Уже в § 5 мы указали связь уравнения волновой мехаңики с классической механикой; а именно оказалось, что центр волнового пакета всегда движется так же, как движется материальная точка; на которую действует сила, равная среднему значению классической силы, по волновому пакету. Это само по себе не означает ещё полного предельного перехода к классической механике. Действительно, ведь классическая сила может на протяжении волнового пакета очень сильно изменяться, и поэтому среднее значение классической силы может сколь угодно сильно отличаться от значения силы в центре тяжести пакета. Только тогда, когда можно построить волновой пакет, внутри которого классическая сила изменяется достаточно мало, получается совпадение со свойствами системы, выведенными из траекторий классической механики. Кроме того, волновой пакет можно рассматривать только за такой промежуток времени, в течение которого размеры пакета изменяются лишь немного. Если речь идёт о стационарных состояниях и периоди-
\( 10 * \)

ческих траекториях, то нужно потребовать, чтобы это время равнялось, по крайней мере, нескольким периодам обращения. Только тогда свойства содержащихся в волновом пакете стационарных состояний, если последние относительно мало отличаются друт от друга, могут приближённо описываться с помощью траекторий.

Предельный переход от волновой механики к классической механике формально аналогичен переходу от волновой оптики к оптике геометрической (Гамильтон). Эта аналогия послужила даже исходной точкой для рассуждений де-Бройля и Шредингера, которые привели к установлению волновой механики. Этот переход получается, если в общем волновом уравнении
\[
-\frac{\hbar}{t} \frac{\partial \psi}{\partial t}=\boldsymbol{H} \psi
\]

сделать для \( \psi \) подстановку
\[
\psi=e^{\frac{i}{\hbar} S}
\]

и разложить, после этого \( S \) по возрастающим степеням \( \left.\hbar / i^{1}\right) \) :
\[
S=S_{0}+\left(\frac{\hbar}{i}\right) S_{1}+\left(\frac{\hbar}{i}\right)^{2} S_{2}+\ldots
\]

Введём следующее предположение для оператора Гамильтона, который мы запишем сперва в декартовых координатах:
\[
\boldsymbol{H}=\sum_{k} \frac{1}{2 m_{k}}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{k}}+A_{k}\right)^{2}+V,
\]
[ср. (97) и (98)]; мы заменили здесь \( \Sigma V^{(a)}\left(x^{a}\right) \) на \( V\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right) \). Здесь \( A_{k}=-\frac{e_{k}}{c} \Phi_{k} \) и \( V \) могут быть любыми (веществеңными) функциями координат \( q \). Тогда
1) Такое предположение было сделаро впервые в статьях:
G. Wentze1, Zs. \( f \). Phys., 38, 518, 1926 и L. В вillouin, c. R., 183, 24, 1926 .

\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{k}}+A_{k}\right) e^{\frac{1}{\hbar} S}=\left(\frac{\partial S}{\partial q_{k}}+A_{k}\right) e^{\frac{1}{\hbar} S} \\
\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{k}}+A_{k}\right)^{2} e^{\frac{1}{\hbar} S}= \\
=\left[\left(\frac{\partial S}{\partial q_{k}}+A_{k}\right)^{2}+\frac{\hbar}{i}\left(\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{k}^{2}}+\frac{\partial A_{k}}{\partial q_{k}}\right)\right] e^{\frac{i}{\hbar} S} .
\end{array}
\]

Волңовое уравнение даёт, следовательно, после сокращения на множитель \( e^{\frac{i}{\hbar} S} \), без каких-либо пренебрежений
\[
\begin{array}{l}
-\frac{\partial S}{\partial t}=\sum_{i k} \frac{1}{2 m_{k}}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial q_{k}}+A_{k}\right)^{2}+\right. \\
\left.+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{k}}\left(\frac{\partial S}{\partial q_{k}}+A_{k}\right)\right]+V,
\end{array}
\]

что в силу разложения (262) переходит, наконец, в последовательные уравнения
\[
-\frac{\partial S_{0}}{\partial t}=\sum_{k} \frac{1}{2 m_{k}}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{k}}+A_{k}\right)^{2}+V=H\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{k}}, q_{k}\right)\left(264_{0}\right)
\]
(это означает, что здесь в гамильтоновой функции просто заменяется \( p_{k} \) на \( \frac{\partial S_{0}}{\partial q_{k}} \) ); далее,
\[
\left.\begin{array}{c}
-\frac{\partial S_{1}}{\partial t}=\sum_{k} \frac{1}{2 m_{k}}\left[2\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{k}}+A_{k}\right) \frac{\partial S_{1}}{\partial q_{k}}+\right. \\
\left.+\frac{\partial}{\partial q_{k}}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{k}}+A_{k}\right)\right]
\end{array}\right\}\left(264_{1}\right)
\]

Вместо (264, можно также написать
\[
-\frac{\partial}{\partial t} e^{2 S_{1}}=\sum_{k} \frac{\partial}{\partial q_{k}}\left[\frac{1}{m_{k}}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{k}}+A_{k}\right) e^{2 S_{1}}\right] .
\]

Уравнение (264) и (265) имеют простой физический смысл. Первое представляет собой известное дифференциальное уравнение в частных производных ГамильтонаЯкоби классической механики. При этом следует заметить, что в области, достижимой рассматриваемым семей-

ством траекторий, решения этого уравнеңия вещественны. Согласно (264), тогда и \( S_{1} \) вещественно в этих областях. Если предположить, что \( S_{0} \) и \( S_{1} \) вещественны, то (265) совпадает с уравнением непрерывности (при пренебрежении \( S_{2} \ldots \) ). Действительно, тогда
\[
\begin{aligned}
\rho & =\psi^{*} \psi=e^{2 S_{1}} \\
i_{k} & =\frac{1}{2 m_{k}}\left[\psi^{*}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \dot{j}}{\partial q_{k}}+A_{k} \psi\right)+\psi\left(-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial e^{*}}{\partial q_{k}}+A_{k} \psi^{*}\right)=\right. \\
& =\frac{1}{m_{r i}}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{k}}+A_{k}\right) e^{2 S_{1}} .
\end{aligned}
\]

Так как
\[
\dot{q}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}}=\frac{1}{m_{k}}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{k}}+A_{k}\right),
\]

т 0
\[
i_{k}=\dot{p} q_{k}
\]

и (265) принимает форму уравнения непрерывности:
\[
\frac{\partial p}{\partial t}+\sum_{k} \frac{\partial}{\partial q_{k}}\left(\rho \dot{q}_{k}\right)=0 .
\]

Проведём через точку \( q \)-пространства, в которой \( S_{0} \) вещественно, механическую траекторию в соответствии с уравнением (266). [Если решение \( S_{0} \) уравнения (264) не содержит иных параметров, то получается одна траектория; в общем случае каждому специальному выбору числовых значений, входящих в \( S_{0} \) параметров \( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \), соответствует определённая механическая траектория.] Согласно (265′), плотность остаётся постоянной во времени вдоль этой траектории. Следовательно, в рассматриваемом приближении волновые пакеты ведут себя точно так же, как совокупности материальных точек, движущихся по классическим механическим траекториям. Справедливость второй половины классических уравнений движения
\[
\dot{p}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial q_{k}}
\]

для этих траекторий является, как известно из теории Гамильтона-Якоби, простым следствием (264) и (266).

Что касается области применимости рассматриваемого приближения, то она может быть, согласно (263), оха-

рактеризована следующим образом: в (263) член, умноженный на \( \hbar / i \), должен быть мал по сравнению с первым членом. Итак, вводя сокращённое обозначение
\[
\pi_{k}=\frac{\partial S}{\partial q_{k}}+A_{k}=p_{k}+A_{k}=m_{k} \dot{q},
\]

получаем
\[
\hbar \sum_{k} \frac{\partial \pi_{k}}{\partial q_{k}} \ll \sum_{k} \pi_{k}^{2} .
\]

Для отдельной частицы при отсутствии магнитного поля имеем:
\[
\pi_{k}=p_{k}=\frac{\hbar}{\lambda} n_{k},
\]

где \( n_{k} \)-компоненты единичного вектора в направлении движения, так чта (268) тогда запишется так:
\[
\lambda^{2} \sum_{k} \frac{\partial}{\partial q_{k}}\left(\frac{n_{k}}{\lambda}\right) \ll 1
\]

или
\[
\sum_{k}\left(\lambda \frac{\partial n_{k}}{\partial q_{k}}-n_{k} \frac{\partial \lambda}{\partial q_{k}}\right) \ll 1 .
\]

В одномерном случае, когда \( n_{k}= \pm 1 \), это условие ещё проще:
\[
\left|\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right| \ll 1 .
\]

Неравенство (268), вообще говоря, нарушается в точках возврата, где одно из \( \pi_{k} \) и, следовательно, \( \dot{q}_{k} \) обращается в нуль, так что в этих точках \( \partial \pi_{k} / \partial q_{k} \) может сделаться бесконечно большим. В частности, это всегда имеет место в случае одномерного движения. Следовательно, вблизи таких точек возврата классическая механика отказывается служить. Поведение решений вблизи этих критических точек требует особого исследования, и мы обсудим его ниже. Уравнения (264) и (265) можно, однако, применить также и в недостижимой по классической механике области, где \( S_{0} \) мнимо, так как. при выводе

этих уравнений не было сделано никакого предположения о вещественности функций. Для стационарного решения
\[
\psi=e^{-\frac{i}{\hbar} E t} u
\]

можно положить
\[
S=-E t+\bar{S}, \quad u=e^{\frac{i}{\hbar} \bar{s}},
\]

где теперь \( \bar{S} \) и \( u \) не зависят от \( t \). Разлагая
\[
\bar{S}=\bar{S}_{0}+\frac{\hbar}{i} \bar{S}_{1}+\ldots,
\]

тогда получаем
\[
\begin{array}{c}
\sum_{k} \frac{1}{2 m_{k}}\left(\frac{\partial \bar{S}_{0}}{\partial q_{k}}+A_{k}\right)^{2}+V=H\left(\frac{\partial \bar{S}_{0}}{\partial q_{k}}, q_{k}\right)=E, \\
0=\sum_{k} \frac{1}{2 m_{k}}\left[2\left(\frac{\partial \bar{S}_{0}}{\partial q_{k}}+A_{k}\right) \frac{\partial \bar{S}_{1}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial}{\partial q_{k}}\left(\frac{\partial \bar{S}_{0}}{\partial q_{k}}+A_{k}\right)\right], \\
0=\sum_{k} \frac{\partial}{\partial q_{k}}\left[\frac{1}{m_{k}}\left(\frac{\partial \bar{S}_{0}}{\partial q_{k}}+A_{k}\right) e^{2 \bar{S}_{1}}\right] .
\end{array}
\]

Предыдущие рассуждения легко обобщить на случай криволинейных координат. Пусть \( d s^{2}=\sum_{x} \sum_{\lambda} g_{\mathbf{x} \lambda} d q_{\mathrm{x}} d q_{\lambda} \)-элемент длины, \( g^{\boldsymbol{\lambda} \lambda} \)-матрицы, обратная \( g_{\mathbf{x} \lambda}\left(g_{\mathbf{x}} g^{\lambda \alpha}=\delta_{\mathbf{x}}^{\lambda}\right), \quad D \) – квадратный корень из детерминанта \( g=\left|g_{x \lambda}\right| \). Тогда волновое уравнение, согласно § 5, стр. \( 68\left(97^{*}\right) \), имеет вид
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}=\frac{1}{2 D}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{\mathrm{x}}}+A_{\mathrm{x}}\right) D g^{\mathrm{\lambda} \lambda}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{\lambda}}+A_{\lambda}\right) \psi+V \psi .
\]

При этом множители \( m_{x} \) мы считаем уже включёнными в \( g_{\mathbf{x} \lambda} \). Здесь и в дальнейшем всегда пгоизводится суммирование по каждому из индексов, встречающемуся два раза. Подстановка (261) тогда даёт
\[
\begin{aligned}
-\frac{i S}{\partial t}=\frac{1}{2} g^{\mathbf{\lambda}}\left(\frac{\partial S}{\partial q_{\chi}}+A_{\mathbf{x}}\right) & \left(\frac{\partial S}{\partial q_{\lambda}}+A_{\lambda}\right)+ \\
& +\frac{1}{2 D} \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q^{2}} D g^{\boldsymbol{\lambda} \lambda}\left(\frac{\partial S}{\partial q_{\lambda}}+A_{\lambda}\right)+V .
\end{aligned}
\]

Введение разложения (2б2) (при учёте \( g^{x \lambda}=g^{\lambda x} \) ) приводит к
\[
\begin{array}{l}
-\frac{\partial S_{0}}{\partial t}=\frac{1}{2} \mathrm{~g}^{\mathbf{\lambda \lambda}}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{\mathbf{x}}}+A_{\mathbf{x}}\right)\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{\lambda}}+\mathrm{A}_{\lambda}\right)+V= \\
=H\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{\mathbf{x}}}, q_{\mathbf{z}}\right) \\
-\frac{\partial S_{1}}{\partial t}=\mathrm{g}^{\mathbf{x \lambda}}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{\mathbf{x}}}+A_{\mathrm{x}}\right) \frac{\partial S_{1}}{\partial q^{\lambda}}+\frac{1}{2 D} \frac{\partial}{\partial q_{\mathbf{x}}} D \mathrm{~g}^{\mathbf{\lambda \lambda}}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{\lambda}}+A_{\lambda}\right),
\end{array}
\]

или
\[
-\frac{\partial}{\partial t} e^{2 S_{1}}=\frac{1}{D} \frac{\partial}{\partial q_{\mathrm{x}}}\left[D g^{\mathbf{x} \lambda}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{\lambda}}+A_{\lambda}\right) e^{2 S_{1}}\right] .
\]

Для
\[
\begin{array}{l}
\rho=D \psi^{*} \psi \\
i^{\boldsymbol{\alpha}}=D \mathrm{~g}^{\boldsymbol{\alpha} \lambda}\left[\psi^{*}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial q_{\lambda}}+A_{\lambda} \psi\right)+\psi\left(-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi^{*}}{\partial q_{\lambda}}+A_{\lambda} \psi^{*}\right)\right]
\end{array}
\]

из волнового уравнения вытекает общее уравнение непрерывности
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial q_{x}} i^{\mathbf{x}}=0
\]

и при вещественном \( S_{0} \) и \( S_{1} \) в рассмотренном приближении снова получаем
\[
\begin{array}{l}
p=e^{2 \mathrm{~S}_{1}}, \\
\dot{q}^{\boldsymbol{x}}=\frac{\partial H}{\partial p_{\boldsymbol{\alpha}}}=\mathrm{g}^{\boldsymbol{\lambda}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{S}_{0}}{\partial q_{\lambda}}+A_{\lambda}\right) \text {, } \\
i^{\mathrm{x}}=\dot{q}^{\mathrm{q}} . \\
\end{array}
\]

Отсюда можно получить те же следствия, которые мы раньше имели в декартовых координатах.

Введение криволинейных координат важно, однако, потому, что при подходящем выборе последних для некоторых гамильтоновых функций удаётся достигнуть разделения переменных. В этом случае стационарное решение \( и \) распадается на произведение функций различных переменных
\[
u=u_{1}\left(q_{1}\right) \ldots u_{f}\left(q_{f}\right)
\]
a \( \overline{\boldsymbol{S}} \) соответственно, распадается аддитивно:
\[
\overline{\boldsymbol{S}}=\overline{\boldsymbol{S}}_{1}\left(q_{1}\right)+\ldots+\overline{\boldsymbol{S}}_{f}\left(q_{f}\right) .
\]

Каждая из этих функций \( S_{\mathrm{x}}\left(q_{\mathrm{x}}\right) \) удовлетворяет тогда в этих переменных дифференциальному уравнению второго порядка. Наряду с постоянной энергией в решение входят в качестве параметров ещё \( f-1 \) новых постоянных \( \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{f} \). Всё, что в дальнейшем говорится о системе с одной степенью свободы, справедливо без каких-либо изменений также и для движения каждой отделённой кординаты \( q_{\mathrm{x}} \) и для соответствующей собственной функции \( u_{\mathrm{x}}\left(q_{\mathrm{x}}\right) \) системы с разделяющимися переменными. В частности, это верно для радиального движения материальной точки под влиянием центрального поля сил.

Разберём теперь более подробно одномерный случай. При этом векторный потенциал следует положить равным нулю, так как магнитное поле в одномерном случае не может проявиться. Для простоты мы будем писать пока \( S \) вместо \( \bar{S}_{0} \) и \( a \) вместо \( e^{S_{l}} \) и исследуем стационарное решение. Тогда в рассматриваемом приближении
\[
u=a e^{\frac{i}{\hbar} \mathrm{S}} .
\]

Таким образом \( \left(264_{0}^{\prime}\right) \) и (265′) принимают следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2 m}\left(\frac{d S}{d x}\right)^{2}+V(x)=E, \\
0=\frac{d}{d x}\left(a^{2} \frac{d S}{d x}\right),
\end{array}
\]

и, следовательно,
\[
p(x)=\sqrt{2 m(E-V(x))}= \pm \frac{d S}{d x},
\]

где
\[
S= \pm \int^{x} p(x) d x .
\]

При этом мы ещё можем распорядиться нижним пределом интеграла в (271), а двойному знаку соответствуют два различных частных решения уравнения (269). Отсюда следует
\[
\begin{array}{c}
a^{2} \frac{d S}{d x}=\text { const }=c^{2}, \\
a=\frac{c}{\sqrt{p(x)}}=\frac{c}{\sqrt[4]{2 m(E-V(x))}} .
\end{array}
\]

Итак, общее решение уравнений (269) и (270) гласит:
\[
u=\frac{C_{1}}{\sqrt{p(x)}} e^{+\frac{i}{\hbar} \int_{a_{1}}^{x} p(x) d x}+\frac{C_{2}}{\sqrt{p(x)}} e^{-\frac{i}{\hbar} \int_{a_{2}}^{x} p(x) d x .} .
\]

Это решение теряет силу єблизи точек, где \( p(x) \) обращается в нуль. В областях, не достижимых по классическим траекториям, где \( E-V(x) \) отрицательно, а \( p(x) \), следовательно, чисто мнимо, также существует решение в форме (273). Мы, ради ясности, запишем решение для этой области в виде
\[
u=\frac{C_{1}^{\prime}}{\sqrt{|p(x)|}} e^{-\frac{i}{\hbar} \int_{a_{1}}|p(x)| d x}+\frac{C_{1}^{\prime}}{\sqrt{|p(x)|}} e^{+\frac{i}{\hbar} \int_{a_{2}}^{x}|p(x)| d x} .
\]

Одного рассмотрения дифференциальных уравнений (269) и (270) геометрической оптики (классической механики) ещё не достаточно, чтобы составить правильное решение из частных решений (273) и (273′) вблизи критической точки возврата, где \( p(x)=0 \). Под «правильным» решением здесь следует понимать, что эти различные частные решения должны апроксимировать одно \( и \) то же частное решение точного волнового уравнения
\[
\hbar^{2} \frac{d^{2} u}{d x^{2}}+p^{2}(x) u=0
\]

в различных областях, где \( p^{2}(x)>0 \) и \( p^{2}(x)<0 \). По крайней мере, вблизи точек возврата неизбежно приходится использовать строгое волновое уравнение.

Поднятый здесь не совсем простой математический вопрос был подробно исследован Крамерсом и его учениками \( { }^{1} \) ). Они получили следующий результат: предполо-
1) H. A Kramers, Zs. f. Phys., 39, 828, 1926; A. Zw a an, Dissert., Utrecht, 1929, см., в частности, гл. III, § 2; K. F. N i ssen, Ann. d. Phys., 85, 497, 1928; H. A. Kramers u. G. P. It tm an n, Zs. t. Phys.,58, 217, 1929, в особенности стр. 221 и 222 .

жим, что \( V(x) \) непрерывно в точке возврата (это даёт возможность использовать комплексную плоскость как вспомогательное средство при доказательстве). Пусть далее справа от точки возврата \( x=a \), т. е. при \( x>a \), \( p^{2}(x)>0 \), а при \( x<a \), напротив, \( p^{2}(x)<0 \). Тогда, по Крамерсу, имеем следующее «правильное решение»:
\[
\left.\begin{array}{ll}
u(x)=\frac{c}{\sqrt{|p(x)|}} e^{-\frac{i}{\hbar} \int_{x}^{a}|p(x)| d x} & \text { для } x<a, \\
u(x)=\frac{c}{\sqrt{|p(x)|}} 2 \cos \left[\frac{1}{\hbar} \int_{a}^{x} p(x) d x-\frac{\pi}{4}\right] & \text { для } x>a .
\end{array}\right\}
\]

В более общем виде
\[
\left.\begin{array}{c}
u(x)=\frac{c}{i \sqrt{|p(x)|}} e^{+\frac{1}{\hbar} \int_{x}^{\pi}|p(x)| d x}+\frac{1}{2} \frac{c}{\sqrt{|p(x)|}} e^{-\frac{1}{\hbar} \int_{x}^{a}|p(x)| d x} \\
u(x)=\frac{c}{\sqrt{p(x)}} e^{i\left[\frac{1}{\hbar} \int_{a}^{x} p(x) d x-\frac{\pi}{4}\right]} \\
\text { для } x>a .
\end{array}\right\}
\]

Образуя вещественную часть обоих выражений (275), что всегда допустимо, снова приходим к (274). Выделение мнимой части приводит также к правильному решению. Второй член в первом выражении (275) настолько мал по сравнению с первым, что лежит в пределах ошибок самого ассимптотического разложения. Для многих целей им можно просто пренебречь. Однако, во всех вопросах, где не только модуль \( u(x) \), но и фаза \( u(x) \) играет существенную роль, отбрасывание этого члена приводит к ошибке. В частности, только благодаря ему поток, образованный для \( x<a \), равен потоку для \( x<a \) в соответствии с требованием уравнения непрерывности.

Вблизи второй точки возврата \( b>a \), слева от которой лежит разрешённая область, аналогично имеем:

—————————————————————-
0002ru_fizik_book4_bez_photo_page-0158.jpg.txt

§ 2] ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД К КЛАССИЧЕСКОИ МЕХАНИКЕ 157
\[
\left.\begin{array}{ll}
u(x)=\frac{c^{\prime}}{\sqrt{|p(x)|}} e^{-\frac{1}{\hbar} \int_{b}^{x}|p(x)| d x} & \text { для } x>b, \\
u(x)=\frac{C^{\prime}}{\sqrt{p(x)}} 2 \cos \left[\frac{1}{\hbar} \int_{x}^{b} p(x) d x-\frac{\pi}{4}\right] \text { для } x<b .
\end{array}\right\}
\]
\( \left(275^{\prime}\right) \)
Теперь мы можем сформулировать квантовые устовия для того случая, когда область, в которой \( p^{2}(x)>0 \), при рассматриваемом значении энергии состоит из одного непрерывного интервала \( a<x<b \). Мы вводим это предположение. Как при \( x=-\infty \), так и при \( x=+\infty \) функция \( u(x) \) должна оставаться ограниченной. Поэтому в обеих областях, \( x<a \) и \( x>b \), следует исключить экспоненциально нарастающие частные решения и оставить там только спадающие (весьма круто) решения. Для этого, согласно (275) и (275′), необходимо, чтобы для всех \( x \) в интервале \( a<x<b \)
\[
C \cos \left[\frac{1}{\hbar} \int_{a}^{x} p(x) d x-\frac{\pi}{4}\right]=C^{\prime} \cos \left[\frac{1}{\hbar} \int_{x}^{b} p(x) d x-\frac{\pi}{4}\right] .
\]

Это возможно только тогда, когда (постоянная) сумма обеих фаз равна целому кратному \( \pi \) :
\[
\frac{1}{\hbar} \int_{a}^{b} p(x) d x-\frac{\pi}{2}=n \pi \text {. }
\]

Обозначая
\[
J=2 \int_{a}^{b} p(x) d x=\oint p(x) d x
\]

имеем
\[
\frac{1}{\hbar} J=\left(n+\frac{1}{2}\right) 2 \pi, \quad J=\left(n+\frac{1}{2}\right) h .
\]

Кроме того
\[
C^{\prime}=(-1)^{n} C .
\]

Это равносильно тому, что \( n \) означает число корней собственной функции. Действительно, когда \( x \) изменяется от \( a \) до \( b \), фаза
\[
\frac{1}{\hbar} \int_{a}^{x} p(x) d x-\frac{\pi}{4}
\]

возрастает от- \( \frac{\pi}{4} \) до \( \left(n+\frac{1}{2}\right) \pi-\frac{\pi}{4} \), следовательно, косинус \( \dot{n} \) раз принимает значение 0 .

Результат (277) приводит к правилу квантования старой квантовой теории, но с «полуцелым квантованием». Это означает, что фазовый интеграл старой квантовой теории равняется полуцелому кратному \( h \). Оказывается, таким образом, что это правило квантования даёт лучшее приближение к волновой механике, чем квантование в целых числах. Из сказанного выше, это следует также и для систем со многими степенями свободы, если переменные для них разделяются. При этом, однако, особо предполагается осцилляторный характер рассматриваемой стенени свободы, т. е. предполагается, что в определённом интервале каждому значению рассматриваемой координаты \( q \) соответствуют два значения скорости частицы \( \dot{q} \), отличающиеся друг от друга знаком, так что каждая точка этого интервала в течение полного периода проходится два раза; тогда как \( q \)-точки вне рассматриваемого интервала не должны быть достижимы для механических траекторий с теми же значениями постоянных интегрирования. Осцилляторный тип степеней свободы противоположен ротационному munу, примером которого может служить угловая координата (прецессионное движение вокруг неподвижной в пространстве оси). Мы увидим, что в этом случае (поскольку речь идёт об орбитальном движении частицы, а не о спине) волновая мехаңика приводит к целочисленному квантованию.

Если для частицы с одной и той же полной энергией имеется больше, чем один разрешённый классической механикой интервал, то волновая механика приводит к своеобразным явлениям, которые основаны на том, что, согласно (275), волновая функция в классически недости-

жимой области не равна точно нулю, а только мала. В то время как го классической механике «потенциальный барьер» конечной высоты совершенно разделяет две области для частицы с определённой полной энергией, волновая функция может «просочиться» из одной области в другую, а стационарное решение будет даже иметь в обеих областях по порядку величины одинаковую плотность \( { }^{1} \) ). Это обстоятельство имеет фундаментальное значение для многочисленных применений квантовой теории \( { }^{2} \) ). Мы ещё вернёмся к нему в части II, § 5, в связи с релятивистской квантовой теорией.

Что касается условия (268\”), то вдали от точек возврата оңо выполняется тем лучше, чем больше квантовое число \( n \). Мы можем теперь нормировать наши собственные функции, причём следует заметить, что при больших квантовых числах фаза
\[
\frac{1}{\hbar} \int_{a}^{x} p(x) d x-\frac{\pi}{4}
\]

представляет собой быстро изменяющуюся функцию. Поэтому теми интегралами, которые содержат быстро изменяюшуюся фазу, можно пренебречь по сравнению с другими, содержащими только медленно колеблющуюся или совсем постоянную фазу. В этом приближении собственные функции ортогональны. Для нормировки получаем условие
\[
4 C^{2} \int_{a}^{b} \frac{d x}{p(x)} \cos ^{2}\left[\frac{1}{\hbar} \int_{a}^{x} p(x) d x-\frac{\pi}{4}\right]=1
\]
1) Прямое обнаружение частицы на потенциальном барьере посредством измерения координаты здесь всегда связано с такой неопределённостью сообщённой частице энергии, что после такого добавка энергии частица и классически могла бы достигнуть запрещённой области.
э) Ср. Н. Ф. Мотт, Волновая механика и физика ядра, ОНТи, 1936; а также Г. Бетеи А. 30 мерфельд, Электронная теория металлов, ОНТИ, 1938; и особенно Е. S ch rödinger, Berl. Ber., 1929, cтp. 668.

или
\[
2 C^{2} \int_{a}^{b} \frac{d x}{p(x)}=2 C^{2} \int_{a}^{b} \frac{d x}{m \dot{x}}=\frac{C^{2}}{m \omega}=1,
\]

если [принимая во внимание определение (276) фазового интеграла \( J] \)
\[
\frac{1}{\omega}=2 \int_{a}^{b} \frac{d x}{\dot{x}}=2 m \int_{a}^{b} \frac{d x}{\sqrt{2 m(E-V(x))}}=\frac{\partial J}{\partial E}
\]

означает период классического движения. Итак,
\[
u_{n}(x)=\sqrt{\frac{m \omega_{n}}{p_{n}(x)}} 2 \cos \left[\frac{1}{\hbar} \int_{a_{n}}^{x} p_{n}(x) d x-\frac{\pi}{4}\right]
\]

представляют собой нормированные функции. Построим теперь матрицу \( x_{n m} \) :
\[
\begin{aligned}
x_{n m}= & \int x u_{n} u_{m} d x=\int x \sqrt{\frac{m \omega_{n}}{p_{n}(x)}} \sqrt{\frac{m \omega_{m}}{p_{m}(x)}} \times \\
& \times 2\left\{\cos \left[\frac{1}{\hbar} \int_{a_{n}}^{x} p_{n}(x) d x-\frac{1}{\hbar} \int_{a_{m}}^{x} p_{m}(x) d x\right]+\right. \\
& \left.+\cos \left[\frac{1}{\hbar} \int_{a_{n}}^{x} p_{n}(x) d x+\frac{1}{\hbar} \int_{a_{m}}^{x} p_{m}(x) d x-\frac{\pi}{2}\right]\right\} d x .
\end{aligned}
\]

Вторым членом можно будет пренебречь по сравнению с первым, так как он содержит сумму фаз и поэтому осциллирует значительно быстрее, чем первый член, в который входит разность фаз. Далее, все величины будут сравнительно медленно изменяться с квантовым числом. Поэтому все разности вида \( F_{n}-F_{m} \) можно заменить дифференциалами \( \frac{\partial F}{\partial J}(n-m) \), где \( J \) снова обозначает фазовый интеграл (276). Дифференцирование по нижнему пределу интеграла \( \int_{a}^{x} p(x) d x \) ничего не вносит,

так как при \( x=a \) подинтегральное выражение равно нулю. Таким образом, полагая
\[
\tau=n-m \text {, }
\]

мы получаем, как это было показано Дебаем \( { }^{1} \) ),
\[
x_{n m}=2 \int_{a}^{b} x \frac{m \omega}{p(x)} \cos \left(2 \pi \tau \int_{a}^{x} \frac{\partial p}{\partial J} d x\right) d x .
\]

Поскольку
\[
\frac{\partial p}{\partial J}=\frac{\partial p}{\partial E} / \frac{\partial J}{\partial E}=\omega \frac{m}{p(x)}=\stackrel{\omega}{\dot{\boldsymbol{x}}}
\]

и, следовательно,
\[
\int_{a}^{x} \frac{\partial p}{\partial j} d x=\omega t
\]

получаем
\[
x_{n m}=2 \int_{0}^{1 / 2} x(t) \omega \cos (2 \pi \tau \omega t) d t=\omega \int_{0}^{1 / \omega} x(t) \cos (2 \pi \tau \omega t) d t .
\]

Разложим классическое движение в ряд Фурье, полагая \( x=0 \) при \( t=0 \) :
\[
x=\sum_{\tau=0}^{\infty} a_{\tau} \cos 2 \pi \tau \omega t
\]

и
\[
a_{\tau}=2 \omega \int_{0}^{1 / \omega} x(t) \cos (2 \pi \omega \tau t) d t .
\]

Итак, в предельном случае больших квантовых чисел мы получаем следующее соотношение:
\[
x_{n m}=\frac{1}{2} a_{\tau}=\frac{1}{2} a_{n-m} .
\]

Благодаря множителю \( 1 / 2 \) сумма
\[
x_{n, n+\tau} e^{2 \pi i
u_{n, n+\tau} t}+x_{n, n-\tau} e^{2 \pi i \gamma_{n, n-\tau} t} .
\]
2) P. Debye, Phys. Zs. 28, 170, 1927.
Общие прпвциды волновоћ механици

переходит как раз в
\[
a_{\tau} \cos 2 \pi \tau \omega t \text {. }
\]

Точно таким же образом можно вместо координатной матрицы вычислить матрицу импульсов. Одновременно этот вывод устанавливает связь с первоначальной формой боровского принципа соответствия.

Путём супергозиции нескольких собственных функций в области больших квантовых чисел можно легко построить волновой пакет, который совершает периодическое движение вблизи классического пути. Этот пакет описывает состояние, при котором приближённо существует траектория частицы \( { }^{1,2} \) ). Пусть пакет охватывает состояния от \( n-k \) до \( n+k \). Время \( t \), в течение которого пакет проходит мимо онределённого места, обладает неточностью \( \Delta t \), задаваемой выражением
\[
\omega \Delta t \sim \frac{1}{k},
\]

а так как
\[
\Delta E=\frac{\partial E}{\partial J} \Delta J=\omega k h,
\]

то
\[
\Delta E \Delta t \sim h
\]

С другой стороны, если ввести в качестве циклической переменной \( \omega t+\delta_{0}=w \), то
\[
\Delta J \Delta w \sim h .
\]

Здесь, мы предположили, что в волновой пакет входит большое число состояний, иначе фаза \( w \) совсем потеряет свой смысл.

Следует, однако, отметить, что для системы подобного рода можно ввести в качестве оператора (функция от \( p \) и \( q \) ), если не \( w \), то, во всяком случае, \( e^{i w} \) и точно так же \( J^{3} \) ). При этом \( J \) является эрмитовым, а \( e^{i w} \) уни-
1) P. Debye, Phys. Zs., 28, 170, 1927.
2) C. G. Darwin, Proc. Roy. Soc., London’ (A), 117, 258, 1927, и, в частности § 8.
3) P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc., London (A), 11i, 279, 1926.

тарным оператором. Оба оператора удовлетворяют перестановочным соотношениям
\[
J e^{i w}-e^{i w} J=e^{i w} h \text { или } \cdot J e^{i w}=e^{i w}(J+h),
\]

откуда при умножении слева на \( e^{-i \omega} \), равно как и при умножении справа на \( e^{-i \omega} \), следует
\( e^{-i w} J-J e^{-i w}=e^{-i w} h \), или \( J e^{-i w}=e^{-i w}(J-h) . \quad(283 \mathrm{~b}) \)
Мы, однако, не будем использовать эти операторы в применениях.

Существенно, что знание фазы периодического движения частицы и знание стационарного состояния взаимно исключают друг друга. Фаза движения частицы (на траектории) в стационарном состоянии не существует, ибо каждая попытка обнаружить её перебрасывает систему в другое стационарное состояние. Только в предельном случае больших квантовых чисел плотность группы волн из многих стационарных состояний может изменяться с течением времени в согласии с классической траекторией. Эта возможность вытекает уже из следующих простых соображений. Вследствие соотношений неопределённости волновой пакет в фазовом пространстве занимает по крайней мере площадь \( h \), тогда как классическая траектория с энергией \( E_{n}, n \)-го состояния, охватывает в фазовом пространстве площадь \( n h \). Только если \( n \) большое число, эта площадь велика по сравнению с \( h \). Только в этом случае, следовательно, действительно может существовать пакет плотности, совершающий обращение по классическому пути.

Мы должны ещё разобрать, как ведёт себя подобный пакет за длительный промежуток времени. При этом существенно, что частоты, входящие в выражеңие плотности пакета
\[
\frac{E_{n+\tau}-E_{n+\sigma}}{h},
\]

где \( -k \leqslant \tau \leqslant+k,-k \leqslant \sigma \leqslant+k \) в общем случае не равны точно целым кратным ( \( \tau-\sigma \) ) о основной частоты, как это было бы при классической дериодической траектории, ибо классическая частота, вообще говоря, зависит от зна-
\( 11 * \)

чения фазового интеграла. Мы можем приближённо положить
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{h}\left(E_{n+-}-E_{n}\right)=\tau \omega+\frac{1}{2} h \frac{\partial \omega}{\partial J} \tau^{2}, \\
\frac{1}{h}\left(E_{n+\tau}-E_{n+\sigma j}=(\tau-\sigma) \omega+\frac{1}{2} h \frac{\partial \omega}{\partial J}\left(\tau^{2}-\sigma^{2}\right) .\right.
\end{array}
\]

Как показал Дарвин, из этого следует, что к неопределённости \( 1 / k \) фазы добавляется ещё новая неопределённость \( k h \frac{\partial \omega}{\partial J} t \). Итак, за время
\[
\Delta t \sim \frac{1}{k h^{\partial \omega}}
\]

пакет целиком размазывается по всей орбите, и фаза полностью теряется. Это происходит после
\[
N=\omega \Delta t \sim \frac{\omega}{k h \frac{\partial \omega}{\partial J}}
\]

оборотов. Волновой пакет может длительно удерживаться, не размазываясь, только для специальных систем, когда частота () совершенно не зависит от начальных условий. Так, например, это соблюдается для гармонического осциллятора или при движении электрона в плоскости под влиянием однородного магнитного поля, пернендикулярного к этой плоскости. Первый из этих случаев был рассмотрен Шредингером \( { }^{2} \) ), второй – Кеннардом \( { }^{2} \) ) и Дарвином \( { }^{3} \) ). В обоих случаях были даны точные решения для волновых групп с такими свойствами.

В заключение следует указать, что прежняя квантовая теория вообще могла сделать определённые высказывания о стационарных состояниях только в частном случае многократно периодических систем, тогда как в волновой механике проблема собственных значений имеет решение всегда. Даже и в этом общем случае, как мы видели, всегда можно построить волновые пакеты, которые движутся вдоль траекторий классической механики. \( \mathrm{C} \) те-
r) E. Schrödingr, Naturwissensch., 14, 664, 1926.
2) E. H. Kennard, Zs. f. Phys., 44, 326, 1927.
8) C. G. D a rwin. l. c. прим. 3 , crp. 174.

чением времени, однако, всегда проходит диффузия волнового пакета (волновой пакет расплывается). По этой причине тот факт, что плотность такого пакета содержит только дискретные частоты, не связан непосредственно с простой периодичностью траекторий классической механики за большие промежутки времени. Периодические соотношения классической механики, как известно, очень сложны (например, для проблемы трёх тел). Для при: менений волновой механики к атомным системам это в силу вышеизложенного не имеет, очевидно, никакого значеңия, что явилось счастливым обстоятельством для волновой механики.