Уже при вычислении из квантовой электродинамики электростатической энергии частиц мы видели, что электростатическая собственная энергия одной частицы получается бесконечно большой. Далее, однако, оказывается, что даже после удаления этой бесконечно больной части энергии результирующие уравнения (189), (190) всё ещё приводят к бесконечно большой магнитной собственной энергии.

Действительно, если произвести при наличии одной частицы разложение по заряду \( e \) частицы, мы получим для стационарного состояния, согласно общим формулам теории возмушения [часть 1, уравнение (230)], дополнительную энергию, пропорциональную \( e^{2} \) :
\[
\Delta E=\sum_{n, k, \lambda} \frac{\left|H_{m_{0} ; n 1, k}^{(1)}\right|^{2}}{E_{m}-F_{n}^{-}|\hbar c| k \mid} .
\]
1) См. В. Гейзенберг, Физические основы квантовой механики, § 2.

Здесь \( \boldsymbol{H}^{(1)} \) — оператор, определйнный выражением (190), индексы \( m, n \) относятся к начальному и променутонному состояниям частицы, 0 и \( 1_{\lambda} \vec{k} \)-числа световых квантов в начальном и промежуточном состояниях: Если исходить из начального состояния, ири котором световые кванты отсутствуют, то от нуля будут отличны лишь матричные элементы, соответствующие таким переходам, когда в промежуточном состоянии имеется өдин световой квант. Раскрывая оператор \( H^{(1)} \), получим:
\[
\begin{array}{l}
\Delta E=e^{2} \sum_{n} \int d k^{(i)} \frac{\hbar c}{2|k| \frac{1}{E_{m}-E_{n}+\hbar c|k|} \times} \\
\times \sum_{x=1,2} \int \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} u_{m}^{*}(\vec{k}) \vec{x}_{i} u_{n}(x) u_{n}^{*}\left(x^{\prime}\right) \times \\
\times \vec{x}_{j} u_{m}\left(x^{\prime}\right) \vec{e}_{i j}^{*} \vec{e}_{j}, e^{i k\left(\vec{x}-\vec{x}^{\prime}\right.} d x^{(3)} d x^{\prime}(\overrightarrow{3}) . \\
\end{array}
\]

В случае отсутствия сил можно положить
\[
u_{n}(x)=a_{i s} \overrightarrow{\vec{K} \vec{x}}
\]

где \( \rho \)-индеқс спина, и роль индекса \( n \) замещается \( K \) и спиновыми состояниями (два с положительной и два с отрицательной энергиями).

Если мы имеем дело со связанными частицами, то оказывается, что связанные состояния несущественны, поскольку мы интересуемся лишь вопросом, бесконечнө ли \( \Delta E \) или нет. За это ответственны в случае отсутствия сил большие значения \( K \), в общем случае — сильно цозбуждённые квантовые состояния. В последнем случае, однако, в области, где \( u_{m}(x) \) заметно отлично от нуля, \( u_{n}(x) \) можно заменить собственной фунқцией свободной частицы, если для \( K \) подставить среднее волновое число \( n \)-го состояния в области начального состояния \( m \). Таким образом, достаточно рассмотреть случай свободной частицы \( { }^{1} \) ).
1) Я обязан этим замечанием P. Паніелсу. О собственной энергии гармонического осциллято a cм. L. Rose \( \mathrm{f} \) eld, Zs. f. Phys., 70, 454, 1931 .

Далее следует сначала просуммировать по \( \lambda \), затем по 4 возможным, при заданном \( \vec{K} \), состояниям материальной \»частицы и проинтегрировать по \( \vec{x}, \vec{x} \) и \( \vec{K} \). Вычисление даёт, кақ показали Валлер \( { }^{1} \) ) и Oппенгеймер 2\( ) \), зависящее от \( \vec{k} \) выражение, которое обрацается в бесконечность для больших \( \vec{k} \). Именно, \( \Delta E \) содержат два члена, которые после интегрирования по всем направлениям \( \vec{k} \) принимают следующий вид:
\[
\Delta E=f_{1}\left(\left|K_{m}\right|\right) \int^{\infty}|k| d k+f_{2}\left(K_{m}\right) \int^{\infty} d k .
\]

Для частицы, покоящейся в начальный момент, \( f_{1} \) отлично от нуля, в то время как \( f_{2} \) для малых \( K_{m} \) пропорционально \( \left|\vec{K}_{m}\right|^{2} \), т. е. квадрату скорости. Первый (положительный) член соответствует энергии спина, второй (отрицательный) член — возникающему вследствие трансляционного движения магнитному полю.

Прямой связи между трудностью с бесконечно больпюй собственной энергией и ранее обсуждавшейся трудностью с состояниями отрицательной энергии нет. Даже теории, допускающие лишь состояния положительной энергии (исключение промежуточных состояний с отрицательной энергией по-Шредингеру или замена оператора Гамильтона \( \sum_{h} \vec{\alpha}_{k} \vec{\pi}_{k}+m \vec{\beta} \) оператором \( \left.m c^{2}+\frac{1}{2 m} \sum_{k} \vec{\pi}_{i}\right) \), приводят к бесконечно большой собственной энергии.

Далее подчеркнём, что трудность с бесконечно большой собственной энергией появляется уже в том приближении (члены, пропорциональные \( e^{2} \) ), которое требуется для теории дисперсии. Эту трудность избегают в теории дисперсии лишь тем, что при обсуждении решения для функции \( \Psi \) ограничиваются членами, содержацими резонансный знаменатель для энергии и сильно нарастающими со временем.

Мы видели, что трудность собственной энергии проистекает, главным образом, из-за коротких волн
1) I. W a 11 er, Zs. f. Phys., 62, 673, 1930.
2) J. R. Oppenheimer, Phys. Rev., 35, 461, 1930.

поля излучения, следовательно, из-за малых длин. Спрашивается, помогло ли бы такое изменение теории, которое соответствовало бы конечному протяжению электрона в кляссической электродинамике. Формально такое изменение теории возможно, но лишь ценой отказа от релятивистской инвариантности теории.

Не меняя оператора Гамильтона (175) и выражения для импульса (176), можно ввести «форм-фактор» электрона \( D(\vec{x}) \) в перестановочные соотношия между \( \overrightarrow{\pi_{i}^{(s)}} \) друг \( c \) другом и \( \vec{\pi}_{i} \) с электрической напряжённостью \( \vec{E} \). Этот «форм-фактор». \( D(\vec{x}) \) должен быть заметно отличен от нуля лишь для \( x \) порядка классического радиуса-электрона \( d=e^{2} / m c^{2} \) (а в остальном может быть произволен) \( { }^{1} \) ). \» Тогда перестановочные соотношения (!68) и (174) должны быть заменены следующими:
\[
\begin{array}{c}
{\left[\pi_{j}^{(s)}, \pi_{i}^{\left(s^{\prime}\right)}\right]=\delta_{s s^{\prime}} \frac{h e}{i c} \int D\left(\vec{x}-\overrightarrow{\boldsymbol{X}}^{(s)}\right) \boldsymbol{H}_{i j}(\vec{x}) d x^{(3)},} \\
{\left[\pi_{i}^{(s)}, \boldsymbol{E}_{j}(x)\right]=(-e) \frac{\hbar}{i}\left(-\hat{\partial}_{i j}\right) D(\vec{x}-\overrightarrow{\boldsymbol{X}}(s) .}
\end{array}
\]

Дополнительное условие (1732) будет заменено следующим:
\[
\operatorname{div} \overrightarrow{\boldsymbol{E}}=\left(-e \sum_{s=1}^{n} D\left(\vec{x}-\overrightarrow{\mathbf{X}}^{(s)}\right)\right.
\]

уравнения движения будут:
\[
\frac{d \vec{\pi}_{k}}{d t}=(-e) \int D\left(\vec{x}-\vec{X}^{(s)}\right)\left\{\boldsymbol{E}_{k}(\vec{x})+\sum_{l} \boldsymbol{H}_{k l}(\vec{x}) \vec{x}_{l}^{(s)}\right\} d x
\]

и, наконец, уравнения Максеелла для тока:
\[
-\frac{1}{c} \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{E}}(\vec{x})}{\partial t}+\operatorname{rot} \overrightarrow{\boldsymbol{H}}(\vec{x})=(-e) \sum_{s=1}^{n} \overrightarrow{x^{(s)}} D\left(\vec{x}-\overrightarrow{\boldsymbol{X}}^{(s)}\right) .
\]

Собственная знергия будет конечна, потому что из-за \( D \)-функции она приобретает множитель, который
1) См. M. Born u. G.Rumer, Zs. f. Phys.,69, 141, 1931 ,

практически сводит на-нет подинтегральное выражение в \( k \)-пространстве для \( k \gg 1 / d \) (фактор структуры электрона).

Так как, однако, при этом теряется, как. и в случае соответствующего приёма в классической теории, релятивистская инвариантность теории — — штрихованной координатной системе \( D \) содержит явно время-такой приём вряд ли годится для решения трудности с собственной энергией. То обстоятельство, что собственная энергия становится по теории бесконечно большой, препятствует также последовательному релятивистскому рассмотрению проблемы многих тел \( { }^{1} \) ).

Замечательно, что формально совершенно аналогично случаю электрона получается также бесконечно большая собственная энергия создаваемого световым квантом гравитационного поля, когда последнее квантуется, хотя здесь в классической теории и не имеется точечной особенности \( { }^{2} \) ). Это связано с тем, что, как уже подчёркивалось в § 7, применение волновомеханического аппарата к системе с бесконечно большим числом степеней свободы является выходом за пределы допустимого по принципу соответствия. Mы можем усмотреть здесь указание на то, что не только понятие поля, но также и понятие «пространствавремени» для малых областей подлежит коренному изменению.

O необходимых изменениях понятия поля можно заметить ещё следующее: современная теория покоится на двух логически независимых основах. Это-волновая механика материальной частицы и волновая меха-
1) Приоллижённые рассмотрения этой проблемы имеются у Ерейта (G. Breit, Phys. Rev., 34, 553, 1929; 36, 383, 1930) (магнитное взаимодействие, но без запаздывания), Handb.d. Phys., т. XXIV, ч. I, 1933, гл. III; C. Moller, Zs. f. Phys., 70, 786, 1931 (соударения со слабым запаздывающим взаимодействием), далее, Ann. d. Phys., 14, 531, 1932; см. также Handb. d. Phys., т. XXIV, ч. I, 1933, гл. 3, §50, гл. 5, §6; см. также A. D. Fok k er, Physica, 12, 145, 1932 и Zs. f. Phys., 58, 386, 1929, где рассматривается пғоблема двух тел с частично запаздывающим, частично опережающим потенциалами, при которых классически излучения нет.
2) L. Rosenfeld, Zs. f. Phys., 65, 589, 1930; J. Solomon, ibid., 71, 162, 1931.

ника поля излучения (теория фотонов). (В классической теории им соответствуют механика точки и уравнения Максвелла.) С этим связано то, что эта теория не позволяет рассчитать атомную структуру электрического заряда, так как она согласуется с произвольно большими, а также с произвольно малыми электрическими элементарными зарядами. С этим связана также (неудачная) попытка всё собътвенное поле движущегося электрона превратить в фотоны, вместо того, чтобы представлять это поле как существующее с электроном, неделимое целое, что неразрывно связано с определённым значением безразмерного числа \( e^{2} / \hbar c \). Здесь будущая полная релятивистская теория должна внести глубокое разъяснение основных положений.