Релятивистская квантовая теория должна в двух предельных случаях смыкаться с известными теориями: с одной стороны, с нерелятивистской, волновой механикой, с другой-с классической релятивистской механикой частицы. Можно грубо охарактеризовать эти предельные случаи тем, что в одном случае $limc\to \mathrm{\infty }$, в другом $limh\to 0$. Первый случай обсуждался в предыдущем параграфе, второй мы рассмотрим сейчас. Этот случай важен, например, при рассмотрении опытов по отклонению электронов со скоростями, сравнимыми со скоростью света, во внешних электрических и магнитных иолях; как известно, такие опыты использовались для определения зависимости массы частицы от скорости.

Классическая релятивистская механика частицы с зарядом ( $-e$ ) и массой покоя $m$ покоится на вытекающих из функции Гамильтона
$$H(p_k,x_k)=c\sqrt{m^2{c}^2+\sum _{k=1}^3{(p_k+\frac{e}{c}{\mathrm{\Phi }}_k)}^2}-e{\mathrm{\Phi }}_0$$

канонических уравнениях движения:
$${\dot{x}}_k=\frac{\partial H}{\partial p_k},{\dot{p}}_k=-\frac{\partial H}{\partial x_k}.$$

Введём величины
$${\pi }_k=p_k+\frac{e}{c}{\mathrm{\Phi }}_k.$$

Тогда уравнения движения можно запіисать так:
$${\dot{x}}_k=\frac{c{\pi }_k}{\sqrt{m^2{c}^2+\sum _{k=1}^3{\pi }_k^2}},{\dot{\pi }}_k=(-e)(E_k+\frac{1}{c}[\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{H}{]}_k),$$

где $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{H}$, как и прежде, — напряжённости поля, полученные из потенциалов ${\mathrm{\Phi }}_0,{\mathrm{\Phi }}_k$. Чтобы исследовать, вытекают ли эти уравнения в предельном случае из волнового уравнения, необходимо совершить предельный переход от волнового уравнения к геометрической оптике, аналогичный тому, который разбирался в части 1 , § 12 , в случае нерелятивистской волновой механики. По аңалогии с соотношением (261) (часть I) положим и здесь:
$${\phi }_p=a_p{e}^{\frac{i}{\hslash }s}$$

и разложим $a_p$ по степеням $\hslash /i$ :
$$a_{\mathrm{p}}=a_{\mathrm{op}}+\frac{\hslash }{i}{a}_{1\mathrm{p}}\dots$$

При этом существенно и необходимо, чтобы, волновая функция (эйконал) $S$ не зависела от индекса $\rho$, так как иначе входящий в волновое уравнение экспоненциальңый множитель не сократился бы и потому разумное разложение по степеням $\hslash$ было бы невозможно. Далее, подставляя (101) в волновое уравнение (75), (76), получим
$$\begin{array}{c}{\pi }_0=-\frac{1}{c}\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{e}{c}{\mathrm{\Phi }}_0,{\pi }_k=\frac{\partial S}{\partial x_k}+\frac{e}{c}{\mathrm{\Phi }}_k,\\ (-{\pi }_0+\sum _{k=1}^3{\alpha }^k{\pi }_k+\beta mc)a+\frac{\hslash }{i}(\frac{1}{c}\frac{\partial a}{\partial t}+\sum _{k=1}^3{\alpha }^k\frac{\partial a}{\partial x_k})=0\end{array}$$

Здесь индексы снова опущены, и под $a$ (в противоположность $S,{\pi }_0,{\pi }_k$ ) следует понимать одностолбцовую матрицу, как раньше $\psi$. Подставляя разложение (102) для $a$, получаем далее последовательно, одно за другим, уравнения:
$$\begin{array}{c}(-{\pi }_0+\sum _k{\pi }_k{\alpha }^k+mc\beta )a_0=0,\\ (-{\pi }_0+\sum _k{\pi }_k{\alpha }^k+mc\beta )a_1=-\left({105}_0\right)\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots a_{k=1}^3{\alpha }^k\frac{\partial a_0}{\partial x_k}),\}\left({105}_1\right)\end{array}$$

Чтобы однородная система уравнений ( ${105}_0$ ) имела решения, ${\pi }_0,{\pi }_k$ должны удовлетворять условию:
$$-{\pi }_0^2+\sum _{k=1}^3{\pi }_k+m^2{c}^2=0,$$

которое, в силу (103), идентично с уравнением в частных производных Гамильтона-Якоби в механике частицы. Уравнение ( ${105}_1$ ) даёт тогда ${}^1$ ), что в областях, которые достижимы для частицы с точки зрения классической механики, т. е. где ${\pi }_0,{\pi }_k$ вещественны, для
$$p=\left(a_0^{\ast }{a}_0\right)$$
${}^1)$ Вывод см. W. P au 1i, Helv. Phys. Acta, 5, 179, 193232.
имеет место уравнение непрерывности
$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{k=1}^3\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\rho \frac{c{\pi }_k}{{\pi }_0}\right)=0.$$

Так как
$$\frac{\partial H}{\partial p_k}=\frac{c{\pi }_k}{{\pi }_0},$$

и в силу (106), это означает, что частицы распространяются вдоль классических траекторий, определяемых уравнением (99). Это заключение вполне аналогично тому, что мы имели в нерелятивистской волновой механике, и здесь также условием малости $a_1$ по сравненню с $a_0$ будет малость градиента длины волны материи по сравнению с 1.

Однако, для релятивистской волновой механики характерным обстоятельством является то, что получающиеся траектории есть траектории частицы без спина. Влияние спина на пространственно-временное поведение плотности и тока частицы проявляется лишь в амплитудах $a_1$, содержащих также эффекты диффракции; в этом следующем приближении понятие траектории вообще уже теряет смысл. Это происходит потому, что магнитный спиновый момент пропорционален кванту действия, и проистекающие от спина эффекты описываются теорией Дирака автоматически, не требуя введения нового дополнительного члена. Это подтверждает тезис Бора ${}^1$ ): Спиновый момент электрона, однозначно отделённый от орбитального момента, никогда не может быть определён посредством опытов, к которым применимо классическое понятие траектории частицы. Действительно, опыты, определяющие спиновый момент свободного электрона посредством отклонения в соответствующих внешних силовых полях (например посредством устройства, аналюгичного опыту Штерна-Герлах с пучком молекул), приводят к следующему характерному положению: чтобы отклонение не смазывалось диффракционным эффектом, пучки должны
1) N. Bohr, Atomtheorie und Naturbeschreibung, Berlin, 1931. Вступительный обзор стр. 9; далее Earaday Lecture, Journ, Chem. Soc. 1932, стр. 349 , особенно стр. 367 и 368.

быть достаточно больших размеров. Однако тогда действие силы Лоренца, происходящей от изменения напряжённости поля внутри пучка, делает невозможным наблюдение отклонения, вызванного только действующей на спин силой ${}^1$ ).

Тем не менее для доказательства наличия спина свободного электрона возможно использовать другие эксперименты, не связанные с классической механикой и с понятием траектории. Наиболее интересна возможность доказательства с помощью поляризации электронных волн. Аналогично известному опыту в классической волновой оптике при двукратном рассеянии электронного пучка на каком-либо атоме (или отражении от какоголибо зеркала) интенсивность третичного излучения будет зависеть не толыко от значений угла рассеяния (угла отражения), но также от угла Ф между плоскостью, проходящей через первичный и вторичный лучи, и плоскостью, проходящей через вторичный и третичный лучи. Но в противоположность классической оптике, где интенсивность $J$ третичного излучения зависит только от ${\cos }^2\mathrm{\Phi }$, в случае электронов эта интенсивность при фиксированном угле рассеяния линейна относительно $\cos \mathrm{\Phi }$ и может быть записана в следующей форме
$$J=J_0(1+\delta \cos \mathrm{\Phi }).$$

Для случая рассеяния электрона на неэкранированном ядре этот эффект был рассчитан Моттом ${}^2$ ).

Другая разновидность поляризационных эффектов может быть получена с помощью применения уже направленных атомов ${}^3$ ). Мы не будем подробнее вдаваться в этот вопрос, так как до сих пор не имеется ещё не возбуждающих сомнения экспериментов, которые можно было бы однозначным образом сравнивать с теорией.
) 0 дальнейшей дискуссии см. N. P. Mot t, Proc. Roy. Soc., London (A), 124, 425, 1929; C. G. D a rw in, ibib, 130, 632, 1930; далее материалы Solvey-Kongress, 1930 г., реферат Паули о магнитном электроне.
2) N. F. Mott, Proc. Roy. Soc. London (A), 124, 425, 1929.
3) C. A. L a nd é, Naturwissensch., 17, 634, 1929; E. Fues и H. Hellmann, Phys. Zs., 31, 465, 1930; N. F. Mot t, Proc. Roy. Soc. London (A), 125, 222, 1929; далее в прим. 2 цитир. работ Сольвей-конгрессса.