Общее исследование понятия измерения.
Прежде чем мы займёмся общим исследованием поведения системы при внешнем возмущающем влиянии, следует привести типичные примеры того, как возможно определение стационарного состояния системы при помощи измерения, т.е. посредством специально подобранного внешнего воздействия. При этом существенно принимать во внимание, что система, даже если она изолирована извне, не обязательно должна находиться в стационарном состоянии, или, что то же самое, не обязательно должна с достоверностью обладать одним единственным значением энергии. Напротив, наиболее общее состояние системы задаётся функцией
\[
\psi=\sum_{n} c_{n}(0) e^{-\frac{2 \pi i}{\hbar} E_{n} t} u_{n}(q)=\sum \dot{c}_{n}(t) u_{n}(q),
\]

с не зависящими от времени, но в остальном произвольными коэффициентами \( c_{n}(0) \). (Если речь идёт о системе с непрерывным спектром энергии, сумму следует заменить интегралом.) В общем случае только измерительная аћпаратура создаёт стационарное состояние. Мы исследуем теперь, как отображается этот процесс в математическом аппарате волновой механики. При

этом мы получим в качестве основного результата простое статистическое истолкование коэффициентов \( c_{n} \).

Простейший способ исследования состояния сиістемы (атома или молекулы) заключается в воздействии на систему внешним силовым полем, на которое системы, находящиеся в различных состояниях, реагируют поразному. Пусть \( Q \) обозначает координату центра тяжести атома или молекулы. Произвольная функция \( \Psi(q, Q ; t) \) может быть представлена в виде
\[
\psi(q, Q ; t)=\sum_{n} c_{n}(Q, t) u_{n}(q, Q) .
\]

Здесь \( q \) обозначает координаты частиц системы по отношению к её центру тяжести, \( u_{n}(q, Q) \) – собственные функции с значениями энергии \( E_{n}(Q) \), которые соответствуют рассматриваемым функциям \( \Phi_{k}(q, Q) \) и \( V(q, Q) \) внешних потенциалов и удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{l}
-\sum_{a=1}^{N} \frac{\hbar^{2}}{2 m^{(a)}} \sum^{3}\left[\left(\frac{\partial}{\partial x_{k}^{(a)}}-i e^{(a)} \Phi_{k}\left(x^{(a)}+Q\right)+\right.\right. \\
\left.\left.+V^{(a)}\left(x^{(a)}+Q\right)+V\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right)\right)\right] u_{n}(q, Q)=E_{n}(Q) u_{n},
\end{array}
\]

аналогичным (97). \( Q \) в этих уравнениях играют роль внешних параметров. Если внешние силы на протяжении системы изменяются мало, то \( \Phi_{k}\left(x^{(a)}+Q\right) \) и \( V^{(a)}\left(x^{(a)}+Q\right) \) можно разложить в ряды и ограничиться небольшим числом первых членов; в большинстве случаев даже первым членом:
\[
\begin{array}{l}
\Phi_{k}\left(x^{(a)}+Q\right)=\Phi_{k}(Q)+\sum_{l=1}^{3} \frac{\partial \Phi_{k}}{\partial Q_{l}} x_{l}^{(a)}+\ldots \\
V^{(a)}\left(x^{(a)}+Q\right)=V^{(a,}(Q)+\sum_{l=1}^{3} \frac{\partial V^{(a)}}{\partial Q_{l}} x_{l}^{(c)}+\ldots
\end{array}
\]

Тогда из общего волнового уравнения для \( c_{n}(Q, t) \) мы получаем, пренебрегая опущенными здесь смешанными

членами, волновые уравнения следующего вида:
\[
-\frac{h}{l} \frac{\partial c_{n}}{\partial t}=-\frac{h^{2}}{2 M} \sum_{l=1}^{3} \frac{\partial^{2} c_{n}}{\partial Q t}+E_{n}(Q) c_{n} .
\]

Физическое значение этих уравнений заключается в том, что зависящее от положения центра тяжести системы собственное значение внутренней энергии системы можно рассматривать просто как потенциальную энергию для движения центра тяжести всей системы.

Что касается природы опущенных смешанных членов, которые будут более подробно рассмотрены в § 11, стр. \( 141-142 \), то они затрудняют разделение волновых уравнений по \( c_{n} \), так как зависят от всех \( c_{n} \) и их первых производных. Влияние их мало в том случае, когда движение системы происходит настолько медленно, что среднее смещение системы \( \Delta Q=\bar{Q}(t+\tau)-\bar{Q}(t) \) за время \( \tau=\frac{\hbar}{E_{n}-E_{m}} \) удовлетворяет условию
\[
\frac{\partial E_{n}}{\partial Q} \Delta Q \ll E_{n}-E_{m} .
\]

Особая осторожность нужна в том случае, когда при отсутствии внешнего силового поля рассматриваемое состояние системы вырождено, так что разность энергий \( E_{n}-E_{m} \) пропорциональна интенсивности внешнего поля. В этом случае неравенство (189) тоже является условием применимости волновых уравнений (188).

Волновые уравнения этого типа составляют основу всех опытов по отклонению молекулярных лучей во внешних силовых полях. Чтобы иметь дело со случаем, когда нет вырождения при наличии внешних силовых полей, можно сначала рассмотреть различные возбуждённые состояния, при которых суммарный вращательный момент системы равен нулю, и исследовать их разделение во внешнем электрическом поле. Пусть \( F \)-напряжённость электрического поля в точке \( Q \); тогда в нашем случае \( E_{n}(Q) \) примет, вообще говоря, форму
\[
E_{n}(Q)=-\frac{\alpha_{n}}{2} F^{2}(Q),
\]

где \( \alpha_{n}, \ldots, \alpha_{m}, \ldots \) – значения электрической поляризуемости атома или молекулы в состояниях \( n, \ldots, m, \ldots \).

В первоначальных опытах Штерна и Герлаха с молекулярным пучком разделились не различные возбуждённые состояния атома, а состояния с различным направлением вращательного момента атома. Энергия этих состояний равна
\[
E_{m}=E_{0}+\hbar o m,
\]

где \( m \)-магнитное квантовое число, пробегающее значения от \( -j \) до \( +j \) (целые\” или полуцелые). Величина \( o \), пропорциональная напряжённости внешнего магнитного поля \( H \), равна частоте ларморовой прецессии \( { }^{1} \) ), умноженной на численный фактор \( g \) (так называемый фактор расщепления Ланде):
\[
0=g \frac{e H}{2 m_{0} c} .
\]

Условие (189) означает здесь, что величины компонент \( H \) по трём закреплённым в пространстве направлениям должны в месте нахождения атома испытывать лишь малые относительные изменения за время \( 1 / \).

Мы можем теперь, положив в снову волновое уравнение (188), обсудить, при каких условиях могут быть разделены во внешнем поле лучи, принадлежащие состояниям \( n \) и \( m \). Представим себе цилиндрический луч с поперечником \( d \), распространяющийся в направлении \( x \). Согласно (82), центр волнового пакета движется вдоль классической траектории, соответствующей потенциальной функции \( E_{n}(Q) \). В силу (84) и (85) и соотңошений неопределённости, ширина такого волнового пакета изменяется в соответствии с неизбежным разбросом начальных импульсов в направлении, перпендикулярном к лучу, порядок которого, по крайней мере, \( p_{y} \sim \hbar / d \). Это можно представить себе так же, как результат диффракции луча при прохождении через ограничивающую диафрагму с отверстием \( d \). Вычислим теперь отклонение
1) Ларморова частота измеряется здесь как круговая частота и имеет в \( 2 \pi \) раз большее значение, чем при обычном обозначении. Далее следует заметить, что уравнение (188) справедливо при изложенных условиях, также и при учёте электронного спина (см. § 13).

\( y_{n}, \ldots, y_{m}, \ldots \) луча во внешнем силовом поле по направлению \( y \), соответствующее состояниям \( n, \ldots, m, \ldots \) за время \( t \). С другой стороны, оценим расширение \( \Delta y \) луча в поперечном направлении за счёт упомянутого явления диффракции за то же время. Чтобы получилось два отчётливо разделённых луча, должно соблюдаться условие:
\[
y_{n}-y_{m} \gg \Delta y .
\]

Если подставить значения входящих сюда величин
\[
y_{n}=\frac{1}{2 M} \frac{\partial E_{n}}{\partial Q_{y}} t^{2}, \quad y_{m}=\frac{1}{2 M} \frac{\partial E_{m}}{\partial Q_{y}} t^{2}, \quad \Delta y \sim \frac{\hbar}{M d} t,
\]

то условие (193) даёт
\[
\frac{\partial\left(E_{n}-E_{m}\right)}{\partial Q_{y}} t \gg \frac{\hbar}{d}, \quad d \frac{\partial\left(E_{n}-E_{m}\right)}{\partial Q_{y}} t \gg \hbar .
\]

Соответствующая разности энергий \( E_{n}-E_{m} \) частота \( v_{n m} \) равна
\[
v_{n, m}=\frac{E_{n}-E_{m}}{\hbar} \text {. }
\]

Обовначим теперь через \( . \delta f=d \frac{\partial f}{\partial Q_{y}} \) изменение какой-либо величины \( f \) на протяжении поперечника луча. Тогда
\[
t \delta v_{n, m} \gg 1 .
\]

Во всех случаях далее справедливо неравенство \( \delta v_{n, m}<v_{n, m} \) (в действительности \( \delta v_{n, m} \) много меньше, чем \( v_{n, m} \) ). Поэтому имеем:
\[
t v_{n, m} \gg 1
\]

Нельзя определить, находится ли система в состоянии \( n \) или в состоянии т за произвольно короткое время. Для такого определения необходимо минимальное время
\[
t \sim \frac{1}{\gamma_{n, m}}=\frac{\hbar}{E_{n}-E_{m}} .
\]

В случае классического опыта Штерна и Герлаха энергия даётся соотношением (191), а минимальное время равно, таким образом, \( 1 \% \), Мы увидим, что минимальное время
общие принципы волновой механики

\( 1 /
u_{n, m} \) получается при всех методах определения состояния системы, а не только для рассмотренного здесь \( { }^{1} \) ).

Отличительным свойством опытов по отклонению.молекулярных пучков является то, что если до опыта молекула (или атом) находилась в одном из состояний \( n, m_{3} \ldots \), то после этого опыта она практически с достоверностью находится в одной из областей \( V_{n}, V_{m}, \ldots \), совершенно разделённых между собой (но, возможно, зависящих от времени). Если, таким образом, вначале было \( c_{n}=1, c_{m}=0 \). для \( n
eq m \), то после такого процесса решение имеет вид
\[
\psi_{n}(q, Q ; t)=a_{n}(Q, t) u_{n}(q, Q) .
\]

Здесь различные \( u_{n}(q, Q) \) при любом заданном \( Q \) ортогональны между собой, как функции переменной \( q \). Кроме того, в случае постоянного в пространстве внешнего поля, \( u \) не зависит от координат \( Q \). Далее, как следствие уравнения непрерывности, имеем
\[
\int a_{n}^{*} a_{n} d Q=1, \quad \int a_{n}^{*} a_{m} d Q=0 \quad \text { при } \quad n
eq m,
\]

и благодаря указанным свойствам опыта,
\[
a_{n}(Q, t) \text { вне } V_{n}(t) .
\]

Линейность волнового уравнения, которую мы здесь используем существенным образом, позволяет найти волновую функцию \( \psi(q, Q ; t) \) системы после опыта по отклонению луча при произвольном внутреннем начальном состоянии системы \( \sum_{n} c_{n} u_{n}(q) \) :
\[
\psi(q, Q ; t)=\sum_{n} c_{n} \psi_{n}(q, Q ; t)=\sum c_{n} a_{n}(Q, t) u_{n}(q, Q),
\]

Согласно развитым уже общим принципам вероятность нахождения системы в области ( \( Q, Q+d Q \) ) при произ.
1). Соотношение (196′) не равносильно по содержанию с рассмотренным ранее соотношением неопределённости \( \Delta E \Delta t \sim \hbar \), так как в последнем речь шла о продолжительности времени, в течение которого частида с энергией, определённой с точностью до \( \Delta E \), находится в определённом несте. Здесь, напротив, не участьуют никакие \( q \)-величины, кроме \( E \) и \( t \).

вольном значении \( q \) равна
\[
W(Q) d Q=d Q \int \psi^{*} \psi(q, Q ; t) d q=\sum_{(n)}\left|c_{n}\right|^{2}\left|a_{n}(Q, t)\right|^{2} d Q \cdot(201)
\]

В силу (199), мы находим далее, что в общем случае вероятность найти атом в области \( V_{n} \) равна
\[
\int_{V_{n}} W(Q) d Q=\left|c_{n}\right|^{2} .
\]

Это статистическое утверждение можно по определению считать равносильным следующему высказыванию: в общем случае \( \left|c_{n}\right|^{2} \) предтавляет собой еероятность того, что система находится в состоянии \( E_{n} \).

Вероятность найти после опыта по отклонению пучіа координату: \( q \) между \( q \) и \( q+d q \) (при любом значении \( Q \) ) равна, в силу (200) и (198),
\[
W(q) d q=d q \int \psi^{*} \psi(q, Q ; t) d Q=\sum_{(n)}\left|c_{n}\right|^{2}\left|u_{n}\right|^{2} d q .
\]

При этом предгіолагается, что \( u_{n} \) уже не зависит от \( Q \), қак было пояснено выше. Совершенно такое же выражение получается для вероятности в пространстве имнульсов. Эти результаты оправдывают сделанные выше определения.

Мы можем рассматривать центр тяжести атома как специальный «измерительный аппарат» (при этом существенно только, чтобы его координаты были новыми степенями свободы системы), а энергию \( E_{n} \) внутреннего состояния системы-как измеряемую величину. Вместо центра тяжести атома можно использовать любой другой аппарат (при этом \( Q \) описывает как бы положение стрелки прибора). Необходимо только потребовать, чтобы этот аппарат с достоверностью различно реагировал на различные состояния системы, что как раз и выражает уравнение (199). Последующее отвлечение от степеней свободы аппарата, которое при расчёте формально сводится к интегрированию вероятностей по \( q \), приводит, в силу (203), к следствию: фазы амплитуд \( c_{m} \), относящихся к измеряемой величине, не входят в окончательный результат. Вероятность найти какую-либо величину \( \xi \), характеризующую систему, между \( \xi \) и \( \xi+d \xi \) равна сумме

этих вероятностей для тех случаев, когда измеряемая величина имеет определённое значение, умноженных на соответствующие весовые факторы \( \left|c_{n}\right|^{2} \) :
\[
W(\xi) d \xi=\sum_{n}\left|c_{n}\right|^{2} W_{n}(\xi) d \xi \quad\left(\sum_{n}\left|c_{n}\right|^{2}=1\right),\left(203^{\prime}\right)
\]

в частности, это верно для канонически сопряжённых величин \( q \) и \( p \), причём \( W_{n}(q)=\left|u_{n}(q)\right|^{2} ; \) а \( W_{n}(p)= \) \( =\left|v_{n}(p)\right|^{2} \). В этом случае рассматриваемую совокупность называют смесью (Gemisch) в отличие от чистого состояния (reine Fall), при котором вероятность \( W(\xi) \) не может быть представлена в виде суммы соответствующих вероятностей всех возможных случаев одновременно для всех величин \( \xi \) или, чего уже достаточно, для двух канонически сопряжённых величин \( \xi \). Измерение внутренней энергии \( E_{n} \) системы и связанное с ним отвлечение от степеней свободы измерительной аппаратуры создаёт из чистого состояния, для которого
\[
W(q) d q=\left|\sum c_{n} u_{n}(q)\right|^{2} d q ; \quad W(p) d p=\left|\sum c_{n} v_{n}(p) d p\right|^{2},
\]

в общем случае (т. е. когда не все \( c_{n} \), кроме одного, исчезают) смесь, для которой
\[
W(q) d q=\sum_{n}\left|c_{n}\right|^{2}\left|u_{n}(q)\right|^{2} d q ; \quad W(p) d p=\sum_{n}\left|c_{n}\right|^{2}\left|v_{n}(p)\right|^{2} d p .
\]

Этот результат, который вытекает из введённых нами ранее предположений, без дополнительных допущений, и существенным образом основывается на линейности всех волновых уравнений, имеет решающее значение для свободного от противоречий понимания измерительного процесса и связанных с ним понятий в волновой механике. Действительно, этот результат указывает, что получаются одинаковые результаты, независимо от того, где производится необходимое разделение между наблюдаемой системой, которая описывается волновой функцией, и измерительной аппаратурой \( { }^{1} \) ).
1) Cp. J. v. Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Berlin, 1932, где в гл. Vl этот вопрос подробно разъяснён.

То обстоятельство, что применяется определённая измерительная аппаратура, находит непосредственное выражение в математическом аппарате квантовой механики. Иначе обстоит дело, когда нужно констатировать, что измерение дало вполне определённый результат; в нашем случае: «центр тяжести атома находится после опыта в области \( V_{n} \) \”, «энергия атома имеет значение \( E_{n} \), а не какое-либо другое зңачение». Такое установление физического факта при помощи не принадлежащих к системе измерительных средств (наблюдателя или регистрирующей аппаратуры) представляет собой с точки зрения математического аппарата теории, описывающего прямо лишь воэможности (вероятности), особый акт, не определённый заранее законами природы, который дополни: тельно входит в вычисления как редукция волнового пакета (в нашем случае \( \sum c_{n} u_{n}(q) \) переходит в \( u_{n}(q) \) ). Совершенно аңалогично обстоит дело уже и с измереңием положения частицы. В этом случае следует заменить \( \Sigma c_{n} u_{n}(q) \) функцией \( \psi(q, t) \) и понимать под \( Q \) координату светового кванта в фокальной плоскости окуляра \( \gamma \)-лучевого микроскопа. Как уже было замечено в § 1, необходимости такого особого акта не следует-удивляться, если вспомнить, что при каждом измерении имеет место некоторое принципиально неконтролируемое взаимодействие с измерительной аппаратурой. При этом важно обратить внимание на то, что способ выражения, согласно которому система должна обязательно иметь определённую внутреннюю энергию \( E_{n} \), или, что то же самое, находиться в определённом стационарном состоянии, независимо от определения энергии с помощью измерений, легко приводит к противоречию, особенно там, где старая квантовая теория говорит о «переходах» между различными стационарными состояниями системы.

Обычно в квантовой механике то, что здесь говорилось об измерениях энергии системы, распространяют также на измерения «любой физической величины». Мы, напротив, обсудим это обобщение несколько позже из-за того, что, как мы видели, для таких измерений необходимо в общем случае конечное минимальное время, и поэтому приходится принять во внимание, что рассматриваемые

величины могут измениться с течением времени (ср. §10). При измерении энергии системы это усложнение отпадает, так как энергия постоянна во времени. Действительно, вероятность того, что энергия системы равна \( E_{n} \), даётся \( \left|c_{n}\right|^{2} \) и, в силу соотношения \( c_{n}(t)=c_{n}(0) e^{-\frac{i}{\hbar} E_{n} t} \), получаем
\[
\left|c_{n}(t)\right|^{2}=\left.c_{n}(0)\right|^{2} .
\]

Вероятность найти определённое значение энергии \( E_{n} \) замкнутой системы не зависит от времени. Это-наиболее общее выражение закона сохранения энергии. Доказанная выше теорема, которая гласит, что среднее значение энергии \( \bar{E} \) всегда постоянно во времени, получается отсюда как частный случай, так как среднее значение равно
\[
\bar{E}=\sum_{n}\left|c_{n}\right|^{2} E_{n} .
\]

Здесь полезно ввести матрицу плотности \( \boldsymbol{P} \). Эта эрмитова матрица, введённа д впервые И. Нейманом \( { }^{1} \) ), позволяет удобно вычислять средние значения какой-либи величины в заданном состоянии.

Пусть имеется состояние, которому соответствует собственная функция
\[
\psi=\sum_{n} c_{n}(0) \psi_{n}(q, t)=\sum c_{n}(0) e^{-\frac{i}{\hbar} E_{n} t} \cdot u_{n}(q) .
\]

Определим в матричном представлении, в котором \( H=E \) приведена к диагональному виду, матрицу
\[
P_{m, n}=c_{n}^{*}(t) c_{m}(t) .
\]

Тогда среднее значение энергии даётся выражением
\[
\bar{E}=\sum_{n} P_{n, n} E_{n}=\sum_{n}(P E)_{n, n} ;
\]

среднее значение \( q \), в силу того, что
\[
\bar{q}=\int q \psi^{*} \psi d q=\sum_{n, m} c_{*}^{*} c_{m} \int q_{\psi_{m}^{*}} d c=\sum_{n, m} c_{n}^{*} c_{m} \dot{q}_{n, m},
\]
1) J. v. Neumann, Göttinger Nachr., 1927, cтp. 245; cp. также P. A. M. Dirac, Proc. Cambidge Phil. Soc., 25, 62, 1929; 26, 376,1930; 27, 240,1930,

\[
\bar{q}=\sum_{n, m} q_{n, m} P_{m, n}=\sum_{n}(q P)_{n, n} .
\]

Подобно этому среднее значение любого оператора \( \boldsymbol{F} \) даётся выражением:
\[
\begin{array}{c}
\bar{F}=\int \psi^{*}\left(\boldsymbol{F}_{\iota}\right) d q=\sum_{n, m} c_{n}^{*}(t) c_{m}(\boldsymbol{t}) F_{n, m}(0)= \\
=\sum_{n, m} F_{n, m}(0) P_{m, n}=\sum_{n}(\boldsymbol{F P})_{n, n} .
\end{array}
\]

Шпур матрицы \( X \), по определенић, равен сумме диагональных членов
\[
\operatorname{Spur}(\boldsymbol{X})=\sum_{n} X_{n n} .
\]

Шпур матрицы имеет важное свойство: шпур произведения двух матриц \( A \) и \( B \) не зависит от порядка сомножителей, т. е. представляет собой коммутативное образование
\[
\mathrm{Spur}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})=\mathrm{Spur}(\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}) \text {. }
\]

Действительно,
\[
\operatorname{Spur}(\boldsymbol{A B})=\sum_{m, n} A_{n, m} B_{m, n}
\]

симметричен относительно \( A \) и \( B \). Если подставить в (208) \( A=\mathcal{S}^{-1} X \); \( B=\mathcal{S} \), то отсюда получается важное для дальнейшего соотношение:
\[
\text { Spur }\left(S^{-1} X S\right)=\operatorname{Spur} X .
\]

В частности, шпур матрицы инятиатен относительно унитарного преоб разования матриц.

Наши предыдущие результаты могут быть объэдинены следующим образом: для наиболее общего состояния системы матрица плотности \( \boldsymbol{P} \) определяет среднее значение оператора \( \boldsymbol{F} \)
\[
\stackrel{\rightharpoonup}{F}=\operatorname{Spur}(\boldsymbol{P H})=\operatorname{Spur}(\boldsymbol{F P}) ;
\]

в частности, можно подставить сюда вместо \( \boldsymbol{F} \) координату \( q \), импульс \( p \), или энергию системы \( \boldsymbol{H} \).

Это выражение, вследствие (209), инвариантно относительно изменений представления матриц. Например, если \( q \) приведено к диагональной форме, имеем
\[
\bar{F}=\int P\left(q^{\prime}, q^{\prime \prime}\right) F\left(q^{\prime \prime}, q^{\prime}\right) d q^{\prime} d q^{\prime \prime} .
\]

Таким образом, если, например:
\[
P\left(q^{\prime}, q^{\prime \prime}\right)=\psi\left(q^{\prime}, t\right) \psi^{*}\left(q^{\prime \prime}, t\right) ; \quad F\left(q^{\prime}, q^{\prime \prime}\right)=\hat{\delta}\left(q^{\prime \prime}-q^{\prime}\right) F\left(q^{\prime}\right),
\]

[4. 1
ro
\[
\bar{F}(q)=\int \psi^{*}(q, t) F(q) \psi(q, t) d q,
\]

как и должно быть. Далее, зависимость \( \boldsymbol{P} \) от времени выбрана так, что для не зависящей явно от времени матрицы \( \boldsymbol{F} \) получаем правильную зависимость от времени среднего значения \( F \). Действительно, согласно (206)
\[
\frac{\hbar}{i} \dot{P}_{m, n}=P_{m, n} E_{n}-E_{m} P_{m, n},
\]

и, следовательно, вообще
\[
\frac{\hbar}{\boldsymbol{i}} \dot{\boldsymbol{P}}=-(\boldsymbol{H P}-\boldsymbol{P H}) .
\]

Подставляя это в (210), действительно получаем [в соответствии c (176)]
\[
\begin{aligned}
\dot{\bar{F}}=\mathrm{S} \operatorname{pur}(\dot{P} F) & =-\mathrm{S} \operatorname{pur}(H P F)+\mathrm{S} \operatorname{pur}(P H F)= \\
& =-\mathrm{S} \operatorname{pur}(P F H)+\mathrm{S} \operatorname{pur}(P H F)= \\
& =-\mathrm{S} \operatorname{pur}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{F H}-H F)=(\overline{H F-F H}) .
\end{aligned}
\]

Следует отметить, что знаки в правой части (211) и (176) противоположны.

До сих пор мы рассматривали только чистые состояния. Из (206) следует, что для наиболее общего чистого состояния матрица \( \boldsymbol{P} \) после приведения к диагональной форме с помощью унитарного преобразования всегда равна

Следовательно, одно из собственных значений \( P \) равно 1, остальные раєны нулю. Мы увидим, что это является также достаточным условием чистого состояния.

Как заметил Нейман, матрицу \( \boldsymbol{P} \) можно обобщить таким образом, чтобы соотношения (210) и (211) имели место также для смеси. А именно: матрица \( \boldsymbol{P} \) нанболее общей смеси получается путём линейной суперпозиции возможных матриц \( \boldsymbol{P}_{1}, \boldsymbol{P}_{2}, \ldots \) чистых состояний по следующей формуле:
\[
\boldsymbol{P}=\sum_{n} p_{n} \boldsymbol{P}_{n},
\]

где
\[
\sum_{(n)} p_{n}=1, \quad p_{n} \geqslant 0 .
\]

Легко видеть, что так как \( \operatorname{Spur}\left(\boldsymbol{P}_{n}\right)=1 \) для всех \( \boldsymbol{P}_{n} \), то, в силу \( \left(212^{\prime}\right) \), имеем универсальное соотношение
\[
\text { Spur }(\boldsymbol{P})=1 \text {. }
\]

Соотношение (213) действительно необходимо вследствие (210). Это легко обнаружить, подставив вместо \( F \) единичную матрицу. Мы утверждаем, что \( \boldsymbol{P} \) положигельно дефинитно, т. е. что все неисчезающие собственные значения \( \boldsymbol{P} \) положительны.
\( \boldsymbol{P} \) не имеет отрицательных собственных значений. (214).
Это высказывание равносильно другому: для всех (эрмитовых операторов, представляющих собой квадрат, соблюдается неравенство
\[
\text { Spur }\left(P A^{3}\right) \geqslant 0 \text {. }
\]

Действительно, если привести \( \boldsymbol{P} \) к диагональному виду, то из \( \left(214^{\prime}\right) \) следует
\[
\sum_{n} P_{n, n} \sum_{k}\left|A_{n, k}\right|^{2} \geqslant 0
\]

для всех \( \boldsymbol{A}_{n, k} \); таким образом, \( P_{n, n} \geqslant 0 \) при любом \( n \). Отсюда, обратно, следует справедливость (214′) при таком специальном представлении матриц. Благодаря инвариантности шпура это справедливо в любом представлении. Из (214′) можно видеть, что сумма двух полож:чтельно дефинитных матриу есть снова положительно дефинитная матрица. Поэтому сумма нескольких положительных матриц может обратиться в нуль только в том случае, если все слагаемые порознь равны нулю. Поскольку \( p_{n} P_{n} \) являются положительно дефинитными матрицами, мы теперь видим, что (214) действительно есть следствие (212); обратно наиболее общую эрмитову матрицу, удовлетворяющую условиям (213) и (214), можно представить в форме (2I2), причём матрицы \( P_{n} \), которые соответствуют чистым состояниям, могут даже рассматриваться как коммутативные. В частности, если представить себе \( \boldsymbol{P} \) в диагональной форме ( \( P_{n, n} \) ), то достаточно просто положить \( p_{n}=P_{n, n} \), тогда как \( P_{n} \) только на \( n \)-ом месте имеет элемент 1 , а остальные элементы все равны нулю.

Мы можем теперь охарактеризовать чистые состояния с общими матрицами \( \boldsymbol{P} \), которые удовлетворяют только условиям (213) и (214), более простым образом, а именно с помощью соотнощения
\[
\boldsymbol{P}^{\mathbf{n}}=\boldsymbol{P} .
\]

Эрмитова матрица тогда и только тогда удовлетворяет соотношению (215), когда этому соотношению удовлетворяют все её собственные значения, т. е. когда они равны -1, 0 или +1. Соб-

[ч. 1
ственное значение – 1 исключается благодаря (214), а из (213) тогда следует, что только одно собственное значение равно 1 , а остальные равны 0 . В общем с.тучае \( \boldsymbol{P} \) – \( \boldsymbol{P}^{2} \) всегда положительно дефинитная матрица, так как собственные значения \( \boldsymbol{P} \) в силу (213) всегда меньше или равны 1.

Мы покажем теперь, что при сложении двух совокупностей с матрицами плотности \( \boldsymbol{Q} \) и \( \boldsymbol{P} \) согласно
\[
\boldsymbol{P}=p_{1} \boldsymbol{Q}+p_{2} \boldsymbol{R} \quad\left(0<p_{1}<1,0<p_{2}<1, p_{1}+p_{2}=1\right)
\]

никогда не может возникнуть новое чистое состояние. Оно получается только, когда \( \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{R}=\boldsymbol{P} \). Чтобы показать это, образуем
\[
P^{\mathbf{2}}=p_{1}^{2} Q^{\mathbf{2}}+p_{1} p_{2}(Q R+R Q)+p_{2}^{2} R^{2},
\]

с другой стороны, имеем:

и, следовательно,
\[
(Q-R)^{2}=Q^{2}-(Q R+R Q)+R^{2}
\]
\[
P^{2}=p_{1} \boldsymbol{Q}^{2}+p_{2} R^{2}-p_{1} p_{2}(\boldsymbol{Q}-\boldsymbol{R})^{2}
\]
(при этом уже принято во внимание, что \( p_{1}+p_{2}=1 \), и потому подставлено \( p_{1}^{2}+p_{1} p_{2}=p_{1} \) и \( p_{3}^{2}+p_{1} p_{2}=p_{2} \) ). Таким образом находим
\[
\boldsymbol{P}-\boldsymbol{P}^{\mathbf{2}}=p_{1}\left(\boldsymbol{Q}-\boldsymbol{Q}^{\mathbf{2}}\right)+p_{\mathbf{2}}\left(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}^{\mathbf{2}}\right)+p_{1} p_{2}(\boldsymbol{Q}-\boldsymbol{R})^{\mathbf{2}} ; \quad \cdot
\]

в правой части стоит тогда сумма существенно положительных матриц. Если бы \( \boldsymbol{P} \) принадлежало чистому состоянию, то благодаря \( \boldsymbol{P}^{\mathbf{3}}=\boldsymbol{P} \) обращались бы в нуль все матрицы правой части в отдельности, и, в частности, мы имели бы:
\[
(Q-R)^{2}=0 .
\]

Однако, квадрат эрмитовой матрицы может исчезать только тогда, когда все элементы самой матрицы равны нулю (это видно, налример, из \( \left.\left(A^{2}\right)_{n, n}=\sum_{k}\left|A_{n, k}\right|^{2}\right) \). Итак, получаем
\[
\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{R},
\]

что и требовалось доказать. Определение чистого состояния, как такой совокупности, для которой собственное значение матрицы плотности равно 1 , а остальные 0 , оказывается, таким образом, эквивалентным другому определению, по которому чистое состояние не может быть получено путём смешения двух различных совокупностей.
Нейман \( { }^{1} \) ) далее показал, что величина
\[
\text { – } \quad \boldsymbol{S} \equiv \mathrm{S} \operatorname{pur}(\boldsymbol{P} \log \boldsymbol{P})
\]
-1) Изложение общей квантовой статистики на основе волновой механики лежит вне рамок настоящей книги. См. П. Иордан, Статистическая механика на основе квантовой теории, 1935.

с точностью до фактора \( 1 / k \) ( \( k \)-постоянная Больцмана) играет роль энтропии для распределения плотности \( P \). Для чистого состояния, и только для него, энтропия исчезает, так как \( P_{n, n} \log P_{n, n}=0 \) как при \( P_{n, n}=0 \), так и при \( P_{n, n}=1 \). Если, как мы всегда предполагаем, соблодаются соотношения (213) и (214), то условие
\[
\text { Spur }(\boldsymbol{P} \log \boldsymbol{P})=0
\]

будет равносильно условию (215). Распределение \( P \), которое при заданном среднем значении энергии
\[
E=\mathrm{Spur}(\boldsymbol{H P})
\]

даёт наименьшее значение величине \( \Sigma \), представляет собой каноническое распределение
\[
P=C e^{-H / \theta},
\]

где \( \theta \)-постоянная, которая имеет значение температуры, умноженной на \( k \), а \( C \) должно быть определено из условия нормировки (213). Свободная энергия дается выражением
\[
e^{-\boldsymbol{F} / \boldsymbol{\theta}}=\operatorname{Spur}\left(e^{-\boldsymbol{H} / \boldsymbol{\theta}}\right) \text {, }
\]

так что (217) можно таюе написать в виде
\[
\boldsymbol{P}=e^{(\boldsymbol{F}-\boldsymbol{H}) / \boldsymbol{\theta} .}
\]

Если оператор Гамильтона \( \boldsymbol{H} \) приведён к диагональному виду, то \( \boldsymbol{P} \) таюже диагонально \( P_{n, n}=e^{-E_{r} / \theta} \) и, согласно (218),
\[
e^{-F / \theta}=\sum_{n} e^{-E_{n} / \theta} .
\]

Однако, инвариантность (218) относительно представления матриц в некоторых случаях оказывается полезной \( { }^{1} \) ).

Рассмотренный выше способ измерсния энергии системы обладает тем свойством, что непосредственное повторение измерения даёт то же самое значение измеренной величины. Иными словами, в том случае, когда резуль\( \mathrm{mam} \) применения измерительного аппарата неизвестен, а известен только сам факт такого применения (по терминологии первого параграфа в этом случае измеренная величина остаётся после измерения неизвестной, но определённой); вероятность того, что измеренная величина имеет какое-либо определённое значение после измерения, такая же, как и до измерения. Мы будем называть такие измерения измерениями первого рода. Может, напротив, случиться, что измерение изменяет состояние
1) См, примечание на стр. 122.

системы контролируемым образом, в частности, это происходит, если в начальном состоянии (до измерения) измеряемая величина с достоверностью имела определённое значение. Результат повторного измерения тогда не совпадает с результатом первого измерения. Несмотря на это, не исключена возмажность однозначных заключений о значении измеренной величины в данной системе до измерения по результатам измерения. Такие измерения мы будем называть измерениями второго рода \( { }^{1} \) ). Уже в § 2 мы увидели, что измерения импульса первого рода выполнимы только за достаточно большое время, измерения импульса второго рода осуществимы, однако, и в короткое время.

Примером измерения энергии второго рода является возмущение атомной системы посредством удара с последующим измерением энергии ударяющей частицы. Пусть в момент времени 0 измеряемая система находится в состоянии \( n \), а ударяющая частица имеет начальную кинетическую энергию \( \varepsilon \). Вероятность того, что ко времени \( t \) возмущённая система находится в состоянии \( m \), а ударяющая частица обладает кинетической энергией между \( \varepsilon^{\prime} \) и \( \varepsilon^{\prime}+d z^{\prime} \), даётся следующим выражением:
\[
W_{m}\left(\mathrm{~s}^{\prime}\right) d \mathrm{~s}^{\prime}=A_{n, m}\left[\frac{1-\cos \left(E_{n}+s-E_{m}-s^{\prime}\right) t / \hbar}{E_{n}+\mathrm{s}-E_{m}-s^{\prime}}\right] d \mathrm{~s}^{\prime} .
\]

Эта формула следует из общего аппарата теории возмущений [§ 10, уравнение (241,) и стр. 137-138]. Здесь уже выполнено интегрирование по направлениям начального и конечного импульсов, и подразумевается, что энергия и импульс связаны соотношениями \( \varepsilon=p^{2} / 2 m \) и \( \varepsilon^{\prime}=p^{\prime 2} / 2 m \). Если \( t \gg \frac{\hbar}{\left|E_{m}-E_{n}\right|} \), как в (196′), то выражение в скобках существенно отлично от нуля только тогда, когда
\[
E_{m}-E_{n}-\left(s-\dot{z}^{\prime}\right) \sim \frac{\hbar}{t},
\]
т. с. когда измеренная величина \( \varepsilon-\varepsilon^{\prime} \) лежит вблизи значения разности \( E_{l}-E_{n} \) (для какого-либо \( l \) ), если система находилась в состоянии \( n \) или вблизи \( E_{l}-E_{m} \), если она была в состоянии \( m \). Благодаря наложенному
1) Cp. таже: L. Landau u. R. Peier1s, Zs. f. Phys., \( 69,56,1931 \).

на время условию, интервалы ( \( \left.\varepsilon-s^{\prime}\right) \), в которых \( W\left(\varepsilon^{\prime}\right) \) заметно отлично от нуля, чётко отделены друг от друга. Таким образом можно различить, обладала ли система первоначально энергией \( E_{n} \) или \( E_{m} \).

Этот опыт становится ещё несколько проще, если благодаря удару система ионизуется, так что энергия \( E_{m} \). оказывается непрерывной, и можно записать вместо (219)
\[
\begin{array}{l}
W\left(\varepsilon^{\prime}, E^{\prime}\right) d \varepsilon^{\prime} d E^{\prime}= \\
\quad=A_{n}\left(E^{\prime}\right)\left[\frac{1-\cos \left(\left(E_{n}+\varepsilon-E^{\prime}-\varepsilon^{\prime}\right) t / \hbar\right)}{E_{n}+\varepsilon-E^{\prime}-\varepsilon^{\prime}}\right] d \varepsilon^{\prime} d E^{\prime} . \quad\left(219^{\prime}\right)
\end{array}
\]

Тогда становится возможным измерение \( \varepsilon \), \( \varepsilon^{\prime} \) и \( E^{\prime} \) с помощью известных методов и, если система находилась до удара в состоянии \( n \), то \( E^{\prime}+e-e^{\prime} \) с точностью до \( \hbar / t \) оказывается равным \( E_{n} \).

При этом особенно существенно сохранение энергии в процессах столкновений. Кроме того, можно показать, что в границах справедливости неравенства (196′) энергией взаимодействия системы можно в энергетическом балансе пренебречь. Тем самым снова оправдано, что \( E_{n} \) можно называть собственным значением энергии системы.

Мы исследуем теперь, какие заключения можно сделать из опыта с соударением при произвольном начальном состоянии системы, которое может быть задано следующим образом:
\[
\psi=\sum c_{n} u_{n} .
\]

Если выполнено неравенство (196′), то в правой части (219) или (‘ \( 219^{\prime} \) ) исчезают все смешанные члены, получающиеся при умножении величин с разлчными значениями индексов \( n \) и \( m \). Поэтому при измерении \( \varepsilon-\varepsilon^{\prime} \) или соответственно \( \varepsilon-\varepsilon^{\prime} \) и \( E_{n} \) получается непосредственно мера \( \left|c_{n}\right|^{2} A_{n, m} \) или \( \left|c_{n}\right|^{2} A_{n}\left(E^{\prime}\right) \). Усложнение, вносимое фактором \( A_{n, m}^{m} \) или \( A_{n}^{n}\left(E^{\prime}\right) \), можно обойти, если заставить ударяющую частицу продолжительное время отражаться взад и вперёд так, чтобы она каждый раз соударялась с системой, и измерить полное окончательное изменение её энергии. Это последнее будет в \( \left|c_{n}\right|^{2} \) случаях совпадать с одной из разностей \( E_{n}-E_{m} \) ( \( m \)-произвольно). В случае ионизации и одновременного измерения \( \varepsilon-s^{\prime} \) и \( E^{\prime} \) в \( \left|c_{n}\right|^{\prime} \) случаях \( E^{\prime}-\left(\varepsilon-\varepsilon^{\prime}\right) \) будет совпадать с́: \( E_{n} \).

Теперь мы можем дать общую схему измерений второго рода с помощью собственной функции \( \Psi \) измеряемой системы и \( \Psi \) измерительного аппарата. Установленные состояния измерительной аппаратуры могут описываться системой функции \( u_{k} \) (ортогональной, полной и нормированной). В приведённом выше примере под \( k \) следует понимать разность энергий \( \varepsilon-\varepsilon \) ‘. Так как нет существенного различия между случаями дискретного и непрерывного \( k \), то мы будем пользоваться обозначениями первого случая и писать суммирование по \( k \), также и тогда, когда речь идёт фактически об интеграле. Пусть
\[
\psi=\sum c_{n} u_{n}
\]
-состояние измеряемой системы до измерения ( \( u_{n} \) ортогональная и полная система). Тогда
\[
\sum \psi_{k} U_{k}
\]
– состояние составной системы (измеряемая система + измерительный аппарат) после ивмерения. Кроме того, благодаря линейности всех гамильтоновых функций \( \psi_{k} \) линейно зависят от \( c_{n} \) :
\[
\psi_{k}=\sum_{n} c_{n} v_{k}^{(n)} .
\]

При этом \( \sum_{k} \int\left|\psi_{k}\right|^{2} d Q=1 \) для всех \( c_{n} \), следовательно, \( \sum_{k} \int \mid v_{k}^{(n)}{ }^{2} d q=1 \). После того как зафиксировано определённое значение \( k \) для «аппарата», волңовой пакет \( \psi \) видоизмеңяется, превращаясь, с точностью до постоянного нормирующего фактора, в волновой пакет \( \psi_{k} \). Однозначное заключение о \( c_{n} \) на основании измеренной величины \( k \) возможно тогда и только тогда, когда для каждого \( k \) существует только одно \( v_{k}^{(n)} \), отличное от нуля. (Различным \( k \) могут, однако, соответствовать также и совпадающие n.) Состояния \( k \) могут быть тогда разложены в отдельные друг от друга группы тақим образом, чтобы

каждая группа соответствовала одному определённому значению \( n \). Мы заменим поэтому \( k \) двойным индексом \( n \), \( m \) и запишем вместо (220).
\[
\psi_{n, m}=c_{n} v_{n, m},
\]

где для всех \( c_{n} \) из \( \sum\left|c_{n}\right|^{2}=1 \) должно следовать
\[
\sum_{n, m} \int\left|\psi_{n, m}\right|^{2} d Q=1 \text {. }
\]

Это равносильно
\[
\int\left|v_{n, m}\right|^{2} d Q=1
\]

Вероятность получить аппарат после измерения в группе \( n \), \( m \) с определённым \( n \) должна равняться вероятности того, что система до измерения находилась в состоянии \( n \). В соответствии с этим находим
\[
\left|c_{n}\right|^{2}=\sum_{m} \int\left|\psi_{n, m}\right|^{2} d Q .
\]
\( v_{n, m} \) можно конечно разложить по \( u_{n} \) :
\[
v_{n, m}=\sum T_{l ; n, m} u_{l} .
\]

Для каждого ( \( n, m \) ) тогда следует из (220)
\[
\sum_{l, m}\left|T_{l ; n, m}\right|^{2}=1
\]

Это условие, очевидно, значительно слабее, чем условие ортогональности. В частности, при измерениях первого рода \( \boldsymbol{T} \)-единичная матрица. В общем случае измерений второго рода специальные состояния, при которых одно из \( c_{n} \) равно 1 , а остальные равны 0 , обладают тем свойством, что о результате измерения может быть сделано ңекоторое определённое высказываңие \( c \) достоверностью. А именно: измеренное \( k \) должно попасть в определённую группу \( (n, m) \) с наперёд указаңным \( n \).

Вернёмся снова к нашему примеру измерения энергии с помощью столкновения. Если речь идёт о возбуждении, то мы предположим, что каждое значение разности энергий \( E_{n}-E_{m} \) соответствует только одной определённой наре состояний. Тогда каждому \( k \), т. е. каждому

значєнию \( \varepsilon-\varepsilon^{\prime} \), соответствует одно единственное \( E_{n} \). Кроме того, тогда все \( v_{n, m} \) совпадают с точностью до постоянного фактора с и \( _{m} \) и, следовательно, не зависят от \( n \). В случае же ионизующих столкновений мы будем предполагать, что энергия \( E^{\prime} \) вылетающего электрона также измеряется специальным аппаратом. \( \varepsilon-\varepsilon^{\prime} \) и \( E^{\prime} \) играют тогда вместе роль \( k \). Каждому \( k \) соответствует одно единственное \( n \), которое определяется равенством \( E^{\prime}-\left(\varepsilon-\varepsilon^{\prime}\right)=E_{n} \), в то время как \( E^{\prime} \) играет роль \( m \). \( v_{n, m} \) здесь снова не зависит от \( n \) и представляет собой собственную функцию непрерывного спектра с энергией \( E^{\prime} \).