Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Теория квантования поля излучения лишь тогда полна, когда она описывает также взаимодействия с материей. Пусть имеются \( n \) материальных частиц; мы будем обозначать пространственные координаты и импульсы этих частиц (последние разделены на \( \hbar \) ) большими буквами \( \vec{X}_{1}, \ldots, \vec{X}_{n} \) и \( \vec{K}_{1}, \ldots, \vec{K}_{n} \), в противоположность соответствующим величинаи \( \vec{x}_{1}, \ldots, \vec{x}_{N}, \vec{k}_{1}, \ldots, \vec{k}_{N} \) для световых квантов. Прежде чем выбрать оператор Гамильтона, мы хотим рассмотреть перестановочные соотношения для операторов и уравнения, которые описывают изменение этих операторов со временем. Чтобы иметь дело лишь с калибровочно-инвариантными операторами, целесообразно для каждой из \( n \) материальных частиц ввести операторы \( \vec{\pi}_{k}(k=1,2,3) \), аналогичные введённым в (77): Здесь \( s \)-индекс, нумерующий частицы, который пробегает значения от 1 до \( n \); в потенциалы вставлены координаты \( s \)-й частицы. Сначала мы, однако, совершенно. не будем использовать это определение операторов \( \vec{\pi}_{k}^{(s)} \) и будем расематривать лишь их перестановочные соотношения и их изменения со временем. Первые будут аналогичны (78): последние же аналогичны (80’): При этом мы сверх того теперь же введём для каждой частицы операторы \( \alpha_{k}^{(s)}, \beta_{k}^{(s)} \), которые коммутируют со всеми остальными операторами и согласно дираковской теории электрона подчиняются следующим соотношениям: Для напряжённости поля сохраняются перестановочные соотношения (145) и (146) электродинамики вакуута: Далее устанавливаем, что напряжённости поля должны коммутировать с \( \boldsymbol{X}_{k}^{(s)} \) и \( \overrightarrow{\boldsymbol{\alpha}_{k}^{(s)}} \). Важнейшее требование заключается в том, что операторы напряжённостей поля должны удовлетворять уравнениям Максвелла при наличии зарядов: Появление \( \delta \)-функции соответствует предположению о точечности заряда в классической теории. Позже мы обсудим предположение \( о \) замене \( \delta \)-функции произвольной функцией \( \left.D \overrightarrow{(x}-\boldsymbol{X}^{(s)}\right) \), что должно соответствовать конечному распределению заряда. Соотношение ( \( 173_{2} \) ) весьма замечательно, так как оно не содержит производных по времени и должно выполняться таким образом уже в заданный момент времени; оно представляет собой дополнительное \( у \) словие. Его производная по времени обращается тождественно в нуль в силу уравнений (173, ) и (171), что необходимо должно иметь место, чтобы теория была непротиворечивой. Нам пока ещё нехватает перестановочных соотношений для \( \vec{\pi}_{k}^{(s)} \) и напряжённостей поля. Эти перестановочные соотношения так же, как и все другие, должны удовлетворять следующим условиям: во-первых, они должны быть совместны друг с другом, во-вторых, они должны сохраняться во времени в силу дифференциальных уравнений для операторов и, в-третьих, все операторы должны коммутировать с дополнительным условием \( \left(173_{2}\right) \). Это выполняется, если положить \( { }^{1} \) ): Например, тогда будем иметь: в согласии с \( \left(173_{2}\right. \) ) и (168. ); далее, производные по времени перестановочных соотношений (174), вследствие остальных соотношений, сами собой удовлетворяют требуемым условиям. и оператор импульса: коммутирующие с \( \left(173_{2}\right) \). и даже вообще для каждой функции (которая не содержит явно координат \( x_{k} \) и \( t \) ) этих операторов, \( f \) имеем: Можно исходить также из требования существования оператора Гамильтона и оператора импульса и вывести отсюда дифференциальные уравнения в соответствии с (177). Замечательно отсутствие скалярного потенциала в (175). В развиваемой здесь теории член ( \( -e \) ) \( \boldsymbol{E}_{\text {i }} \) в правой части (169) получается, однако, непосредственно из коммутирования \( \pi_{k} \) с \( (\vec{E})^{2} \). Мы приступим тепе кь к обуждению вопроса о релятивистской инвариантности теории, Рассмогрим ортогональное преобразование коордннат перейти к В величины, относящиеся к материальным частицам, подставим При этом напряжённости поля должны преобразовыєаться как антисимметричный тензор в четырёхмерном пространстве, а определяемые выражения (17) величины \( \gamma_{\mu} \), именно ( \( \left.-\overrightarrow{i \beta} \overrightarrow{\alpha_{k}}, \vec{\beta}\right) \), как четырёхмерный вектор, \( \boldsymbol{X}_{(t)}^{(s)} \) вместе с \( \boldsymbol{i} t \), и наконец, \( \left\{\vec{\pi}_{k}, i\left(\overrightarrow{x_{l} \pi_{l}+m c \beta}\right)\right\} \) образуют вместе один четырёхмерный вектор. Далее, \( \left(\boldsymbol{P}_{h}, \frac{\boldsymbol{i}}{c} \boldsymbol{H}\right) \) должны образовывать четырёхмерный вектор. Перестановочные соотношения также должны иметь в штрихованной системе ту же форму, что и в нештрихованной. Для проверки удобнее не фиксировать \»мировую точку\», а изменить её так, чтобы штрихованные координаты новой \»мировой точки\» имели те же значения, что нештрихованные координаты старой мировой точки. Это означает, что мы переходим от нештрихованных координат к причём \( t \) и \( x, t \) есть значения штрихованных координат. Мы будем называть это преобразованием второго рода, в то время как ранее данное преобразование назовём преобразованием первого рода. Релятивистская инвариантность теории будет доказана, если существует унитарный оператор \( S \), который производит преобразование второго рода для любой из написанных величин, а также и для любой функции \( f \) от этих величин: Для доказательства достаточно показать, что это соотношение выполняется для бесконечного малого преобразования координат: При этом учитываются лишь величины первого порядка относительно \( \hat{\kappa}_{\mu Оператор \( \vec{\Lambda} \) зависит линейно от в в \( _{ причём \( \vec{\Lambda}_{\mu Величинам \( \vec{\pi}_{j}^{(s)} \) и \( \boldsymbol{X}_{k}^{(s)} \) относим следующие выражения: Теперь запишем \( \vec{\Lambda}_{\eta Здесь \( P_{j} \) снова компонента импульса, данная выражением (176). В \( \Lambda_{i k} \) узнаём интеграл момента импульса и именно сумму момента (84). относящегося к материи, и момента (130), относящегося к излучению; далее, \( \vec{\Lambda}_{4 j} \)-дополняющие пространственновгеменные компоненты, образующие совместно с \( \vec{\Lambda}_{j k} \) антисимметричный тензор. Кақ показывает вычисление, производные по времени \( \vec{\Lambda}_{\mu Существуют общие систематические исследования относительно квантования каких-либо классических уравнений поля и возможности вывода и перестановочные соотношения из канонической схемы. Мы не будем их подробно касаться, так же как и вопроса о связи с рассмотренным в части I, § 15 квантованием материальных волн, но укажем на относяшуюся сюда литературу \( { }^{1} \) ). Некоторые особенности появляются, когла функция Гамильтона обладает инвариантностью относительно группы, преобразования которой содержат произвольные функции. В случае квантовой электродинамики это — группа \»Eісh-преобразований\» (преобразований калибровки). В данном здесь представлении мы, отказываясь от применения систематического метода для нахождения перестановочных соотношений, применяли лишь «Еісh-инвариантные» величины. Если хотят сохранить потенциалы, то всего нагляднее метод Ферми. Согласно этому методу, связанная с излучением часть оператора Гамильтона выбирается в виде дополняется членом \( -e \sum_{s} \Phi_{0}\left(X^{(s)}\right) \). Тогда следует требовать выполнения дополнительно условия: и его производной по времени, которую можно написать в форме: Оба условия, поскольку они выполняются, переместительны с оператором Гамильтона, т. е. они сохраняются во времени, если осуществляются в момент \( t=0 \). Дополнительные условия существенно ограничивают \»Eich-преобразования\», однако, метод Ферми очень удобен для доказательства инвариантности теории относительно преобразований Лоренца. Окончательные результаты тождественны с џезультатами, получающимися из данного здесь или какого-либо другого непготиворечивого представления квантовой электродинамики. Чтобы вывести в данной системе отсчёта следствия из основных уравнений теории, целесообразно разложить электрическую напряжённость поля \( \overrightarrow{\boldsymbol{E}} \) на продольную и поперечную части: Под этим понимается, что при пространственном разложении \( \overrightarrow{\boldsymbol{E}} \) в ряд Фурье, т. е. переходе к \( k \)-пространству, \( \overrightarrow{\boldsymbol{E}}^{(l)}(k) \) будет параллельно \( \vec{k} \), а \( \overrightarrow{\boldsymbol{E}}^{(t \boldsymbol{r})} \), напротив, перпендикулярно \( \vec{k} \). В координатном пространстве это равнозначно тому, что поле \( \vec{E}^{l} \) лишено вихрей, а поле \( \vec{E}^{(t r)}- \) источников: для \( \overrightarrow{\boldsymbol{E}}^{l} \) сразу же следует из (173, ): где означает расстолние точки наблюдения от положения \( s \)-й частицы \( { }^{2} \) ). Затем обычным образом получаем: где выражением: Тем самым мы нарушаем, однако, релятивистскую инвариантность теории. С этим изменением оператор Гамильтона (175) примет следующий вид: Здесь можно, как в электродинамике вакуума, выразить \( \overrightarrow{\boldsymbol{E}}^{(\boldsymbol{r})} \) через числа световых квантов, но теперь эти числа будут меняться с течением времени, в то время как в электродинамике вакуума они были постоянны. которая зависит, с одной стороны, от индексов спина (пробегающих значения от 1 до 4) и координат материальных частиц, и с другой стороны, от чисел световых квантов в пространстве импульсов. Квадрат абсолютного значения этой функции означает соответствующую вероятность. В то время как действие на \( \Psi \) операторов \( \vec{\alpha}_{k}^{(s)} \), \( \vec{\beta}^{(s)}, \boldsymbol{X}_{k}^{(s)}, \boldsymbol{N}(\lambda, k) \) ясно, ещё не определено однозначно, как действуют на \( \Psi \) напряжённости \( \overrightarrow{\boldsymbol{E}}, \overrightarrow{\boldsymbol{H}} \) и \( \vec{\pi}_{k}^{(s)} \), действительно, в нашем определении \( \Psi \) до сих пор ещё остаётся произвольной фаза \( \left.e^{i f\left(x^{(1)}\right.}, \ldots, x^{(N)} ; N(\lambda, k)\right) \), и в зависимости от того, как она будет выбрана, действие операторов \( \overrightarrow{\boldsymbol{E}}, \overrightarrow{\boldsymbol{H}} \) и \( \vec{\pi}_{k}^{(s)} \) на \( \Psi \) будет давать различные результаты. Само по себе каждое определение разрешается или запрещается в зависимости от того, согласуется ли оно с перестановочными соотношениями. Мы можем установить, что \( \overrightarrow{\boldsymbol{E}}^{(t \boldsymbol{r})} \) и \( \overrightarrow{\boldsymbol{H}} \) действуют точно так же, как в электродинамике вакуума; тогда согласно (121), (125), (132): Действие операторов \( \boldsymbol{a} ; \boldsymbol{a}^{*} \) дано выражениями (137)(140). Мы получаем следующее, совместное с перестановочными соотношениями определение действия оператоpoв \( \overrightarrow{\pi_{j}^{(s)}} \) или в \( k \)-пространстве: таким образом Подставив это в оператор Гамильтона, получим: где Иногда бывает удобнее ввести вместо непрерывных значений \( \vec{k} \) — дискретное. Если бы в (189) не было члена \( \boldsymbol{H}_{1} \Psi \), то мы имели бы дело с материальными частицами, между которыми действуют электростатические силы, и с не зависящим от этих частиц полем излучения. Член \( \boldsymbol{H}_{\mathbf{1}} \Psi \) определяет, таким образом, связь частиц с полем излучения и имеет решающее значение при описании эмиссии, абсорбции и. дисперсии света. Успех изложенной в части I волновой механики существенно основан на предположении, что связь с полем излучения может рассматриваться как бесконечно малое возмущение. В дальнейшем мы обсудим, насколько существующая теория соответствует зтому требованию. Подчеркнём ещё, что уравнения (189) образуют по существу основу первоначальной теории Дирака взаимодействия между излучением и материей \( { }^{1} \) ). Вместо того чтобы использовать переменные \( N(k) \) в качестве аргументов функции \( \Psi \), можно по Ландау и Пайерлсу \( { }^{2} \) ) ввести \( \vec{k} \)-пространство световых квантов. Тогда для каждого общего числа \( N \) наличных световых квантов мы будем иметь следующие функции: Здесь спиновый индекс \( \rho_{s} \) материальной частицы пробегает значения от 1 до 4 , каждый из индексов \( j \) световых квантов-от 1 до 3 . Результат применения опек атора Гамильтона к этим функциям даётся непосредственно формулой (163), если используется форма (188) операторов \( \vec{\pi}_{j}(s) \). Применения. Все применения теории взаимодействия излучения и материи, базирующейся на квантовании поля излучения, т.е. на понятии фотона, покоятся на том, что связь излучения и материи, т. е. член с \( \boldsymbol{H}_{1} \) в (189), рассматривается как относительно малое возмущение. Формально эта теория возмущения соответствует разложению по степеням заряда \( e \). Что касается результатов теории для явлений эмиссии, абсорбции и дисперсии, то мы отсылаем читателя к гл. V Handb. d. Phys., т. XXIV, 1933. Важный успех этой теории заключается в возможности рассмотреть корректным образом затухание излучения (и, слеповательно, также вопрос 0 пирине спектральной линии). Мы хотим ещё вкратце показать, как предписания I и II, появляющиеся при рассмотрении явлений излучения но принципу соответствия (часть \( 1, \S 15 \) ) и кажущиеся там произвольными, оказываются справедливыми сами собой, если пользоваться теорией фотонов. Что касается испущенного или рассеянного излучения, то нет необходимости непосредственно употреблять оператор Гамильтона, но можно, по Гейзенбергу \( { }^{1} \) ), прямо интегрировать с помөщью запаздывающих потенциалов уравнения Максвелла, рассматриваемые как операторные. При этом целесообразно в качестве переменных ввести невозмущённые стационарные состояния системы вместо координат электронов и разлагать функцию \( \Psi\left(\vec{X}_{1}, \ldots, \vec{X}_{n}\right. \), \( N(\lambda, k), t) \) по собственным функциям \( u_{l}\left(\vec{X}_{1}, \ldots, \vec{X}_{n}\right) \) этих состояний: Вычисление испущенного или рассеянного излучения производится далее точно так же, как в случае вычисления по принципу соответствия, только операторы или матрицы, вообще говоря, действуют также и на световые кванты. Что касается предписания 1 , то оно следует непосред. ственно из того, что среднее значение интенсивности излучения даётся выражением \( 2 F^{*} \boldsymbol{F} \), а не \( \boldsymbol{F}^{*} \boldsymbol{F}+\boldsymbol{F}^{*} \). Разложение наиряжённости на части, пропорциональные \( e^{+i y t} \) и \( e^{-i Соверіенно подобно этому получаем обоснование предписания ‘II, которое необходимо, чтобы учесть обратное действие излучения на атом. Мы нашли в части I [уравнения (378) и (379)] следующее выраженис для возмущённых амплитуд состояния \( \boldsymbol{C}_{m}^{(1)} \) : Вместо \( \boldsymbol{E}^{(+)} \)и \( \boldsymbol{E}^{(-)} \)можно также писать \( \boldsymbol{F}^{*}(k) \) и \( \boldsymbol{F}(k) \); далее заметим; что \( \boldsymbol{c}_{i n}^{(1)} \) являются операторами (или матрицами), которые действуют и на числа световых квантов. Следует вычислить \( \sum_{N^{\prime}} c_{\text {иit }}^{(1)}\left(N^{\prime}, t\right)^{2} \) или, вследствие того, что \( \mathcal{c}_{m}^{(1)}\left(N^{\prime}, t\right)=\sum_{N} c_{m}^{(1)}\left(N^{\prime}, N\right) c_{m}^{(0)}(N, t) \), выражение \( \sum_{y^{\prime}} c_{m}^{(1)}\left(N^{\prime}, N\right)^{2} \), гдс \( N \) — чис. 10 световых квантов в начальном состоянии. Положим: так что Таким образом: Таким образом мы действительно построили математическое ожидание \( \boldsymbol{c}_{m}^{+} \boldsymbol{c}_{m} \), где \( \boldsymbol{c}_{m}^{+} \)стоит слева от \( \boldsymbol{c}_{m} \). \( 32 \dot{5} \) При введении в волновые бункции чисел световых квантов, как независимых переменных, оба особых правила, вводимых при рассмотрении процессов излучения методом соответствия, сводятся, таким образом, к общим принципам волновой механики. Из других проблем, которые легко можно рассмотреть с помощью теории, упомянем опыт Гейгера-Боте, обнаруживший в явлении Комптона связь между моментом времени появления рассеяния электрона и моментом времени появления рассеянного при этом процессе кванта. Из теории сразу следует, что эти моменты времени должны в пределах точности геометрической оптики и ширины определяющего начальное состояние волнового пакета находиться в определённых границах \( { }^{1} \) ).
|
1 |
Оглавление
|