Наряду с перестановочными соотношениями мы ввели в качестве второго основного положения матричной механики требование, чтобы матрица энергии имела диагональную форму
\[
H_{n, m}=E_{n} \delta_{n, m} .
\]

Гейзенберг прибавил ещё одно дальнейшее определение, относящееся к изменению матричных элементов во времени. Он установил, что матричные элементы любой, не содержащей времени явно величины зависят от времени по формуле:
\[
F_{n, m}(t)=F_{n, m}(0) e^{\frac{i}{\hbar}\left(E_{n}-E_{m}\right) t}
\]

или; при введении унитарной диагональной матрицы:
\[
\begin{array}{c}
U_{n, m}(t)=\delta_{n, m} e^{\frac{i}{\hbar} E_{n} t} \\
\boldsymbol{F}(t)=\boldsymbol{U}(t) \boldsymbol{F}(0) \boldsymbol{U}^{-1}(t)=\boldsymbol{U}(t) \boldsymbol{F}(0) \tilde{\boldsymbol{U}}(t) .
\end{array}
\]

В случае, если оператор Гамильтона не содержит времени явно, применение (174) к \( \boldsymbol{F}=\boldsymbol{H} \) даёт сохранение диагональной формы энергии (165) для любого \( t \). Соотношение (172) можно также выразить с помощью диффференциального уравнения
\[
\frac{\hbar}{i} F_{n, m}=F_{n, m}\left(E_{n}-E_{m}\right),
\]

или
\[
\frac{\hbar}{i} \dot{\boldsymbol{F}}=\boldsymbol{H}-\boldsymbol{F H},
\]

если под \( \boldsymbol{H} \) понимать специально диатональную матрицу (165). В силу (165), из (176) следует обратно выражение (172) \( { }^{1} \) ).

Соотношение (172) означает не что иное, как введение в формулу (151) для вычисления матричных элементов вместо функций \( u_{n} \)
\[
\psi_{n}(t)=u_{n} e^{\frac{i}{\hbar} E_{n} t},
\]

которые удовлетворяют волновому уравнению
\[
-\frac{\hbar}{i}-\dot{\psi}_{n}=\boldsymbol{H} \psi_{n} \text {. }
\]

Действительно, тогда
\[
\begin{aligned}
F_{k, n}=\int \Psi_{k}^{*}\left(F \psi_{n}\right) d q & =e^{\frac{1}{\hbar}\left(E_{k=E} E_{n}\right) t} \int u_{k}^{*}\left(F u_{n}\right) d q= \\
& =e^{\frac{i}{\hbar}\left(E_{k}-E_{n}\right) t} F_{k, n}(0) .
\end{aligned}
\]

Мы можем теперь обобщить эти соотношения, вводя в качестве базиса для матриц произвольную ортогональ-
1) Следует подчеркнуть, вопреки прежним представлениям матричной механики, что (176) отнюдь не является следствием (165); ему должно быть предпосдано (172), в качестве особого постулата.

ную систему \( \varphi_{n} \), которая не обязательно имеет специальную форму (177); при этом, однако, нужно наложить существенное требование, чтобы все эти \( \varphi_{n}(t) \) удовлетворяли волновому уравнению
\[
-\frac{\hbar}{i} \dot{\varphi}_{n}=\boldsymbol{H} \varphi_{n} .
\]

Для всех решений (178) \( \int \psi^{*} \psi d V \) постоянно во времени. Подставляя сюда решение \( c_{n} \varphi_{n}+c_{m} \varphi_{m} \) для любых \( c_{n}, c_{m} \), получаем
\[
\frac{d}{d t} \int \varphi_{n}^{*} \varphi_{m} d V=0
\]
т. е. ортогональность и нормировка функций сохраняются во времени. Далее, дифференцируя
\[
F_{n, m}=\int \varphi_{n}^{*}\left(F \varphi_{m}\right) d q,
\]

получаем соотношение
\[
\begin{aligned}
\frac{\hbar}{\boldsymbol{i}} \dot{F}_{n, m} & =\int\left[\left(\boldsymbol{H} \varphi_{n}\right)^{*}\left(\boldsymbol{F} \varphi_{m}\right)-\varphi_{\boldsymbol{n}}\left(\boldsymbol{F} \boldsymbol{H} \varphi_{m}\right)\right] d q= \\
& =\int\left[\varphi_{n}^{*}\left(\boldsymbol{H} \boldsymbol{F} \varphi_{m}\right)-\varphi_{n}\left(\boldsymbol{F} \boldsymbol{H} \varphi_{m}\right)\right] d q= \\
& =(\boldsymbol{H} \boldsymbol{F}-\boldsymbol{F H})_{n, m} .
\end{aligned}
\]

справедливое для любого эрмитова оператора \( \boldsymbol{F} \), не содержащего времени явно. Таким образом мы получили уравнение (176)
\[
\frac{\hbar}{i} \dot{\boldsymbol{F}}=\boldsymbol{H} \boldsymbol{F}-\boldsymbol{F H},
\]

на этот раз уже без специального предположения относительно матриц. В силу этого правила, каждая система (совместных друг с другом и не содержащих времени явно) перестановочных соотношений сохраняется с течением времени, если она выполняется для \( t=0^{1} \) ),
2) В старой литературе по квантовой механике вместо (176) часто встречается операторное уравнение
\[
\boldsymbol{H} \boldsymbol{t}-\boldsymbol{t H}=\frac{\grave{\hbar}}{i} I
\]
Введём теперь предположение (до сих пор не обязательное), что \( \boldsymbol{H} \) тоже не содержит времени явно. Тогда, в силу (176), \( \boldsymbol{H} \) не зависит от времени. Следовательно, существует не зависящее от времени унитарное преобразование \( \boldsymbol{S} \), которое приводит \( \boldsymbol{H} \) к диагональной форме
\[
\dot{S}^{-1} \boldsymbol{H}=E \text {. }
\]

Это то же самое преобразование \( S \); которое приводит \( \varphi_{n} \) согласно
\[
\psi_{m}=\sum_{n} \varphi_{n} S_{n, m}
\]

к специальной форме \( \psi_{n} \), данной в (177). .Тогда из (173) и (174) мы получаем с помощью \( S \)
\[
\boldsymbol{F}(t)=\boldsymbol{U}(t) \boldsymbol{F}(0) \boldsymbol{U}^{-1}(t),
\]

где
\[
U^{\prime}=S e^{\frac{i}{\hbar} E t} S^{-1}
\]

Под \( e^{\frac{i}{\hbar} E t} \) здесь понимается диагональная матрица \( \delta_{n m} e^{\frac{i}{\hbar} E_{n} t} \). \( \boldsymbol{U} \), очевидно, унитарно, так как оно получается в результате перемножения унитарных матриц. Благодаря
\[
S E S^{-1}=H
\]

можно также написать
\[
U(t) \equiv e^{\frac{i}{\hbar} H t}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}\left(\frac{i}{\hbar} H t\right)^{n}=\lim _{N \rightarrow \infty}\left(1+\frac{i t}{N \hbar} H\right)^{N}
\]

которое формально получается из (176) при подстановке \( t \) вместо \( \boldsymbol{F} \). В общем случае невозможно построить эрмитов оператор (например, как функцию \( p \) и \( q \) ), удовлетворяющий этому уравнению. Это получается уже потому, что из записанного перестановочного соотношения следует, что \( \boldsymbol{H}_{\text {- }} \) имеет непрерывный спектр собственных значений от \( -\infty \) до \( +\infty \) (ср. Дирак, Квантовая механика), тогда как, с другой стороны, возможны и дискретные собственные значения \( \boldsymbol{H} \). Итак, мы заключаем, что введение оператора \( \boldsymbol{t} \) зепрешается основами теогии, и время в квантовой леханике необходимо рассматривать как обыкновенное число («с»-число). Ср, в связи с этим также E. S с и röding e r, Berl, Ber., 1931, crp. 238.

Это следует и прямо из (176), без перехода к диагональному представлению \( \boldsymbol{E} \). Мы докажем далее, что \( U \) унитарно в том случае, когда существуют все степени \( \boldsymbol{H} \) для любого \( f \). Прежде всего
\[
\boldsymbol{U}\left(t_{1}\right) \boldsymbol{U}\left(t_{2}\right)=\boldsymbol{U}\left(t_{1}+t_{2}\right)
\]

и, в частности,
\[
\boldsymbol{U}(t) \boldsymbol{U}(-t)=\boldsymbol{U}(0)=I,
\]

так что
\[
\boldsymbol{U}^{-1}(t)=\boldsymbol{U}(-t)=e^{-\frac{\boldsymbol{t}}{\hbar} \boldsymbol{H} t} .
\]

Следовательно, если \( \boldsymbol{U}(-t) \) существует для того же множества функций, что и \( \boldsymbol{U}(\boldsymbol{t}) \), то условие существования обратного оператора выполнено. Далее, последовательным применением
\[
\int g^{*}\left(\boldsymbol{H}^{n} f\right) d q=\int\left(\boldsymbol{H}^{n} g\right)^{\bullet} f d q
\]

ко всем степеням \( (\boldsymbol{H})^{n} \) оператора \( \boldsymbol{H} \) можно показать, что
\[
\int g^{*}(\boldsymbol{U} f) d q=\int\left(\boldsymbol{U}^{-1} g\right)^{*} f d q
\]

и, в частности, для \( g=\boldsymbol{U} f \)
\[
\int(\boldsymbol{U} f)^{*}(\boldsymbol{U} f) d q=\int f^{*} f d q .
\]

Таким образом, доказано, что \( \boldsymbol{U} \) сохраняет нормировку функций. \( \boldsymbol{U} \) удовлетворяет дифференциальному уравнению
\[
\frac{\boldsymbol{i}}{\hbar} \dot{\boldsymbol{U}}=\boldsymbol{H} \boldsymbol{U}, \quad \frac{\boldsymbol{i}}{\hbar} \boldsymbol{U}^{-1}=-\boldsymbol{U}^{-1} \boldsymbol{H},
\]

из которого, в силу (174), легко получается (176). Что касается значения \( \boldsymbol{U} f \), то \( \boldsymbol{U} \) в применении к коэффициентам разложения \( f \) по постоянной системе \( \varphi_{1}(0), \varphi_{2}(0), \ldots \)
\[
a_{1}, a_{3}, \ldots
\]

должно переводить их в \( a_{n}(t)=\sum_{m} \dot{U}_{n, m}(t) a_{m}(0) \). В частности, можно выбрать систему \( \varphi_{k}(0) \) в виде \( \delta\left(q-q^{\prime}\right) \). Тогда \( \boldsymbol{U} \) непосредственно переводит функцию \( f(0) \) в функцию \( f(t) \) так, что последняя удовлетворяет волновому

уравнению и произвольным начальным условиям \( f(0) \) при \( t=0 \) :
\[
\begin{array}{c}
f(q, t)=U(t) f(q, 0)=\int U\left(q, q^{\prime} ; t\right) f\left(q^{\prime}, 0\right) d q^{\prime}, \\
U\left(q, q^{\prime} ; 0\right)=\delta\left(q-q^{\prime}\right), \\
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t} U\left(q, q^{\prime} ; t\right)=H U\left(q, q^{\prime} ; t\right) .
\end{array}
\]

Свойство \( \boldsymbol{U} \) сохранять нормировку функций следует непосредственно из уравнения непрерывности и равносильно
\[
\int U\left(q, q^{\prime} ; t\right) U^{*}\left(q, q^{\prime \prime} ; t\right) d q=\delta\left(q^{\prime}-q^{\prime \prime}\right) ;
\]

далее должно иметь место
\[
U^{*}\left(q^{\prime}, q, t\right)=U\left(q, q^{\prime} ;-t\right)=U^{-1}\left(q, q^{\prime} ; t\right) ;
\]

и вообще
\[
\int U\left(q, q^{\prime} ; t_{3}\right) U\left(q^{\prime}, q^{\prime \prime} ; t_{1}\right) d q^{\prime}=U\left(q^{\prime}, q^{\prime \prime} ; t_{1}+t_{2}\right) .
\]

В этой функции \( U \) легко узнать обобщение функции, введённой в уравнение (60) § 2:
\[
U\left(q, q^{\prime} ; t\right)=U\left(q-q^{\prime} ; t\right)=e^{-\frac{i \pi}{4}} \cdot \sqrt{\frac{m}{2 \pi \hbar}} \cdot \sqrt{\frac{1}{t} e^{\frac{i m}{2 \hbar} \frac{\left(q-q^{\prime}\right)^{2}}{t}}}
\]

для свободной материальной точки, двигающейся в одном измерении. Образуя произведения функций из (60), легко получить согласно (61) \( U \)-функцию для материальной точки, двигающейся в трёх измерениях, и совершенно аналогично – функцию для любого числа материальных точек. Для материальных точек, находящихся в поле сил, \( U \) зависит вообще не только от разностей координат \( \left(q-q^{\prime}\right) \) и в общем случае может быть построено только окольным путём, с помощью перехода к собственным решениям. Действительно,
\[
U\left(q, q^{\prime} ; t\right)=\sum_{n} u_{n}^{\prime}\left(q^{\prime}\right) e^{-\frac{i}{\hbar} E_{n} t} u_{n}(q)
\]

так как тогда, согласно (170′), условия (179) выполняются. Собственные функции \( u_{n} \) характеризуются равенством
\[
\boldsymbol{U} u_{n}=e^{-\frac{i}{\hbar} E_{n} t} u_{n}^{*}
\]

Однако, существование рассмотренного здесь унитарного \( \boldsymbol{U} \) должно быть постулировано как физически необходимое. Действительно, оно означает только, что волновое уравнение разрешимо при любой начальной функции \( f(q, 0) \), а также, что ко времени \( t \) может осуществиться любая функция \( f(q, t) \). Последнее равносильно тому, что любую функцию \( f(q, t) \) можно с помощью волнового уравнения проследить от момента времени \( \boldsymbol{t} \) в прошлое.

Это положение связано с проблемой разложения эрмитова оператора по его собственным значениям, которая была сформулирована в уравнении (III’) на стр. 85. Прежде всего нужно более подробно исследовать область определения оператора \( \boldsymbol{H} \), применяемого к многообразию функций \( f \), для которых существует \( \int|f|^{2} d q \). Очевидно, нельзя требовать, чтобы оператор \( \boldsymbol{H} \) был определён повсюду, так как это не осуществляется уже для оператора умножения на \( q\left(\int q^{2}|f|^{2} d q\right. \) существует не для всех \( \left.f\right) \). Можно, однако, потребовать, чтобы область определения \( \boldsymbol{H} \) была повсюду плотной; это означает, что каждому \( f \), для которого имеет смысл \( \boldsymbol{H} f \), можно сопоставить такое \( g \), чтобы существовало \( H g \), и \( \int|f-g|^{2} d q \) было сколь угодно мало. Кроме того, следует потребовать линейную замкнутость \( \boldsymbol{H} \) : из
\[
\lim _{N \rightarrow \infty} \int\left|f-f_{N}\right|^{2} d q=0 \text {, и } \lim _{N \rightarrow \infty} \int\left|F-H f_{N}\right|^{2} d q=0
\]

должно следовать \( \boldsymbol{H} \boldsymbol{f}=\boldsymbol{F} \).
Нейман \( { }^{\boldsymbol{1}} \) ) в своих исследования об эрмитовских операторах получил замечательный результат, что не все операторы допускают разложение по собственным значениям (III). Оказалось, что для того, чтобы такое представление оператора \( \boldsymbol{H} \) было возможным, необходимо потребовать, чтобы \( \boldsymbol{H} \) можно было свести к унитарному оператору \( \boldsymbol{U} \). Это требование необходимо и достаточно для существования спектра собственных значений \( \boldsymbol{H} \). Унитарный оператор \( \boldsymbol{U} \) всегда допускает разложение по соб-
) J. v. Neumann, Math. Ann, 102, 49; 1929. Journ, \( f \). reine \( u \). angew. Math., 161, 208, 1929. Далее, M. Н. S t o n e, Proc. Nat. Ac., 115, 198, 423; 1929.

ственным значениям в форме
\[
(U f)=\int_{0}^{2 \pi} e^{i E} d\left(P_{E} f\right),
\]

аналогичной (III) \( { }^{1} \) ). Здесь \( \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{E}} \) и \( \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{E}}-\boldsymbol{P}_{\boldsymbol{E}^{\prime}} \) – снова проецирующие операторы с свойствами (I) и (II). Соб̆ственные значения унитарного оператора всегда имеют модуль 1. Для унитарных операторов со свойством (176) можно записать разложение по собственным значениям сразу для любого \( t \) в форме
\[
U(t) f=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{E}{\hbar} t} d\left(P_{E} f\right)
\]

Для того чтобы свести оператор \( \boldsymbol{H} \) к унитарному оператору \( \boldsymbol{U} \), Нейман рассматривает оператор специальной формы
\[
\boldsymbol{U}=\frac{1+i \boldsymbol{H}}{1-i \boldsymbol{H}}
\]

и приходит к выводу, что такое \( \boldsymbol{U} \) повсюду определено. Специальный выбор \( \boldsymbol{U} \) не играет здесь роли; достаточно, например, рассмотреть оператор
\[
U(t)=\lim _{N \rightarrow \infty}\left(1+\frac{t t}{\hbar N} H\right)^{N},
\]

который ближе соответствует физической интерпретаци и \( { }^{2} \) ).
Покажем теперь, что, как уже упоминалось, существует исключительный оператор \( \boldsymbol{H} \), который не может быть сведён подобным образом к унитарному оператору. Мы обсудим его здесь вкратце, так как он отнюдь не является чем-либо особо \”патологическим\”, а напротив, может быть простым образом интерпретирован физически. Рассмотрим материальную точку, движушуюся вдоль оси \( \boldsymbol{x} \) (одномерный случай). Пусть при \( \boldsymbol{x}=0 \) она отражается от вполне упругой стены, так что движение возможно только в полупространстве \( x>0 \). Это означает, что мы рассматриваем, как допустимые, только такие функции \( f \), которые определены в интервале \( 0<x<\infty \), имеют интегрируемый квадрат модуля (существует \( \left.\int_{-\infty}^{+\infty}|f|^{2} d x\right) \cdot \) и, кроме того, исчезают \( n p u x=0 \), т.е. \( f(0)=0 \). В этом функциональном пространстве \( v \boldsymbol{p}_{x}=v \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \).
1) Кроме цитированных в \( { }^{1} \) ) работ см. A. Winter, Math. Zs, 30, 228, 1929 и книгу этого авгора: Spektralteorie der unendltchen Matrizen, Leipzig, 1929.
2) Cp. также H. W е у 1, Zs. f. Phys., 46, 1, 1927 и ero книгy, Gruppentheorie u. Quantenmechanik, 2-е изд., стр 36, Leipzig, 1931.

представляет собой допустимый эрмитов оператор ( \( v \) – постоянная с размерностью скорости, так что \( v p_{x} \) имеет размерность энергии), так как, во-первых, область определения его повсюду плотна и, во-вторых, в силу \( f(0)=0 \), он удовлетворяет условню самосопряжённости. Действительно,
\[
\int_{0}^{\infty} g *\left(p_{x} f\right) d x-\int_{0}^{\infty}\left(p_{x} g\right) * f d x=\left.f g *\right|_{0} ^{\infty}=0 .
\]

Однако для этого оператора в рассматриваемом пространстве не суиествует разложения по собственным значениям! Это становится очевидным, если рассмотреть решение уравнения
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=v p_{x} \psi=\frac{\hbar}{i} v \frac{\partial \psi}{\partial x}
\]

или
\[
\frac{\partial \psi}{\partial t}=-v \frac{\partial \psi}{\partial x},
\]

которое имеет форму
\[
\psi(x, t)=f(x-v t) .
\]

Это решение справедливо в интервале времени \( 0<t<\tau \) только в том случае, если при любом \( t \) этого интервала \( f=0 \) в точке – \( x=0 \). Следовательно, \( f(\xi) \) должно быть определено для области \( -v \tau \leqslant \xi<\infty \) и, кроме того, должно выполняться условие:
\[
f(\xi)=0 \text { при }-v \tau \leqslant \xi<0,
\]
т. e.
\[
\left.\begin{array}{l}
\psi(x, \tau)=0 \quad \text { при } \quad 0 \leqslant x \leqslant v \tau, \\
\psi(x, \tau)=f(x-v t) \quad \text { при } \quad v \tau \leqslant x<\infty .
\end{array}\right\}
\]

Действительно, в силу (186),
\[
\int_{0}^{\infty}|\psi(x, \tau)|^{2} d x=\int_{0}^{\infty}|\psi(x, 0)|^{2} d x
\]

справедливо только, если выполняется (186\”). Отображение \( \boldsymbol{U} \), которое переводит \( f(x) \) в функцию \( \psi(x, \tau) \), определённую равенствами (186\”), не унитарно, хотя оно и сохраняет длину (нормировку) функции. Многообразие \( \psi(x, \tau) \) меньше многообразия \( f(x) \) или, что то же самое, обратный к \( \boldsymbol{U} \) оператор \( \boldsymbol{U}^{-1} \) существует не для всех \( f(x) \), а только для таких \( f(x) \), которые исчезают в интервале \( 0 \leqslant x \leqslant v \tau \). Для остальных \( f \) решение волнового уравнения в интервале \( -\tau<t<0 \) не существует. Для того чтобы в рассматриваемом пространстве одновременно имели смысл \( N \) первых степеней \( \boldsymbol{p}_{x} \), нужно тем больше .видоизменить первоначальную функцию \( f \), чем больше \( N \). Подобный оператор, очевидно, не допустим в качестве функции Гамильтона. Олера-

тор \( \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \), напротив, ведёт себя в рассматриваемом пространстве нормально и имеет собственные функции \( \sin k x \) точно так же, как и оператор \( \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \) в обычном пространстве. Соверщенно аналогично оператору \( \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \) в полупространстве ведёт себя оператор радиальной слагающей импульса \( p_{r} f=\frac{\hbar}{i r} \frac{\partial}{\partial r}(r f) \) в обычном пространстве. Это эрмитов оператор, но его матрица не может быть приведена к диагональному виду. Однако для входящего в функцию Гамильтона оператора \( p_{r}^{2} f=-\hbar^{2} \frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}(r f) \) такое приведение осуществимо; собственные функции этого оператора \( \sin k r / r \).