессы — на линейные и нелинейные, и в зависимости от соотношений между длиной волны переменного сигнала и фазового распределения вдоль каждой ветви — на ЭЦ с сосредоточенными и ЭЦ с распределенными параметрами.

В зависимости от целей анализа свойства ЭЦ могут быть выражены различными способами, напр., при помощи алгебр, или дифф. ур-ний или путем определения реакции цепи на воздействие на входы определенных элементарных ф-ций. Если известна реакция цепи на элементарную ф-цию, то для линейных ЭЦ реакцию на произвольный входной сигнал можно определить на Основе принципа суперпозиции (принципа наложения, см. Расчета электрических цепей методы).

В качестве элементарных ф-ций часто используют синусоидальные сигналы и соответствующие им разложения входных сигналов в ряд или интеграл Фурье (методы преобразования Фурье). Однако, методам преобразования Фурье присущ существенный недостаток — с их помощью можно получать лишь составляющие установившегося режима, поэтому в общем случае нельзя получать выходной сигнал как функцию времени.

Трудности преобразований Фурье в значительной мере устраняются переходом в область комплексного переменного с выполнением интегрирования в комплексной плоскости. Соответствующее преобразование, являющееся обобщением интеграла Фурье, носит название преобразования Лапласа. Оно используется для решения дифф. ур-ний и определения реакции цепей на непрерывные сигналы, а также для решения разностных ур-ний и определения реакции на дискретные сигналы. Однако для последних целей наиболее

удобным оказывается применение специально разработанного метода — -преобразования.

Достоинство методов преобразования заключается в том, что они позволяют исследователю оперировать не с дифф. ур-ниями, а с алгебраическими. Такое же достоинство свойственно и методу передаточных ф-ций, которые для цепей с постоянными параметрами могут быть определены как отношение преобразования Лапласа выходной величины к соответствующему преобразованию входной при наличии нулевых начальных условий.

Этот метод обладает еще и тем достоинством, что размерность передаточной ф-ции часто оказывается ниже размерности соответствующей системы алгебр, или дифф. ур-ний. Поскольку ЭЦ ввиду неединственности количества входов и выходов обычно относятся к классу многосвязных систем, то для них часто применяют понятие передаточной матричной ф-ции. Регулярное применение передаточные ф-ции находят при расчете процессов в ЭЦ и при анализе их устойчивости.

При применении к анализу ЭЦ метода пространства состояний уравнения цепи записываются в виде ур-ния состояния, которое для линейного случая ЭЦ в матрично-векторной форме имеет вид

где X — вектор переменных состояния, определяемый в -мерном пространстве координатами вектор входных ф-ций, определенный в -мерном пространстве; Y — вектор выходных ф-ций, определяемый в -мерном пространстве; основная матрица ЭЦ; матрицы связи ЭЦ.

При этом понятие состояния ЭЦ можно схематично охарактеризовать как минимальную информацию об ЭЦ, необходимую для определения при известной входной ф-ции ее выхода, а также ее состояний в будущем. Следовательно, состояние цепи в момент содержит всю ту информацию о прошлом цепи, которая необходима для определения реакции на произвольный входной сигнал в будущем По этой причине состояние цепи связывается с ее памятью, поэтому для -цепей компонентами вектора х должны быть токи в индуктивностях L и напряжения на конденсаторах С.

Традиционные методы анализа стационарных и нестационарных процессов в ЭЦ связаны с использованием трех групп ур-ний. Первая группа образуется из ур-ний, составляемых для отдельных элементов цепи с применением обобщенного закона Ома. Вторая — путем применения первого правила Кирхгофа. Третья группа ур-ний составляется на основе применения второго правила Кирхгофа. Для анализа динамических процессов в ЭЦ используют различные формы представления сигналов и параметров ЭЦ — комплексная, операторная, точечная и т. п. Метод ур-ний Кирхгофа и Ома из-за громоздкости применяют редко, так как имеются методы, для которых к-во требуемых вычислений можно существенно сократить, применяя ряд приемов и принципов. Различают методы анализа, для которых эффект уменьшения к-ва вычислений достигается применением методов формального преобразования собственно ЭЦ (методы трансфигурации, иначе, преобразования подсхем), и методы, общая идея которых заключается в особом выборе группы сигналов, характеризующих отдельные процессы в сложной ЭЦ, для которой можно составить и решить независимую систему ур-ний и через которую при помощи достаточно простых зависимостей можно выразить все оставшиеся неизвестные сигналы. Кроме того, существует отдельная группа методов расчета (прямые методы), которая позволяет в случае необходимости находить проще лишь искомые составляющие процесса в ЭЦ.

Методы трансфигурации основаны на возможности замены по определенным правилам как ЭЦ в целом, так и отдельных ее частей (подсхем) более простыми цепями. В результате такой замены система токов и напряжений не изменится (эквивалентные преобразования) или будет получена новая ЭЦ с иными сигналами, геом. образом и числом узлов и контуров, но такая, что между системой токов, напряжений, эдс и системой исходной ЭЦ будет сохранена заданная взаимосвязь (неэквивалентные преобразования). Простейшими примерами эквивалентных преобразований являются метод свертывания параллельных ветвей, метод эквивалентного генератора, метод преобразования -лучевой звезды в эквивалентный многоугольник и т. п. Методы трансфигурации применимы к расчету сколь угодно сложных линейных ЭЦ.

Ко второй группе методов — методам определяющих координат (неизвестных) — относятся: метод контурных токов, метод узловых напряжений и общий метод определяющих координат. Другим осн. направлением исследования Э. ц. т. является синтез цепей по заданной реакции на входной сигнал. Применительно к линейным ЭЦ (например, для фильтров) синтезом часто наз. определение структуры цепи и числовых значений составляющих ее элементов по известным операторным выражениям этой цепи или временным характеристикам при воздействии на вход сигнала определенной формы. Практ. решение этой задачи связано, во-первых, с выяснением возможности физ. реализации ЭЦ с реакцией, соответствующей заданной, при помощи обычных элементов (конденсаторов, индуктивностей, резисторов), поскольку конкретное решение задачи синтеза с помощью линейных пассивных ЭЦ может не существовать (напр., когда потребуется отрицательное сопротивление), и, во-вторых, с разработкой метода конкретной реализации цепи с заданной реакцией в виде схемы соединения, а

затем в виде физ. ЭЦ, поскольку решение может быть многозначным. Практически соответствие реакции ЭЦ заданной реакции возможно лишь для ограниченной области определения аргумента. Соответствие при этом является приближенным, поэтому в задачах синтеза ЭЦ вводят параметр, характеризующий степень близости получаемой реакции к желаемой.

Более широкие возможности открывает синтез цепей из нелинейных элементов, каковыми являются большинство электронных устр-в. Синтез электронных цепей является основой электронного матем. моделирования. При этом моделировании используют свойства электр. и электронных цепей (а иногда и магнитных), а также подобия теорию, автоматического управления теорию и многие области математики. Электронное моделирование занимается синтезом цепей, являющихся моделями раз- личных объектов (см. Аналоговая модель, Квазианалоговая модель, Модель переменной структуры, Модель физическая) и матем. операций, теор. вопросами построения соответствующих вычисл. и управляющих электронных установок, машин и устр-в (см. Аналоговая вычислительная машина) и методами решения с их помощью разнообразных задач (см. Электрические моделирующие сетки). В этом случае задачи синтеза можно сформулировать иначе. Так, для одной из групп моделирующих цепей под синтезом понимается определение для заданного набора элементов, образующих модели различных матем. операций (суммирования, умножения, интегрирования, функционального преобразования и т. п.), структуры цепи и числовых значений масштабных коэффициентов по заданным ур-ниям моделируемого объекта. Для квазианалоговых моделирующих цепей (см. Квазианалоговое моделирование) задача синтеза заключается в использовании принципа образования потенциально-нулевых узлов (см. Потенциально-нулевая точка) и принципа образования узлов с нулевыми собственными проводимостями (см. Нулевых собственных проводимостей узлов метод) при создании моделей.

В Э. ц. т. возникло новое направление — примевение электронных вычислительных машин для анализа и синтеза электронных, электрических и магнитных цепей (см. Машинное проектирование интегральных схем). Для этого направления характерно создание численных методов расчета алгебр, и дифф. ур-ний, строгая формализация осн. понятий Э. ц. т., в частвости, понятия синтеза цепей, разработка формальных языков для описания цепей и т. п. Применение ЭЦВМ накладывает свой отпечаток на выбор удобной системы параметров и на критерий оптимальности методов анализа и синтеза цепей.

Лит.: 3елях Э. В. Основы общей теории линейных электрических схем. М., 1951 [библиогр. с. 325— 332]; Нейман Л. Р., Калантаров П. Л. Теоретические основы электротехники, ч. 1-3. М.- Л., 1959; Атабеков Г. И. Теория линейных электрических цепей. М., 1960 [библиогр. с. 696—699]; Пухов Г. Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых электронных цепей. К., 1967 [библиогр. с. 560—564]; Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники, т. 1—2. Л., 1967; Ланнэ А. А. Оптимальный синтез линейных электрических цепей. М., 1969 [библиогр. с. 279—292]; Максвелл Д. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. Пер. с англ. М., 1952; Мэзон С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и системы. Пер. с англ. М., 1963. В. В. Аристов.