Для более детальной характеристики состояния материальной частицы необходимо прежде всего исследовать, насколько имеют смысл понятия положения и импульса частицы вне области применимости классической механики. Что касается положения частицы, то для его определения пользуются действием частицы, совершаемым ею лишь тогда, когда она находится в определённой точке. К счастью, как раз в рассеянии света мы имеем такое действие, могущее, впрочем, совершаться как элементарными электрическими части-
2) С другой стороны, Н. Бор (N. B o h r, Faraday Lecture, Journ. Chem. Soc., 1932,349, особенно 376 и 377 ) указал на то, что также и в классической статистической механике, правда, в несколько другом смысле, можно говорить о \”дополнительности», с одной стороны, микроскопического движения молекул, с другой стороны, – макроскопической температуры системы.

цами, так и макроскопическими телами. Представим себе, например, что плоскость \( (x, y) \) освещена посредством цуга волн ограниченной длины, причём так, что фиксированная точка \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \) этой плоскости освещается в определённый момент времени \( t_{0} \). Этот момент определяется с погрешностью \( \Delta t \), которая не может быть меньше \( 1 /
u \), где \(
u \)-средняя частота падающего света. Однако, применяя свет возможно более короткой длины волны, можно тем самым уменьшать \( \Delta t \). Представим себе далее интенсивность света столь большой, что, по крайней мере, один световой квант, наверное, будет рассеян частицей, если только световой пучок её освещает. Можно использовать какие-либо оптические увеличительные приборы (камера-обскура, лупа, микроскоп), чтобы с помощью грубого макроскопического определения места действия рассеянного кванта добиться точного определения положения материальной частицы. Для этой цели достаточно наблюдать только один световой квант. Пределы точности определения положения всегда задаются границами оптического изображения, которые, в свою очередь, обусловливаются описываемым диффракционным эффектом классической волновой оптикой. Так, например, известно, что граница точности \( \Delta x \) изображения, полученного с помощью микроскопа, даётся следующим выражением:
\[
\Delta x \sim \frac{\lambda^{\prime}}{\sin \varepsilon},
\]

где \( \lambda^{\prime} \) обозначает длину волны рассеянного излучения, которая может быть отлична от длины волны падающего излучения, а \( \varepsilon \) – половину апертуры объектива. Направление рассеянного кванта внутри этого угла в должно при этом рассматриваться как принципиально неопределённое, а стало быть \( x \)-компонента импульса материальной частицы после столкновения может быть определена с точностью до
\[
\Delta p_{x} \sim \frac{\hbar}{\lambda^{\prime}} \sin \varepsilon,
\]

откуда следует подтверждение соотношения неопределённости
\[
\Delta p_{x} \Delta x \sim \hbar \text {. }
\]
2*

Мы хотим, кроме того, обсудить, с какой точностью вообще возможно определение положения в рассматриваемом мысленном эксперименте. Очевидно, согласно (13), для увеличения точности целесообразно сделать длину волны рассеянного излучения возможно короче. Если бы длина волны рассеянного света была равна длине волны падающего излучения, то можно было бы сколь угодно повысить точность измерения ноложения, выбирая длину волны произвольно малой. Одновременно можно было бы, как уже выше упоминалось, заключить также в произвольно малый интервал момент времени, в который определялось положение. Однако благодаря эффекту Комптона происходит изменение частоты рассеянного излучения, определяемое законами сохранения энергии и импульса. Это приводит к следствию, что даже в пределе при \(
u \rightarrow \infty\left(\lambda=\frac{c}{v} \rightarrow 0\right) \) частота \(
u^{\prime} \) рассеянного излучения не может превышать определённого конечного значения. Пусть \( \vec{p} \) и \( E=c \sqrt{m^{2} c^{2}+\vec{p}^{2}}- \) импульс и энергия материальной частицы до процесса рассеяния. Тогда в пределе \(
u \rightarrow \infty \), дающем максимум для \(
u^{\prime} \) и минимум для \( \lambda^{\prime}=c /
u^{\prime} \), имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}

u^{\prime} \sim \frac{E}{h}=\frac{m_{0} c^{2}}{h} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}, \\
\lambda^{\prime} \sim \frac{h c}{E}=\frac{h}{m c} \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} \cdot
\end{array}\right\}
\]
(При этом очень малые углы рассеяния не рассматриваются, так как они из геометрических соображений не могут быть пригодны для определения положения частицы \( { }^{1} \) ).) Отсюда для максимальной точности определения положения с помоцью описанного здесь экспери-
1) Например для случая, когда падающее излучение направлено противоположно направлению движения частицы, в то время как рассеянное излучение параллельно этому направлению, имеем из законов сохранения импульса и энергии:
\[

u^{\prime}=
u \frac{E+c p_{x}}{2 h
u-c p_{x}+E} ;
\]

мента – рассеяние светового кванта через оптический инструмент – получаем следующее выражение:
\[
\left.\begin{array}{l}
\Delta x \sim \frac{h c}{E}=\frac{h}{m c} \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}, \\
\Delta t \sim \frac{1}{v^{\prime}} \sim \frac{h}{E}=\frac{h}{m c^{2}} \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} .
\end{array}\right\} .
\]

Последнее соотношение следует из того, что продолжительность процесса рассеяния, т. е. время, в течение которого может происходить взаимодействие между световым квантом и материальной частицей, никогда не может быть значительно меньше периода колебаний падающего и рассеянного излучений. Продолжительность измерения положения существенна потому, что она определяет пригодность результатов данного измерения для высказывания о последующих измерениях положения. Повторяемость измерения положения в позднейший момент времени существует в следующем смысле. Если по истечении времени \( \tau \) вновь определить положение, то результат этого измерения в единичном случае не может быть предсказан. Однако, в среднем, при многократном повторении опытов, можно найти определённое среднее положение \( \bar{x}\left(t_{0}+\tau\right) \) со средней ошибкой \( \Delta=\sqrt{\overline{(\Delta x})^{2}} \). и \( \Delta\left(t_{0}+\tau\right)-\Delta\left(t_{0}\right) \) сколь угодно малыми. Если бы момент времени первого измерения положения остался совершенно неопределённым, то результат этого измерения не мог бы применяться для предсказания результатов других таких же опытов и был бы в этом смысле физически неинтересен.

Данная выражением (16) граница точности определения положения имеет значение лишь для атомных ядер и электронов, так как размеры атомов в целом больше, чем отношение \( h / m c \) для них. Имеет ли эта граница для

таким образом, для \( h v \gg E \) :
\[

u^{\prime} \sim \frac{E+c p_{x}}{2 h}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{v_{x}}{c}\right) \frac{m c^{2}}{h} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} .
\]

электронов и ядер принципиальное значение \( { }^{1} \) ), или её можно обойти косвенными методами, нельзя сразу решить посредством элементарных соображений. Это зависит всецело от того, на каких основах может быть успешно построена релятивистская квантовая механика. Кроме того, чтобы не слишком усложнять задач и не переходить за пределы современных знаний, специально не учитывается атомистическая структура масштабов и часов. Поэтому мы не принимаем здесь во внимание невозможность осуществления произвольно малых диафрагм, линз или зеркал. Мы прежде всего здесь подчёркиваем положительное утверждение, что понятие координаты материальной частицы и определённый момент времени имеет также смысл за пределами примеңимости классической механики. Определение положения возможно во всяком случае с бо́льшей точностью, чем длина материальной волны
\[
\lambda_{m}=\frac{h}{|p|}=\frac{h}{m v} \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}},
\]

так как согласно (16)
\[
\Delta x \sim \lambda_{m} \frac{v}{c} .
\]

Таким образом, по крайней мере, в нерелятивистской «вантовой механике, где \( v \ll c \), естественно следующее основное предположение: в каждом состоянии системы (в первую очередь в случае свободной частицы) в любой момент времени \( t \) существует вероятность \( W\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} ; t\right) \) \( d x_{1} d x_{2} d x_{3} \) mого, что частица находится с погрешностью в области \( d x_{1} d x_{2} d x_{3} \) вокруг точки \( x_{1}, x_{2}, x_{3} \).

Формулированное основное предположение само по себе не очевидно и не является следствием соотношения неопределённости (II). Это явствует из того, что (как ниже подробнее будет объяснено, часть \( 2, \S 6 \) ) в случае светового кванта подобное указание его местоположения вне границ применения классической геометрической оптики лишено смысла. Положение светового кванта не может быть определено точнее, чем длина волны
1) Эта точка зрения защищалась Л. Ландау и Р. Пейерльсом (Z s. f. Phys., 69, 56, 1931),

света, и за промежуток времени, меньший, чем период колебаний световой волны. Поэтому не существует плотности световых квант со свойствами, аналогичными плотности материальных частиц \( { }^{1} \) ). Вообще аналогия между светом и материей простирается совсем не так далеко, как это вначале кажется. Она, напротив, полностью исчерпывается фундаментальными соотношениями (I) между энергией-импульсом, с одной стороны, и частотой и волновым числом, с другой, справедливыми как для световых волн, так и для материальных частиц.

В формулировке основного положения содержится неравноправие координат точки и времени, так как координаты положения устанавливаются в промежутке \( d x_{i} \), а координата времени устанавливается точно \( { }^{2} \) ).

В действительности, как мы видели, этот момент времени может быть фиксирован не точнее, чем с погрешностью
\[
\Delta t=\frac{\Delta x}{c},
\]

если ошибка в определении положения по порядку величины равна \( \Delta x \). Только в предельном случае нерелятивистской квантовой теории, где \( c \) считается бесконечно большим, является разумной идеализацией пренебречь промежутком времени \( \Delta t \) при фиксированном \( \Delta x \), что математически и означает положить \( \Delta t \) равным нулю.

Мы переходим к вопросу определения импульса частицы. Здесь также можно, согласно Бору, использовать рассеяние светового кванта на частице, так как эффект
1) В литературе, даже в некоторых учебниках, по этому вопросу встречаются различные неправильные указания.
2) На это обстоятельство особенно указывал Шредингер (Berl. Ber., 1931, стр. 238). В этой связи он таюе подчёркивал, что идеальные, т. е. точно показывающие время, часы должны обладать бесконечно большой неопределённостью в энергии, т. е. бесконечно большой энергией. По нашему мнению это вовсе не означает, что использование обычного понятия времени в квантовой механике является противоречивым, так как можно сколь угодно точно приблизиться к таким идеальным часам. Можно представить себе, например, очень короткий (в пределе бесконечно короткий) цуг волн, который (вследствие наличия соответствующего зеркала) описывает замкнутый путь. (При этом остаётся ещё не рассмотренным, как уже отмечалось в тексте, вопрос о существовании такого зеркала.)

Допплера в определённом направлении рассеянного излучения (вместе с частотой и направлением падающего излучения) позволяет сделать обратное заключение о скорости материальной частицы. Так как точность определения \( v^{\prime} \) ограничена конечной продолжительностью \( T \) взаимодействия между светом и материей, по соотношению
\[
\Delta
u^{\prime}=\frac{1}{T},
\]

то в этом случае – обратно тому, что было при определении положения, – выгодно выбрать время \( T \) большим. Рассмотрим для простоты подробнее случай, когда материальная частица – перед процессом рассеяния – движется в направлении \( +x \), т. е. уже заранее положено, что \( p_{y}=p_{z}=0 \). Пусть на частицу падает излучение в направлении \( -x \), рассеивающееся в направлении \( +x \). Тогда имеем
\[
-\frac{h
u}{c}+p_{x}=p_{x}^{\prime}+\frac{h
u^{\prime}}{c},
\]

или
\[
p_{x}^{\prime}=p_{x}-\frac{h
u}{c}-\frac{h
u^{\prime}}{c}
\]

а также
\[
h
u-h
u^{\prime}=E^{\prime}-E .
\]

Так как у задано, то, зная точно \( v^{\prime} \), мы знали бы точно \( p_{x} \) (и \( p_{x}^{\prime} \) ). Чтобы найти связь неточностей \( \Delta p_{x} \) и \( \Delta \) у \( ^{\prime} \), вычислим из (20) \( \partial v^{\prime} / \partial p_{x} \), считая \( p_{x}^{\prime} \), согласно (19), функцией \( p_{x} \) и \( v^{\prime} \), а \( у \)-постоянной величиной. Принимая во внимание, что
\[
\frac{\partial E^{\prime}}{\partial p_{x}^{\prime}}=v_{x}^{\prime}, \quad \frac{\partial E}{\partial p_{x}}=v_{x}^{\prime}
\]
(эти соотношения справедливы также и в релятивистском случае), находим
\[
-h \frac{\partial
u^{\prime}}{\partial p_{x}}=v_{x}^{\prime}\left(1-\frac{h}{c} \frac{\partial
u^{\prime}}{\partial p_{x}}\right)-v_{x} ; \quad h \frac{\partial
u^{\prime}}{\partial p_{x}}\left(1-\frac{v_{x}^{\prime}}{c}\right)=v_{x}-i_{x}^{\prime} .
\]

Для неточности \( \Delta
u^{\prime} \) находим отсюда:
\[
h \Delta v^{\prime}=\frac{v_{x}-v_{x}^{\prime}}{1-v_{x}^{\prime} / c} \Delta p_{x} .
\]

\( v_{x}^{\prime} \) для малых \(
u \) приблизительно равно \( v_{x} ; v_{x}^{\prime} \) убывает при возрастании \( v \), затем становится отрицательным и для очень больших v переходит, наконец, в -с. Знаменатель \( 1-v_{x}^{\prime} / c \) возрастает при этом от 1 до 2 и но порядку величины всегда:

и, согласно (18),
\[
h \Delta v^{\prime} \sim\left(v_{x}-v_{x}^{\prime}\right) \Delta p_{x}^{\prime},
\]
\[
\Delta p_{x} \sim \frac{h}{\left(v_{x}-v_{x}^{\prime}\right) T} .
\]

С другой стороны, для принципиальной неопределённости положения частицы после процесса, имеем:
\[
\Delta x \sim\left(v_{x}-v_{x}^{\prime}\right) T,
\]

так как остаётся неизвестным, в какой момент времени внутри интервала \( T \) частица меняет свою скорость. Мы находим, таким образом, что соотношение неопределённости снова подтверждается:
\[
\Delta p_{x} \Delta x \sim h .
\]

Уравнение (22) показывает сверх того, что импульс частицы мог бы быть определён даже в произвольно короткое время, если бы изменение скорости частицы в процессе рассеяния могло бы быть произвольно большим. В действительности это изменение скорости не может превышать \( 2 c \), так что по порядку величины имеем
\[
\Delta p_{x} \sim \frac{h}{c \Delta t} .
\]

Здесь вместо \( T \) написано \( \Delta t \), чтобы указать, что \( T \) одновременно обозначает неопределённость момента времени, в который был получен импульс \( p_{x} \). Результаты (22) и (23), давая нижние границы ошибки \( \Delta p_{x} \), не зависят, впрочем, от специальных предположений о направлении луча света и скорости материи.

Для свободной частицы несущественно ограничение точности измерения её импульса продолжительностью времени \( T \), так как импульс частицы в этом случае постоянен во времени. Мы можем, таким образом, предположить: в каждом состоянци системы, в первую оче-

редь в случае свободной частичы, существует вероятность \( W\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) d p_{1} d p_{2} d p_{3} \) того, что в области \( d p_{1} d p_{2} d p_{3} \) импульс частицы имеет значение \( p_{1}, p_{2}, p_{3} \). (Это предположение в случае свободного излучения, очевидно, также справедливо и для световых квантов.)

Впрочем измерения импульсов, даже независимо от ограничения точности соотношением (22), вообще говоря, «неповторимы», так как при этих измерениях происходят, в зависимости от условий, большие, хотя и известные изменения импульса. Только если продолжительность времени измерения \( T \) будет взята такой большой, что при заданном \( \Delta p_{x} \) также и ( \( p_{x}^{\prime}-p_{x} \) ) может быть сделано малым (падающий свет большой длины волны) только в этом случае второе измерение, непосредственно следующее за первым, даст снова тот же результат. Однако, во всех случаях, а также и при кратковременном измерении, результат последующего измерения импульса может быть предсказан на основании предшествующего. Это обстоятельство существенно для вопроса об измерении импульса связанных частиц, так как в этом случае для измерения импульса имеется в распоряжении лишь ограниченный промежуток времени.