a) Случай свободного электрона. Фундаментальная связь между импульсом и энергией, с одной стороны, волновым вектором и частотой волны, – с другой, из которой мы исходили в части I, \( £ 1 \) :
\[
\vec{p}=\hbar \vec{k}, \quad E=\hbar
u,
\]

уже является релятивистски инвариантной. Величины \( \left(\vec{p}, i \frac{E}{c}\right),\left(\vec{k}, i \frac{v}{c}\right) \) образуют четырёхмерные векторы, и следовательно, трансформируются при лоренцовом преобразовании одинаковым образом. Поэтому естественно сохранить соотношения ( 1,1 ) в качестве основных положений и в релятивистской квантовой теории. В классической релятивистской механике мы имеем [см. часть 1 , уравнение (5)] следующее соотношение между энергией и импульсом частицы с массой покоя \( m \) :
\[
\frac{E}{c^{2}}=m^{2} c^{2}+\sum_{i=1}^{3} p_{i}^{2} .
\]

Из этого соотношения и соотношения (1) следует:
\[
\frac{
u^{2}}{c^{2}}=\frac{m^{2} c^{2}}{\hbar^{2}}+\sum_{i} k_{i}^{2}=\frac{
u_{0}^{2}}{c^{2}}+\sum_{i} k_{i}^{2},
\]

где
\[
v_{0}=\frac{m c^{2}}{\hbar} .
\]

Наиболее общая сумма плоских волн
\[
\psi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} ; t\right)=\int A(k) e^{i(\vec{k} \vec{x}-
u t)} d k,
\]

где \( A(k) \) – произвольная функция, а у и \( \overrightarrow{\boldsymbol{k}} \) связаны соотношением (2), удовлетворяет дифференциальному уравнению:
\[
\because \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}=\Delta \psi-\frac{m^{2} c^{2}}{\hbar^{2}} \psi,
\]

—————————————————————-
0002ru_fizik_book4_bez_photo_page-0237.jpg.txt

236
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ТЕОРИИ
[ч. II
и обратно, (4) является по существу наиболее общим решением (5). При этом заметим, что, согласно (2), данному тельное и одно отрицательное:
\[
\frac{
u}{c}=+\sqrt{\frac{m^{2} c^{2}}{\hbar^{2}}+\sum_{i} k_{i}^{2}} \text { и } \frac{
u}{c}=-\sqrt{\frac{m^{2} c^{2}}{\hbar^{2}}+\sum_{i} k_{i}^{2}},
\]

и что в общем случае оба значения могут быть представлеңы в (4). Волновое уравнение (5) релятивистски инвариаңтно, если считать, что ч скаляр.

До сих пор мы использовали только фундаментальные соотношения де-Бройля (I) и принцип суперпозиции волновой теории. Если мы проследим соответствующее построение нерелятивистской волновой механики; то увидим, что там следующий шаг состоит в введении плотности вероятности, указывающей, какова вероятность найти частицу в момент времени в области \( x_{1}, x_{1}+d x_{1} ; \ldots ; x_{3}, x_{3}+d x_{3} \). Если подобная плотность вероятности \( W(x) \) существует, то, во-первых, она должна быть везде положительной (или равной нулю):
\[
W(x) \geqslant 0,
\]

и, во-вторых, как следствие волнового уравнения должно соблюдаться равенство:
\[
\frac{d}{d t} \int W(x) d x=0,
\]

так что функцию \( W(x) \) можно нормировать:
\[
\int W(x) d x=1 .
\]

Далее следует потребовать инвариантность этой нормиро́вки по отношению к преобразованию Лоренца:
\[
\int W(x) d x=\text { inv }
\]

Если мы теперь попытаемся построить из (4) выражение, удовлетворяющее условиям (7) и (8), то мы однозначно получим:
\[
p(x) \equiv W(x)=-\psi^{*} \frac{1}{c} \frac{\partial \psi}{\partial t}+\psi \frac{1}{c} \frac{\partial \psi^{*}}{\partial t} .
\]

Далсе, если ввести вектор
\[
\vec{i}=c\left(\psi^{*} \operatorname{grad} \psi-\psi \operatorname{grad} \psi^{*}\right)
\]

где \( \psi^{*} \)-комплексно сопряжённая \( \psi \)-функция, то будет удовлетворяться также уравнение непрерывности:
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} i=0 \text {. }
\]
\( \rho \) и \( \vec{i} \) могут быть соединены в один четырёхмерный вектор с компонентами:
\[
\begin{aligned}
s_{
u} & =\left(\frac{1}{c} \vec{i}, i \rho\right), \\
s_{
u} & =\psi^{*} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{
u}}-\dot{\psi} \frac{\partial_{\psi}^{*}}{\partial x_{
u}},
\end{aligned}
\]

откуда следуют (7) и (8) \( { }^{1} \) ). Первоначально различные авторы пытались развивать теорию в намеченном выше направлении \( { }^{2} \) ). Однако, при этом не соблюдается требование (6) – ведь \( \psi \) и \( \frac{\partial t}{\partial t} \) могут быть оба, согласно (5), выбраны произвольно в заданный момент времени и потому выражение ( \( 8^{\prime \prime} \) ) для четырёхмерного тока с физической точки зрения недопустимо \( { }^{8} \) ). На основавии этих
1) В дальнейшем мы всегда будем обозначать греческими буквами индексы, пробегающие значения от 1 до 4 , латинскими буквами – индексы, пробегающие значения от 1 до 3 , далее через \( x_{4} \) будем обозначать мнимую временную коогдинату \( x_{4}=i c t \), через \( x_{0} \) – действительную \( x_{0}=c t \); таким образом, \( x_{4}=i x_{0} \).
2) E. Schrödinger, Ann. d. Phys., 81, 129, 1926, особенно § 6; O. K1 ein, Zs. f. Phys.; 37, 895, 1926; V. Fock, ibid, 38, 242, 39, 226, 1926; J. Kud ar, Ann. d. Phys., 81, 632, 1926. Относительно выражения для четырёхмерного тока см. W. Gordon, Zs.f. Phys., 40, 117, 192j. Все авторы рассматривают сразу общий случай: заряженная частица во внешнем электромагнитном поле, который мы рассматриваем позже (см. § 2d).
3) Если в основу положить только требование (7), без требования (8), то становится возможным допущение:
\[
\rho=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^{2}+(\operatorname{grad} \psi)^{2}+\frac{m^{2} c^{2}}{\hbar^{2}} \psi^{2}\right],
\]

так как тогда из (5) следует:
\[
\frac{d \rho}{d t}+\operatorname{div}\left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \operatorname{grad} \psi\right)=0 .
\]

Это допущение замечательно тем, что при нём можно обойтись одной единственной действительной функцией \( \psi \), и требование (6) при этом выполняется. Однако, тогда \( \int \rho d V \) является 4 -й компонентой некоторого вектора, а не скаляром.

[ч. \( \mathbf{H} \)
результатов можно прежде всего подвергнуть сомнению разумность понятия «плотность вероятности для частицы» в релятивистской волновой механике.

Действительно, во-первых, уже в самом определении плотности вероятности содержится неравноправие времени и пространства: в то время как для пространственных координат допускается погрешность \( d x_{k} \), время, напротив, устанавливается точно; во-вторых, если мы хотим определить координаты частицы с гогрешностью, меньшей чем длина де-бройлевской волны, и в то же время скорость частицы сравнима со скоростью света, то непосредственное измерение положения частицы уже более невозможно [см. ч.’ \( 1, \S 2 \), уравнение (16)]; в-третьих, для свегового кванта не существует, как мы увидим позже, плотности вероятности, удовлетворяющей требованиям (6), (7) и (8).

Тем не менее, Дирак показал, что можно составить удовлетворяющее требованиям (6), (7) и (8) выражение для \( W(x) \), если ввести несколько \( \psi \)-функций, \( \psi_{p}, p=1,2, \ldots \), которые все, в случае свободного электрона, удовлетворяют уравнению (5). Несмотря на большой успех этого предположения, заключающийся в том, что автоматически получается спин электрической элементарной частицы, всё же необходимо проследить за всеми следствиями, вытекающими из него, и затем снова вернуться к исследованию упомянутых соображений, поскольку мы наталкиваемся далее на принципиальные трудности теории Дирака (состояния отрицательной энергии).

Основное положение теории Дирака заключается в том, что устанавливается следующее выражение для \( W(x) \) :
\[
\rho=W(x)=\sum_{\sigma} \psi_{0}^{*},
\]

которое уже само обеспечивает положительно дефинитный характер \( W(x) \). Поскольку должно выполняться соотношение:
\[
\frac{d}{d t} \int \sum_{\sigma} \psi_{\sigma}^{*} \psi_{\sigma} d V=\int\left(\sum_{\sigma} \frac{\partial \psi_{\sigma}^{*}}{\partial t} \psi_{\sigma}+\psi_{\sigma}^{*} \frac{\partial \psi_{\sigma}}{\partial t}\right) d V=0,
\]
\( \frac{\partial \psi_{\sigma}}{\partial t} \) и \( \frac{\partial_{\psi_{\sigma}^{*}}}{\partial t} \) не могут быть выбраны произвольно в опре-

делённый момент времени; таким образом, \( \psi_{\sigma} \) должны удовлетворять дифференциальным уравнениям первого порядка относительно \( \frac{\partial}{\partial t} \). Тогда, чтобы уравнения были релятивистски инвариантны, необходимо предположить, что оңи линейны также относительно производных по пространственным координатам \( \frac{\partial}{\partial x_{k}} \). Мы полагаем вместе с Дираком, что эти дифференциальные уравнения имеют следующий вид:
\[
\frac{1}{c} \frac{\partial \psi_{p}}{\partial t}+\sum_{k=1}^{3} \sum_{(\sigma)}\left(\alpha_{\rho \sigma}^{k} \frac{\partial \psi_{\sigma}}{\partial x_{k}}+i \frac{m c}{\hbar} \beta_{\rho \sigma} \psi_{\sigma}\right)=0 .
\]

Пока оставим открытым вопрос о числе значений, которое принимает каждый из индексов \( \rho \) и \( \sigma \), и численные значения \( \alpha_{p o}^{k} \) и \( \beta_{p \sigma} \). Чтобы (9′) следовало из (10), достаточно принять:
\[
\alpha_{\rho \sigma}^{* k}=\alpha_{\sigma \rho}^{k}, \quad \beta_{\rho o}^{*}=\beta_{o \rho} .
\]

Тогда из (10) следует:
\[
\frac{1}{c} \frac{\partial \psi_{\sigma}^{*}}{\partial t}+\sum_{k=1}^{3} \sum_{(\rho)}\left(\frac{\partial \rho_{\rho}^{*}}{\partial x_{k}} \alpha_{\rho \sigma}^{k}-i \frac{m c^{*}}{\hbar} \beta_{\rho \sigma}^{*} \psi_{\rho}^{*}\right)=0 .
\]

Умножим (10) на \( \psi_{\rho}^{*} \) и просуммируем по \( \rho \), а (10*) умножим на \( \psi_{\sigma} \) и просуммируем по \( \sigma \); если положить теперь
\[
\vec{i}=c \sum_{\rho} \sum_{\sigma} \psi_{p}^{*} \alpha_{p o} \psi_{\sigma},
\]

то получим уравнение непрерывности:
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \vec{i}=0 \text {. }
\]

Чтобы упростить запись и не писать индексов, целесообразно ввести обозначения матричного исчисления. При этом \( \alpha^{k} \) и \( \beta \) будут квадратные, эрмитовы матрицы – их эрмитовость обеспечивается требованием (11); \( \psi \) рассматривается как прямоугольная матрица с одним столбцом (элемент \( \psi_{p} \) ), а \( \psi^{*} \) – как прямоугольная матрица с одной строкой (элемент \( \psi_{p} \) ). Чтобы, в соответствии

с правилом умножения матриц, получать разумные образования, следует всегда писать \( \psi \) слева, а \( \psi \)-справа от матриц \( \alpha^{k} \) и \( \beta \). Тогда выражения (10), (10*), (9) и (13) можно записать в более простой форме:
\[
\begin{array}{r}
\frac{1}{c} \frac{\partial \psi}{\partial t}+\sum_{k=1}^{3} \alpha^{k} \frac{\partial \zeta}{\partial x_{k}}+i \frac{m c}{\hbar} \beta \psi=0, \\
\frac{1}{c} \frac{\partial_{\varphi^{*}}}{\partial t}+\sum_{k=1}^{3} \frac{\partial \dot{j}^{*}}{\partial x_{k}} \alpha^{k}-i \frac{m c}{\hbar} \psi^{*} \beta=0, \\
\rho=\left(\psi^{*} \psi\right), \quad \text { (9) } \quad \vec{i}=c\left(\psi^{*} \alpha \psi\right) .
\end{array}
\]

Подобно тому, как из уравнений Максвелла первого порядка для напряжённостей поля следует волновое уравнение второго порядка для каждой из напряжённостей, здесь из уравнений (10) должно следовать уравнение (5) для каждой из компонеңт \( \psi \)
\[
-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}+\sum_{k=1}^{3} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{k}^{2}}-\frac{m^{2} c^{2}}{\hbar^{2}} \psi=0
\]

Чтобы это проверить, подействуем оператором:
\[
-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}+\sum_{i} x^{l} \frac{\partial}{\partial x^{l}}+i \frac{m c}{\hbar} \beta
\]

на (10) слева. Это единственная операция, в результате которой выпадают члены первого порядка отңосительно \( \frac{\partial}{\partial t} \). Отсюда получаем:
\[
\begin{array}{c}
-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}+\sum_{l} \sum_{k} \alpha^{l} \alpha^{k} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{l} \partial x_{k}}+ \\
+i \frac{m c}{\hbar} \sum_{k}\left(x^{k} \beta+\beta x^{k}\right) \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}-\frac{m^{2} c^{2}}{\hbar^{2}} \beta^{2} \Psi=0,
\end{array}
\]

или, симметризуя второй член относительно \( l \) и \( k \) :
\[
\begin{array}{l}
-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}+\sum_{l} \sum_{k} \frac{1}{2}\left(\alpha^{k} \alpha^{l}+\alpha^{l} \alpha^{k}\right) \frac{\left.\partial^{2}\right\rfloor}{\partial x_{k} \partial x_{l}}+ \\
+i \frac{m c}{\hbar} \sum_{k}\left(\alpha^{k} \beta+\beta \alpha^{k}\right) \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}-\frac{m^{2} c^{2}}{\hbar^{2}} \beta^{2} \Psi=0 .
\end{array}
\]

Из сравнения с (5) следует, что, для того чтобы последнее выражение совпадало с (5), необходимо и достаточно:
\[
\frac{1}{2}\left(x^{k} \alpha^{l}+\alpha^{l} \alpha^{k}\right)=\delta_{l, k}, \quad \alpha^{k} \beta+\beta x^{k}=0, \quad \beta^{2}=I
\]
(в последнем члене под \( I \) понимается единичная матрица). Первые из этих соотношений эквивалентны следующим:
\[
\left(\alpha^{k}\right)^{2}=I, \quad \alpha^{k} \alpha^{l}=-\alpha^{l} \alpha^{k} \quad \text { при } \quad k
eq l .
\]

Таким образом, соотношения (I) совершенно симметричны относительно всех четырёх матриц \( \alpha_{k} \) и \( \beta \), и матрица \( \beta \) не является выделенной.

Теперь следует выяснить, как и сколькими способами можно удовлетворить соотношениям (I) и требованию эрмитовости. Можно показать, что число строк матриц, удовлетворяющих (1), должно быть по меньшей мере равно четырём. Одно из решений с четырёхрядными матрицами получается тогда с помощью употребляемых в нерелятивистской теории спина двурядных матриц:
\[
\sigma_{2}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \sigma_{2}=\left(\begin{array}{rr}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_{3}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) .
\]

Эти матрицы удовлетворяют соотношениям:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\sigma_{1} \sigma_{2} & =-\sigma_{2} \sigma_{1}=i \sigma_{3}, \ldots, \\
\sigma_{1}^{2} & =I, \ldots
\end{array}\right\}
\]
(Многоточие обозначает, что остальные соотношения получаются циклической перестановкой индексов у написанных.)

Одно из решений системы уравнений (I), при котором \( \beta \) диагонально, даётся следующими матрицами:
\[
\alpha_{k}=\left(\begin{array}{cc}
0 & \sigma_{k} \\
\sigma_{k} & 0
\end{array}\right), \quad \beta=\left(\begin{array}{rr}
I & 0 \\
0 & -I
\end{array}\right) .
\]

Здесь применён «расщеплённый» (\”gespaltene») способ написания четырёхрядных матриц \( \alpha_{k} \) и . \( \beta \); под \( I \) понимается двухрядная единичная матрица, а под \( \mathbf{0} \)-двухрядная нулевая матрица; четырёхрядные матрицы получаются, если вписать в (15) двухрядные матрицы полностью. Матрицы (15) удовлетворяют требованию эрмитовости.

Что касается дальнейшего вопроса о существовании других решений уравнения (I), то во всяком случае матрицы
\[
\alpha_{k}^{\prime}=S \alpha_{k} S^{-1}, \quad \beta^{\prime}=S \beta S^{-1},
\]

образованные из \( \alpha_{k} \) и \( \beta \) с помощью унитарной (чтобы сохранить эрмитовость), но в остальном произвольной матрицы \( S \), также являются решениями (I). Далее возможно тривиальное обобщение решения (15) посредством следующего перехода от четырёхрядных к многорядным матрицам:
\[
A_{k}=\left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{k} & 0 & 0 & \ldots \\
0 & \alpha_{k} & 0 & \ldots \\
0 & 0 & \alpha_{k} & \ldots \\
. & . & . & .
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccccc}
\beta & 0 & 0 & 0 & \ldots \\
0 & \beta & 0 & 0 & \ldots \\
0 & 0 & \beta & 0 & \ldots \\
. & \cdots & . & .
\end{array}\right) .
\]

Здесь все написанные элементы в свою очередь являются четырёхрядными матрицами. Наконец, \( A \) и \( B \) можно преобразовать при помощи «большой» унитарной матрицы \( S \) :
\[
A_{k}^{\prime}=S A_{k} S^{-1}, \quad B^{\prime}=S B S^{-1} .
\]

Теперь боліее не видно непосредственно распада \( A^{\prime} \) и \( B^{\prime} \) на отдельные матрицы. Можно показать, что, кроме указанных тривиальных обобщений данного решения, других решений не существует \( { }^{1} \) ).

До сих пор мы показали, что положенные в основу уравнения (10) вместе с выражениями (9) и (12) для плотности и тока удовлетворяют уравнению непрерывности и что первоначальные уравнения (5) являются следствием (10). Мы должны ещё показать, что уравнения (10) также релятивистски инвариантны и что плотность и ток
1) Это основано, как можно здесь коротко указат, на следующем: 16 линейно независимых элементов \( \gamma_{\mu}, \gamma_{\gamma} \gamma_{
u}, \mu
u \gamma_{\rho}, \gamma_{1} \gamma_{2} \gamma_{3} \gamma_{4} \) (причём \( \mu,
u, \rho \) могут быть отличны друг от друга) образуют базис гиперкомплексной системы чисел, которая входит в класс \”полупростых» систем. Центр, т. е. совокупность элементов, коммутирующих со всеми элементами, имеет состоящий из одного элемента базис 1. Так как вообще число неэквивалентных неприводимых представлений \”полупростой системы\” совпадает с числом элементов базиса центра, то в напем случае имеется одно неприводимое представление. Квадрат его степени \( f \) равен числу \( n \) элементов базиса \( f^{2}=n \); таким образом, в нашем случае \( f=4 \).

соединяются в один четырёхмерный вектор. Из последнего обстоятельства сама собой будет следовать требуемая соотношением (8) инвариантность нормировки \( \psi_{p} \) посредством \( \int \rho d v \).
b) Релятивистская инвариантность. Для исследования релятивистской инвариантности системы уравнений (10) целесообразно преобразовать эту систему так, чтобы. четыре координаты \( x_{\mu}(\mu=1, \ldots, 4) \), где \( x_{4}=i c t \), были равноправны. Для этой цели умножим (10) слева на- \( i \beta \); в результате получим (так как \( \beta^{2}=1 \) )
\[
\sum_{\mu=1}^{4} \gamma^{\mu} \frac{\partial \phi}{\partial x_{\mu}}+\frac{m c}{\hbar} \psi=0
\]

где положено:
следовательно,
\[
\gamma^{\star}=\beta, \quad-i \beta \alpha^{k}=\gamma^{k} ;
\]
\[
\beta=\gamma^{4}, \quad \alpha^{k}=i \gamma^{k} \gamma^{k} .
\]

Как и \( \alpha^{k} \) и \( \beta \), матрицы \( \gamma^{\mu} \) эрмитовы и вследствие (I) удовлетворяют аналогичным соотношениям:
\[
\frac{1}{2}\left(\gamma^{\mu} \gamma^{
u}+\gamma^{
u} \gamma^{\mu}\right)=\delta_{\mu,
u} \cdot 1 .
\]

Вставив (17′) в уравнение (10*) и сократив на \( i \), ‘получим:
\[
\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{4}}+\sum_{k} \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{k}} \gamma^{4} \gamma^{k}-\frac{m c}{\hbar} \psi^{*} \gamma^{4}=0
\]

Положим далее
\[
\psi^{+}=i \psi^{*} \gamma^{4}, \quad \psi^{*}=-i \psi^{+} \gamma^{4} .
\]

Тогда будем иметь:
\[
\sum_{\mu} \frac{\partial \psi^{+}}{\partial x_{\mu}} \gamma^{\mu}-\frac{m c}{\hbar} \psi^{+}=0 .
\]

Введение множителя \( i \) в определение \( \psi^{+} \)(18) целесообразно потому, что тогда четырёхмерный вектор \( s_{\mu} \) с компонентами
\[
s_{\mu}=\left(\frac{\vec{t}}{c}, i_{\rho}\right)_{\mu}
\]

принимает в соответствии с (9) и (12) следующий вид:
\[
s_{\mu}=\psi^{+} \gamma^{\mu} \psi \text {. }
\]

Из выражений (II) и (II’) \( \psi^{+} \)определяется при заданном \& с точностью до множителя, который нормируется соотношением (18). Употреблённый здесь способ написания уравнения Дирака удобен при исследовании свойств релятивистской инвариантности, в то время как употреблённый ранее способ обладает тем преимуществом, что делает более наглядным вещественность функции \( \psi \). Мы рассмотрим теперь ортогональные преобразования координат:
\[
\left.\begin{array}{ll}
x_{\mu}^{\prime}=\sum_{
u} a_{\mu
u} x_{
u}, & a_{\mu \digamma} a_{\mu \sigma}=\delta_{\rho \sigma}, \\
x_{
u}=\sum_{\mu} a_{\mu
u} x_{\mu}^{\prime}, & a_{\rho \mu} a_{\rho
u}=\delta_{\mu
u},
\end{array}\right\}
\]

и положим
\[
\psi^{\prime}=(S \psi),
\]

где \( S \)-четырёхмерная матрица, которую следует ещё. найти. Из уравнения
\[
\sum_{\mu} \gamma^{\mu} \frac{\partial \psi}{\partial x_{\mu}}+\frac{m c}{\hbar} \psi=0
\]

должно следовать:
\[
\sum_{\mu} \gamma^{\mu} \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x_{\mu}^{\prime}}+\frac{m c}{\hbar} \psi^{\prime}=0,
\]

или
\[
\sum_{\mu} \sum_{
u} \gamma^{\mu} S a_{\mu
u} \frac{\partial \psi}{\partial x_{
u}}+{ }_{\hbar}^{m c} S \psi=0
\]

или
\[
\sum_{\mu} \sum_{
u}\left(S^{-1} \gamma^{\mu} S\right) a_{\mu
u} \frac{\partial \dot{\partial}}{\partial x}+\frac{m c}{\hbar} \psi=0 .
\]

Поставленное условие выполняется, если
\[
\sum_{\mu}\left(S^{-1} \gamma^{\mu} S\right) a_{\mu
u}=\gamma^{
u}
\]

\[
S^{-1} \gamma^{\mu} S=\sum_{\gamma} a_{\mu
u} \gamma^{
u}
\]

Тогда, если положить:
\[
\psi^{+\prime}=\left(\psi^{+} S^{-1}\right),
\]

то из (II) следует:
\[
\frac{\partial \dot{p}^{+\prime}}{\partial x_{\mu}^{\prime}} \gamma^{\mu}-{ }_{\hbar}^{m c} \psi^{+\prime}=0
\]

Далее, очевидно, что если имеет место (А), то выражения (20) для \( s_{\mu} \) действительно образуют четырёхмерный вектор, и
\[
J=\left(\psi^{+} \psi\right)
\]

является инвариантом. С помощью элементарных выкладок далее получаем, что
\[
M_{\mu
u}=-M_{
u \mu}=i \psi^{+} \gamma^{\mu} \quad \psi \quad(\mu
eq
u)
\]
– антисимметричный тензор второго ранга,
\[
K_{\mu
u \rho}=i \Psi^{+} \gamma^{\mu} \gamma^{
u} \gamma^{\rho} \dot{\zeta} \quad(\mu=\rho
eq
u)
\]
– антисимметричный тензор третьего ранга относительно всех трёх индексов и
\[
N=\psi^{+} \gamma^{5} \psi
\]
-псевдоскаляр, если
\[
\gamma^{5}=\gamma^{1} \gamma^{2} \gamma^{3} \gamma^{4} .
\]

Действительно, при преобразовании координат:
\[
N^{\prime}=N\left\lceil a_{\mu
u}\right\rceil,
\]

причём детерминант ортогонального преобразования \( \left|a_{\mu
u}\right| \) равен +1 при собственном вращении и равен – 1 при зеркальном отражении \( { }^{1} \) ). Отметим ещё, что матрица \( \gamma^{5} \) удовлетворяет соотношениям:
\[
\left(\gamma^{5}\right)^{2}=1, \quad \gamma^{5} \gamma^{\mu}+\gamma^{\mu} \gamma^{5}=0 .
\]
1) C.M. J. v. Ne umann, Zs. f. Phys., 48, 868, 1928

Таким образом, существует пять независимых четырёхрядных матриц, удовлетворяюцих (I) \( { }^{1} \) ).

Матрица \( S \) вследствие мнимого характера четвёртой координаты не унитарна; действительно, \( a_{k k} \) и \( a_{k 4} \) (где \( k=1,2,3 \) ) чисто мнимы, и лишь \( a_{k l} \) и \( a_{44} \) действительны. Поэтому матрицу \( \tilde{S} \), эрмитовски сопряжённую \( \mathcal{S} \), следует положить равной не \( \mathcal{S}^{-1} \), а :
\[
\tilde{S}=\gamma^{4} S^{-1} \gamma^{4} \text { или } \tilde{S} \gamma^{4}=\gamma^{4} \mathcal{S}^{-1},
\]

тогда имеем:
\[
\psi^{* \prime}=\psi^{*} \tilde{S}
\]

Таким образом, и в новой системе координат, аналогично (18):
\[
\psi^{+\prime}=i \psi^{* \prime} \gamma^{4}
\]

Теперь всё сводится к тому, чтобы доказать, что для каждого ортогонального преобразования (21) существует матрица \( S \), являющаяся функцией \( a_{\mu
u} \) и удовлетворяющая соотношению (А). Так как матрицы \( \sum_{
u} a_{\mu
u} \gamma_{
u} \), вследствие (21), удовлетворяют тем же соотношениям (1), что и \( \gamma_{\mu} \), то существование матриц \( S \) следует уже из упомянутой на стр. 244 однозначности (с точностью до эквивалентности) неприводимого представления \( \gamma_{\mu} \). Второе независимое доказательство можно получить, используя групповые свойства ортогональных преобразо-
1) Между величинами \( J, S_{\gamma} M_{\mu
u}, K_{\mu
u p}, N \) имеются различные квадратичные тождества, как, например,
\[
\begin{array}{c}
-\sum_{
u}\left(S_{
u}\right)^{2}=J^{2}+N^{2}+K_{182}^{2}+K_{12}^{2}+K_{341}+K_{334}^{2}, \\
K_{123} S_{4}+K_{412} S_{3}+K_{341} S_{2}+K_{243} S_{1}=0 .
\end{array}
\]
CM. V. Fock, Zs.f. Phys., 57, 261, 1929; C. G. Darwin, Proc. Roy. Soc. London, 120, 621, 1928; G. E. Uh i en beck u. O. Laporte, Phys. Rev., 37, 1380, 1931. Эти соотношения, которые должны соблюдаться независимо от спеґиального выбора матриц, до сих пор проверялись с помощью частных предположений при вычислении. Их прежний вывод является неудовлетворительным и не выясняет их настоящего смысла.

ваний, показав, что равенство (А) выполнимо для бесконечных малых преобразований. Такое преобразование даётся выражением:
\[
x_{\mu}^{\prime}=1+\sum_{
u} \varepsilon_{\mu
u} x_{
u}, \text { где } \varepsilon_{\mu
u}=-\varepsilon_{
u \mu},
\]

причём антисимметричность \( \varepsilon_{\mu
u} \) обеспечивает выполнение условий ортогональности. Мы предноложим, что \( S \) линейно относительно \( e_{\mu
u} \) :
\[
S=I+\frac{1}{2} \sum_{\mu} \sum_{
u} \varepsilon_{\mu
u} T^{\mu
u}, \quad T^{\mu
u}=-T^{\mu
u},
\]

где \( T^{\mu
u} \) – матрицы, которые будем нумеровать парой индексов. Теперь вставим (3i) в (A) и пренебрежём в этом выражении величинами порядка выше первого относительно \( \varepsilon_{\mu
u} \). Тогда получим:
\[
\begin{array}{l}
\gamma^{\mu} \frac{1}{2} \sum_{\lambda} \sum_{
u} \varepsilon_{\lambda
u} T^{\lambda
u}-\frac{1}{2} \sum_{\lambda} \sum_{
u} \varepsilon_{\lambda
u} T^{\lambda
u} \gamma^{\mu}= \\
\quad=\sum_{
u} \varepsilon_{\mu
u} \gamma=\frac{1}{2} \sum_{\lambda} \sum_{
u} \varepsilon_{\lambda
u}\left(\delta_{\lambda \mu} \gamma^{
u}-\delta_{
u \mu} \gamma^{\lambda}\right) .
\end{array}
\]

Приравнивая написанные в антисимметричной форме коэффициенты при \( \varepsilon_{\lambda v} \), имеем:
\[
\gamma^{\mu} T^{\lambda
u}-T^{\lambda
u} \gamma^{\mu}=\delta_{\lambda \mu} \gamma^{
u}-\delta_{
u \mu} \gamma^{\lambda} .
\]

Этому равенству действительно можно удовлетворить четырёхрядными матрицами \( T^{\lambda
u} \) и доказать, таким образом, релятивистскую инвариантность уравнения Дирака и векторный характер \( s_{v} \). Действительно,
\[
T^{\lambda
u}=\frac{1}{2} \gamma^{\lambda} \gamma^{
u} \text { для } \lambda
eq
u\left(T^{\lambda
u}=0 \text { для } \lambda=
u\right)
\]

есть антисимметричное относительно \( \lambda \) и р решение ( \( \left.\mathrm{A}^{\prime}\right) \), что легко проверить, пользуясь ( \( \left.\mathrm{I}^{\prime \prime}\right) \).

Мы должны ещё проверить выполнение условия (29), устанавливающего соотношения вещественности. Оно даёт:
\[
\sum_{\mu
u} e_{\mu
u}^{*} \tilde{T}^{\mu
u}=-\sum_{\mu
u} \gamma^{4} \varepsilon_{\mu
u} T^{\mu
u} \gamma^{4} .
\]

Учитывая, что \( \varepsilon_{4 k} \) чисто мнимо, а \( \varepsilon_{i k} \) действительно, если \( i, k \) пробегают значения от 1 до 3 , имеем:
\[
\tilde{T}^{4 k}=+\gamma^{4} T^{4} \gamma^{4}, \quad \tilde{T}^{i k}=-\gamma^{4} T^{i k} \gamma^{4} \quad(i, k=1,2,3) .\left(33^{\prime}\right)
\]

Так как из (32) следует, что \( \tilde{T}^{\lambda
u}=-T^{
u \lambda} \), то легко проверить, пользуясь (I’), что (33′) действительно выполняется.

Нетрудно установить, насколько однозначно решение уравнений ( \( \mathrm{A}^{\prime} \) ) и (33). Уравнение ( \( \left.\mathrm{A}^{\prime}\right) \) допускает. ещё аддитивный дополнительный член в выражении для \( T^{\lambda
u} \), который должен коммутировать со всеми \( \gamma^{\mu} \). Этот член необходимо должен быть вида:
\[
\Delta_{\lambda
u} \cdot I \text {, }
\]

где \( \Delta_{\lambda \gamma} \) – обыкновенные числа. Из уравнения (33) вытекает далее требование, чтобы выражение
\[
\Delta=\sum_{\lambda \gamma} \varepsilon_{\lambda
u} \Delta_{\lambda
u}
\]

было чисто мнимым. Так как, учитывая величины лишь первого порядка,
\[
1+i|\Delta|=e^{i|\Delta \cdot|},
\]

то мы имеем здесь дело с дополнительным фазовым множителем (бесконечно малым изменением фазы), общим для всех четырёх компонент \( \psi \). Такой множитель, действительно, всегда остаётся произвольным. Его нормировка посредством выражения (32) соответствует утверждению, что
\[
\operatorname{Spur}\left(T^{\lambda
u}\right)=0,
\]

если, как обычно, понимать под шиуром матрицы сумму её диагоңальных элементов. При конечных преобразованиях это приводит к следствию, что
\[
\text { Det }(S)=1 \text {, }
\]

причём под Det понимается детерминант матрицы.
Заметим ещё, что, согласно (32), \( T^{\text {дv }} \) коммутативны с матрицей \( \gamma^{\mathbf{s}} \), определённой выражением (27)
\[
\gamma^{\mathrm{s}} T^{\lambda
u}-T^{\lambda
u} \gamma^{5}=0,
\]

При конечных преобразованиях, которые могут быть получены из бесконечно малых непрерывным продолжением, это ведёт к следствию
\[
S^{-1} \gamma^{5} S=\gamma^{3} .
\]

Выше уже было, однако, замечено, что
\[
N=\psi^{+} \gamma^{5} \psi
\]

является псевдоскаляром. Это равнозначно вытекающему из (А) утверждению, что
\[
S^{-1} \gamma^{5} S= \pm \gamma^{8},
\]

с положительным или отрицательным знаком для ортогонального преобразования координат с детерминантом, равным +1 или – 1. Последний случай соответствует зеркальному отображению. Рассмотрим, например, зеркальное отображение
\[
x_{k}^{\prime}=-x_{k} \text { для } k=1,2,3 ; \quad x_{4}^{\prime}=x_{4} .
\]

Согласно (А), мы должны найти \( S \), удовлетворяющее следующим соотношениям:
\[
\text { . } \gamma^{k} S=-S \gamma^{k} \text { для } k=1,2,3 ; \gamma^{4} S=S \gamma^{4} \text {. }
\]

Отсюда следует [принимая во внимание дополнительные условия (29) и (34′)]:
\[
S=\gamma^{4} .
\]

C помощью решения (32) уравнений (A’) можно в частном случае вращения вокруг одной из координатных осей-при котором будут изменяться лишь две координаты – указать решение уравнений (А) для конечного вращения координатной системы \( { }^{1} \) ). Рассмотрим, например, сначала вращение в плоскости ( \( \left.x_{1}, x_{2}\right) \), которое даётся следующими уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}^{\prime}=x_{1} \cos \omega-x_{2} \sin \omega, \\
x_{2}^{\prime}=x_{1} \sin \omega+x_{2} \cos \omega .
\end{array}
\]

Тогда, с учётом того обстоятельства, что здесь матрицы \( S(\omega) \) переставимы друг с другом для всех значений
1) См. П. А. М. Дирак, Қвантовая механика,

ю, должно, согласно (32), выполняться соотношение
\[
\frac{d S}{d \omega}=S T^{12}=S \frac{1}{2} \gamma_{1} \gamma_{2} .
\]

Это дифференциальное уравнение для матрицы \( S \) будет иметь следующее решение (учитывая, что \( S=I \) для \( \omega=0 \) ):
\[
S=e^{\frac{\omega}{2} \gamma_{1} \gamma_{2}}=\cos \frac{\dot{\omega}}{2}+\gamma_{1} \gamma_{2} \sin \frac{\omega}{2} .
\]

Последнее преобразование основано на том, что
\[
\left(\gamma_{1} \gamma_{2}\right)^{2}=-I,
\]

так как в этом случае соотношение
\[
e^{i \cdot \frac{\omega}{2}}=\cos \frac{\omega}{2}+i \sin \frac{\omega}{2}
\]

осіаётся справедливым, если заменить \( i \) матрицей \( \gamma_{1} \gamma_{2} \). Из результата (38) следует, что при полном обороте \( (\omega=2 \pi) \) матрица \( S \) не возвращается к своему первоначальному значению единичной матрицы, но переходит \( \mathrm{B}-(I) \) :
\[
S=-(I) \text { для } \omega=2 \pi .
\]

Здесь мы имеем дело с двузначным представлением группы вращения трёхмерного пространства, с которым мы познакомились уже в нерелятивистской теории спина. Мы ещё вернёмся к связи матриц \( T^{(i k)}(i, k=1,2,3) \) и операторов момента количества движения.

Аналогично получается закон преобразования \( \psi \), т. е. матрица \( S \), в частном случае лоренцовского преобразования, соответствующего относительному движению координатной системы в направлении \( x_{1} \), т. е. вращению в плоскости \( \left(x_{1}, x_{4}\right) \). Мы должны заменить \( x_{2}, \gamma_{2} \) через \( x_{4} \), \( \gamma_{4} \). Если мы хотим оперировать с действительной временной координатой \( x_{0}=c t \) вместо \( x_{4}=i x_{0} \), мы должны ещё заменить угол вращения \( \omega \) через \( \omega=i \chi \) с действительным \( \chi \). Тогда мы будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}^{\prime}=x_{1} \operatorname{ch} \chi-x_{0} \operatorname{sh} \chi, \quad \text { th } \chi=\frac{v}{c}, \\
x_{0}^{\prime}=-x_{1} \operatorname{sh} \chi+x_{0} \operatorname{ch} \chi, \quad \operatorname{ch} \chi=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}, \operatorname{sh} \chi=\frac{v / c}{\sqrt{1-v^{8} / c^{2}}}, \\
d x_{1}^{\prime}=-d \chi_{0}^{\prime}, \quad d x_{0}^{\prime}=-d \chi_{1}^{\prime}, \\
S=e^{\frac{\chi}{2} i \gamma_{1} \gamma_{4}}=\operatorname{ch} \frac{\chi}{2}-i \gamma_{1} \gamma_{4} \operatorname{sh} \frac{\chi}{2} .
\end{array}
\]

Подводя итог, подчеркнём ещё раз, что существование четырёхмерного тока с надлежащими релятивистскими инвариантными свойствами, с одной стороны, и положительной де бинитной плотности, с другой, является важнейшей чертой: теории Дирака. При попытке переписать волновое уравнение Дирака в векторной или тензорной форме это свойство теории теряется.
– При исследовании поведения \( \psi \) относительно преобразования Лоренца мы не вводили никаких специальных представлений матриц \( \gamma^{\mu} \). Однако в зависимости от рассматриваемых проблем бывает целесообразно вводить различные представления. Чтобы установить связь с математической литературой, мы выберем теперь такое представление, в котором \( \gamma^{5} \) диагонально. (Оно отлично от данного в (15), где диагональным выбрано \( \beta=\gamma^{4} \).) Мы можем тогда положить, употребляя \”расиеплённый» способ описания, при котором написанные величины сами являются двурядными матрицами:
\[
r^{k}=\left(\begin{array}{cc}
0 & i \sigma_{k} \\
-i \sigma_{k} & 0
\end{array}\right) \text { для } k=1,2,3 ; \quad r^{4}=\left(\begin{array}{cc}
0 & I \\
I & 0
\end{array}\right), \quad r^{5}=\left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
0 & -I
\end{array}\right)
\]
[I-двурядная единичная матрица, оk определяется уравнениями (14)]. Заметим далее, что матрица \( S \), определяющая преобразование \& по формуле
\[
\psi^{\prime}=S_{i}
\]

согласно (36), коммутирует с \( \gamma^{5} \) для преобразования координат с детерминантом +1 . Отсюда сразу следует, что для этих, так называемых собственных преобразований, \( S \) принимает следующую форму:
\[
s=\left(\begin{array}{ll}
\Sigma & 0 \\
0 & \Sigma^{\prime}
\end{array}\right)
\]

где \( \Sigma \) и \( \Sigma \)-двурядные матрицы. Из (29) [со значением \( \gamma^{4} \),

[4. \( \mathbf{4} \)
данным (15)’)] следует, что \( \Sigma=\Sigma^{-1} \). Таким образом:
\[
s=\left(\begin{array}{c}
\sum_{0}^{0} \tilde{\Sigma}^{-1}
\end{array}\right) \text {. }
\]

Для случая бесконечно малого вращения будем иметь, согласно (32), (14′) и (15), следующие матрицы \( T^{\mu
u} \) :
\[
\begin{array}{l}
T^{1,2}=\frac{1}{2} i\left(\begin{array}{ll}
\sigma_{3} & 0 \\
0 & \sigma_{3}
\end{array}\right) \ldots \\
T^{1,4}=\frac{1}{2} i\left(\begin{array}{cc}
\sigma_{i} & 0 \\
0-\sigma_{1}
\end{array}\right), \ldots, \\
\end{array}
\]

причём ненаписанные матрицы получаются посредством циклической перестановки индексов \( 1,2,3 \).

Отсюда видно, что четыре компоненты \( \psi_{1}, \ldots, \psi_{4} \) распадаются на две пары, которые при собственном лоренцовском преобразовании преобразуются только между собой, и именно вторая пара преобғазется контраградиентно к – паре, комплексно сопряжённой с первой, т. е.
\[
\psi_{i} \psi_{3}+\psi_{i}^{*} \psi_{4}
\]

является инвариантом. Наше четырёхрядное представление собственной лоренцовской группы (детерминаит + 1) распадается на два двурядных. Двукомпонентные величины \( \varphi_{1}, \varphi_{2} \), трансформирующиеся при лоренцовом преобразовании по закону
\[
\psi^{\prime}=\sum \varphi \text {, }
\]

называются спинорами или также полувекторами. Матрицы \( \Sigma \) всегда имеют детерминант, равный 1 , так как шпур \( \sigma_{k} \) равен нулю. Подг уппе трёхмерных врзщений соответствует унитарная матрица \( \Sigma \) (как это имело место также и в негелятивистской теории спина), в то время как при лоренцовских преобразованиях, не изменяющих четвёртую координату \( x_{4} \), вследствие мникого характера этих преобразований, \( \Sigma \) не унитагно. Подсчётом числа параметров легко показать, что наиболее обшие двугядные матрицы \( \Sigma \) с детерминантом 1 действительно соответствуют определённому лоренцовскому преобразованию.

Распад обсуждаемого здесь четырёхрядного представления лоренцовской группы на двурядные уже не ииеет места, если мы рассматриваем также зеркальное отображение. Для частного случая рассмотренного ранее зеркального отображения (37)
\[
x_{k}^{\prime}=-x_{i} \quad \text { для } k=1,2,3 ; \quad x_{4}^{\prime}=x_{4},
\]

где, согласно (37′),
\[
\psi^{\prime}=\gamma^{4} \psi,
\]

получаем, используя выражение (15′) для матрицы \( \gamma^{4} \) :
\[
\psi_{1}^{\prime}=\psi_{3}, \quad \psi_{3}^{\prime}=\psi_{4}, \quad \psi_{8}^{\prime}=\psi_{1}, \quad \psi_{4}^{\prime}=\psi_{9} .
\]

Это означает, что обе пары ( \( \left.\psi_{1}, \psi_{2}\right) \) и ( \( \left.\psi_{3}, \psi_{2}\right) \) просто меняются местами.

Исчисление величин, которые ведут сєбя при лоренцовском преобразовании подобно \( \psi_{1} \), \( \psi_{2} \) или подобно \( \psi_{3}, \psi_{4} \), разработано Ван-дер-Варденом.) как систематическое \”спинорное исчисление», представляющее обобщение обычного тензорного исчисления и допускающее использование возможных неприводимых представлений лоренцовской группы.

Мы хотели бы здесь заметить, что это исчисле!ие, несмотря на свою формальную замкнутость, не всегда выгодно. Расщепление всех четырёхкомпонентных величин на две двухкомпонентные, связанное со специальным диагональным представлением \( \gamma^{5} \), иногда приводит к ненужным усложнениям фогмул. Для некото: рых проблем оказываются более удобными представления для \( \gamma^{\mu} \), отличные от данных в ( \( 15^{\prime} \) ) – например,такое, при котором \( \gamma^{4} \) диагонально [см. (15)].

Упомянем ещё коротко о возможности установления уравнений, инвариантных относительно преобразования Лоренца и содержащих только введённые выше двухкомпонентные величины . \( \left.\varphi^{2}\right) \). Эта возможность покоится на том, чт́о каждая ковариантная величина, построенная только из матриц, коммутируюших с \( \gamma^{5} \), остаётся ковариантной, если её записывают лишь для отдельной двухкомпонентной составляющей. Возвратимся снова к матрицам, определённым выражениями (17′).
\[
a^{k}=i \gamma^{4} \gamma^{k}, \quad \beta=\gamma^{4} .
\]

В нашем случае, согласно (15), эти матрицы имеют следующий вид:
\[
\boldsymbol{\alpha}^{k}=\left(\begin{array}{cc}
\sigma_{k} & 0 \\
0 & -\sigma_{k}
\end{array}\right), \quad \beta=\gamma^{4}=\left(\begin{array}{ll}
0 & I \\
I & 0
\end{array}\right) .
\]

Возвратимся также к первоначальной форме уравнения Дирака:
\[
\frac{1}{c} \frac{\partial \psi}{\partial t}+\sum_{k=1}^{3} \alpha^{k} \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}+i \frac{m c}{\hbar} \beta \psi=0
\]

и выражения для тока:
\[
s_{k}=\left(\psi^{*} \boldsymbol{\alpha}_{k} \psi\right), \quad s_{\mathbf{4}}=i\left(\psi^{*} \psi\right) .
\]

Прежде всего видно, что величины, составленные только из двухкомпонеңтных \( \varphi \) следующим образом:
\[
s_{h}=\left(\varphi^{*} \sigma_{k} \varphi\right), \quad s_{4}=i s_{0}=i\left(\varphi^{*} \varphi\right),
\]
1) B. L. van der W a erden, Göttinger Nachr., 1929, 100. Дальнейшие применения имеются \( \mathrm{y} \) G. E. Uhienbeck u. O. La porte, Phys. Rev., 3; 1380, 1931.
2) Это было указано Вейлем (H. W е 1, Zs. f. Phys., 56, 330, 1929.)

образуют компоненты четырёхмерного вектора. Этот вектор то: ждественно удовлетворяет соотношению:
\[
s_{0}^{2}=\sum_{k=1}^{3} s_{k}^{2} .
\]

Далее мы видим, что не коммутирующая с \( \gamma^{5} \) матрица \( \beta \), которая меняет пары \( \left(\psi_{1}, \psi_{2}\right) \) и ( \( \left.\psi_{3}, \psi_{4}\right) \), не должна входить в составленное только из двух компонент \( \varphi \) ковариантное волновое уравнение. Таким образом, член волнового уравнения, содержаций массу покоя, долюен отсутствовать в двукомпонентном уравнении. Зачёркивание этого члена физически означает переход к частице с массой покоя 0 , скорость которой всегда равна скоғости света \( c \), а энергия \( E \) и импульс связаны соотношением:
\[
\frac{E^{2}}{c^{2}}=\sum_{k} p_{k}^{2},
\]

подобно тому, как это имеет место в случае светового кванта. Тогда мы имеем следующее двукомпонентное волновое уравнение:
\[
\frac{1}{c} \frac{\partial \varphi}{\partial t}+\sum_{k=1}^{3} o_{k} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{k}}=0 .
\]

Оно релятивистски инвариантно. Для вектора \( s_{k} \), определённого выражением (43), из уравнения (45) следует уравнение непрерывности:
\[
\sum_{v=1}^{4} \frac{\partial s_{v}}{\partial x_{v}}=0 .
\]

Тем не менее эти волновые уравнения, как явствует из их вывода, не инвариантны относительно зеркального отображения (перемены правого на левое) и вследствие этого неприменимы к физическим объектам. Отсутствие инвариантности волнового уравнения относительно зеркального отображения проявляется в своеобразной связи между направлением спинового момента импульса и тока, однако, мы не будем здесь более детально входить в эти вопросы. Упомянем ещё, что уравнения (45) имеют собственные решения, относящиеся к состояниям как положительной, так и отрицателєной энергии. При заданных значениях энергии и импульса, удовлетворяющих соотношению (44), мы имеем, однако, лишь одно собственное решение.
с) Поведение волнового пакета в случае свободной частиib. Так же, как и в части I [уравнения (24\”) и (27)], из. собственных функций \( \psi_{\rho}(\vec{x}, t) \) пространства координат мы получаем посредством разложения Фурье собственные

функции \( \vec{\varphi}_{\rho}(\vec{p}, t) \) пространства импульсов:
\[
\begin{array}{l}
\left.\varphi_{P(\vec{p}, t)}=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{8 / 2}} \int \Psi_{P} \vec{x}, t\right) e^{\left.-\frac{i}{\hbar} \vec{p} \vec{x}\right)} d x_{1} d x_{3} d x_{3}, \\
\Psi_{P}(\vec{x}, t)=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{8} / 2} \int \varphi_{P}(\vec{p}, t) e^{+\frac{i}{\hbar}(\vec{p} \vec{x})} d p_{1} d p_{2} d p_{3} .
\end{array}
\]

При этом
\[
W\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) d p_{1} d p_{2} d p_{3}=\sum_{\rho .}\left|\varphi_{P}^{\prime}(\vec{p}, t)\right|^{2} d p_{1} d p_{3} d p_{3}
\]

интерпретируется как вероятность того, что компоненты импульса частицы находятся между \( p_{k} \) и \( p_{k}+d p_{k} \). В ңерелятивистской волновой механике значение энергии однозначно определяется значением импульса. Однако, в релятивистской механике, согласно (5), возможны оба, отличающиеся друг от друга знаком, значения энергии:
\[
\frac{1}{c} E= \pm \sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k} p_{k}^{2}}
\]

Для \( \varphi_{p}(p) \) из (10) следует, если снова перейти к матричному способу записи относительно индекса компонент \( \rho \) :
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{1}{c} \frac{\partial \varphi}{\partial t}=\left(\sum_{k=1}^{3} \alpha^{k} p_{k}+m c \beta\right) \varphi .
\]

Общее решение этого уравнения есть:
\[
\varphi_{\rho}=C_{\rho}(+) e^{-\frac{i}{\hbar} \sqrt{m^{2} c^{3}+\Sigma p_{k}^{2} c t}}+C_{\rho}(-) e^{+\frac{i}{\hbar} \sqrt{m^{1} c^{2}+\Sigma p_{k}^{2} c t}} ;
\]

где \( C_{\rho}^{(+)} \)и \( C_{\rho}^{(-)} \)удовлетворяют уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
+\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k=1}^{3} p_{k}^{2} C^{(+)}}=\left(\sum_{=1}^{3} \alpha^{k} p_{k}+m c \beta\right) C^{(+)},\left(50_{1}\right) \\
-\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k=1}^{3} p_{k}^{2} C^{(-)}}=\left(\sum_{k=1}^{3} \alpha^{k} p_{k}+m c \beta\right) C^{(-)} \cdot\left(50_{2}\right)
\end{array}
\]

Каждое из этих уравнений имеет ещё два линейно неза-

висимых решеңия. Вследствие эрмитовости \( a_{k} \) имеем также:
\[
\begin{array}{l}
+\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k=1}^{3} p_{k}^{2} C^{*}(+)}=C^{*}(+)\left(\sum_{k=1}^{3} \alpha^{k} p+m c \beta\right),\left(50_{1}^{*}\right) \\
-\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k=1}^{3} p_{k}^{2} C^{*}(-)}=C^{*(-)}\left(\sum_{k=1}^{3} \alpha_{k} p_{k}+m c \beta\right) \cdot
\end{array}
\]

Умножая уравнения \( \left(50_{1}\right) \) слева на \( C^{*(-)} \) и уравнения \( \left(50_{2}^{*}\right) \) справа на \( C^{(+)} \), получаем условие ортогональности:
\[
\sum_{\rho} C_{\rho}^{*(-)} C_{\rho}^{(+)}=\sum_{\rho} C_{\rho}^{(-)} C_{\rho}^{*(+)}=0 .
\]

Таким образом, вероятность \( W\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \) постоянна во времени:
\[
W\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)=\sum_{\rho}\left\{\left|C_{p}^{(+)}\right|^{2}+\left|C_{p}^{(-)}\right|^{2}\right\}=\text { const. }
\]

Здесь следует заметить, что упомянутые ранее соображения против существования плотности \( W\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \) в координатном пространстве только в ограниченной степени относятся к соответствующей плотности вероятности в пространстве импульсов. Проблематичным является здесь только то, можно ли точно измерить импульс частицы в произвольно короткий промежуток времени [см. ч. I, уравнение (23)]. Нет сомнения, напротив, что импульс может быть измерен с любой точностью за достаточно продолжительное время. Таким образом, для волнового пакета свободной частицы, когда импульс не меняется со временем, \( W \) ( \( \left.p_{1}, p_{2}, p_{8}\right) \), несомненно, определимо точно. Больше того: если даже свободная частица подвержена действию кагих-либо сил (взаимодействию с другими частицами или излучением) в течение конечного интервала времени, можно измерить с произвольной точностью импульс частицы до и после взаимодействия. Распределение скоростей частиц после соударения является и в релятивистской квантовой теории точным и вполне разумным понятием. То же самое относится, как мы

увидим позже, к распределению интеңсивности рассеянного частицей излучения в зависимости от частоты и направления.

После этого отступления рассмотрим следствия для поведения волнового пакета, вытекающие из существования решений \( \varphi_{p}^{(-)} \), принадлежащих к отрицательным энергиям. Прежде всего в отличие от нерелятивистской теории здесь следует, что общий ток, который, согласно (12) и (46), даётся выражением
\[
\frac{1}{c} J_{k}=\int\left(\psi^{*} \alpha^{r} \psi\right) d V=\int\left(\varphi^{*} \alpha^{k} \varphi\right) d p,
\]

уже непостоянен во времени. Введём в (53) выражение (49) для \( \varphi_{p}: \)
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{c} J_{k}= & \int\left(C_{\rho}^{*(+)} \alpha^{k} C_{\rho}^{(+)}\right) d p+\int\left(C_{\rho}^{*(-)} \alpha^{l} C_{\rho}^{(-)}\right) d p+ \\
& +\int\left[\left(C_{\rho}^{*(+)} \alpha^{l} C_{\rho}^{(-)}\right) e^{\frac{2 i}{\hbar} \sqrt{m^{2} c^{\circ}+\Sigma p_{k}^{2}} c t}+\right. \\
& \left.+\left(C_{\rho}^{*(-)} \alpha^{k} C_{\rho}^{(+)}\right) e^{-\frac{2 i}{\hbar} \sqrt{m^{2} c^{2}+\Sigma p_{k}^{2}} c^{t}}\right] d p .
\end{aligned}
\]

Оба первых члена постоянны во времени и соответствуют тому, что можно было ожидать по аналогии с классической релятивистской механикой. Раскроем их значение. умножим (50*) справа на \( a^{l} C \) и (50) слева на \( C^{*} \alpha^{l} \). Складывая и учитывая перестановочные соотнощения (I), получим:
\[
\begin{array}{l}
\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k} p_{k}^{2}}\left(C^{*}(+)_{\alpha}^{l} C^{(+)}\right)=p_{l}\left(C^{(+)^{*}} C^{(+)}\right), \\
-\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k} p_{h}^{2}}\left(C^{\left.(-)^{*} \alpha^{l} C^{(-)}\right)}=p_{l}\left(C^{\left.(-)^{*} C^{(-)}\right)} .\right.\right.
\end{array}
\]

Используя выражения для энергии
\[
E= \pm c \sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k} p_{k}^{2}}
\]

и скорости частицы, совпадающей с групповой скоростью волны:
\[
v_{k}=\frac{\partial E}{\partial p_{k}^{\prime}}=\frac{c^{2} p_{k}}{E}=\frac{ \pm c p_{k}}{\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum p_{k}^{2}}},
\]
получим, что независящую от времени часть \( J_{k} \) можно записать так:
\[
\bar{J}_{k}=\int v_{k}^{(+)}(p)\left(C^{*(+)} C^{(+)}\right) d p+\int v_{k}^{(-)}(p)\left(C^{*(-)} C^{(-)}\right) d p \cdot\left(54^{\prime}\right)
\]

Накладывающуюся на это осцилляцию с частотьй \( 2 \frac{|E|}{\hbar} \) Щредингер назвал «дрожанием» («Zitterbewegung»). Это осциллирующее движение является следствием интерференции частей волнового пакета, принадлежащих к положительным и отрицательным энергиям; если волновые пакеты содержат собственные функции, соответствующие только одному знаку энераии, то \”дрожание» отсутствует.

Так же как и в токе, «дрожание» проявляется и в движении центра волнового пакета:
\[
\bar{x}_{k}=\int x_{k} W(x) d x=-\frac{\hbar}{i} \int \sum_{p} \varphi_{p}^{*} \frac{\partial \varphi_{p}}{\partial p} d p .
\]

Из уравнения непрерывности непосредственнно следует:
\[
\frac{d \bar{x}_{k}}{d t}=J_{k} .
\]

Постоянной во времени части \( J_{k} \) соответствует равномерное движение \( \bar{x}_{k} \), осциллирующей части-осцилляции \( x_{k} \). Прежде всего приходит мысль ввести дополнительное условие в теорию, допускающее лишь такие волновые пакеты, которые содержат собственные функции, принадлежащие исключительно к положительным энергиям. Это действительно возможно, если иметь в виду только случай свободной частицы; однако при наличии сил такое условие не согласуется с релятивистской инвариантностью и принципом соответствия с классической релятивистской механикой (см. § 5).

Математическая формулировка поведения общего волнового пакета и его свойств с течением времени становится более наглядной, если перейти от волновых. функций к операторам \( { }^{1} \).) Этот пе-
2) E. Schrodinger, Berl, Ber., 1930, crp: 418; 1931, S. 63; V. Fock, Zs. f. Phys., 55, 127, 1929; 68, 527, 1931 (в этой работе имеется таюже применение к случаю наличия сил). Далее, дискуссия, см. Е. Schródinger, ibid, 70, 808, 1931; V. Fock, ibid, 70, 811, 1931.

реход производится точно так же, как в случае нерелятивистской волновой механики, только операторы действуют теперь также на индекс \( \rho \), который пробегает четыре значения и всегда, когда производится интегрирование по координате или импульсу, следует суммировать также по p. Если \( D \)-оператор, который действует на функции \( u_{p}(x) \), то
\[
(D u)_{\rho}=\sum_{\sigma} D_{\rho \sigma} u_{\sigma} .
\]

Оператор будет эрмитов, если для произвольных функций \( u_{p} \) и \( v_{\rho} \) имеем:
\[
\int \sum_{\rho}(D v)_{p}^{*} u_{\rho} d x=\int \sum_{\rho} v_{\rho}^{*}(D u)_{\rho} d x .
\]

Изменение онератора во времени определяется требованием, что для двух произвольных решений \( \psi_{p}(t), \psi_{p}^{\prime}(t) \) волнового уравнения должно соблюдаться соотношение:
\[
\int \sum_{\rho} \psi_{p}^{*}(t)\left[\boldsymbol{D}(0) \psi^{\prime}(\boldsymbol{t})\right]_{\rho} d x=\int \sum_{\rho} \psi_{p}^{*}(0)\left[\boldsymbol{D}(t) \mathcal{q}^{\prime}(0)\right]_{p} d x .
\]

Тогда
\[
D(t)=e^{\frac{i}{\hbar} H t} D(0) e^{-\frac{i}{\hbar} H t}
\]

и, таким образом,
\[
\frac{d D}{d t}=\frac{i}{\hbar}(H D-D H) .
\]

Действительно, так как
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=\boldsymbol{H} \psi, \quad-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial t}=\boldsymbol{H} \psi^{\prime},
\]

где \( \boldsymbol{H} \)-гамильтонов оператор, являющийся эрмитовым, и принимая во внимание (58), имеем:
\[
\frac{d}{d t} \int \sum_{p} \psi_{\rho}^{*} D_{\psi_{p}^{\prime}} d x=\frac{i}{\hbar} \int \sum_{p} \psi_{p}^{*}(H D-D H) \psi_{\rho} d x .
\]

При этом предполагается, что \( D \) не зависит явно от времени.
Напишем теперь оператор гамильтона уравнения Дирака для свободной частицы:
\[
\boldsymbol{H}=c\left(\sum_{k=1}^{3} \alpha^{k} \boldsymbol{p}_{k}+\beta m c\right),
\]
17*
причём \( a^{k}, \beta \) коммутируют с \( \boldsymbol{p}_{k} \) и \( \boldsymbol{x}_{i} \) и удовлетворяют соотношениям (I) и, кроме того, выполняется соотношение:
\[
\boldsymbol{p}_{i} \boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{p}_{k}}=\frac{\hbar}{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{\delta}_{i k} \boldsymbol{I} .
\]

Далее, . находим:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{p}}_{k}=\frac{\boldsymbol{i}}{\hbar}\left(\boldsymbol{H} \boldsymbol{p}_{k}-\boldsymbol{p}_{k} \boldsymbol{H}\right)=0, \\
\dot{a}^{k}=\frac{i}{\hbar}\left(H \alpha^{k}-a^{k} H\right)=\frac{2 i}{\hbar}\left(c p_{i-}-\alpha^{k} H\right)=2\left(H \alpha_{i}-c p_{k}\right), \\
\dot{\beta}=\frac{i}{\hbar}(H \beta-\beta H)=\frac{2 i}{\hbar}\left(m c^{2}-\beta H\right)=2\left(H \beta-m c^{2}\right), \\
\end{array}
\]

последнее соотношение имеет место вследствие того, что:
\[
\boldsymbol{H} \boldsymbol{a}_{k}+\boldsymbol{a}_{k} \boldsymbol{H}=2 c \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{k}}, \quad \boldsymbol{H} \beta+\beta \boldsymbol{H}=2 m c^{\mathbf{2}} .
\]

Особенно замечательно уравнение \( \left(6 t_{1}\right) \), которое показывает, что \( c \alpha_{k} \) формально играют роль скоростей, и что последние не связаны так непосредственно с импульсами, как в классической механике. На это обстоятельство впервые указал Брейт \( { }^{1} \) ). Уравнения ( \( 61_{3} \) ) определяют согласно (59′) изменение общего тока во времени.

Отсутствие связи между скоростью и импульсом как раз теснейшим образом связано с возможностью состояний отрицательной энергии. Чтобы в этом убедиться, введём прежде всего по Шредингеру общее разложение волнового пакета на отрицательные и положительные функции. Положительной называется составная часть пакета, образованная исключительно из \( C_{p}^{(+)} \):
\[
\psi_{p}^{(+)}=\int c_{p}^{(+)} \overrightarrow{(r)} e^{\frac{t}{\hbar} \mathbf{p x}} d p .
\]

Точно так же
\[
\psi_{p}^{(-)}=\int C_{p}^{(-)} \overrightarrow{(\mathrm{p})} e^{\frac{\boldsymbol{t}}{\hbar} \mathbf{p x}} d p .
\]

При этом \( C_{p}^{(+)} \)и \( C_{p}^{(-)} \)удовлетворяют соотьетственно угавнениям . \( \left(50_{1}\right) \) и \( \left(50_{2}\right) \). Ввелём теперь оператор \( \vec{\Lambda} \), определённый следующим образом:
\[
\overrightarrow{\boldsymbol{\Lambda}}=\frac{\alpha^{k} p_{k}+\beta m c}{\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k} p_{k}^{2}}}
\]
1) G. Breit, Proc. Nat. Acad. Amer., 14,553, 1928; ibid, 17, 70, 1931

Этот оператор определён в пространстве импульсов, и ясно, каким образом он действует на функции \( \varphi_{\rho}(p) \). \( \vec{\Lambda} \)-эрмитов оператор, квадрат \( \overrightarrow{\boldsymbol{\Lambda}} \) равен 1:
\[
\vec{\Delta}^{8}=1 \text {. }
\]

Таким образом, \( \vec{\Lambda} \) вместе с тем унитарно, далее \( \vec{\Lambda} \) коммутирует с \( p_{k} \) и с оператором Гамильтона. Очевидно, \( \vec{\Lambda} \) переводит каждую из функций \( \varphi_{\rho}^{(+)} \)саму в себя, каждую из функций \( \varphi_{p}^{(-)} \)в ту же функцию, но с отрицательным знаком:

Таким образом:
\[
\vec{\Lambda}_{\varphi_{\rho}^{(+)}}=\varphi_{\rho}^{(+)}, \quad \vec{\Lambda}_{\varphi_{\rho}^{(-)}}=-\varphi_{\rho}^{(-)} .
\]
\[
\vec{\Lambda} \varphi_{p}=\varphi_{p}^{(+)}-\varphi_{p}^{(-)}, \text {если } \varphi_{p}=\varphi_{p}^{(+)}+\varphi_{p}^{(-)} .
\]

Теперь нетрудно определить \( \vec{\Lambda} \) так же и в координатном пространстве. Оператор \( p_{k} \) будет просто \( \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{k}} \), остаётся лишь определить оператор
\[
\begin{array}{c}
\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k} p_{k}^{2}} \cdot \text { Но для функции } \\
\varphi_{\rho}(x)=e^{\frac{i}{\hbar} \vec{p} \vec{x}}
\end{array}
\]

этит оператор уже определён. Такнм образом:
\[
\frac{1}{\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k} p_{k}^{2}}} \int A_{p}(p) e^{\frac{i}{\hbar} \vec{p} \vec{x}} d p=\int \frac{A_{\rho}(p)}{\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k} p_{k}^{2}}} e^{\frac{i}{\hbar} \vec{p} \vec{x}} d p .
\]

Далее, так как
\[
A_{p}(p)=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3 / 2}} \int \psi_{p}\left(x^{\prime}\right) e^{-\frac{i}{\hbar} \vec{p} \overrightarrow{x^{\prime}}} d x^{\prime},
\]

то, введя функцию
\[
\begin{array}{l}
D(x)=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3 / 2}} \iiint \frac{e^{-\frac{i}{\hbar} \vec{p} \vec{x}}}{\sqrt{m^{3} c^{2}+\sum_{k} p_{k}^{2}}} d p_{1} d p_{2} d p_{3}= \\
=\frac{2 \pi}{(2 \pi \hbar)^{3 / 3}} \frac{\hbar}{i} \frac{1}{r} \int \frac{e^{-\frac{i}{\hbar} p_{r}}-e^{+\frac{i}{\hbar} p r}}{\sqrt{m^{2} c^{2}+p^{2}}} p d p,
\end{array}
\]

получаем:
\[
\frac{1^{-}}{\sqrt{m^{3} c^{2}+\sum_{k} p_{k}^{2}}} \psi_{p}(\vec{x})=\int D\left(\vec{x}-\overrightarrow{x^{\prime}}\right) \psi_{p}\left(\overrightarrow{x^{\prime}}\right) d \overrightarrow{x^{\prime}}
\]

Мы не будем здесь исследовать более детально функцию \( D(x) \), которая имеет особенность в \( r=0 \). Подчеркнём лишь, что \( \vec{\Lambda} \) таюже и в координатном пространстве обладает свойством:
\[
\left.\begin{array}{rlrl}
\vec{\Lambda}_{\psi_{p}^{(+)}}^{(+)}=\psi_{\rho}^{(+)}, & & \vec{\Lambda}_{\psi_{p}^{(-)}}=-\psi_{p}^{(-)}, \\
\cdot \psi_{p}^{(+)}=\frac{1}{2}(1+\vec{\Lambda}) \psi_{\rho}, & \psi_{p}^{(1)} & =\frac{1}{2}(1-\vec{\Lambda}) \psi_{p},
\end{array}\right\}
\]

Заметим ещё, что
\[
\frac{1}{\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k} p_{k}^{2}}} \vec{\Lambda}=\frac{a^{k} p_{k}+\beta m c}{m^{2} c^{2}+\sum_{k} p_{k}^{2}}=c H^{-1},
\]

так как; умножив правую и левую части на \( \frac{1}{c} \boldsymbol{H} \), получаем тождество.

С помощью оператйра \( \vec{\Lambda} \) мы можем разложить каждый оператор \( D \) на \”чётную\” и \”нечётную\” составные части. При этом \”чётным» оператосом называется такой, который каждую положительную (или отрицательную) функцию преобразует снова в положительную (или отрицательную); «нечётным» – такой, который каждую положительную (или отрицательную) функцию преобразует в отрицательную (положительную). Так как все положительные функции ортогональны ко всем отрицательным, то математическое ожидание для \”нечётных\” операторов равно нулю во всех состояниях, которые представлены пакетом только с положительными или только с отрицательными энергиями:
\[
\begin{array}{l}
\vec{\Lambda} \boldsymbol{D} \vec{\Lambda}_{\psi}^{(+)}=\vec{\Lambda} D_{\psi}^{(+)}=\left(D_{\psi^{(+)}}\right)^{(+)}-\left(D_{\psi}^{(+)}\right)^{(-)}, \\
\vec{\Lambda} \boldsymbol{D} \vec{\Lambda}_{\psi}^{(-)}=-\vec{\Lambda} D_{\psi}^{(-)}=-\left(D_{\psi}^{(-)}\right)^{(+)}+\left(D_{\psi}^{(-)}\right)^{(-)} .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\frac{1}{2}(D+\vec{\Lambda} \vec{D})=\frac{1}{2} \vec{\Lambda}(\vec{\Lambda} D+D \vec{\Lambda})=g(D)
\]
– «чётная» часть, a ,
\[
\frac{1}{2}(D-\vec{\Lambda} \vec{D})=\frac{1}{2}(\vec{D}-\vec{\Lambda} D) \vec{\Lambda}=u(D)
\]
— «нечётная» часть \( D \), посредством унитарного преобразования
\[
D \rightarrow \vec{\Lambda} D \vec{\Lambda}
\]
\( D=g+u \) переводится в \( g-u \).
Теперь легко найти «чётные» части \( x_{k} \) и \( \beta \). Имеем:
\[
g\left(\alpha_{k}\right)=c \boldsymbol{H}^{-1} p_{k}, \quad g(\beta)=m c^{2} \boldsymbol{H}^{-1} .
\]
«Чётные» части \( \boldsymbol{\alpha}_{\text {i }} \) и \( \beta \) чмеют снова классическую связь с импульсом и энергией, которая не выполнялась для перьоначальных опердторов \( \boldsymbol{a}_{k} \boldsymbol{\beta} \).

Далее находим, принимая во внимание соотношение:
\[
\boldsymbol{x}_{k} \vec{\Lambda}-\vec{\Lambda} \boldsymbol{x}_{k}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \vec{\Lambda}}{\partial p_{k}},
\]
«нечётную\” часть \( \boldsymbol{x}_{\hat{k}} \) :
\[
u\left(x_{k}\right)=\frac{\hbar}{2 i} c \boldsymbol{H}^{-1}\left(\overrightarrow{\alpha^{k}}-p_{h} c H^{-1}\right)=\frac{\hbar}{2 i} c H^{-1} u\left(\overrightarrow{\boldsymbol{a}_{k}}\right),
\]

что совпадает с выражением, найденным Шредингером.
d) Волновое уравнение при наличии сил. В классической релятивистской механике точки мы получаем функцию Гамильтона для заряженной частицы, находящейся под действием внешнего электромагнитного поля посредством замены энергии \( E \) через \( E_{0}+e \Phi_{0} \), импульса \( p_{k} \) через \( p_{k}+\frac{e}{c} \Phi_{k} \). При этом заряд частицы полагается равным-е, что удобно, если мы рассматриваем электрон, \( \Phi_{0} \)-электрический скалярный, а \( \Phi_{k} \) – магнитный векторный потенциалы внешнего поля. Соединяя ( \( \left.\Phi_{k}, \boldsymbol{t} \Phi_{0}\right) \) в четырёхмерный вектор потенциала \( \Phi_{
u} \), а \( \left(p_{k}, i \frac{E}{c}\right) \) в четырёхмерный вектор импульса и энергии \( p_{
u} \), можно формулировать замену в инвариантной форме так, что \( p_{
u} \) должно быть заменено через \( p_{
u}+\frac{e}{c} \Phi_{
u} \), Дирак сохранил это положение также и в квантовой теории, допустив, что волновое уравнение (II) следующим образом обобщается для случая заряжеңной частицы, находящейся под действием внешңих сил:
\[
\sum_{\mu=1}^{4} \gamma^{\mu}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}}+\frac{e}{c} \Phi_{\mu}\right) \psi-i m c \psi=0,
\]

или
\[
\sum_{\mu} \gamma_{\mu}\left(\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{\mu}\right) \psi+\frac{m c}{\hbar} \psi=0 .
\]

Для функции \( \psi^{(+)} \), определённой выражением (8), тогда имеем:
\[
\sum_{\mu}\left(\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}-\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{\mu}\right) \psi^{+} \gamma^{\mu}-\frac{m c}{\hbar} \psi^{+}=0
\]

Определения (20), (9) и (12) для четырёхмерного вектора тока можно оставить неизменными, так как уравнение непрерывности
\[
\sum_{
u=1}^{4} \frac{\partial s^{
u}}{\partial x_{
u}}=0
\]

является и здесь следствием волнового уравнения. Также не изменяются рассуждения о релятивистской инвариантности.

Чрезвычайно важным для теории является то обстоятельство, что лишь напряжённости поля:
\[
F_{\mu
u}=\frac{\partial \Phi_{
u}}{\partial x_{\mu}}-\frac{\partial \Phi_{\mu}}{\partial x_{
u}}
\]

имеют непосредственный физический смысл, тогда как потенциалы определены с точностью до градиента произвольной функции \( f\left(x_{1}, \ldots, x_{4}\right) \). Действительно, заменяя \( \Phi_{\mu} \) через
\[
\Phi_{\mu}^{\prime}=\Phi_{\mu}+\frac{\partial f}{\partial x_{\mu}}
\]

мы оставляем \( F_{\mu
u} \) неизменными. Подстановка (73a) в (III) показывает, что при переходе от \( \Phi_{\mu} \) к \( \Phi_{\mu} \) волновые функции \( \psi_{p} \) преобразуются следующим образом:
\[
\psi_{p}^{\prime}=\psi_{p} e^{-\frac{i e}{\hbar} f} .
\]

Действительно, тогда
\[
\cdot\left(\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{\mu}^{\prime}\right) \dot{\psi}^{\prime}=\left(\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{\mu}\right) \psi .
\]

Имея в виду подобное положение в прежней, развитой Вейлем теории гравитации и электричества, преобразования (73a) и (73b) называют градиентным преоб разованием («Eich-преобразованиями»), а инвариантность вол-
1) F. London, Zs. f. Phys., 42, 375, 1927, H. Wey 1 , ibit, 56, 330,1929

нового уравнения относительно этих преобразований – градиентной инвариантностью (\”Eісһ-инвариантностью\” \( { }^{1} \) ).

Переходя от \( \gamma^{
u} \) к \( \boldsymbol{x}^{k} \) и \( \beta \), можно написать волновое уравнение (III) также следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{c} \frac{\partial t}{\partial t}-\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{0} \psi+ \\
+\sum_{k=1}^{3} \alpha^{k}\left(\frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{k} \psi\right)+i \frac{m c}{\hbar} \beta \psi=0 .
\end{array}
\]

Таким образом оператор Гамильтона, определяемый уравнением
\[
\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}+\boldsymbol{H} \psi=0
\]

имеет следуюший вид:
\[
\boldsymbol{H}=-e \Phi_{0}+c\left[\sum_{k=1}^{\beta} \boldsymbol{x}^{k}\left(p_{k}+\frac{e}{c} \Phi_{k}\right)+m c \beta\right] .
\]

Введём далее вместо \( p_{k} \) и \( \boldsymbol{H} \) операторы, инвариантные относительно градиентного преобразования:
\[
\left.\begin{array}{l}
\vec{\pi}_{k}=p_{k}+\frac{e}{c} \Phi_{k}=\frac{\hbar}{l} \frac{\partial}{\partial x_{k}}+\frac{e}{c} \Phi_{k}, \\
\vec{\pi}_{0}=\frac{H}{c}+\frac{e}{c} \Phi_{0}=-\frac{\hbar}{i} \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}+\frac{e}{c} \Phi_{0}, \\
\vec{\pi}_{4}=i \pi_{0}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{4}}+\frac{e}{c} \Phi_{4} .
\end{array}\right\}
\]

Тогда снова имеем:
\[
\sum_{\mu=1}^{4} \gamma^{\mu} \vec{\pi}_{\mu} \psi-i m c \psi=0
\]

однако, \( \pi_{\mu} \) удовлетворяют перестановочным соотношениям:
\[
\overrightarrow{\pi_{\mu} \pi^{
u}-\pi^{
u} \vec{\pi}_{\mu}}=\frac{\hbar}{i} \frac{e}{c} F_{\mu
u},
\]

в то время как \( p_{\mu} \) коммутируют друг с другом.
Требования релятивистской инвариантности, градиентной инвариантности и соответствия с классической механикой не опр́еделяют ещё однозначно выбора выра́жения (III). Остаётся ещё возможность изменигь выраже+. ние (II), прибавив к нему дополнительный член
\[
\frac{1}{c} M \sum_{\mu} \sum_{
u} F_{\mu
u} \gamma^{\mu} \gamma^{
u} \dot{\psi},
\]

где \( F_{\mu
u} \) означают, как и прежде, напряжённости внешнего Поля, а \( M \) – вещественную постоянную, размерности произведения заряда на длину: Можно, однако, показать, что, уже исходя из волнового уравнения первого порядка без такого дополнительного члена, мы получаем согласие с опытом. При этом автоматически получается также спин электрона (или протона), включая абсолютную величину \( \frac{\text { ећ }}{2 m i} \) его магнитного момента. Это следует считать важнейшим успехом теории Дирака. Действительно, перейдём с помощью тех же операций, которые в случае свободного электрона привели к уравнению (5), от (III) к волновому уравнению второго порядка. Действуя на (III’) оператором
\[
\sum_{\mu=1}^{i} \gamma^{\mu}\left(\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{\mu}\right)-\frac{m c}{\hbar}
\]

слева, получаем:
\[
\sum_{\mu} \sum_{
u} \gamma^{\mu} \gamma_{
u}\left[\left(\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{\mu}\right)\left(\frac{\partial}{\partial x_{
u}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi^{
u}\right)-\frac{m^{2} c^{2}}{\hbar^{2}}\right] \psi=0 .
\]
. Отделим здесь члены с \( \mu=
u \) от членов с \( \mu
eq \gamma \). Первые, в согласии с прежними релятивистскими теориями, дают
\[
\sum_{
u}\left(\frac{\partial}{\partial x_{
u}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{
u}\right)^{2} \psi,
\]

так как \( \left(\gamma^{\mu}\right)^{2}=1 \); члены с \( \mu
eq
u \) дают
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \sum_{\mu} \sum_{
u} \gamma^{\mu} \gamma^{
u}\left\{\left(\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{\mu}\right)\left(\frac{\partial}{\partial x_{
u}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi^{
u}\right)-\right. \\
-\left(\frac{\partial}{\partial x^{
u}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{
u}\right)\left(\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{\mu}\right) \psi=\frac{1}{2} \sum_{\mu} \sum_{
u} \gamma^{\mu} \gamma^{
u} \frac{i e}{\hbar c} F_{\mu
u} \psi,
\end{array}
\]

так как \( \gamma_{\mu} \gamma_{
u}=-\gamma_{
u} \gamma_{\mu} \) для \( \mu
eq \gamma \). Здесь напряжённости поля снова определяются выражением (72). Таким образом конечный результат следующий:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{
u .}\left[\left(\frac{\partial}{\partial x_{
u}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi^{
u}\right)^{2}-\frac{m^{2} c^{2}}{\hbar^{2}}\right] \psi+ \\
+\frac{1}{2} \sum_{\mu} \sum_{
u} \gamma^{\mu} \gamma^{
u} \frac{i e}{\hbar c} F_{\mu
u} \psi=0,
\end{array}
\]

или, введя операторы \( p_{
u}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{
u}} \) :
\[
\sum_{
u}\left(p+\frac{e}{c} \Phi_{
u}\right)^{2} \psi+\frac{1}{2} \sum_{\mu} \sum_{
u} \gamma^{\mu} \gamma^{
u} \frac{\hbar e}{i c} F_{\mu
u} \psi=0 .
\]

Из рассуждений следующего параграфа станет ясно, что в последнем характерном дополнительном члене действительно содержится энергия взаимодействия спина с внешним полем; в этом параграфе будет показано в общем виде, что нерелятивистская волновая механика спина, развитая в части I, § 13, является приближением релятивистской теории Дирака.

Трактовка процессов излучения по принципу соответствия может быть непосредственно перенесена на теорию Дирака. Только тогда в формулу (373) (часть I) для возмущающей энергии излучения следует вместо нерелятивистского выражения [часть 1, (77)] для тока подставить выражение:
\[
i_{k}=(-e) c\left(\psi^{*} \alpha_{k} \psi\right)
\]

То обстоятельство, что в теории Дирака четырёхмерный вектор-потенциал совсем не входит в выражение для тока и только линейно в оператор Гамильтона, упрощает многие доказательства и выкладки по сравнению с нерелятивистской теорией. Важнейшими приложениями теории Дирака, приводящими к характерным для этой теории эмпирически . проверяемым следствиям, являются, вопервых, точные собственные значения электрона в кулоновом центральном поле, совпадающие с выведенными ранее Зомерфельдом в его теории релятивистской тонкой структуры \( { }^{1} \) ), во-вторых, формула Клейна-Ни-
1) W. Gordon, Zs. f. Phys., 48, 11, 1928; C. G. Darwin, Proc. Roy. Soc. London (A),118, 654, 1928. См. главу 3 Handb. \( d \). Phys, Bd. XXIV, 1933 .

шины \( { }^{1} \) ) для интенсивности рассеяния коротковолнового излучения свободным электроном.

Наряду с законом сохранения заряда имеется ещё закоң энергии-импульса. Правда, он утверждает не просто сохранение энергии и импульса одного лишь поля материи. Это имеет место только в случае отсутствия сил. При наличии же электромагнитного поля импульс и энергия будут \” ередаватося системе. В общем случае существует, однако, тензор энергии-импульса \( T_{\mu
u} \), который удовлетворяет соотношению:
\[
\sum_{
u=1}^{4} \frac{\partial T_{\mu
u}}{\partial x_{
u}}=\sum_{
u} F_{\mu
u} s_{
u}=(-e) \sum_{
u} F_{\mu
u}\left(\psi^{(t)} \gamma^{
u} \psi\right) .
\]

Действительно, посредством элементарного вычисления легко вывести это соотношение из волнового уравнения, если положить \( { }^{2} \) ):
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{c} T_{\mu
u}=\frac{1}{2}\left\{\psi^{+} \gamma^{
u}\left[\left(p_{\mu}+\frac{e}{c} \Phi_{\mu}\right) \psi\right]-\right. \\
\left.-\left[\left(p_{\mu}-\frac{e}{c} \Phi_{\mu}\right) \psi^{+}\right] \gamma^{
u} \psi^{\prime}\right\}= \\
=\frac{1}{2} \frac{\hbar}{i}\left(\psi^{+} \gamma^{
u} \frac{\partial \psi}{\partial \ddot{x}_{\mu}}-\frac{\partial \gamma^{+}}{\partial x_{\mu}} \gamma^{
u} \psi\right)+\frac{e}{c} \Phi_{\mu}\left(\gamma^{(+)} \gamma^{
u} \psi\right) .
\end{array}
\]

Второй член прибавлен сюда, чтобы придать компонентам \( T_{\mu
u} \) должную вещественность. При этом ещё не были использованы перестановочные соотношения для дираковских матриц. Однако, их можно использовать, чтобы симметризовать тензор энергииимпульса. Чтобы это показать, умножим сңачала волновое уравнение (III) слева на \( \psi^{(+)} \gamma^{\mu} \gamma^{
u} \), а волновое уравнение (III) справа на \( \gamma^{\mu} \gamma_{\ell}^{
u} \) и сложим. При этом получаем:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{\rho=1}^{4} \psi^{+} \gamma^{\mu} \gamma^{
u} \gamma^{\rho}\left[\left(p_{\rho}+\frac{e}{c} \Phi_{\rho}\right) \psi\right]+ \\
+\left[\left(p_{\rho}-\frac{e}{c} \Phi_{\rho}\right) \psi+\right] \gamma^{\rho} \gamma^{\mu} \gamma^{
u} \psi=0 .
\end{array}
\]
1) O. KIein u. Y. Nishina, Zs. f. Phys., 52, 853, 1929; Y. Nis hina, ibid, 52. 869, 1929; также J. W all er, ibid, 58, 75, 1929. См, главу 5., Handb. d. Phys., т. XXIV, 1933.
2) В прежней релятивистской квантовой теории тензор энергии-импульса был введён Е. Шредингером (Ann. d. Phys, 82, 265,1927 ). Аналогично проводимые вычисления для дираковской теории можно найти у Ф. Мёглиха (F. M 0 g 1 і ch, Zs. f.Phys.; 48, 852,1928 ). Еолее полно рассмотрел вопрос H. T e trod e (ibld., 49, 858,1928 ), показавший возможность симметризации тензора.

Для нас интересен только случай \( \mu
eq
u \), который мы в дальнейшем и рассматриваем. Отделим члены с \( p=\mu \) и \( \rho=
u \), с одной стороны, и члены с \( \rho
eq \mu, \rho
eq
u \), с другой, причём последние будем отнечать штрихом при знаке суммы. Учитывая перестановочные соотношения (I?) для матриц \( \gamma^{\mu} \), полуюаем:
\[
\begin{array}{l}
-\frac{2}{c}\left(T_{\mu
u}-T_{
u \mu}\right)=\sum_{\substack{\rho
eq \mu \\
\rho
eq
u}}^{\prime} \psi^{+} \gamma^{\mu
u
u} \gamma^{\rho}\left[\left(p+\frac{e}{c} \Phi\right) \psi\right]+ \\
+\left[\left(p_{\rho}-\frac{e}{c} \Phi_{\rho}\right)+\right] \gamma^{\mu} \gamma^{
u} \gamma^{\rho} \psi^{
u} \\
\end{array}
\]

или
\[
\frac{2}{c}\left(T_{\mu
u}-T_{
u \mu}\right)=\frac{\hbar}{i} \sum_{\substack{\rho
eq \mu \\ \rho
eq
u}}^{\prime} \frac{\partial}{\partial x_{\rho}}\left(\gamma^{+} \gamma^{\mu} \gamma^{
u} \gamma^{\rho}\right) .
\]

Отсюда, однако, следует, что вследстьие антисимметіни \( \gamma^{
u} \gamma^{p} \) относительно \( \rho \) и \(
u \) при \( \rho
eq
u \) дивергенция \( T_{\mu
u}-T_{
u \mu} \) обращается в нуль:
\[
\sum_{
u=1}^{4} \frac{\partial}{\partial x_{
u}}\left(T_{\mu
u}-T_{
u \mu}\right)=0 .
\]

Образуем антисимметрический тензор:
\[
\theta_{\mu
u}=\theta_{\gamma \mu}=\frac{1}{2}\left(T_{\mu
u}+T_{
u \mu}\right)=T_{\mu
u}-\frac{\hbar c}{4 i} \sum_{\substack{\rho
eq \mu \\ \rho
eq
u \\(\mu
eq
u)}}^{\prime} \frac{\partial}{\partial x_{\rho}}\left(
u^{(+)} \gamma^{\mu} \gamma^{
u} \gamma^{\rho} \psi\right)
\]
(для \( \mu=
u \) последний член опускается). Этот тензор удовлетворяет также соотношениям вида (75),
\[
\sum_{
u=1}^{4} \frac{\partial \Theta_{\mu
u}}{\partial x_{
u}}=\sum_{
u}^{4} F_{\mu
u} s_{
u}=(-e) \sum F_{\mu
u}\left(\gamma_{\gamma}^{+} \gamma_{\tau}^{
u}\right) .
\]

Как о частном применении соотношений (75) и (75′) упомянем 0 законе сохранения импульса и законе сохганения момента импульса. Производя пгеобразования с помощью интегрирования по частям и учитывая (18), получаем для \( k=1,2,3 \) :
\[
\begin{array}{l}
J_{k}=\frac{1}{i c} \int T_{l u} d V=\frac{1}{i c} \int \theta_{k u} d V= \\
=\frac{1}{i} \int\left(\psi^{(+)} \gamma^{4} \pi_{h} \psi\right) d V=\int\left(t^{*} \pi_{, .,}\right) d V \\
\end{array}
\]

и
\[
\dot{j_{k}}=-(e) \int \sum_{
u} F_{k
u} s_{
u} d V
\]

Согласно (Е9), это эквивалентно следующему операторному соотношенио, которое можно вывести непосредственно из (76):
\[
\frac{d}{d t} \pi_{k}=\frac{e}{c} \frac{\partial \Phi_{k}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}\left(\overrightarrow{H \pi_{k}-\vec{\pi}_{k}} \boldsymbol{H}\right)=(-e)\left(E_{k}+\sum_{l=1}^{3} \overrightarrow{F_{k l} \vec{a}_{l}}\right) .
\]

Далее из (75′) следует закон сохранения момента импульса: Если
\[
P_{i k}=-P_{h i}=\frac{1}{i c} \int\left(x_{i} \theta_{h}-x_{k} \theta_{i s}\right) d V \quad(t, k=1,2,3)
\]

и
\[
d_{i k}=(-e) \sum_{
u}\left(x_{i} F_{k
u}-x_{k} F_{i v}\right) s_{
u}
\]

или, в операторном виде
\[
d_{i k}=(-e)\left[x_{i} E_{k}-x_{k} E_{i}+\sum_{l=1}^{3}\left(x_{i} F_{k l}-x_{k_{k}} F_{l l}\right) \alpha_{l}\right],
\]

то имеем
\[
\dot{P}_{i k}=\int d_{i k} d V .
\]

При выводе последнего соотношения из (75′) существенно использовать симметрию тензора \( \theta_{i x} \).

Подставляя (76) и (78) в (81), можно преобразовать выражения для компонентов момента импульса. Выполнив зту подстановку, получаем:
\[
\text { – } P_{i k}=\frac{1}{i} \int \psi^{(+)} \gamma^{4}\left(x_{\imath} \pi_{k}-x_{k} \pi_{i}\right) \psi d V+\frac{\hbar}{2} \int\left(\psi^{(t)} \gamma^{4} \gamma^{i} \gamma_{\psi} \psi\right) d V,
\]

или, согласно (18):
\[
P_{i k}=\int \psi^{*}\left[\left(x_{i} \pi_{k}-x_{k} \pi_{i}\right)+\frac{\hbar}{2}\left(-\frac{1}{i} \alpha^{\prime} \alpha^{k}\right)\right] \psi d V .
\]

Соотношение (83) также может быть написано в операторной форме:
\[
P_{i k}=x_{i} \vec{\pi}_{k}-x_{k} \vec{\pi}_{i}+\frac{\hbar}{2} i \alpha^{t} a^{k}, \quad \frac{d}{d t} P_{i k}=d_{i k},
\]

что легко вывести непосредственна путём перестановки стоящего слева оператора с \( H \).

Наличие добавочного члена \( \frac{\hbar}{2} \alpha^{i} \alpha^{k} \) в операторе момента импульса тесно связано с позедением \( \psi_{p} \) относительно бесконечно малого вращения, за котогое, согласно (32), как раз ответственен оператор \( i \gamma^{i} \gamma^{k}=l \alpha^{i} \alpha^{k} \). По аналогии с негелятивистской теорией можно интерпретировать первую часть оператора

момента импульса \( \vec{x}_{i} \pi_{k}-\boldsymbol{x}_{k} \vec{\pi}_{i} \) как «орбитальный момент», вторую часть \( \frac{\hbar}{i} i \alpha^{i} \alpha^{k} \) – как \”спиновый момент\”. Однако, следует всегда помнить, что в релятивистской теории это разделение момента импульса на две части не соответствует непосредственно наблюдаемым физическим явлениям. В электрическом поле с центральной симметрией момент \( d_{i k} \), очевидно, исчезает и момент импульса отаётся постоянным во времени.