Релятивистская квантовая теория должна в двух предельных случаях смыкаться с известными теориями: с одной стороны, с нерелятивистской, волновой механикой, с другой-с классической релятивистской механикой частицы. Можно грубо охарактеризовать эти предельные случаи тем, что в одном случае \( \lim c \rightarrow \infty \), в другом \( \lim h \rightarrow 0 \). Первый случай обсуждался в предыдущем параграфе, второй мы рассмотрим сейчас. Этот случай важен, например, при рассмотрении опытов по отклонению электронов со скоростями, сравнимыми со скоростью света, во внешних электрических и магнитных иолях; как известно, такие опыты использовались для определения зависимости массы частицы от скорости.

Классическая релятивистская механика частицы с зарядом ( \( -e \) ) и массой покоя \( m \) покоится на вытекающих из функции Гамильтона
\[
H\left(p_{k}, x_{k}\right)=c \sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k=1}^{3}\left(p_{k}+\frac{e}{c} \Phi_{k}\right)^{2}}-e \Phi_{0}
\]

канонических уравнениях движения:
\[
\dot{x}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}}, \quad \dot{p}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial x_{k}} .
\]

Введём величины
\[
\pi_{k}=p_{k}+\frac{e}{c} \Phi_{k} .
\]

Тогда уравнения движения можно запіисать так:
\[
\dot{x}_{k}=\frac{c \pi_{k}}{\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k=1}^{3} \pi_{k}^{2}}}, \quad \dot{\pi}_{k}=(-e)\left(E_{k}+\frac{1}{c}[\vec{x} \times \vec{H}]_{k}\right),
\]

где \( \vec{E} \) и \( \vec{H} \), как и прежде, – напряжённости поля, полученные из потенциалов \( \Phi_{0}, \Phi_{k} \). Чтобы исследовать, вытекают ли эти уравнения в предельном случае из волнового уравнения, необходимо совершить предельный переход от волнового уравнения к геометрической оптике, аналогичный тому, который разбирался в части 1 , § 12 , в случае нерелятивистской волновой механики. По аңалогии с соотношением (261) (часть I) положим и здесь:
\[
\varphi_{p}=a_{p} e^{\frac{i}{\hbar} s}
\]

и разложим \( a_{p} \) по степеням \( \hbar / i \) :
\[
a_{\mathrm{p}}=a_{\mathrm{op}}+\frac{\hbar}{i} a_{1 \mathrm{p}} \ldots
\]

При этом существенно и необходимо, чтобы, волновая функция (эйконал) \( S \) не зависела от индекса \( \rho \), так как иначе входящий в волновое уравнение экспоненциальңый множитель не сократился бы и потому разумное разложение по степеням \( \hbar \) было бы невозможно. Далее, подставляя (101) в волновое уравнение (75), (76), получим
\[
\begin{array}{c}
\pi_{0}=-\frac{1}{c} \frac{\partial S}{\partial t}+\frac{e}{c} \Phi_{0}, \quad \pi_{k}=\frac{\partial S}{\partial x_{k}}+\frac{e}{c} \Phi_{k}, \\
\left(-\pi_{0}+\sum_{k=1}^{3} \alpha^{k} \pi_{k}+\beta m c\right) a+\frac{\hbar}{i}\left(\frac{1}{c} \frac{\partial a}{\partial t}+\sum_{k=1}^{3} \alpha^{k} \frac{\partial a}{\partial x_{k}}\right)=0
\end{array}
\]

Здесь индексы снова опущены, и под \( a \) (в противоположность \( S, \pi_{0}, \pi_{k} \) ) следует понимать одностолбцовую матрицу, как раньше \( \psi \). Подставляя разложение (102) для \( a \), получаем далее последовательно, одно за другим, уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\left(-\pi_{0}+\sum_{k} \pi_{k} \alpha^{k}+m c \beta\right) a_{0}=0, \\
\left(-\pi_{0}+\sum_{k} \pi_{k} \alpha^{k}+m c \beta\right) a_{1}=-\left(105_{0}\right) \\
\left.\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots a_{k=1}^{3} \alpha^{k} \frac{\partial a_{0}}{\partial x_{k}}\right),\right\}\left(105_{1}\right)
\end{array}
\]

Чтобы однородная система уравнений ( \( 105_{0} \) ) имела решения, \( \pi_{0}, \pi_{k} \) должны удовлетворять условию:
\[
-\pi_{0}^{2}+\sum_{k=1}^{3} \pi_{k}+m^{2} c^{2}=0,
\]

которое, в силу (103), идентично с уравнением в частных производных Гамильтона-Якоби в механике частицы. Уравнение ( \( 105_{1} \) ) даёт тогда \( { }^{1} \) ), что в областях, которые достижимы для частицы с точки зрения классической механики, т. е. где \( \pi_{0}, \pi_{k} \) вещественны, для
\[
p=\left(a_{0}^{*} a_{0}\right)
\]
\( \left.{ }^{1}\right) \) Вывод см. W. P au 1i, Helv. Phys. Acta, 5, 179, 193232.
имеет место уравнение непрерывности
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\sum_{k=1}^{3} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(\rho \frac{c \pi_{k}}{\pi_{0}}\right)=0 .
\]

Так как
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{k}}=\frac{c \pi_{k}}{\pi_{0}},
\]

и в силу (106), это означает, что частицы распространяются вдоль классических траекторий, определяемых уравнением (99). Это заключение вполне аналогично тому, что мы имели в нерелятивистской волновой механике, и здесь также условием малости \( a_{1} \) по сравненню с \( a_{0} \) будет малость градиента длины волны материи по сравнению с 1.

Однако, для релятивистской волновой механики характерным обстоятельством является то, что получающиеся траектории есть траектории частицы без спина. Влияние спина на пространственно-временное поведение плотности и тока частицы проявляется лишь в амплитудах \( a_{1} \), содержащих также эффекты диффракции; в этом следующем приближении понятие траектории вообще уже теряет смысл. Это происходит потому, что магнитный спиновый момент пропорционален кванту действия, и проистекающие от спина эффекты описываются теорией Дирака автоматически, не требуя введения нового дополнительного члена. Это подтверждает тезис Бора \( { }^{1} \) ): Спиновый момент электрона, однозначно отделённый от орбитального момента, никогда не может быть определён посредством опытов, к которым применимо классическое понятие траектории частицы. Действительно, опыты, определяющие спиновый момент свободного электрона посредством отклонения в соответствующих внешних силовых полях (например посредством устройства, аналюгичного опыту Штерна-Герлах с пучком молекул), приводят к следующему характерному положению: чтобы отклонение не смазывалось диффракционным эффектом, пучки должны
1) N. Bohr, Atomtheorie und Naturbeschreibung, Berlin, 1931. Вступительный обзор стр. 9; далее Earaday Lecture, Journ, Chem. Soc. 1932, стр. 349 , особенно стр. 367 и 368.

быть достаточно больших размеров. Однако тогда действие силы Лоренца, происходящей от изменения напряжённости поля внутри пучка, делает невозможным наблюдение отклонения, вызванного только действующей на спин силой \( { }^{1} \) ).

Тем не менее для доказательства наличия спина свободного электрона возможно использовать другие эксперименты, не связанные с классической механикой и с понятием траектории. Наиболее интересна возможность доказательства с помощью поляризации электронных волн. Аналогично известному опыту в классической волновой оптике при двукратном рассеянии электронного пучка на каком-либо атоме (или отражении от какоголибо зеркала) интенсивность третичного излучения будет зависеть не толыко от значений угла рассеяния (угла отражения), но также от угла Ф между плоскостью, проходящей через первичный и вторичный лучи, и плоскостью, проходящей через вторичный и третичный лучи. Но в противоположность классической оптике, где интенсивность \( J \) третичного излучения зависит только от \( \cos ^{2} \Phi \), в случае электронов эта интенсивность при фиксированном угле рассеяния линейна относительно \( \cos \Phi \) и может быть записана в следующей форме
\[
J=J_{0}(1+\delta \cos \Phi) .
\]

Для случая рассеяния электрона на неэкранированном ядре этот эффект был рассчитан Моттом \( { }^{2} \) ).

Другая разновидность поляризационных эффектов может быть получена с помощью применения уже направленных атомов \( { }^{3} \) ). Мы не будем подробнее вдаваться в этот вопрос, так как до сих пор не имеется ещё не возбуждающих сомнения экспериментов, которые можно было бы однозначным образом сравнивать с теорией.
) 0 дальнейшей дискуссии см. N. P. Mot t, Proc. Roy. Soc., London (A), 124, 425, 1929; C. G. D a rw in, ibib, 130, 632, 1930; далее материалы Solvey-Kongress, 1930 г., реферат Паули о магнитном электроне.
2) N. F. Mott, Proc. Roy. Soc. London (A), 124, 425, 1929.
3) C. A. L a nd é, Naturwissensch., 17, 634, 1929; E. Fues и H. Hellmann, Phys. Zs., 31, 465, 1930; N. F. Mot t, Proc. Roy. Soc. London (A), 125, 222, 1929; далее в прим. 2 цитир. работ Сольвей-конгрессса.