Особый интерес представляют собой такие внешние воздействия на систему, которые могут быть описаны с помощью изменения внешних параметров (напряжённости внешнего поля, положения стенок и т. д.). Уже в старой квантовой теории существовал относящийся к этим случаям известный адиабатический принцип Эренфеста \( { }^{1} \) ), который гласит, что система, находившаяся вначале в определённом стационарном квантовом состоянии, остаётся в этом состоянии, если изменеңие параметров системы происходит достаточно медленно. Подобная теорема имеет место также и в волновой механике и была впервые сформулирована и доказана Борном ²).

Итак, допустим, что оператор Гамильтона \( \boldsymbol{H} \) зависит от параметра \( a \), и будем считать, что решениями проблемы собственных значений для всех входящих в рассмотрение значений \( a \) являются собственные функции
1) P. Ehrenfest, Ann. d. Phys., 51, 327, 1916. Впоследствии Бор обсудил, в частности, вопрос о применимости классической механики при адиабатических, бесконечно медленных процессах. (См. А. Rubinowicz, Handb. d. Phys., m. 24/1, Iл. I, § 8.) Эта сторона вопроса, однако, уже не представляет интереса, так как приходится отказаться уже от самой классической механики при описании квантовых состояний.
2) M. В or n, Zs, \( t \). Phys., 40, 167; 1926. Относящиеся сюда более поздние работы E. Fermi и F. Persico, Rend. Lincei (6), 4, 452, 1926; M. Born и V. Fock, Zs. f. Phys., 51, 165, 1928; Р. Güttinger, там же, 73, 169, 1931.

\( u_{n}(a) \) и собственные значения энергии \( E_{n}(a) \). Они удовлетворяют, таким образом, уравнению
\[
\boldsymbol{H}(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, a) u_{n}(a)=E_{n}(a) u_{n}(a)
\]

тождественно при всех \( a \). Дифференцируя по \( a \), получаем отсюда
\[
\left(\frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial a}\right)_{p, q} u_{n}(a)+\boldsymbol{H} \frac{\partial u_{n}}{\partial a}=\frac{\partial E_{n}}{\partial a} u_{n}(a)+E_{n} \frac{\partial u_{n}}{\partial a} .
\]

Положим теперь
\[
\frac{\hbar}{i} \int u_{m}^{*} \frac{\partial u_{n}}{\partial a} d q=k_{m n},
\]

где \( k_{m n} \) вследствие ортогональности и нормировки \( u \)-эрмитова матрица. Далее, благодаря эрмитовости \( \boldsymbol{H} \), имеем
\[
\frac{\hbar}{i} \int u_{m}^{*}\left(\boldsymbol{H} \frac{\partial u_{n}}{\partial a}\right) d q=\frac{\hbar}{l} \int\left(\boldsymbol{H} u_{m}\right)^{\bullet} \frac{\partial u_{n}}{\partial a} d q=\frac{\hbar}{i} E_{m} k_{m n},
\]

так что после умножения (244′) на \( \frac{\hbar}{i} u_{m}^{*} \) и интегрирования по \( q \)-пространству получаем
\[
\frac{\hbar}{i}\left(\frac{\partial H}{\partial a}-\frac{\partial E}{\partial a}\right)=\boldsymbol{k} \boldsymbol{E}-\boldsymbol{E k} .
\]

Это уравнение следует понимать как матричное равенство, в котором \( \boldsymbol{E} \) представляет собой диагональную матрицу. В эюом случае диагональные члены в правой части исчезают тождественно, так что, в частности,
\[
\left(\frac{\partial H}{\partial a}\right)_{n n}=\frac{\partial E_{n}}{\partial a}
\]

и
\[
k_{m n}=\frac{1}{E_{n}-E_{m}} \frac{\hbar}{i}\left(\frac{\partial H}{\partial a}\right)_{m n} \text { при } \quad m
eq n\left(E_{m}
eq E_{n}\right) \cdot\left(246^{\prime \prime}\right)
\]

Если \( a \) изменяется со временем, то решение уравнения
\[
-\frac{\hbar}{i} \psi=\boldsymbol{H}(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, a(t)) \psi
\]

ищут в форме:
\[
\psi=\sum_{n} c_{n}(t) u_{n}(a)
\]

\[
\begin{array}{c}
-\frac{\hbar}{i} \int u_{m}^{*} \dot{\psi} d q=\int u_{m}^{*} H \psi d q=E_{m}(a) \int u_{m}^{*} \psi d q, \\
-\frac{\hbar}{i} \dot{c}_{m}+\dot{a} \sum_{n} k_{m n} c_{n}=F_{m}(a) c_{m} .
\end{array}
\]

Более подробное рассмотрение этих уравнений показывает \( { }^{1} \) ), что:
\[
c_{m}(T)-c_{m}(0)=\dot{a} F .
\]

Здесь при определённом конечном \( \dot{a} T=a(T)-a(0) \) и \( n р и \) \( \lim T \rightarrow \infty \) и, следовательно, \( n \) ри \( \lim \dot{a} \rightarrow 0 \quad F \) остаётся конечным. При этом здесь предполагается, что во время процесса ни одна из разностей \( E_{n}-E_{m} \) не переходит через нуль. Подобный исключительный случай был особо рассмотрен Борном и Фоком, причём здесь играет существенную роль приём Лауэ \( { }^{2} \) ). Также и в этом случае при диксированном \( a(T)-a(0) \) имеет место равенство
\[
\lim _{\dot{a} \rightarrow 0}\left(c_{m}(T)-c_{m}(0)\right)=0 .
\]

Из (248) следует, что \( \left|c_{m}(T)-c_{m}(0)\right|^{2} \) для малых \( \dot{a} \) равно, по порядку величины, \( \dot{a}^{2} \).

В частности, для случая \( c_{m}(0) \) получается \( \left|c_{m}(T)\right|^{2} \sim \dot{a} \). Вероятность перехода из одного стационарного состояния в другое, вызванного изменением параметра \( a \) (эффект встряски), следовательно, пропорциональна \( \dot{a}^{2} \).

Несколько более общий, чем рассмотренный выше, случай имеет место, когда благодаря параметру а к системе прибавляются новые степени свободы. Если, например, атом проходит через силовое поле, изменяющееся в пространстве, то в первом приближении можно рассматривать его ядро как бесконечно тяжёлое, и считать проблему собственных значений решённой для каждого положения \( Q \) центра тяжести атома
\[
\dot{H}_{0}(q, Q) u_{n}(q, Q)=E_{n}(Q) u_{n} .
\]

Здесь, однако, следует рассматривать \( Q \) не как параметр, изменяющийся во времени, а как координату, которая соответствует новой степени свободы.
1) С. работы, указанные в примечании 1, стр. 139.
2) M. v. L a u e, Ann. d. Phys., 76, 619, 1925.

Нужно решить уравнение
\[
-\frac{h}{i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2 M} \sum_{k} \frac{\partial^{2}}{\partial Q^{2}}+H_{0}\right) \psi(q, Q),
\]

где \( \boldsymbol{H}_{0} \) действует только на \( q \), а не на \( Q \). Аналогичная проблема возникает также для молекул, когда ядра в первом приближении считают закреплёнными ( \( \boldsymbol{M} \rightarrow \infty \) ) и только во втогом приближении учитывают их движение (колебание и вращение). Если мы положим

то, согласно (249):
\[
\begin{aligned}
-\frac{\hbar}{i} \sum_{n} \frac{\partial \varphi_{n}}{\partial t} u_{n}(q, Q)=\sum\{ & {\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 M} \sum_{k} \frac{\partial^{2} \varphi_{n}}{\partial Q_{k}^{2}}+E_{n}(Q) \varphi_{n}\right] u_{n}(q, Q)-} \\
– & \left.\frac{\hbar^{2}}{2 M}\left[2 \sum_{k} \frac{\partial \varphi_{n}}{\partial Q_{k}} \frac{\partial u_{n}}{\partial Q_{k}}+\varphi_{n} \sum_{k} \frac{\partial^{2} u_{n}}{\partial Q_{k}^{2}}\right]\right\} .
\end{aligned}
\]

Введём для сокращения эрмитовы матрицы
\[
A_{m n}^{(k)}=\frac{1}{M} \frac{\hbar}{i} \int u_{m}^{*} \frac{\partial u_{n}}{\partial Q_{k}} d q ; . B_{m n}=-\frac{\hbar^{2}}{2 M} \int u_{m}^{*} \sum \frac{\partial^{2} u_{n}}{\partial Q_{k}^{2}} d q
\]

и оператор возмущения \( \vec{Q} \), определённый посредством
\[
\vec{\Omega} \varphi_{m}=\sum_{n}\left(\sum_{k} A_{m n}^{(k)} \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \varphi_{n}}{\partial Q_{k}}+B_{m n} \varphi_{n}\right) .
\]

Тогда
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \varphi_{m}}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 M} \sum_{k} \frac{\partial^{2} \varphi_{m}}{\partial Q_{R}^{2}}+E_{m}(Q) \varphi_{m}+\vec{U} \varphi_{m} .
\]

В частности, имеются стационарные решения
\[
\varphi_{m}(Q, t)=v_{m}(Q) e^{-\frac{t}{\hbar} E t}
\]

для уравнения
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 M} \sum_{k} \frac{\partial^{2} v_{m}}{\partial Q}+E_{m}^{2}(Q) v_{m}+\vec{\Omega}_{v_{m}}=E v_{m} .
\]

Здесь \( E \) может, конечно, обладать как дискретным, так и непрерывным спектром или обоими вместе.

В известных случаях можно рассматғивать оператор возмущения \( \vec{Q} \) как малый, и применять к (204) или (254′) обычные методы теории возмущений. При этом в качестве нулевого приближения следует исходить из решений уравнения
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \varphi_{m}^{0}}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 M} \sum_{k} \frac{\partial^{2} p_{m}^{0}}{\partial Q_{k}^{2}}+E_{m}(Q) \varphi_{m}^{0}
\]

или соответственно
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 M} \sum_{k} \frac{\partial^{2} v_{m}^{0}}{\partial Q_{k}^{2}}+E_{m}(Q) v_{m}^{0}=E v_{m}^{0}
\]
(которые принимаются в качестве нулевых приближений). Этот метод применяется как при рассмотрении колебаний ядер в молекуле, так и при прохождении атома через внешнее силовое поле, а таюе и в ряде других проблем). Это приближение можно назвать адиабатическим, потому что в этом приближении система всегда сохраняет своё внутреннее состояние \( m \), а таюже потому, что это приближение тем лучше, чем меньше изменяется пакет за время \( \hbar /\left[E_{m}(Q)-E_{n}(Q)\right] \), или, в случае дискретного спектра (255′), тем лучше, чем меньше разности энергий \( E^{\prime}-E^{\prime \prime} \) этого спектра по сравнению с разностями \( E_{m}-E_{n} \) спектра внутренней энергии (малость частот колебания ядер по сравнению с электронными частотами).

Уравнения (254) и (254′) являются также основными уравнениями для теории прохождения атомных пучков через магнитное поле с изменяющимся в пространство направлением \( { }^{2} \) ). В этом случае достаточно учесть в операторе возмущения \( \vec{Q} \) (253) конечное число состояний, соответствующих прострагственному квантованию. Из строго доказываемого существования стационарных решений, в силу (254′), здесь, ксоме того, следует, что таке и при учёте эффекта встряски (поскольку внешнее поле не изменяется во времени) сумма внут (енней энергии и энергии поступательного движения остаётся постоянной.

Наряду с предельным случаем адиабатического процесса особый иңтерес представляет случай «внезапного» изменения параметра \( a \). Понятие «внезапного» изменения подлежит здесь уточнению: мы потребуем, чтобы относительное изменение \( a \) за рассматриваемые периоды времени \( \frac{1}{y_{n m}}=\frac{\hbar}{E_{n}-E_{m}} \) было велико:
\[
\dot{a} \gg a \frac{E_{n}-E_{m}}{\hbar} \text {. }
\]

Тогда мы можем в уравнении
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t} \sum_{n} c_{n} u_{n}=\sum_{m} E_{m} c_{m} u_{m}
\]

после интегрирования по времени, за которое происходит
1) M. Born u. J. R. Oppemheimer. Ann. d. Phys., 84, 457, 1927; J. Frenke 1, Phys. Zs. der Sowjetunion, 1, 99, 1932; L. Land au, там же 1,88 и \( 2,46,1932 \).
2) C. G. D arwin, Proc. Roy. Soc. London (A), 117, 258, 1927, особенно § 10 .

изменение,
\[
-\left.\frac{\hbar}{i} \sum_{n} c_{n} u_{n}(a)\right|_{0} ^{t}=\int_{0}^{t} \sum_{m} E_{m} c_{m} u_{m} d t,
\]

при конечном изменении параметра а положить в первом приближении равными нулю все величины, пропорциональные \( t \). Поскольку это справедливо для правой части нашего уравнения, то же самое должно иметь место и для левой части: следовательно, здесь
\[
\sum_{n} c_{n} u_{n}=\sum c_{n}(0) u_{n}(0)
\]

что означает непрерывность функции \( \psi=\sum c_{n} u_{n} \) при внезапном изменении параметра а
\[
c_{m}(t)=\sum_{n} S_{m n} c_{n}(0)
\]

где
\[
S_{m n}=\int u_{m}^{*}(a) u_{n}(0) d q .
\]

Пусть \( H_{m n} \) – матричңые элементы новой, соответствующей значению параметра \( a \), функции Гамильтона по отношению к системе функций, принадлежащих \( \boldsymbol{H}(0) \),
\[
H_{m n}=\int u_{m}^{*}(0) \boldsymbol{H}(a) u_{n}(0) d q .
\]

Тогда
\[
\boldsymbol{E}(a)=\boldsymbol{S} \boldsymbol{H} \boldsymbol{S}^{-1},
\]
т. е. \( S \) приводит матрицу новой функции Гамильтона к диагональному виду.

Теперь мы можем обсудить общее статистическое суждение квантовой теории (при этом мы для простоты записи применяем величины с дискретными собственными значениями). Это суждение можно формулировать следующим образом: спрашивается, какова вероятность того, что в определённый момент времени \( t_{1} \) известная величина \( F \) принимает частное значение \( F_{n} \), если до этого в момент \( t_{0}=t-\tau \) другая величина \( G \) имела значение \( G_{m} \). Если \( S \)-матрица преобразования, переводящего из представления матриц, при котором \( F\left(t_{0}\right) \) приведено к диагональному виду, в представление, при котором \( G\left(t_{1}\right) \)

диагонально, то искомая вероятность равна
\[
W\left(F_{n} ; G_{m}\right)=\left|S_{n m}\right|^{2} .
\]
(Она симметрична относительно величин \( F \) и G.) Это суждение содержится в наших предыдущих суждениях, если: а) одна из величин \( F \) и \( G \) или обе являются координатами или импульсами (может быть, для различных моментов времени, см. \( \S \S 3,4,5 \) и 9), или b) по крайней мере, одна из величин коммутирует с гамильтоновой функцией системы и, следовательно, постоянна во времеңи.

Если ни та, ни другая из этих возможностей не осуществляются, то можно помочь делу посредством некоторого ухищрения, которое представляет собой третью возможность для измерения величин и основывается на только что разобранном внезапном изменении фуңкции Гамильтона. Суждеңие (260) справедливо также и тогда, когда с) можно, изменяя параметр, например, выключая внешнее поле, «внезапно» (в приведённом выше смысле). сделать рассматриваемую величину постоянной во времени (т. е. так изменить функцию Гамильтона, чтобы рассматриваемая величина с ней коммутировала)-(«стоппредположение»). В этом случае можно сперва в момент времени \( t_{0} \) сделать постоянной величину \( F \) и измерить её, а затем, по истечении времени \( \tau \), считая от коңца измерения, сделать постоянной \( G \) и измерить последнюю. Действительно, из доказанного выше результата относительно внезапного изменения параметра и выводов § 9 следует в этом случае справедливость (260).

Следует, однако, заметить, что такая возможность внезапной «остановки» какой-либо величины осуществима только в весьма ограниченном числе случаев: Так, например; невозможно выключить внезапно ядерный заряд протона и тем самым сделать импульс электрона в атоме водорода постоянным во времени. В этом случае удаётся, правда, определить собственную функцию \( \varphi_{n}(p) \) в пространстве импульсов с помощью измерения второго рода (непосредственное повторение которого даёт уже друғөй результат) [возможность (a)]: В общем виде, однако, ещё не доказано, что любая величина может быть измерена за произвольно короткое время, даже если допустить измерения второго рода.
Общие приндипы волновой механики
10

На этом основании мы предпочитаем, в отличие от догматического обоснования теории преобразований, не вводить в качестве аксиомы общее суждение (260). В конечном счёте ведь каждое измерение, если оно возможно, сводится к измерению пространственной координаты аппарата. Аппарат измеряет величину \( F \), если при разложении функции \( \psi \) по нормированной ортогональной системе принадлежащего \( F \) оператора \( F \) «стрелка» апнарата c достоверностью даёт показания \( Q_{1} \), или \( Q_{2}, \ldots \), или \( Q_{n} \), коль скоро до измерения \( \psi \) равнялось \( u_{1} \), или \( u_{2}, \ldots \), или соответственно \( u_{n} \) и т. д. В общем случае тогда вероятность показания стрелки \( Q_{n} \) по определению равна вероятности того, что до измерения величина \( F \) имела значение \( F_{n} \). Из физического значения функции \( \psi \) аппарата и линейности всех операторов Гамильтона тогда следует, что эта вероятность равна квадрату модуля коэффициента разложения \( c_{n} \) функции \( \psi \) измеряемой системы (до измерения) по системе функций \( u_{n}\left(c_{n}=\right. \) \( =\int u_{n}^{*} \psi_{n} d q \) ). Пусть после этого над системой производится новое измерение другой величины \( G \) с помощью нового измерительного аппарата с новыми координатами указателя \( Q_{1}, Q_{3}, \ldots \); тогда вероятность того, что новая величина \( G \) имеет определённое значение \( G_{m} \), если раньше величина \( F \) с достоверностью имела значение \( F_{n} \), no определению совпадает с вероятностью того, что новый аппарат даёт показание \( Q_{m} \), если известно, что первый aпnарат, который в этом случае должен давать возможность однозначңого заключения о состоянии после измерения (не совпадающего в случае измерений второго рода с состоянием до измерения), с достоверностью имел показание \( Q_{n} \). Последнее равносильно тому, что состояние измеряемой системы после первого измерения описывается собственной функцией \( u_{n}{ }^{1} \) ). Если \( v_{1}, v_{2}, \ldots \), \( v_{m}, \ldots \) – собственные функции величины \( G \), то веро-
1) Если \( \bar{\psi}\left(q, Q_{n}\right) \) – функция сложной системы (система+аппарат) после измерения, то следует построить \( \frac{\bar{\psi}\left(q, Q_{n}\right)}{\left(\int\left|\bar{\psi}\left(q, Q_{n}\right)\right|^{2} d Q\right)^{1 / 2}} \).
Благодаря действию аппарата система теряет всякое воспоминание о прошлом состоянии, так как фаза в \( c_{n} \) изменяется неконтролируемым образом.

ятность \( W\left(F_{1}, G_{m}\right) \) действительно равна тогда \( \left|S_{n m}\right|^{2} \), где \( S_{n m}=\int u_{n} v_{m}^{*} d q \).

Тем самым, казалось бы, все суждения \( о \) любых величинах \( F, G \) сводятся к вероятностным высказываниям о показаниях аппарата, т. е. К вероятностям для пространственных координат. Мы оставим, однако, открытым вопрос о том: существуют ли в действительности аппараты с постулированными свойствами для любых величин \( F, G \), по той причине, что это существенным образом зависит от того, какие гамильтоновы функции действительно встречаются в природе, а об этом нерелятивистская волновая механика не может сделать никаких заключений. Более того, её понятие и её математический аппарат настолько последовательңы и всеобщи, что эта теория осталась бы свободной от противоречий даже при существовании любых (эрмитовых) операторов Гамильтона.