Теория квантования поля излучения лишь тогда полна, когда она описывает также взаимодействия с материей. Пусть имеются $n$ материальных частиц; мы будем обозначать пространственные координаты и импульсы этих частиц (последние разделены на $\hslash$ ) большими буквами ${\overrightarrow{X}}_1,\dots ,{\overrightarrow{X}}_n$ и ${\overrightarrow{K}}_1,\dots ,{\overrightarrow{K}}_n$, в противоположность соответствующим величинаи ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_N,{\overrightarrow{k}}_1,\dots ,{\overrightarrow{k}}_N$ для световых квантов. Прежде чем выбрать оператор Гамильтона, мы хотим рассмотреть перестановочные соотношения для операторов и уравнения, которые описывают изменение этих операторов со временем. Чтобы иметь дело лишь с калибровочно-инвариантными операторами, целесообразно для каждой из $n$ материальных частиц ввести операторы ${\overrightarrow{\pi }}_k(k=1,2,3)$, аналогичные введённым в (77):
$${\overrightarrow{\pi }}_k^{(s)}=p_k^{(s)}+\frac{e}{c}{\mathrm{\Phi }}_k\left(X_s\right)=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial X_k(s)}+\frac{e}{c}{\mathrm{\Phi }}_k\left(X^{(s)}\right).$$
. ‘) L. Lan̦daụ и R. Peieris, l, , ,

Здесь $s$-индекс, нумерующий частицы, который пробегает значения от 1 до $n$; в потенциалы вставлены координаты $s$-й частицы. Сначала мы, однако, совершенно. не будем использовать это определение операторов ${\overrightarrow{\pi }}_k^{(s)}$ и будем расематривать лишь их перестановочные соотношения и их изменения со временем. Первые будут аналогичны (78):
$$\begin{array}{l}\overrightarrow{{\pi }_i^{(s)}}{\mathit{X}}_k^{\left(s^{\prime }\right)}-{\mathit{X}}_k^{\left(s^{\prime }\right)}\overrightarrow{{\pi }_i^{(s)}}={\delta }_{s{s}^{\prime }}{\hat{\delta }}_{ik}\frac{\hslash }{i},\end{array}$$

последние же аналогичны (80’):
$$\frac{\overrightarrow{d{\pi }_k^{(s)}}}{dt}=(-e)\{E_k\left({\overrightarrow{X}}_s\right)+\sum _{l=1}^3{\mathit{H}}_{kl}\left({\overrightarrow{X}}_s\right){\alpha }_l^s\}.$$

При этом мы сверх того теперь же введём для каждой частицы операторы ${\alpha }_k^{(s)},{\beta }_k^{(s)}$, которые коммутируют со всеми остальными операторами и согласно дираковской теории электрона подчиняются следующим соотношениям:
$$\begin{array}{l}\overrightarrow{\dot{X}}(s)=\overrightarrow{{\alpha }^{(}}(s).\end{array}$$

Для напряжённости поля сохраняются перестановочные соотношения (145) и (146) электродинамики вакуута:
$$\begin{array}{l}[{\mathit{E}}_i(x),{\mathit{E}}_j\left(x^{\prime }\right)]=0,[{\mathit{H}}_{ij}(x),{\mathit{H}}_{kl}\left(x^{\prime }\right)]=0,\\ [{\mathit{E}}_i(x),{\mathit{H}}_{jl}(x)]=\frac{\hslash c}{i}({\delta }_{ij}\frac{\partial }{\partial x_l}-{\delta }_{il}\frac{\partial }{\partial x_j})\delta (x-x^{\prime }).\end{array}\}$$

Далее устанавливаем, что напряжённости поля должны коммутировать с ${\mathit{X}}_k^{(s)}$ и $\overrightarrow{{\mathit{\alpha }}_k^{(s)}}$.

Важнейшее требование заключается в том, что операторы напряжённостей поля должны удовлетворять

уравнениям Максвелла при наличии зарядов:
$$\begin{array}{l}\mathrm{div}\overrightarrow{\mathit{E}}=(-e)\sum _{s=1}^n\delta (\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{\mathit{X}}}^{(s)}).\end{array}$$

Появление $\delta$-функции соответствует предположению о точечности заряда в классической теории. Позже мы обсудим предположение $о$ замене $\delta$-функции произвольной функцией $D\overrightarrow{(x}-{\mathit{X}}^{(s)})$, что должно соответствовать конечному распределению заряда.

Соотношение ( ${173}_2$ ) весьма замечательно, так как оно не содержит производных по времени и должно выполняться таким образом уже в заданный момент времени; оно представляет собой дополнительное $у$ словие. Его производная по времени обращается тождественно в нуль в силу уравнений (173, ) и (171), что необходимо должно иметь место, чтобы теория была непротиворечивой.

Нам пока ещё нехватает перестановочных соотношений для ${\overrightarrow{\pi }}_k^{(s)}$ и напряжённостей поля. Эти перестановочные соотношения так же, как и все другие, должны удовлетворять следующим условиям: во-первых, они должны быть совместны друг с другом, во-вторых, они должны сохраняться во времени в силу дифференциальных уравнений для операторов и, в-третьих, все операторы должны коммутировать с дополнительным условием $\left({173}_2\right)$. Это выполняется, если положить ${}^1$ ):
$$[{\overrightarrow{\pi }}_i^{(s)},H_{jl}(x)]=0,[\overrightarrow{\pi }{}_i^{(s)},{\mathit{E}}_j(x)]=(-e)\frac{\hslash }{i}{\delta }_{ij}\delta (\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{\mathit{X}}}^{(s)}).$$

Например, тогда будем иметь:
$${\overrightarrow{\pi }}_i^{(s)},\mathrm{div}\overrightarrow{\mathit{E}}(x)]=(-e)\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x_j}\delta \overrightarrow{(x}-{\mathit{X}}^{(s)}),$$
1) В литературе эти соотношения выводятся из (167) и предположения: $[{\mathrm{\Phi }}_k(x),E_j\left(x^{\prime }\right)]=\frac{\hslash }{i}\delta (x-x^{\prime })$, которое мы не используем.

в согласии с $({173}_2$ ) и (168. ); далее, производные по времени перестановочных соотношений (174), вследствие остальных соотношений, сами собой удовлетворяют требуемым условиям.
Затем находим оператор энергии
$$\mathit{H}=c\sum _{s=1}^n\sum _{k=1}^3{\overrightarrow{\mathit{x}}}_k^{(s)}{\overrightarrow{\pi }}_k^{(s)}+m{\overrightarrow{\beta }}^{(s)}\}+\frac{1}{2}\int ({\overrightarrow{\mathit{E}}}^2+{\overrightarrow{\mathit{H}}}^{\mathbf{s}}+{\mathrm{\Delta }}_0)dV$$

и оператор импульса:
$${\mathit{P}}_i=\sum _{s=1}^N{\overrightarrow{\pi }}_i^{(s)}+\frac{1}{c}\int \{[\overrightarrow{\mathit{E}}\times \overrightarrow{\mathit{H}}{]}_i+{\mathrm{\Delta }}_i\}dV,$$

коммутирующие с $\left({173}_2\right)$.
Добавочные величины ${\mathrm{\Delta }}_0,{\mathrm{\Delta }}_i$ в подинтегральных выражениях, которые не выписаны в явном виде, коммутируют со всеми операторами (с-числа) и служат для исключения нулевой энергии [см. (155)]. Для каждого из применяемых операторов
$${\overrightarrow{\pi }}_i^{(s)},{\mathit{X}}_1^{(s)},{\overrightarrow{\alpha }}_i^{(s)},{\overrightarrow{\beta }}^{(s)};E_i(x),H_{jk}(x)$$

и даже вообще для каждой функции (которая не содержит явно координат $x_k$ и $t$ ) этих операторов, $f$ имеем:
$$\begin{array}{c}\dot{f}=\frac{i}{\hslash }[H,f],\\ \sum _s\frac{\partial f}{\partial X_k^{(s)}}+\frac{\partial f}{\partial x_k}=\frac{i}{\hslash }[P_k,f].\end{array}$$

Можно исходить также из требования существования оператора Гамильтона и оператора импульса и вывести отсюда дифференциальные уравнения в соответствии с (177). Замечательно отсутствие скалярного потенциала в (175). В развиваемой здесь теории член ( $-e$ ) ${\mathit{E}}_{\text{i }}$ в правой части (169) получается, однако, непосредственно из коммутирования ${\pi }_k$ с $(\overrightarrow{E}{)}^2$.

Мы приступим тепе кь к обуждению вопроса о релятивистской инвариантности теории, Рассмогрим ортогональное преобразование коордннат
$$x_{\mu }^{\prime }=\sum _{u=1}^4{a}_{\mu u}{x}_u$$
$(x_4=ict)$; тогда мы можем рассматривать операторы в новой системе отсчёта, т. е. от
$${\overrightarrow{\pi }}_i^{(s)}(t),X_i^{(s)}(t),{\overrightarrow{\alpha }}_i^{(s)}(t),{\overrightarrow{\beta }}^{(s)}(t);E_i(x,t),H_{jk}(x,t)$$

перейти к
$${\overrightarrow{\pi }}_i^{\prime (s)}\left(t^{\prime }\right),X_i^{\prime (s)}\left(t^{\prime }\right),{\alpha }_i^{(s)}\left(t^{\prime }\right),\overrightarrow{{\beta }^{\prime }(s)}\left(t^{\prime }\right);E_i^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime }),H_{jk}^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime }).$$

В величины, относящиеся к материальным частицам, подставим
$$ic{t}^{\prime (s)}=a_{44}ict+\sum _{r=1}^3{a}_{4r}{X}_r^{(s)}(t).$$

При этом напряжённости поля должны преобразовыєаться как антисимметричный тензор в четырёхмерном пространстве, а определяемые выражения (17) величины ${\gamma }_{\mu }$, именно ( $-\overrightarrow{i\beta }\overrightarrow{{\alpha }_k},\overrightarrow{\beta })$, как четырёхмерный вектор, ${\mathit{X}}_{(t)}^{(s)}$ вместе с $\mathit{i}t$, и наконец, $\{{\overrightarrow{\pi }}_k,i\left(\overrightarrow{x_l{\pi }_l+mc\beta }\right)\}$ образуют вместе один четырёхмерный вектор. Далее, $({\mathit{P}}_h,\frac{\mathit{i}}{c}\mathit{H})$ должны образовывать четырёхмерный вектор. Перестановочные соотношения также должны иметь в штрихованной системе ту же форму, что и в нештрихованной. Для проверки удобнее не фиксировать \»мировую точку\», а изменить её так, чтобы штрихованные координаты новой \»мировой точки\» имели те же значения, что нештрихованные координаты старой мировой точки. Это означает, что мы переходим от нештрихованных координат к
$${\overrightarrow{\pi }}_i^{\prime (s)}(t),X^{(s)}(t),{\overrightarrow{\alpha }}_i^{(s)}(t),{\overrightarrow{\beta }}^{\prime (s)}(t);E_i^{\prime }(x,t),H_{jk}^{\prime }(x,t),$$

причём $t$ и $x,t$ есть значения штрихованных координат. Мы будем называть это преобразованием второго рода, в то время как ранее данное преобразование назовём преобразованием первого рода. Релятивистская инвариантность теории будет доказана, если существует унитарный оператор $S$, который производит преобразование второго рода для любой из написанных величин, а также и для любой функции $f$ от этих величин:
$$f^{\prime }(t)=Sf(t)S^{-1}.$$

Для доказательства достаточно показать, что это соотношение выполняется для бесконечного малого преобразования координат:
$$x_{\mu }^{\prime }=x_{\mu }+\sum _{u=1}^4{\epsilon }_{\mu u}{x}_u,{\epsilon }_{\mu u}=-{\epsilon }_{\mu u}.$$

При этом учитываются лишь величины первого порядка относительно ${\hat{\kappa }}_{\mu u^{-}}$- Вместо (179) имеем тогда:
$$\begin{array}{c}S=1+\frac{i}{\hslash }\overrightarrow{\mathrm{\Lambda }},\\ f^{\prime }(x,t)=f(x,t)+\frac{i}{\hslash }[\overrightarrow{\mathrm{\Delta }},f(x,t)].\end{array}$$

Оператор $\overrightarrow{\mathrm{\Lambda }}$ зависит линейно от в в ${}_u$ :
$$\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}=\sum _{\mu <u}{\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}}_{\mu u}{}^{\epsilon }{}_{\mu u},$$

причём ${\overrightarrow{\mathrm{\Lambda }}}_{\mu u}=-{\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}}_{\gamma \mu }$ образуют, как мы увидим, компоненты антисимметричного тензора и остаются постоянными во времени, являясь таким образом интегралами уравнений поля. Бесконечно малое преобразование первого рода величин $\mathit{f}$ получают следующим образом из бесконечно малого преобразования второго рода. Функции напряжённостей поля $f$, взятой в определённой точке пространства, относим выражение:
$$\sum _{k=1}^3\{\sum _{u=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}{\epsilon }_{ku}{x}_u+\frac{1}{ic}{\dot{fs}}_{sk}{x}_k\}.$$

Величинам ${\overrightarrow{\pi }}_j^{(s)}$ и ${\mathit{X}}_k^{(s)}$ относим следующие выражения:
$$\sum _{k=1}^3{X}_j^{(s)}{\hat{s}}_{4k}{X}_k^{(s)},\sum _{k=1}^3{\dot{\pi }}_j^{(s)}{}_{s_{4k}}{X}_k^{(s)}.$$

Теперь запишем ${\overrightarrow{\mathrm{\Lambda }}}_{\eta u}$ отдельно для пространственного вращения и преобразования Лоренца. Положим:
$$\begin{array}{l}-\frac{1}{2c}\int x_j({\overrightarrow{E}}^2+{\overrightarrow{H}}^2+{\mathrm{\Delta }}_0)dV.\end{array}$$

Здесь $P_j$ снова компонента импульса, данная выражением (176). В ${\mathrm{\Lambda }}_{ik}$ узнаём интеграл момента импульса и именно сумму

момента (84). относящегося к материи, и момента (130), относящегося к излучению; далее, ${\overrightarrow{\mathrm{\Lambda }}}_{4j}$-дополняющие пространственновгеменные компоненты, образующие совместно с ${\overrightarrow{\mathrm{\Lambda }}}_{jk}$ антисимметричный тензор. Кақ показывает вычисление, производные по времени ${\overrightarrow{\mathrm{\Lambda }}}_{\mu u}$ равны нулю, так что они являются интегралами уравнений поля (уравнений движения). В членах $\frac{\hslash }{2}\frac{1}{i}\overrightarrow{a_j^{(s)}}\overrightarrow{{\alpha }_k^{(s)}}$, $\frac{\hslash }{2}\overrightarrow{\alpha }\overrightarrow{j}(s)$, которые можно объединить в $\frac{\hslash }{2}\overrightarrow{{\gamma }_{\mu }^{(s)}}\overrightarrow{{\gamma }_u}(s)$ узнаём величины, существенные [согласно (134)] для преобразования волновых функций Дирака (здесь сами ${\overrightarrow{\alpha }}_k^{(s)},\overrightarrow{{\beta }^{(s)}}$ ). Этим завершается доказательство релятивистской инвариантности теории.

Существуют общие систематические исследования относительно квантования каких-либо классических уравнений поля и возможности вывода и перестановочные соотношения из канонической схемы. Мы не будем их подробно касаться, так же как и вопроса о связи с рассмотренным в части I, § 15 квантованием материальных волн, но укажем на относяшуюся сюда литературу ${}^1$ ). Некоторые особенности появляются, когла функция Гамильтона обладает инвариантностью относительно группы, преобразования которой содержат произвольные функции. В случае квантовой электродинамики это — группа \»Eісh-преобразований\» (преобразований калибровки). В данном здесь представлении мы, отказываясь от применения систематического метода для нахождения перестановочных соотношений, применяли лишь «Еісh-инвариантные» величины. Если хотят сохранить потенциалы, то всего нагляднее метод Ферми. Согласно этому методу, связанная с излучением часть оператора Гамильтона выбирается в виде
$$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\int \{\sum _k[\sum _i{\left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_k}{\partial x_i}\right)}^2+\frac{1}{c^2}{\left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_k}{\partial x_i}\right)}^2]-\\ -[\sum _i{\left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_0}{\partial x_i}\right)}^2+\frac{1}{c^2}{\left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_0}{\partial t}\right)}^2]\}dV.\end{array}$$
$\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_k}{\partial t}$ и $\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_0}{\partial t}$ играют роль импульсов, канонически сопряжённых с ${\mathrm{\Phi }}_k$ и ${\mathrm{\Phi }}_0$; часть оператора Гамильтона, относящаяся к частицам,
1) Обзорные работы: L. Rosenfeld, Mém. de l’inst. Henri Poincarè, 2, 24,1932; E. Ferm i, Rev. of. Mod. Physics, 4, 87, 1932. Oригинальные работы: G. Mi e, Ann. d. Phys. (4), 85, 711, 1928; W. Heisenberg u. W. Pauli, I, Zs. f. Phys., 56, 1, 1929; II, ibid., 59, 168, 1929 и 63, 574, 1930 (Замечания к этому L. Rosenfeld, ibid, 58,540, 1929); E. F erm i, Lincei Rend.(6), 9, 881, 1929; 12, 431, 1930; L. Rosenfeld, Ann. d. Phys., 5, 113,1930 .

дополняется членом $-e\sum _s{\mathrm{\Phi }}_0\left(X^{(s)}\right)$. Тогда следует требовать выполнения дополнительно условия:
$$\sum _k\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_k}{\partial x_k}+\frac{1}{c}\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_0}{\partial t}=0$$

и его производной по времени, которую можно написать в форме:
$$\mathrm{div}\overrightarrow{\mathit{E}}=\overrightarrow{\rho }=\sum _s\delta (x-{\mathit{X}}^{(s)})$$

Оба условия, поскольку они выполняются, переместительны с оператором Гамильтона, т. е. они сохраняются во времени, если осуществляются в момент $t=0$. Дополнительные условия существенно ограничивают \»Eich-преобразования\», однако, метод Ферми очень удобен для доказательства инвариантности теории относительно преобразований Лоренца. Окончательные результаты тождественны с џезультатами, получающимися из данного здесь или какого-либо другого непготиворечивого представления квантовой электродинамики.

Чтобы вывести в данной системе отсчёта следствия из основных уравнений теории, целесообразно разложить электрическую напряжённость поля $\overrightarrow{\mathit{E}}$ на продольную и поперечную части:
$$\overrightarrow{\mathit{E}}={\overrightarrow{\mathit{E}}}^{(l)}+{\overrightarrow{\mathit{E}}}^{(tr)}.$$

Под этим понимается, что при пространственном разложении $\overrightarrow{\mathit{E}}$ в ряд Фурье, т. е. переходе к $k$-пространству, ${\overrightarrow{\mathit{E}}}^{(l)}(k)$ будет параллельно $\overrightarrow{k}$, а ${\overrightarrow{\mathit{E}}}^{(t\mathit{r})}$, напротив, перпендикулярно $\overrightarrow{k}$. В координатном пространстве это равнозначно тому, что поле ${\overrightarrow{E}}^l$ лишено вихрей, а поле ${\overrightarrow{E}}^{(tr)}-$ источников:
$$\mathrm{rot}{\overrightarrow{E}}^l=0,\mathrm{div}{\overrightarrow{E}}^{(tr)}=0$$

для ${\overrightarrow{\mathit{E}}}^l$ сразу же следует из (173, ):
$${\overrightarrow{E}}^{(l)}=-\mathrm{grad}(-e)\sum _s\frac{1}{r_{\epsilon }}=-e\sum _s\frac{\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{X}}_s}{r_s^3},$$

где
$$r_s=|\mathbf{x}-{\overrightarrow{\mathit{X}}}^{(s)}|$$

означает расстолние точки наблюдения от положения $s$-й частицы ${}^2$ ). Затем обычным образом получаем:
$$\begin{array}{c}{\int }_{\mathit{E}}^{(l)}{\overrightarrow{\mathit{E}}}^{(tr)}dV=0,\\ \frac{1}{2}\int {\left({\overrightarrow{\mathit{E}}}^{(l)}\right)}^{2}dV=\frac{1}{2}\sum _s\sum _{s^{\prime }}\frac{e^2}{r_{s{s}^{\prime }}}\end{array}$$

где
$${\mathit{r}}_{s^{\prime }}=|{\overrightarrow{\mathit{X}}}^{(s)}-{\overrightarrow{\mathit{X}}}^{\left(s^{\prime }\right)}|$$
-расстояние частицы $s$ от частицы $s^{\prime }$. В этом выражении при $s=s^{\prime }$ мы получаем бесконечно большие членны, что соответствует бесконечно большой электростатической собственной энергии частиц (которая, очевидно, появляется уже в случае одной единственной частицы). Чтобы можно было использовать теорию для расчётов, нужно заменить выражение:
$$\frac{1}{2}\cdot {\left({\overrightarrow{\mathit{E}}}^{(l)}\right)}^{2}dV=\frac{1}{2}\sum _s\sum _{s^{\prime }}\frac{e^2}{r_{s{s}^{\prime }}}=n\cdot \mathrm{\infty }+\sum _{s<s^{\prime }}\frac{e^2}{r_{s{s}^{\prime }}}$$

выражением:
$$\sum _{s<s^{\prime }}\frac{e^s}{r_{s{s}^{\prime }}}.$$

Тем самым мы нарушаем, однако, релятивистскую инвариантность теории.

С этим изменением оператор Гамильтона (175) примет следующий вид:
$$\begin{array}{c}{\mathit{H}}^{\prime }=c\sum _{s=1}^n\{\sum _k\overrightarrow{{\alpha }_k^{(s)}{\overrightarrow{\pi }}_k^{(s)}}+mc{\overrightarrow{\beta }}^{(s)}\}+\\ +\sum _{s<s^{\prime }}\frac{e^2}{r_{s{s}^{\prime }}}+\frac{1}{2}\int ({\overrightarrow{\mathit{E}}}^{(tr)2}+{\overrightarrow{\mathit{H}}}^2+{\mathrm{\Delta }}_0)dV.\end{array}$$

Здесь можно, как в электродинамике вакуума, выразить ${\overrightarrow{\mathit{E}}}^{(\mathit{r})}$ через числа световых квантов, но теперь эти
2) Мы всегда предполагаем, что $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ в бесконечности исчезает достаточно быстро. Этим исключаются поля, одновременно лишённые вихрей и источников.

числа будут меняться с течением времени, в то время как в электродинамике вакуума они были постоянны.
Мы введём теперь функцию Шредингера:
$${\mathrm{\Psi }}_{p_1,p_2,\dots ,p_n}({\overrightarrow{X}}^{(1)},\dots ,{\overrightarrow{X}}^{(n)};N(\lambda ,\overrightarrow{k})),$$

которая зависит, с одной стороны, от индексов спина (пробегающих значения от 1 до 4) и координат материальных частиц, и с другой стороны, от чисел световых квантов в пространстве импульсов. Квадрат абсолютного значения этой функции означает соответствующую вероятность. В то время как действие на $\mathrm{\Psi }$ операторов ${\overrightarrow{\alpha }}_k^{(s)}$, ${\overrightarrow{\beta }}^{(s)},{\mathit{X}}_k^{(s)},\mathit{N}(\lambda ,k)$ ясно, ещё не определено однозначно, как действуют на $\mathrm{\Psi }$ напряжённости $\overrightarrow{\mathit{E}},\overrightarrow{\mathit{H}}$ и ${\overrightarrow{\pi }}_k^{(s)}$, действительно, в нашем определении $\mathrm{\Psi }$ до сих пор ещё остаётся произвольной фаза $e^{if(x^{(1)}},\dots ,x^{(N)};N(\lambda ,k))$, и в зависимости от того, как она будет выбрана, действие операторов $\overrightarrow{\mathit{E}},\overrightarrow{\mathit{H}}$ и ${\overrightarrow{\pi }}_k^{(s)}$ на $\mathrm{\Psi }$ будет давать различные результаты. Само по себе каждое определение разрешается или запрещается в зависимости от того, согласуется ли оно с перестановочными соотношениями.

Мы можем установить, что ${\overrightarrow{\mathit{E}}}^{(t\mathit{r})}$ и $\overrightarrow{\mathit{H}}$ действуют точно так же, как в электродинамике вакуума; тогда согласно (121), (125), (132):

Действие операторов $\mathit{a};{\mathit{a}}^{\ast }$ дано выражениями (137)(140).

Мы получаем следующее, совместное с перестановочными соотношениями определение действия оператоpoв $\overrightarrow{{\pi }_j^{(s)}}$
$$\begin{array}{r}{\overrightarrow{\pi }}_j^{(s)}\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{X},N(k))=\{\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial X_i^{(s)}}+\frac{e}{c}\int \frac{1}{r}\sum _{k=1}^3\frac{\partial H_{jk}(x)}{\partial x_i}dV\}\mathrm{\Psi }=\\ =\{\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial X_j^{(s)}}+\frac{e}{c}\frac{-i}{V=\pm }[{\overrightarrow{F}}_i\left({\mathbf{X}}^{(s)}\right)-{\overrightarrow{\mathit{F}}}_i^{\ast }\left({\mathbf{X}}^{(s)}\right)]\}\mathrm{\Psi }\end{array}$$

или в $k$-пространстве:
$$\begin{array}{rl}{\overrightarrow{\pi }}_j^{(s)}\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{X},N(k))=& \{\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial X_j^{(s)}}+\frac{e}{c}(-i)\int \frac{1}{\mid k}[[{\mathit{F}}_j(k)-\\ & -F_j^{\ast }(-k)]e^{ik{X}^{(s)}d{k}^{(3)}}\}\mathrm{\Psi };\left({188}_1\right)\end{array}$$

таким образом
$$\begin{array}{l}{\overrightarrow{\pi }}_i^{(s)}\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{X},N(k))=\\ =\{\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial X_j^{(s)}}+\frac{e}{c}(-i)\int \sqrt{\frac{\hslash c}{2|k|}}{e}^{i\overrightarrow{k}\overrightarrow{X}(s)}[\epsilon j(\lambda ,k)\mathit{a}(\lambda ,k)+\\ +{\epsilon }_j^{\ast }(\lambda ,-k)a^{\ast }(\lambda ,-k)]d{k}^{(s)}]\mathrm{\Psi }.\left({188}_2\right)\end{array}$$

Подставив это в оператор Гамильтона, получим:
$$\begin{array}{c}\underset{―}{\hslash }\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}+\{\int N(k)\hslash c|k|d{k}^{(3)}+c\sum _{s=1}\sum _{k=1}({\overrightarrow{\alpha }}_k^{(s)}\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x^{(s)}}+mc\overrightarrow{\beta }(s))+\\ +\sum _{s<s^{\prime }}\frac{e^i}{r_{s{s}^{\prime }}}+{\mathit{H}}_i\}\mathrm{\Psi }=0,\end{array}$$

где
$$\begin{array}{c}{H}_1\mathrm{\Psi }=e(-i)\{\int \sum _{k=1}^3\sqrt{\frac{\hslash c}{2|k|}}\sum _{s=1}^n{e}^{ik}{\overrightarrow{x}}^{(s)}{\overrightarrow{a}}^{(s)}\sum _{\lambda =1,2}[{\epsilon }_f(\lambda ,k)a(\lambda ,k)+\\ +{\epsilon }_j^{\ast }(\lambda ,-k)a^{\ast }(\lambda ,-k)]d{k}^3\}\mathrm{\Psi }.\text{ (190) }\end{array}$$
Общие принципы волновой механики

Иногда бывает удобнее ввести вместо непрерывных значений $\overrightarrow{k}$ — дискретное.

Если бы в (189) не было члена ${\mathit{H}}_1\mathrm{\Psi }$, то мы имели бы дело с материальными частицами, между которыми действуют электростатические силы, и с не зависящим от этих частиц полем излучения. Член ${\mathit{H}}_{\mathbf{1}}\mathrm{\Psi }$ определяет, таким образом, связь частиц с полем излучения и имеет решающее значение при описании эмиссии, абсорбции и. дисперсии света. Успех изложенной в части I волновой механики существенно основан на предположении, что связь с полем излучения может рассматриваться как бесконечно малое возмущение. В дальнейшем мы обсудим, насколько существующая теория соответствует зтому требованию. Подчеркнём ещё, что уравнения (189) образуют по существу основу первоначальной теории Дирака взаимодействия между излучением и материей ${}^1$ ).

Вместо того чтобы использовать переменные $N(k)$ в качестве аргументов функции $\mathrm{\Psi }$, можно по Ландау и Пайерлсу ${}^2$ ) ввести $\overrightarrow{k}$-пространство световых квантов. Тогда для каждого общего числа $N$ наличных световых квантов мы будем иметь следующие функции:
$$f_{p_1,\dots ,p_n;f_1,\dots ,f_N}({\overrightarrow{X}}^{(1)},\dots ,{\overrightarrow{X}}^{(n)};{\overrightarrow{k}}^{(1)},\dots ,{\overrightarrow{k}}^{(N)}).$$

Здесь спиновый индекс ${\rho }_s$ материальной частицы пробегает значения от 1 до 4 , каждый из индексов $j$ световых квантов-от 1 до 3 . Результат применения опек атора Гамильтона к этим функциям даётся непосредственно формулой (163), если используется форма (188) операторов ${\overrightarrow{\pi }}_j(s)$.

Применения. Все применения теории взаимодействия излучения и материи, базирующейся на квантовании
1) Дирак, во-первых, оперировал при квантовании со стоячими волнами, а не бегущими, во-вторых, тогда ещё не существовала его теория электрона, и он поэтому вставил в оператор Гамильтона для каждой частицы член, соответствуюший нерелятивистской волновой механике $\frac{1}{2m}\sum _j{\overrightarrow{\pi }}_j^2$ вместо $c\sum ({\alpha }_j{\pi }_j+mc\overrightarrow{\beta })$. Это, конечно, приближённо справедливо для небольших скоростей частиц. Oппенгеймером (Phys. Rev., 35, 461, 1930) и Ферми (Lincei Rend., 12. 431, 1930) было показано, что уравнения (189), (190) следуют из квантовой электродинамики.
2) L. Landau u. R. Peier1s, Zs. f. Phys., 62, 188, 1930.

поля излучения, т.е. на понятии фотона, покоятся на том, что связь излучения и материи, т. е. член с ${\mathit{H}}_1$ в (189), рассматривается как относительно малое возмущение. Формально эта теория возмущения соответствует разложению по степеням заряда $e$.

Что касается результатов теории для явлений эмиссии, абсорбции и дисперсии, то мы отсылаем читателя к гл. V Handb. d. Phys., т. XXIV, 1933. Важный успех этой теории заключается в возможности рассмотреть корректным образом затухание излучения (и, слеповательно, также вопрос 0 пирине спектральной линии).

Мы хотим ещё вкратце показать, как предписания I и II, появляющиеся при рассмотрении явлений излучения но принципу соответствия (часть $1,\mathrm{\S }15$ ) и кажущиеся там произвольными, оказываются справедливыми сами собой, если пользоваться теорией фотонов. Что касается испущенного или рассеянного излучения, то нет необходимости непосредственно употреблять оператор Гамильтона, но можно, по Гейзенбергу ${}^1$ ), прямо интегрировать с помөщью запаздывающих потенциалов уравнения Максвелла, рассматриваемые как операторные. При этом целесообразно в качестве переменных ввести невозмущённые стационарные состояния системы вместо координат электронов и разлагать функцию $\mathrm{\Psi }({\overrightarrow{X}}_1,\dots ,{\overrightarrow{X}}_n$, $N(\lambda ,k),t)$ по собственным функциям $u_l({\overrightarrow{X}}_1,\dots ,{\overrightarrow{X}}_n)$ этих состояний:
$$\mathrm{\Psi }({\overrightarrow{X}}_1,\dots ,{\overrightarrow{X}}_n,N(k,\lambda )t)=\sum _l{c}_l(N(k,i)t)u_l({\overrightarrow{X}}_1,\dots ,{\overrightarrow{X}}_n).$$

Вычисление испущенного или рассеянного излучения производится далее точно так же, как в случае вычисления по принципу соответствия, только операторы или матрицы, вообще говоря, действуют также и на световые кванты.

Что касается предписания 1 , то оно следует непосред. ственно из того, что среднее значение интенсивности
1) W. Heisenberg, Am. d. Phys. (5), 9, 338, 1931. В протівоположность Гейзенбергу мы здесь не применясм метод квантования материальных воли; взаимодействие между электронами атома может быть тогда произвольным.
$21\ast$

излучения даётся выражением $2F^{\ast }\mathit{F}$, а не ${\mathit{F}}^{\ast }\mathit{F}+{\mathit{F}}^{\ast }$. Разложение наиряжённости на части, пропорциональные $e^{+iyt}$ и $e^{-iuf}$, проведённое в части I, § 15 [часть I, уравнение: (361)], соответствует в точности, согласно (121), разпожению напряжённости на части, содержащие или только ${\mathit{F}}^{\ast }$, или только $\mathit{F}$. (Это верно, по крайней мере, в тех точках иространства, где плотности зарядов и токов обращаются в нуль, что соблюдается на больших расстояниях от атома.) Весь приём введения предписания I сводинся в теории ботонов к образованию среднего значения ${\mathit{F}}^{\ast }\mathit{F}$.

Соверіенно подобно этому получаем обоснование предписания ‘II, которое необходимо, чтобы учесть обратное действие излучения на атом. Мы нашли в части I [уравнения (378) и (379)] следующее выраженис для возмущённых амплитуд состояния ${\mathit{C}}_m^{(1)}$ :
$$c_m^{(1)}=\sum _n{\overrightarrow{f}}_{mn}(t){\overrightarrow{\mathit{E}}}^{(+)}+{\overrightarrow{f}}_{nm}^{\ast }(t){\overrightarrow{E}}^{(-)}).$$

Вместо ${\mathit{E}}^{(+)}$и ${\mathit{E}}^{(-)}$можно также писать ${\mathit{F}}^{\ast }(k)$ и $\mathit{F}(k)$; далее заметим; что ${\mathit{c}}_{in}^{(1)}$ являются операторами (или матрицами), которые действуют и на числа световых квантов.

Следует вычислить $\sum _{N^{\prime }}{c}_{\text{иit }}^{(1)}{(N^{\prime },t)}^2$ или, вследствие того, что ${\mathcal{c}}_m^{(1)}(N^{\prime },t)=\sum _N{c}_m^{(1)}(N^{\prime },N)c_m^{(0)}(N,t)$, выражение $\sum _{y^{\prime }}{c}_m^{(1)}{(N^{\prime },N)}^2$, гдс $N$ — чис. 10 световых квантов в начальном состоянии. Положим:
$$c_m^{+(1)}=-i(\sum _n{\overrightarrow{f}}_{mn}^{\ast }(t){\overrightarrow{\mathit{E}}}^{(-)}+{\overrightarrow{f}}_{nm}(t){\overrightarrow{\mathit{E}}}^{(+)}),$$

так что
$$c_m^{+(1)}(N,N^{\prime })={\left(c_m^{(1)}(N^{\prime },N)\right)}^{\ast }.$$

Таким образом:
$$\sum _{N^{\prime }}{c}_m^{(1)}{(N^{\prime },N)}^2=\sum _{N^{\prime }}{c}_m^{+}(N,N^{\prime })c_m(N^{\prime },N)={\left(c_m^{+}{c}_m\right)}_{N,N}\cdot$$

Таким образом мы действительно построили математическое ожидание ${\mathit{c}}_m^{+}{\mathit{c}}_m$, где ${\mathit{c}}_m^{+}$стоит слева от ${\mathit{c}}_m$.

$32\dot{5}$
Далее, математическое ожидание $2\mathit{F}\mathit{F}$ пропорционально $\mathit{k}\mid \mathit{N}(k)$, математическое ожидание $2\mathit{F}{\mathit{F}}^{\ast }$ пропорционально t $(N(k)+1)$. Множитель $2h{u}^3/c^3$, данный в первой части, получается обычным образом из плотности собственных колебаний.

При введении в волновые бункции чисел световых квантов, как независимых переменных, оба особых правила, вводимых при рассмотрении процессов излучения методом соответствия, сводятся, таким образом, к общим принципам волновой механики.

Из других проблем, которые легко можно рассмотреть с помощью теории, упомянем опыт Гейгера-Боте, обнаруживший в явлении Комптона связь между моментом времени появления рассеяния электрона и моментом времени появления рассеянного при этом процессе кванта. Из теории сразу следует, что эти моменты времени должны в пределах точности геометрической оптики и ширины определяющего начальное состояние волнового пакета находиться в определённых границах ${}^1$ ).