9. Какими цифрами могут начинаться и заканчиваться простые числа?

Последняя цифра простого числа, имеющего более чем одну цифру, не может быть четной, так как тогда число было бы и четным и, следовательно, было бы составным; последняя цифра не может быть и 5, так как в этом случае число было бы и делилось бы на 5 и, значит, было бы составным. Таким образом, последней цифрой простого числа может быть только 1, 3, 7 или 9.

Ничего больше о цифрах простых чисел, превосходящих 10, в частности о комплексах нескольких последних или нескольких первых цифр простых чисел, сообщить нельзя, так как имеет место следующая теорема:

Если имеются две произвольные конечные последовательности цифр (в десятичной системе счисления) где или 9, то существует достаточно большое простое число у которого первыми цифрами будут последовательно последними цифрами будут последовательно

Из этой теоремы, в частности, следует, что существуют простые числа, имеющие в начале и в конце достаточно большое число цифр, равных 1 (в средней части числа могут быть цифры, отличные от 1). Но существует ли бесконечное множество простых чисел, все цифры которых являются единицами, мы не знаем. Мы знаем лишь несколько простых чисел, все цифры которых суть единицы, например, 11 и Доказательство простоты последнего числа (предложенное М. Крайчиком)

сложно. Зато легко доказать, что если число, все цифры которого суть единицы, проетое, то число его цифр также должно быть простым. Это условие, однако, не является достаточным, так как, например,

Число имеющее 37 цифр, также составное.

Найдены простые числа, составленные не только из одних цифр 1, которые остаются простыми при каждой перестановке их цифр. Среди двузначных таковыми являются числа: и 73, 79 и 97, среди трехзначных — числа: 113, 131, 311; 199, 919, 991; 337, 373, 733. Мы не знаем других таких чисел и не знаем, конечно ли их число. Рихерт доказал, что для нет таких чисел, имеющих цифр, кроме простых чисел, все цифры которых суть единицы.

Л. Мозер нашел все простые числа < 100000, не меняющие своего значения, если их цифры выписать в обратном порядке. Их оказалось 102. Вот все такие числа < 1000: 101, 131, 151, 181, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929. Неизвестно, существует ли бесконечно много таких простых чисел.

Мы не знаем, существует ли бесконечное множество простых чисел, первая и последняя цифры которых суть единицы, а остальные — нули, как, например, число 101. Легко доказать, что такие простые числа должны быть вида где натуральное число, однако это условие не является достаточным, так как, например,

Нам известно много простых чисел, среди цифр которых нет ни одного нуля, но мы не знаем, конечно или нет множество таких чисел. Можно доказать, что для всякого натурального числа существуют простые числа, среди цифр которых имеется более чем нулей. Мы не знаем, существует ли для всякого натурального числа такое число а, что сумма всех цифр всякого простого числа большего а, будет больше чем