4.5.1. ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ ПРИ УЧЕТЕ ТОЛЬКО ШУМА В КАНАЛЕ СВЯЗИ

Если допустить, что в канале связи совсем нет искажений и помех, то на приеме в точках отсчета получаются точные значения передаваемого сигнала. Решение о том, какое из несущих информацию значений имеется налицо, принимается с помощью пороговой схемы. Если на передачу (а практически это всегда так) влияют шумы, то существует некоторая конечная вероятность того, что

значение сигнала изменится так, что приемник отождествит его с другим, отличным от посланного, состоянием сигнала, т. е. появится ошибка. Чтобы можно было установить, как велика вероятность такого рода ошибки в практической системе, целесообразно сначала исследовать систему передачи в первичной полосе частот.

Если передаются различных уровней, которые могут принимать значения и появляются одинаково часто, то средняя мощнссть ступенчатой функции времени, с помощью которой передаются данные, определяется выражением [4.53]

Чтобы ограничить передаваемую мощность используемой полосой частот канала связи, необходимо ограничить в передатчике бесконечно широкий спектр указанной функции времени. Одновременно желательно ограничение полосы и в приемнике с тем, чтобы сохранить малой мощность шума, пропорциональную полосе пропускания фильтра, установленного на приеме.

При последующем анализе системы передачи в первичной полосе частот будем предполагать, что ее общая передаточная функция имеет вид

т. е. имеет место прямоугольное ограничение полосы частот.

Как уже было отмечено выше, желательно иметь фильтры как на входе, так и на выходе канала связи. Поскольку, однако, общая передаточная функция задана, ее разлагают на два сомножителя, один из которых выражает передаточную функцию фильтра передатчика, а другой -фильтра приемника. При линейных методах передачи и при условии ограниченной мощности на входе канала оптимальным оказывается такое разложение, при котором фильтры передатчика и приемника имеют одинаковые по модулю передаточные функции [4.24]:

Фазовые характеристики фильтров при этом произвольны, за исключением одного условия — их сумма должна соответствовать передаточной функции требуемой при выбранном методе передачи. При применении нелинейных методов модуляции — ЧМ и ФМ - найти оптимальное разложение не так просто [4.32].

При указанных выше допущениях для идеального канала мощность сигнала в приемнике [4.24]

или с учетом (4.40)

Если пороговые уровни в приемнике выбраны равными то ошибка всегда возникает в том случае, когда значение шума в момент отсчета превысит .

Рис. 4.49. Диаграмма, поясняющая правило решения при приеме четырехпозиционного сигнала

Для дисперсии шума на решающем блоке приемника (который согласно поясненному на рис. 4.49 алгоритму ставит в соответствие значению сигнала в момент близлежащее разрешенное значение) с учетом ограничения спектра шума входным фильтром приемника, соотношения (4.41) и спектральной плотности шума получаем выражение

учетом (4.39) вероятность ошибки е. вероятность того, что значение шума превышает определяется соотношением

Разумеется, с конечной, но меньшей вероятностью в случае ошибки может быть превышен и следующий, более высокий порог. Однако при всех реальных значениях вероятности ошибки, при которых передача данных еще имеет смысл, вероятность превышения последующего порога на порядок меньше, чем соседнего, и поэтому может не учитываться.

Коэффициент 2 в (4.43) обусловлен тем, что ошибка возникает в двух случаях: когда значение шума больше и когда оно меньше - четная функция. Коэффициент появляется потому, что в крайнем из разрешенных значений сигнала не возникает ошибки, если величина помехи превышает в направлении «наружу», как это показано на рис. 4.49 для момента отсчета Поскольку предполагается, что все требуемые значения появляются одинаково часто, вероятность появления двух крайних значений получается равной

Так как мощность шума на входе приемника в интересующей нас полосе частот от до составляет

то с учетом (4.42) отношение мощности сигнала к мощности шума на приеме определяется равенством

Если выразить из него и подставить его в (4.43), то получим вероятность ошибки при линейной передаче -позиционными сигналами:

где

функция, для которой имеются таблицы (например, в [4.51, 4.53]).

Рис. 4.50. Вероятность ошибочного приема посылки при передаче в первичной полосе частот: кривая 1 — для двухпозиционного сигнала; кривая 2 — для четырехпозиционного сигнала

Полученная формула выражает вероятность ошибочного приема одной посылки, т. е. ошибку на одном тактовом интервале. При двоичной передаче она совпадает с вероятностью ошибки в бите. При многопозиционной передаче вероятность ошибки бите, зависит от вероятности ошибочного приема посылки и от применяемого кодирования (см. разд. 4.1.6). Поэтому в дальнейшем для многопозиционных сигналов указывается вероятность ошибочного приема посылки. Ее зависимость от отношения сига а для двухпозиционных и четырехпозицио ноных сигналов показала на рис. 4.50.

Часто, однако, представляет интерес не только вероятность ошибочного приема посылки при заданном отношении сигнал/шум, но и, наоборот, отношение сигнал/шум, при котором обеспечен прием с заданной вероятностью ошибки. Для этого случая получены простые и обычно достаточные по точности приближенные формулы