Мы рассмотрим прежде всего спонтанное излучение света и исследуем, когда спонтанно излучённый двумя атомами свет будет когерентным. Пусть начальное состояние описывается коэффициентами разложения \( c_{n} \) и соответственно \( c_{n}^{\prime} \) волңовых функций атомов по собственңым функциям этих атомов. Матричные элементы суммарной напряжённости электрического поля в точке \( P \) имеют
1) Здесь речь идёт только о некоторых принципиальных замечаниях общего рода. Отдельные частности и литературные ссылки см. у Вентцеля (Handb. d. Phys. 24/I, гл. 5).
щие привдиды волновой механиин
тогда вид
\[
\begin{array}{c}
\vec{E}_{n, n^{\prime} ; m, m^{\prime}}= \\
=\delta_{n^{\prime}, m^{\prime}} a_{n, m} e^{i
u_{n, m}\left(t-\frac{R_{P}}{c}\right)}+\delta_{n, m} a_{n^{\prime}, m^{\prime}} e^{i
u_{\prime^{\prime}}, m^{\prime}}\left(t-\frac{R_{P}}{c}\right) .
\end{array}
\]

Здесь \( n, m \)-кваңтовые числа рассматриваемых пар состояний для одного атома, а \( n^{\prime}, m^{\prime} \) – для другого атома. Матричные элементы излучёңного первым (вторым) атомом поля диагональны по отношению к квантовым-числам второго (первого) атома. Если атомы одинаковы, то для подобных переходов \( a_{n, m}=a_{n^{\prime}, m^{\prime}}, \quad
u_{n, m}=
u_{n^{\prime}, m^{\prime}} \). Далее, пусть \( R_{P}, R_{P}^{\prime} \) – расстояния атомов (которые мы пока считаем фиксированными) от точки наблюдения. Тогда для математических ожиданий квадратов напряжённостей электрического поля в точке \( P \), видоизменённых согласно предписанию I, мы получаем следующее выражение:
\[
\begin{array}{l}
=\sum_{\substack{E_{l}<E_{n} \\
E_{l}<E_{m}}} c_{n, t}^{*} a_{n, t} a_{l, m} c_{m} e^{i \eta_{n, m} t}+ \\
+\sum_{\substack{E \eta^{\prime}<E_{m} \\
E_{l^{\prime}}<E_{\boldsymbol{m}^{\prime}}}} c_{n^{\prime}}^{*} a_{n^{\prime}, l^{\prime}} a_{l^{\prime}, m^{\prime}} c_{m^{\prime}} e^{i
u_{n^{\prime}, m^{\prime} t}}+ \\
+\sum_{\substack{E_{m}<E_{n} \\
E_{n^{\prime}}<E_{m^{\prime}}}} c_{n}^{*} c_{n^{\prime}}^{* \prime} a_{n, m} a_{n^{\prime}, m^{\prime}} c_{m} c_{m^{\prime}}^{\prime} \times \\
\times e^{i\left[\left(
u_{n, m}+
u_{n}^{\prime}, m^{\prime}\right) t-\frac{1}{c}\left(
u_{n, m} R_{P}+
u_{n^{\prime}, m^{\prime}} R_{P}^{\prime}\right)\right]}+ \\
+\sum_{\substack{E_{m}<E_{n} \\
E_{x^{\prime}}<E_{m}^{\prime}}} c_{m}^{*} c_{m^{\prime}}^{* \prime} a_{m, n} a_{m^{\prime}, n^{\prime}} c_{n} c_{n^{\prime}} \times \\
\times e^{i\left[\left(
u_{n, m}+
u_{n^{\prime}, m^{\prime}}\right) t-\frac{1}{c}\left(
u_{m, n} R_{P}+
u_{m^{\prime}, n^{\prime}} R_{P}\right)\right]} . \\
\end{array}
\]

Первые два члена соответствуют наличию одного только первого или второго атома, оба последние члена
представляют собой интерференционные выражения, которые нас сейчас и интересуют. Принимая во внимание, что \( a_{n, m}, a_{n^{\prime}, m^{\prime}} \) представляют собой эрмитовы матрицы, диагональные элементы которых исчезают, можно придать средним по времени величинам очень простую форму, если, как мы здесь будем делать, не рассматривать вырождения. В обеих первых суммах тогда только члены с \( m=n, m^{\prime}=n^{\prime} \) дают отличную от нуля часть, тогда как в обеих последних суммах остаются члены с \( m^{\prime}=n \), \( n=m \).

Интенсивность света частоты \(
u_{n, m} \) в точке \( P \) равна тогда окончательно
\[
\begin{array}{c}
J\left(
u_{n, m}\right)=\left|a_{n, m}\right|^{2}\left\{\left|c_{n}\right|^{2}+\left.c_{n}^{\prime}\right|^{2}+c_{n}^{*} c_{m} c_{n}^{\prime} c_{m}^{\prime *} e^{-i \frac{
u_{n} m}{c}\left(R_{P}-R_{P}^{\prime}\right)}+\right. \\
\left.+c_{n} c_{m}^{*} c_{n}^{\prime *} c_{m}^{\prime} e^{+i \frac{
u_{n}, m}{c}\left(R_{P-}-R_{P}^{\prime}\right)}\right\} .
\end{array}
\]

Это выражение можно ещё упростить, если ввести геометрическую разность хода
\[
\Delta=\frac{
u_{n, m}}{c}\left(R_{P}-R_{P}^{\prime}\right)
\]

и фазы амплитуд вероятностей для атомов согласно:
\[
\begin{array}{ll}
c_{n}=\left|c_{n}\right| e^{i \delta_{n}}, & c_{m}=\left|c_{m}\right| e^{i \delta_{m}}, \quad \delta_{n, m}=\delta_{n}-\delta_{m}, \\
c_{n}^{\prime}=\left|c_{n}^{\prime}\right| e^{i \delta_{m}^{\prime}}, & c_{m}^{\prime}=\left|c_{m}^{\prime}\right| e^{i \delta_{m}^{\prime}}, \quad \delta_{n, m}^{\prime}=\delta_{n}^{\prime}-\delta_{m}^{\prime} .
\end{array}
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
J\left(
u_{n, m}\right)=\left|a_{n, m}\right|^{2}\left\{\left|c_{n}\right|^{2}+\mid c_{n}^{\prime}{ }^{2}+\right. \\
\quad+2\left|c_{n}\right|\left|c_{m}\right|\left|c_{n}^{\prime}\right|\left|c_{m}^{\prime}\right| \cos \left(\delta_{n, m}-\delta_{n^{\prime}, m^{\prime}}^{\prime}+\Delta\right) .
\end{array}
\]

Отсюда прежде всего видно, что если вначале один из рассматриваемых атомов с достоверностью находился только в возбуждённом состоянии ( \( c_{m}=0 \) или \( c_{m}^{\prime}=0 \) ), то никакой интерференции не получается. Далее видно, что никогда фаза \( \delta_{n} \) отдельной собственной функции атома не может быть доступна наблюдению. Возбуждая оба атома одинаковым светом, можно создать пакет, состоящий из основного и одного возбуждённого состояния с постоянным фазовым соотношением \( \delta_{n, m}-\delta_{n^{\prime}, m^{\prime}}^{\prime} \) для обоих атомов. В этом смысле, следовательно, резонансное излучение когерентно.
15*
Поучительно разобрать вкратце некоторую модификацию этого случая, которая получается, если рассматривать атомы как подвижные. Мы должны тогда ввести, кроме состояний \( n, m . \). электронов атома, ещё координаты \( Q \) его центра тяжести, так что амплитуды вероятности \( c_{n} \) теперь станут функциями \( Q \). Далее, для того чтобы найти, каким образом видоизменяются матричные элементы напряжённости поля, мы вернёмся обратно к выражениям (352) классической теории. Чтобы сделать возможным переход к содержащемуся в (353) запаздыванию с помощью плоских волн, мы должны предноложить, что расстояние точки наблюдения от атома велико также по сравнению с размерами волнового пакета, описываемого \( c_{n}(Q) \) (т. е. по сравнению с неточностью определеңия места центра тяжести атома), что, несомненно, может осуществиться. Далее влиянием тока самих атомных ядер при излучении света можно всегда пренебречь. В выражениях (353) для запаздывающего тока электронов после интегрирования по относительным координатам частиц, однако, всё же остаются, вследствие запаздывания, координаты центров тяжести, именно \( \vec{x}_{Q} \), которое представляет собой сумму относительных координат и координат центра тяжести. И, наконец, в матричном элементе излучённого поля для стационарных состояний \( (n, m) \) электронной системы, зависимость которого от времени описывается фактором \( e^{i \vee n, m^{t}} \), остаётся, следовательно, множитель
\[
e^{i
u_{n, m} \frac{1}{c}(\vec{Q} \vec{n})}=e^{i\left(\vec{K}_{r, m} \vec{Q}\right)},
\]

где \( \vec{K}_{n, m}=\frac{
u_{n, m}}{c} \vec{n} \). Никаким другим образом координаты центра тяжести системы не входят. Итак, всюду вместо матричного элемента \( a_{n, m} \) в \( n \)-пространстве входит матричный элемент
\[
a_{n, m}\left(Q, Q^{\prime}\right)=a_{n, m} e^{i\left(\vec{K}_{n, m} \vec{Q}\right)} \delta\left(Q-Q^{\prime}\right)
\]

в \( (n, Q) \)-пространстве. Поучительно перейти с помощью
\[
\text { – } c_{n}(P)=\int c_{n}(Q) e^{-\frac{i}{\hbar}(\vec{P} \vec{Q})} d Q
\]
[ср. § 3 уравнение (27)] к импульсному пространству атома. В этом пространстве имеем:
\[
a_{n, m}\left(P, P^{\prime}\right)=a_{n, m} \delta\left(-\vec{P}+\vec{P}^{\prime}+\hbar \vec{K}_{n, m}\right) .
\]

Это означает, что испускание света связано с отдачей, которая точно соответствует сохранению импульса, если приписать излучённому свету импульс \( h v / c \) в направлении его распространения, в согласии с результатом Эйнштейна, полученным из представления о световых квантах. Отдача при испускании света принципиально наблюдаема всегда, когда размеры пакета \( c_{n}(P) \) начального состояния в пространстве импульсов малы по сравнению с \( \hbar y / c \). Отдача должна также проявиться в виде эффекта Допплера, которым мы здесь пренебрегаем, что вполне последовательно, если всюду пренебрегать давлением света. Если сделать такое пренебрежение, то суммарная интенсивность излучённого в направлении \( \vec{n} \) света при начальном состоянии атома \( c_{n}(Q) \) равна снова
\[
J\left(v_{n, m}\right)=\left|a_{n, m}\right|^{2}\left|c_{n}\right|^{2},
\]

где под \( \left|c_{n}\right|^{\mathbf{8}} \) теперь понимается
\[
\left|c_{n}\right|^{2}=\int\left|c_{n}(Q)\right|^{2} d Q=\int\left|c_{n}(P)\right|^{2} d P .
\]

Применение к интенсивности света, излучённого двумя одинаковыми атомами, приводит теперь к выражению
\[
\begin{array}{l}
J\left(
u_{n, m}\right)=\left|a_{n, m}\right|^{2}\left\{\left|c_{n}\right|^{2}+\left|c_{n}^{\prime}\right|^{2}+\right. \\
\left.\quad+2 C_{n, m}|| C_{n, m}^{\prime} \mid \cos \left(\delta_{n, m}-\delta_{n^{\prime}, m^{\prime}}^{\prime}+\Delta\right)\right\},
\end{array}
\]

где для сокращения положено вместо (382)
\[
\begin{aligned}
C_{n, m} & =\mid C_{n, m} e^{-i \delta_{n, m}=} \\
& =\int c_{n}^{*}(Q) e^{i\left(\vec{K}_{n, m} \vec{Q}\right)} c_{m}(Q) d Q=-C_{m, n}^{*}
\end{aligned}
\]

и аналогично для \( C_{n, m}^{\prime} \). При этом в \( \Delta=\frac{v_{n, m}}{c}\left(R_{P}-R_{P}^{\prime}\right) \) \( R_{P} \) и \( R_{P}^{\prime} \) отсчитывается от фиксированной точки (той же самой, что и для \( Q \) в (385) и \( Q^{\prime} \) при аналогичном определении \( C_{n, m}^{\prime} \) ). Значение полученного результата заключается в следующем: для когерентности резонансного
излучения не только необходимо, чтобы в начальном состоянии обоих атомов были представлены как основное, так и возбуждённое состолния, но необходимо также, чтобы эти состояния могли осуществиться с \( \cdot \)неисчезающей веролтностью при одинаковом положении центров тяжести атомов. Łсли же функции \( c_{n}(Q) \) и \( c_{m}(Q) \) нигде не перекрываются, как это имеет место в том случае, когда оба состояния полностью отделены друг от друга внешними силами, то \( c_{n}^{*}(Q) c_{m}(Q) \) всюду исчезает, и вместе с тем исчезает также интерференционный член в (382′). Мы имеем здесь пример того, что каждое устройство, позволяющее установить, в каком состоянии находится атом, уничтожает возможность интерференции между излучением этого атома и излучением другого атома \( { }^{1} \) ).

Исследуем, наконец, вопрос об когерентности излучения, испущенного одним атомом в различных наıравлениях \( \vec{n}_{1} \) и \( \vec{n}_{2} \), так как этот вопрос касается часто обсуждавшегося ранее противоречия между «игольчатым излученитм» и «шаровой волной». Всякое устройство для исследования интерференционной способности излучения в этих направлениях основывается на том, что оба световых пучка в конце-концов соединяются в точке \( P \) после соответствующих отражений и преломлений. В этой точке, стало быть; классическая напряжённость поля представляет собой линейную комбинацию из \( E\left(\vec{n}_{1}\right) \) и \( E\left(\vec{n}_{2}\right) \), т. е. из напряжённостей поля пучков, которые первоначально были испущены в направлениях \( \vec{n}_{1} \) и \( \vec{n}_{2} \). Пусть \( J_{0} \)-сумма тех интенсивностей, излучённых в этом направлении пучков, которые наблюдались бы в точке \( P \) при отсутствии интерференции. Тогда действительная интенсивность равна по классической теории
\[
J=J_{0}+\text { const } E\left(\vec{n}_{1}\right) E\left(\vec{n}_{2}\right)
\]

Мы, таким образом, должны вычислить квантовотеоретически математическое ожидание
\[
\left.E^{(+)}\left(\vec{n}_{1}\right) E^{(-)}\left(\vec{n}_{2}\right)+E+\vec{n}_{2}\right) E^{(-)}\left(\vec{n}_{1}\right)
\]
1) Cм. также W. H i s enberg, Zs. f. Phys., 43. 172, 1927; в то время вопғос о связи фазы собственеых функций атома со свойствами излучённого света оставался ещё неясным.
в качестве меры когерентности пучков. Это последнее пропорционально
\[
\begin{array}{r}
D=\int d Q c_{n}^{*}(Q) \int a_{n, m}\left(\vec{n}_{1} ; Q, Q^{\prime \prime}\right) a_{m, n}\left(\vec{n}_{2} ; Q^{\prime \prime}, Q^{\prime}\right) \times \\
\times d Q^{\prime \prime} c_{n}\left(Q^{\prime}\right) d Q^{\prime}+\ldots
\end{array}
\]

или также
\[
\begin{array}{l}
D=\int d P c_{n}^{*}(P) \int a_{n, m}\left(\vec{n}_{1} ; P, P^{\prime \prime}\right) a_{m, n}\left(\vec{n}_{2} ; P^{\prime \prime}, P^{\prime}\right) \times \\
\times d P^{\prime \prime} c_{n}\left(P^{\prime}\right) d P^{\prime}+\ldots \\
\end{array}
\]

причём \( +\ldots \) обозначает члены, которые получаются из выписанных перестановкой \( n_{1} \) и \( n_{2} \). На основании (383) и (383′) получаем сразу
\[
\left.D=2 \int\left|c_{n}(Q)\right|^{2} \cos \frac{
u_{n, m}}{c}\left[\vec{n}_{2}-\vec{n}_{1}\right) \vec{Q}\right] d Q
\]

или также
\[
\begin{aligned}
D=\int & \left\{c_{n}^{*}(P) c_{n}\left(P+\frac{\hbar v_{n, m}}{c}\left(n_{2}-n_{1}\right)\right)+\right. \\
& \left.+c_{n}(P) c_{n}^{*}\left(P+\frac{\hbar v_{n, m}}{c}\left(n_{2}-n_{1}\right)\right)\right\} d P .
\end{aligned}
\]

Из этих выражений следует, что возможность установить с гомощью измерения отдачи, был ли световой квант излучён в направлении \( \vec{n}_{1} \), или в направлении \( \vec{n}_{2} \), и устройство, которое позволяет получить интерференцию между излучёнными в направлениях \( \vec{n}_{1} \) и \( \vec{n}_{2} \) световыми пучками, взаимно исключают друг друга.

Действительно, требуемое измерение отдачи возможно только тогда, когда начальный импульс частицы определён точнее, чем \( \frac{\hbar v_{n, m}}{c}, n_{2}-n_{1} \) !. Но тогда \( c_{n}(P) \) должно быть от лично от нуля только в области \( \Delta P \), меньшей чем \( \frac{\hbar v_{n, m}}{c}\left|n_{2}-n_{1}\right| \), а в этом случае \( D \) всегда исчезаег, что очевидно из (386′). С другой стороны, чтобы иметь возможность с несомненностью определить разность хода между пучками, излучёнными по направлению \( \vec{n}_{1} \) и \( \vec{n}_{2}, c_{n}(Q) \) должно отличаться от нуля лишь в области \( \Delta Q \), малой по сравнению с \( \frac{c}{v_{n, m}} \frac{1}{\left|n_{2}-n_{2}\right|} \). Оба эти требования – противоречат друг пругу, что
является непосредственным следствием соотношения неопределённости Гейзенберга, которое проявляется здесь уже в проведённом пересчёте от \( c_{n}(Q) \) к \( c_{n}(P) \).

Подоб̈но тому, как мы сделали это здесь для простейшего случая излучения света, можно также обсудить когерентность рассеянного атомом излучения. Следует также ещё отметить, что данный здесь снособ рассмотрения не является полным, так как мы пренебрегали затуханием излучения. Оно может быть рассмотрено только с помощью изліженной в части II квантовой теории света Дирака.