С помощью условия полноты можно установить важную связь между действуюцими на \( u_{n} \) операторами и соответствуюцими им матрицами. Пусть \( F \)-линейный оператор, тогда каждой собственной функции \( u_{n} \) соответствует разложение в ряд
\[
\left(F u_{n}\right) \sim \sum_{k} u_{k} F_{k n}, \text { где } F_{k n}=\int u_{k}^{*}\left(F u_{n}\right) d q .
\]

Если оператор \( \boldsymbol{F} \) эрмитов, то
\[
\int u_{k}^{*}\left(F u_{n}\right) d q=\int\left(F u_{k}\right)^{*} u_{n} d q
\]

и следовательно,
\[
F_{k n}=\left(F_{. n k}\right)^{\bullet} ;
\]

матрица \( F_{k n} \) в этом случае эрмитова. Рассмотрим теперь два эрмитовых оператора
\[
\begin{array}{ll}
F u_{n} \sim \sum_{k} u_{k} F_{k n}, & F_{k n}=\int u_{k}^{*}\left(F u_{n}\right) d q, \\
G u_{n} \sim \sum_{k} u_{k} G_{k n}, & G_{k n}=\int u_{k}^{*}\left(G u_{n}\right) d q .
\end{array}
\]

Мы применим к этим разложениям условие полноты (134′) (справедливое для всех \( n, m \) ), которое гласит:
\[
\int\left(F u_{n}\right)^{\circ}\left(a u_{m}\right) d q=\sum_{k=1}^{\infty} F_{k n} G_{h m},
\]

и используем эрмитовость \( \boldsymbol{F} \) :
\[
\int u_{n}^{*}\left(\boldsymbol{F} \boldsymbol{G} u_{m}\right) d q=\sum_{k} F_{n k} G_{k m} .
\]

На основании (134) каждому оператору сопоставляется матрица, иричём каждому эрмитову оператору – эрмитова матрица. Из (153) далее следует: произведению двух операторов \( \boldsymbol{F G} \) соответствует произведение матрич \( (F) \cdot(G) \), образованное по обычному правилу матричного умножения, которое гласит:
\[
(F G)_{n m}=\sum_{k} F_{n k} G_{k m} .
\]

Следует заметить, что при этом предполагается только эрмитовость \( \boldsymbol{F} \) и \( \boldsymbol{G} \), но не \( (\boldsymbol{F} \boldsymbol{G}) \); коммутативность \( \boldsymbol{F} \) и \( \boldsymbol{G} \) также не обязательна.

Если произвольной функции \( f \) соответствует разложение \( \sum_{k} a_{k} u_{k} \), то функции \( \boldsymbol{F} f \) соответствует разложение \( \left.\sum_{k}\left(F u_{k}\right) a_{k}=\sum_{l, k} u_{l} F_{t k} a_{k}{ }^{1}\right) \). Таким образом, коэффициентам \( \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m} \ldots\right) \) сопоставляются с помощью \( \boldsymbol{F} \) другие коэффициенты \( \left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n} ..\right) \)
\[
b_{n}=\sum_{m} F_{n m} a_{m} .
\]

Матрица, эквивалентная оператору \( \boldsymbol{F} \), произвөдит, следовательно, линейное отображение в векторном пространстве бесконечно большого числа измерений коэф-
1) Строго говоря, это ещё нужно доказать, так как ряд \( \sum a_{k} u_{k} \) не обязательно сходится, а может быть согласован с \( f \) только в смысле сходимости в среднем. Если обозначить частичную сумму \( \sum_{1}^{N} a_{k} u_{k} \) из \( N \) членов через \( f_{N} \), то
\[
\lim _{N \rightarrow \infty} \int\left|f-i_{N}\right|^{2} d q=0 .
\]

Потребуем теперь, чтобы оператор \( F \) обладал следующим свойством: если для последовательности \( F !_{N}=g_{N} \) существует такое \( g \), что

фициентов разложения (a) нашей системы функций. Эрмитовость \( \boldsymbol{F} \) находит своё выражение в соотношении
\[
\sum_{n} a_{n}^{*} b_{n}=\sum_{n} a_{n} b_{n}^{*}
\]

которое означает вещественнесть этого «скалярного произведения» .

Общее выражение для матричных элементов содержит, в частности, формулу
\[
F_{n n}=\int u_{n}^{*}\left(F u_{n}\right) d q
\]

для диагональных элементов. В предыдущем параграфе мы видели, что это выражение в простейших случаях имеет смысл среднего значения или математического ожидания. При этом мы исходили из выражения \( |\varphi(p)|^{2} d p \), которое даёт вероятность того, что импульс рассматриваемой системы лежит между \( p \) и \( p+d p \). Отсюда следует, что среднее значение любой целой рациональной функции импульса \( F(p) \) равно
\[
\int F(p) .\left.\varphi(p)\right|^{2} d p=\int \psi^{*}(q)\left[\boldsymbol{F}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q}\right) \psi(q)\right] d q .
\]

Аналогично для любой функции \( q \)
\[
\text { – } \bar{F}(q)=\int \psi^{*} F(q) \psi d q,
\]

что опять-таки совпадает с (156), если под \( \boldsymbol{F} \) здесь понимать просто умножение на функцию от \( q \). Займёмся, наконец, функцией \( F \), которая зависит от \( p \) линейно,
\( \lim _{N \rightarrow \infty} \int\left|g-g_{N}\right|^{2} d q=0 \), то \( \boldsymbol{F} \mid=g \). При этом-не делается различия между функциями \( g \) и \( g^{\prime} \), для которых \( \int\left|g-g^{\prime}\right|^{2} d q=0 \). В нашем случае существование такого \( g \) обеспечено, если сходится ряд \( \sum_{\mathbf{1}}^{\infty}\left|\boldsymbol{b}_{k}\right|^{2} \) (где \( \boldsymbol{b}_{k}=\sum_{l} F_{k l} a_{l} \) ), что всегда имеет место, если сумма
\[
\text { . } \sum_{l}\left|F_{k l}\right|^{2}=\sum_{l}\left|F_{l k}\right|^{2}
\]

сходится для всех \( k \).

а от \( q \) произвольным образом:
\[
F=\frac{1}{2} \sum_{k}\left[A_{k}(q) p_{k}+p_{k} A_{k}(q)\right]
\]
(симметризация необходима для получения эрмитова \( F \) ). Воспользуемся декартовыми координатами и введём плотность тока \( i_{k} \), соответствующую \( k \)-й степени свободы; тогда снова
\[
\begin{array}{l}
\bar{F}=\sum_{k} \int A_{k}(q)\left[m i_{k}+\frac{e}{c} \Phi_{k}\right] d V= \\
=\sum_{k} \int \psi^{*} \frac{1}{2}\left[A_{k} \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{k}}\left(A_{k} \psi\right)\right] d q .
\end{array}
\]

Поскольку, далее, математическое ожидание суммы двух величин равно сумме математических ожидаңий этих величин, а соотношение (156) линейно по отношению к \( \boldsymbol{F} \), (156) можно считать справедливым по отношению к величинам, равным сумме величин рассмотренных титов. В частности, это справедливо для гамильтоновой функции системы \( \boldsymbol{H} \).

O подобных операторах \( \boldsymbol{F} \), которые таким образом приведены в соответствие с физическими величинами, т. е. свойствами системы, которые могут быть описаны заданием численных величин, причём эти численные величины в принципе можно однозначно определить с помощью соответствующей экспериментальной установки (измерить), – можно сказать: диагональный элемент \( F_{n n} \) равен математическому ожиданию соответствующей величины \( F \) в том состоянии системы, которое характеризуется собственной функцией \( u_{n} \). Только дальнейшее построение теории вместе с опытными фактами может решить, какие величины в системе имеют физическое значение, и как они могут быть измерены \( { }^{1} \) ). Заметим ещё, что даже для этих специальных опера-
1) Эта точка зрения противоположна другой, согласно которой каждому эрмитову оператору соответствует некоторая «наблюдаемая» величина системы, причём всегда имеет прямой физический смысл говорить о вероятности того, что эта величнна \( F \) имеет в соответствующем состоянии определённое значение (cim. § 9).

торов \( \boldsymbol{F} \) прямой бизический смысл имеют только диагональные элементы матрицы \( F \). Недиагональные элементы связаны с возможными опытными данными только косвенно, а именно следующим образом: среднее значение любой целой рациональной функции \( f(F) \) оператора \( \boldsymbol{F} \) и, в частности, среднее значение всех его степеней задаётся диагональным элементом \( [f(F)]_{n n} \) оператора \( f(F) \). Если, с другой стороны, предположить закон матричного умножения при формальном образовании \( [f(F)]_{n n} \), то можно показать, что задание \( [f(F)]_{n n} \), воб̈бще говоря; определяет также и недиагональные элементы \( F_{n m} \) матрицы \( F \) однозначно.

При введении общей связи (151) между операторами и матрицами 0 функциях \( u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}, \ldots \) предполагалось только, что они образуют полную ортогональную систему. Полезно выяснить, қак изменяются матрицы при переходе к другой системе функций \( v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}, \ldots \), также обладающей свойствами полноты и ортогональности. Каждой функции \( v_{m} \) соответствует разложение
\[
v_{m} \sim \sum_{(n)} u_{n} S_{n m}, \quad \text { где } S_{n m}=\int u_{n}^{*}\left[S u_{m}\right] d q=\int u_{n}^{*} v_{m} d q
\]

Матрица \( S_{n m} \) определяет линейный оператор \( S \), который сопоставляет каждой функции \( f=a_{1} u_{1}+a_{2} u_{2}+\ldots \) новую функцию \( g=a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\ldots \) с теми же коэффициентами разложения в новой системе. \( S \) имеет, следовательно, свойство
\[
\int f u_{n}^{*} d q=\int[S f] v_{n}^{*} d q
\]

при всех \( f \). Этот оператор \( S \) принадлежит, однако, к существенно иному типу, чем рассмотренные эрмитовы операторы \( F \), которые могут соответствовать физическим величинам. Мы будем называть \( S \) оператором преобразования. Поскольку в силу условия полноты справедливо соотношение
\[
\int v_{n}^{*} v_{m} d q=\sum_{k} S_{k n}^{*} S_{k_{m}}
\]

ортогональность и нормировка системы \( v_{n} \) может быть выражена уравнением
\[
\sum_{k} S_{k n} S_{k m} \sim\left\{\begin{array}{l}
0 \text { при } n
eq m, \\
1 \text { при } n=m .
\end{array}\right.
\]

Далее, из \( t \sim \boldsymbol{\Sigma} a_{k} u_{k}, \quad g \sim \Sigma a_{k} v_{k} \) следует: \( \sum_{k}\left|a_{k}\right|^{2}= \) \( =\int|f|^{2} d q=\int|g|^{2} d q \), что равносильно также требованию
\[
\int|\boldsymbol{S} j|^{2} d q=\left.\int !\right|^{2} d q
\]

для всех \( f \), а также
\[
\int(\boldsymbol{S} f)^{*}(\boldsymbol{S} g) d q=\int f^{*} g d q
\]

для любых \( f \) и \( g \).
Oператор \( \boldsymbol{S} \) не является эрмитовым оператором. Согласно (159), он имеет, однако, свойство «сохранять длину», если пользоваться \( \int \mid f_{1}^{2} d q \) в качестве меры «длины» функции, или, более обще, \( \int f-\left.g\right|^{2} d q \), как мерой «расстояния» между двумя функциями. .Если, далее, \( v_{n}=\left(S u_{n}\right) \) образуют полную систему функций, то многообразие функций \( \boldsymbol{S} f \) должно совпадать с многообразием \( f \). Это означает, что для всех \( f \) должен существовать оператор \( \boldsymbol{S}^{-1} \), обратный оператору \( \boldsymbol{S} \). Полнота системы \( v \) равносильна тому, что \( u_{n} \) также могут быть разложены по функциям \( v_{n} \) согласно соотношениям:
\[
u_{m} \sim \sum_{(n)} v_{n} S_{n m}^{-1} ; \quad S_{n m}^{-1}=\int v_{n}^{*}\left[\mathcal{S}^{-1} v_{m}\right] d q=\int v_{n}^{*} u_{m} d q ;\left(157^{\prime}\right)
\]

сравнивая с (157), получаем
\[
S_{n m}^{-1}=S_{m n}^{*} .
\]

Итак, \( (S) \) не эрмитова матрица; эрмитовски сопряжённая ей матрица ( \( \tilde{S} \) ), полученная из \( (S \) ) с помощью перехода к комплексно сопряжённым величинам и перестановки строк и столбцов, совпадает с матрицей, обратной ( \( S \) ):
\[
\mathcal{S}^{-1}=\tilde{S} \text {. }
\]

Действительно, (158) в силу \( S_{k n}^{*}=\tilde{S}_{n k} \) равносильно
\[
\tilde{S} S=I,
\]

если \( I \) означает единичную матрицу. Применяя к (157′) условие полноты, легко видеть, что полнота системы функций \( v_{n} \) означает также
\[
\sum_{k}\left(S_{k n}^{-1}\right)^{*} S_{k m}^{-1}=\left\{\begin{array}{l}
0 \text { при } n
eq m, \\
1 \text { при } n=m,
\end{array}\right.
\]

или в силу (160)
\[
\sum_{k} S_{n k} S_{m k}^{*}=\left\{\begin{array}{l}
0 \text { при } n
eq m, \\
1 \text { при } n=m,
\end{array}\right.
\]

что в матричной записи означает
\[
S \tilde{S}=I \text {. }
\]

Важно подчеркнуть, что (163′) не является простым следствием (158′), а вытекает из (158′) тогда и только тогда, если существует оператор \( \mathcal{S}^{-1} \), обратный оператору \( S \) для всех \( f \). Oператор \( \boldsymbol{S} \) называется унитарным, если он, кроме свойства сох ранять длину [уравнение (159)], допускает построение обратного оператора для всех без исключения функций; соответственно матрица. (S) называется унитарной, если она удовлетворяет обоим условиям (158′) (163′). Операторы преобразования принадлежат к унитарным операторам. При последовательном применении (умножений) двух унитарных операторов (матриц) получается всегда снова унитарный оператор (унитарная матрица).

Может быть, полезно подчеркнуть аналогию с подобными соотношениями между величинами, могущими принимать лишь конечное число ( \( N \) ) значений. В этом случае полная система функций состоит из \( N \) ортогональных (комплексных) векторов \( u_{k}(1), u_{k}(2), \ldots, u_{k}(N) \), где вместо \( q \) подставлены значения \( q_{1}, \ldots, q_{N} \) соответствующей величины. Ортогональная система векторов в прастранстве конечного числа измерений будет тогда и только тогда полной, когда число \( p \) векторов системы совпадает с числом измерений пространства \( N \). В этом случае матрица \( S \) удовлетворяет соотношению
\[
\tilde{S} S=I \text {. }
\]

Если же \( \dot{s} \) не квадратная матрица, а прямоугольная \( S_{n m} \) \( (n=1,2, \ldots, N ; m=1,2, \ldots, p) \), число строк которой \( p \) меньше числа столбцов \( N \), то, очевидно, \( s \tilde{s}
eq I \), так что \( S \tilde{s} \) не будет единичной матрицей. Ясно, что линейное отображение \( S \), которое переводит вектор \( f(r)=\sum_{k=1}^{N} a_{k} u_{k}(r), r=1,2, \ldots, N \) в \( [S f(r)]= \) \( =\sum_{k=1}^{p} a_{k} v_{k}(r) \) будет тогда и только тогда иметь обратное отображение \( \boldsymbol{S}^{-1} \) для всех \( f(r) \), если \( p=N \). Наряду с \( \tilde{S} S=I \) должно быть справедливо \( \mathcal{S}=I \); это требование равносильно здесь тому, что \( S \) квадратная матрица. Для матриц \( \mathcal{S} \) с бесконечным числом стгок и столбцов свойство полноты нельзя, однако, установить простым подсчётом; в этом случае существование обратной матрицы выступает как новое требование наряду с соотношением \( \tilde{\boldsymbol{S}} \boldsymbol{S}=\boldsymbol{I} \).

Теперь мы можем ответить на вогрос о том, как изменяется матрица, соответствующая согласно (151) оператору \( \boldsymbol{F} \), при переходе от системы функций \( \boldsymbol{u}_{k} \) в системе функций \( v_{k} \). Согласно (157), имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
F_{n m}^{\prime}=\int v_{n}^{*}\left(F v_{m}^{*}\right) d q, \\
F_{n m}^{\prime}=\sum_{k} \sum_{l} \int S_{k n}^{*} u_{k} S_{l m} F\left(u_{l}\right) d q,
\end{array}\right\}
\]

и, следовательно, благодаря тому, что

получаем \( { }^{2} \) )
\[
\left.\begin{array}{c}
F_{k l}=\int u_{k}^{*} F\left(u_{l}\right) d q \\
F_{n m}^{\prime}=\sum_{k, l} S_{k n}^{*} F_{k l} S_{l m}
\end{array}\right\}
\]

или в матричной записи
\[
\left(F^{\prime}\right)=\tilde{S} F S=S^{-1} F^{\prime} S,
\]

и обратное соотношение
\[
(F)=S F^{\prime} S^{-1}=S F^{\prime} \tilde{S} .
\]
\[
(F)=S F^{\prime} S^{-1}=S F^{\prime} \tilde{S}
\]

Легко установить, что если \( \boldsymbol{F} \) эрмитова матрица, то и \( \boldsymbol{F}^{\prime} \) также будет эрмктовой матрицей. На языке операторов
1) Здесь мы не рассматриваем вопроса о сходимости рядов в (164), который в общем доволно сложен.

соотношение (164), очевидно, обозначает, что если \( \boldsymbol{F} \) переводит функцию \( f \) в функцию \( g \), то \( F^{\prime} \) переводит функцию \( S f \) в функц:ю \( S g \). Однако при такой интерпретации «координатная система» \( u_{1}, \ldots, u_{n} \) остаётся неизменной, а изменяется оператор, тогда как мы исходили из представления о постоянном операторе \( \boldsymbol{F} \) и изменяющейся координатной системе.

Фундаментальные перестановочные соотношения (103) для операторов \( \boldsymbol{p}_{k} \) и \( \boldsymbol{q}_{l} \) переходят, очевидно, в соответствующие матричные уравнения, если заменить функции \( f \), на которые действуют эти операторы, последовательностями \( a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots \) их коэффициентов разложения по произвольной полной системе ортогональных функций \( v_{1}, v_{3}, \ldots, v_{n}, \ldots \) Действительно, эти перестановочные соотношения остаются, очевидно, иңвариантными по отношению к любым унитарным преобразованиям вида (164).

Теперь мы можем охарактеризовать очень простым образом специальные собстренные функции \( u_{1}, u_{2}, \ldots \), которые удовлетворяют уравнению
\[
\boldsymbol{H} \boldsymbol{u}=\boldsymbol{E} \boldsymbol{u}
\]

и соответствуют стационарным состояниям системы с гамильтоновым оператором \( \boldsymbol{H} \). Это такие ортогональные нормированные функции \( u \), для которых мат рица гсмильтоновой функции (энергия), определённая согласно (151),
\[
\left(H_{n m}\right)=\int u_{n}^{*}\left(H u_{m}\right) d q
\]

имеет диагональную форму
\[
H_{n m}=\left\{\begin{array}{l}
0 \text { при } n
eq m, \\
E_{n} \text { при } n=m .
\end{array}\right.
\]

Этот результат позволяет сформулировать проблему определения собственных значений энергии \( E_{n} \) и матриц \( p_{n m}^{(k)}, q_{n m}^{(k)} \) даже без знания волнового уравнения. Сначала записывают перестановочные соотношения с помощью правила умноженія матриц. Далее, вырижьют м. трицу энергии с помощью того же правила через мстричные элементы \( p^{(k)} \) и \( q^{(k)} \) и требуют, чтобы она была диагональной матрицей. Этот метод приводит к бесконечному числу уривнений для определения матричных элементов \( р \)

\( u \cdot q \) и собственных значений энергии. Это было основным предположением «матричной» мехаңики Гейзенберга, которая исторически предшествовала формулировке волнового уравнения \( { }^{1} \) ). Практическое решение этих уравнений удаётся получить только в немногих случаях, например, для гармонического осциллятора. В случае водородного атома также можно ещё получить значеңие энергии, однако, матричные элементы \( p \) и \( q \) уже определить не удаётся. Это связано с тем, что здесь наряду с дискретным присутствует также и непрерывный спектр, наличие которого сильно осложняет матричное исчисление. Мы скоро вернёмся к этому вопросу. Напротив, матричное исчисление часто оказывается удобным, если речь идёт о подпространстве конечного числа измерений. Такое подпространство получается, например, для вырожденных систем, когда одному определённому значению энергии соответствует несколько состояний, число которых мы обозначим g. В этом случае можно ещё произвести внутри соответствующего \( g \)-мерного годпространства состояний любую унитарную трансформацию матриц (164), не нарушая уравнений, которым они удовлетворяют, так как в этом подпространстве матрица энергии равна единичной матрице, умноженной на постоянное число \( E \), а единичная матрица при рассматриваемых трансформациях сохраняется. В волновой механике этому соответствует возможность преобразовывать принадлежащие \( E \) собственные функции \( u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{g} \) по формулам:
\[
u_{m}^{\prime}=\sum_{n=1}^{g} u_{n} S_{n m} \quad(m=1,2, \ldots, g) .
\]

Если, в частности, здесь S yнuтарная g-строчная (квадратная) матрица, то ортогональность системы функций при этом сохраняется. В матричном рассмотрении проблема о собственных значениях может быть сформулирована также несколько иначе. Можно ввести для \( \boldsymbol{p}_{i}, \boldsymbol{q}_{k} \) какие-либо произвольные матрицы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям (в волновой механике им соответствует произвольная ортогональная система
1) W. Heisenberg, Zs. f. Phys., 33, 879. 1925.

функций). Применяя матричные правила умножения, получают определённую эрмитову матрицу \( H_{n m} \) для энергии. Задача состоит тогда в том, чтобы привести её унитарно к диагональному виду, т. е. решить бесконечное число линейных уравнений
\[
S^{-1} H S=E
\]

или
\[
H \boldsymbol{H}=\boldsymbol{S E} ; \quad \sum_{m} H_{n m} S_{m}=S_{n} E
\]

для всех возможных \( E \). Условие унитарности \( S \) требует нормировки коэффициентов:
\[
\sum_{n}\left|S_{n}\right|^{2}=1 .
\]

Для каждого возможного значения \( E_{\text {р }} \) энергии \( E \) получается система коэффициентов \( S_{n \rho \text { p }} \). Легко видеть, на основания (158′), что эти коэффициенты автоматически образуют унитарную матрицу, если \( \boldsymbol{H} \) эрмитово. Хотя практически эта система уравнений в общем случае также неразрешима, мы увидим, однако, что она может быть использована в теории возмущений \( { }^{1} \) ).

Теперь же мы обсудим обобщение этих результатов для непрерывного спектра, не касаясь, однако, вопросов сходимости. Если собственные функции \( u \) нормированы относительно параметра \( \lambda \) или параметров \( \lambda_{1}, \ldots \) то можно образовать, по аналогии с (151),
\[
F u_{\lambda} \sim \int u_{\lambda^{\prime}} F_{\lambda^{\prime} \lambda} d \lambda^{\prime} ; \quad F_{\lambda^{\prime} \lambda}=\int u_{\lambda^{\prime}}^{*}\left(F u_{\lambda}\right) d q .
\]

В \( F_{\lambda^{\prime} \lambda} \) и даже в само \( u \) могут, однако, входить \( \delta \)-символы, определённые посредством (145) и (147). Например, для \( \lambda \), имеющего численные значения \( q \), можно выбрать \( u \) в виде \( \delta \)-функции: \( u_{q^{\prime}}(q)=\delta\left(q-q^{\prime}\right) \), где \( \delta\left(q-q^{\prime}\right) \) обозначает сокращённо \( \delta\left(q_{1}-q_{1}^{\prime}\right) \delta\left(q_{2}-q_{2}^{\prime}\right) \ldots \delta\left(q_{f}-q_{f}^{\prime}\right) \). Тогда получаем
\[
\int u_{q^{\prime}}^{*}(q) u_{q^{*}}(q) d q=\int \delta\left(q-q^{\prime}\right) \delta\left(q-q^{\prime \prime}\right) d q=\delta\left(q^{\prime}-q^{\prime \prime}\right) .
\]
1) Cp. M. Born, P. Jordan и W. Heisenberg, Zs.f. Phys., 35, 557, 1926.
Общие привципы волновс н мехадики
7

Матрица \( q \) будет иметь вид
\[
q_{k}\left(q^{\prime}, q^{\prime \prime}\right)=\int \delta\left(q-q^{\prime}\right) q_{k} \delta\left(q-q^{\prime \prime}\right) d q
\]

или
\[
q_{k}\left(q^{\prime}, q^{\prime \prime}\right)=q_{k}^{\prime} \delta\left(q^{\prime}-q^{\prime \prime}\right) ;
\]

аналогично
\[
\boldsymbol{p}_{k}\left(q^{\prime}, q^{\prime \prime}\right)=\int \delta\left(q-q^{\prime}\right) \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{k}} \delta\left(q-q^{\prime \prime}\right) d q
\]

или
\[
\boldsymbol{p}_{k}\left(q^{\prime}, q^{\prime \prime}\right)=\frac{\hbar}{-} \delta_{k}^{\prime}\left(q^{\prime}-q^{\prime \prime}\right)
\]

где последнее выражение введено как сокращение для произведения
\[
\begin{array}{r}
\delta\left(q_{1}^{\prime}-q_{1}^{\prime \prime}\right) \ldots \delta\left(q_{k-1}^{\prime}-q_{k-1}^{\prime \prime}\right) \delta\left(q_{k}^{\prime}-q_{k}^{\prime \prime}\right) \delta\left(q_{k+1}^{\prime}-q_{k+1}^{\prime \prime}\right) \ldots \\
\ldots \delta\left(q_{f}^{\prime}-q_{f}^{\prime \prime}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом устанавливается формальное равенство
\[
\begin{array}{c}
\int\left[\boldsymbol{p}_{k}\left(q^{\prime}, q^{\prime \prime \prime}\right) \boldsymbol{q}_{k}\left(q^{\prime \prime \prime}, q^{\prime \prime}\right)-q_{k}\left(q^{\prime}, q^{\prime \prime \prime}\right) \boldsymbol{p}_{k}\left(q^{\prime \prime \prime} q^{\prime \prime}\right)\right] d q^{\prime \prime \prime}= \\
=\frac{\hbar}{i} \delta\left(q^{\prime}-q^{\prime \prime}\right) .
\end{array}
\]

В действительности все эти символы только тогда получают смысл, если их умножить на произвольные функции \( f^{*} \) и \( g \) от аргументов \( q^{\prime} \) и \( q^{\prime \prime} \) и проиңтегрировать, например,
\[
\int_{q_{1}^{\prime}}^{q_{2}^{\prime}} \int_{q_{1}^{\prime \prime}}^{q_{2}^{\prime \prime}} f^{\prime \prime}\left(q^{\prime}\right) q_{k}\left(q^{\prime}, q^{\prime \prime}\right) g\left(q^{\prime \prime}\right) d q^{\prime} d q^{\prime \prime}=\int_{q_{1}}^{y z} f^{*}(q) q_{k} g(q) d q,
\]

где \( \left(q_{1}, q_{2}\right) \) обозначает общую часть интервалов \( \left(q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}\right) \), \( \left(q_{1}^{\prime \prime}, q_{2}^{\prime}\right) \).

Точно так же существует преобразование от полной системы \( u_{\lambda} \) к другой полной системе \( v_{\mu} \), формально аналогичное (157):

где
\[
\left.\begin{array}{c}
v(\mu ; q)=\int u(\lambda ; q) S(\lambda, \mu) d \lambda, \\
S(\lambda, \mu)=\int u^{*}(\lambda ; q) v(\mu ; q) d q .
\end{array}\right\}
\]

Матрица \( S(\lambda, \mu) \) унитарна и удовлетворяет соотношениям
\[
\begin{array}{l}
\int S^{*}(\lambda, \mu) S\left(\lambda, \mu^{\prime}\right) d \lambda=\delta\left(\mu-\mu^{\prime}\right), \\
\int S(\lambda, \mu) S^{*}\left(\lambda^{\prime}, \mu\right) d \mu=\delta\left(\lambda-\lambda^{\prime}\right),
\end{array}
\]

аналогичным (158) и (163). Формула преобразоваңия операторов
\[
F\left(\mu ; \mu^{\prime}\right)=\int S^{*}(\lambda, \mu) \dot{F}\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) S\left(\lambda^{\prime}, \mu^{\prime}\right) d \lambda d \lambda^{\prime}
\]

аналогична (164).
Особенно интересен смешанный случай, когда один из индексов пробегает дискретные значения, а другой-непрерывные. Тогда мы имеем
\[
\left.\begin{array}{c}
\left.v_{n}(q)=\int u(\lambda ; q) S_{n}(\lambda) d \lambda, \quad u(\lambda ; q)=\sum_{n} v_{n}^{*} ! q\right) S_{n}^{*}(\lambda), \\
S_{n}(\lambda)=\int u^{*}(\lambda ; q) v_{n}(q) d q \\
\int S_{n}^{*}(\lambda) S_{m}(\lambda) d \lambda=\delta_{n, m}, \sum_{n} S_{n}(\lambda) S_{n}^{*}\left(\lambda^{\prime}\right)=\delta\left(\lambda-\lambda^{\prime}\right) \\
\left(\delta_{n, m}=0 \text { при } n
eq m, \delta_{n, m}=1 \text { при } n=m\right), \\
F_{n, m}=\int S_{n}^{*}(\lambda) F\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) S_{m}\left(\lambda^{\prime}\right) d \lambda d \lambda^{\prime}, \\
F\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)=\sum_{n, m} S_{n}(\lambda) F_{n m} S_{m}^{*}\left(\lambda^{\prime}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Эти формулы особенно просты, если, в частности, ввести для \( u(\lambda, q) \) систему \( u_{q^{\prime}}(q)=\delta\left(q-q^{\prime}\right) \). Тогда, очевидно,
\[
\left.\begin{array}{c}
S_{n}\left(q^{\prime}\right)=\int \delta\left(q-q^{\prime}\right) v_{n}(q) d q=v_{n}\left(q^{\prime}\right) \\
\int v_{n}^{*}(q) v_{m}(q) d q=\delta_{n, m}, \sum_{n} v_{n}(q) v_{n}^{*}\left(q^{\prime}\right)=\delta\left(q-q^{\prime}\right) \\
F_{n, m}=\int v_{n}^{*}(q) F\left(q, q^{\prime}\right) v_{m}\left(q^{\prime}\right) d q d q^{\prime}, \\
F\left(q ; q^{\prime}\right)=\sum_{n, m} v_{n}(q) F_{n, m} v_{m}^{*}\left(q^{\prime}\right)
\end{array}\right\}
\]
7*

Мы получили важнейший результат, что собственные функции \( u_{n}(q) \) сами представляют собой частный случай функций преобразования, которые осуществляют трансформацию от системы \( \delta\left(q-q^{\prime}\right) \) к самой системе \( u_{n}(q) \). Если, в частности, выбрать в качестве \( u_{n}(q) \) такие \( u_{n}(q) \), которые приводят определённый оператор Гамильтона \( \boldsymbol{H} \) к диагональному виду \( H_{n m}=E_{n} \delta_{n m} \), то можно сказать, что в силу \( \left(169^{\prime}\right), u_{n}(q) \) являются функциями преобразования от оператора \( \boldsymbol{q} \) к оператору \( \boldsymbol{H} \), ибо \( \boldsymbol{q} \) имеет диагональную форму в системе \( \delta\left(q-q^{\prime}\right) \), а \( \boldsymbol{H} \) в системе \( u_{n}(q) \). Что касается второго соотношения (170′), то оно представляет собой только другое-символическое выражение условия полноты. С помощью интегрирования для двух произвольных функций \( f, g \) можно перейти снова к «действительному» (не символическому) уравнению
\[
\sum_{n} \int f^{*}(q) v_{n}(q) d q \cdot \int g\left(q^{\prime}\right) v_{n}^{*}\left(q^{\prime}\right) d q^{\prime}=\int f^{*} g d q,
\]

которое точно совпадает с условием полноты (134′). В частности, это условие справедливо, если \( f \) и \( g \) равны 1 внутри определённых (не обязательно совпадающих) областей и равны нулю вне этих областей.