Чтобы совершить персход к нерелятивистской теории спина в первом приближении для медленно движущихся частиц, целесообразно выбрать для матриц \( \alpha_{k} \) и \( \beta \) форму (15); здесь \( \beta \) приведено к диагональной форме. Тогда оказывается, что еели скорости частиц малы по сравнению со скоростью света, то две из компонент становятся малыми по сравнению с двумя другими. Чтобы это показать, введём вместо одной четырёхкомпонентной величины ( \( \left.\dot{\psi}_{1}, \psi_{2}, \psi_{2}, \psi_{1}\right) \) две двухкомпонентные величины ( \( \left.\varphi_{1} \varphi_{2}\right) \) и \( \left(\chi_{1} \chi_{2}\right) ; \) причём, как обычно, в нерелятивистской волновой механике (см. часть I, стр. 40 и § 4) следует отделить множитель \( e^{-\frac{1}{\hbar} m c^{2} t} \).
\[
\left.\begin{array}{ll}
\psi_{1}=\varphi_{1} e^{-\frac{i}{\hbar} m c^{2} t}, & \psi_{2}=\varphi_{2} e^{-\frac{i}{\hbar} m c^{2} t} \\
\psi_{3}=\chi_{1} e^{-\frac{i}{\hbar} m c^{2} t}, & \psi_{4}=\chi_{2} e^{-\frac{i}{\hbar} m c^{2} t}
\end{array}\right\}
\]

Тогда имеем из (75) и (76):
\[
\begin{array}{c}
\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \varphi}{\partial t}-e \Phi_{0} \varphi+\sum_{k=1}^{3} c \sigma_{k}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \chi}{\partial x_{k}}+\frac{e}{c} \Phi_{k} \chi\right)=0, \quad\left(87_{1}\right) \\
-2 m c^{2} \chi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \chi}{\partial t}-e \Phi_{0} \chi+\sum_{k=1}^{3} c \sigma_{k}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{k}}+\frac{e}{c} \Phi_{k} \varphi\right)=0,
\end{array}
\]

где \( \sigma_{k} \)-снова двурядные матрицы, определённые выражениями (14). Здесь существенно, что при величинах \( \varphi \) член, происходящий от дифференцирования по времени показательного множителя, сокращается с «членом массы»,

умноженным на \( \beta \); однако, при величинах \( \chi \) эти члены складываются. Это обусловливает возможность разложения по обратным степеням скорости света \( 1 / c \). Если величины \( \varphi \) рассматривать как величины нулевого порядка, то величины \( \chi \) будут первого порядка. Введём, как в (77), операторы:
\[
\vec{\pi}_{k}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{k}}+\frac{e}{c} \Phi_{k} .
\]

Тогда мы получим вплоть до величин первого порядка:
\[
\chi=\frac{1}{2 m c} \sum_{k} \sigma_{k} \pi_{k} \varphi .
\]

Следующее приближение даёт:
\[
\chi=\frac{1}{2 m c} \sum_{k} \sigma_{k} \pi_{k} \varphi+\frac{1}{4 m^{2} c^{3}}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}-e \Phi_{0}\right) \sum_{k} \sigma_{k} \pi_{k} \varphi .
\]

Вставив это выражение в (87,), получим, сохраняя все величины до порядка \( 1 / c^{2} \) включительно:

Разделяя члены с \( \boldsymbol{k}=\boldsymbol{l} \) и \( \boldsymbol{k}
eq \boldsymbol{l} \) и учитывая соотношение (78) и (14′), имеем далее:
\[
\begin{array}{c}
\left(1+\frac{1}{4 m^{2} c^{2}} \sum_{k} \pi_{k}^{2}\right)\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \varphi}{\partial t}-e \Phi_{0} \varphi\right)+\frac{1}{2 m} \sum_{k} \pi_{k}^{2}+ \\
+\left\{\frac{e \hbar}{2 m c} \sum\left(H_{i} \sigma_{i}\right)+\frac{e \hbar}{2 m c} \frac{1}{2} \frac{1}{m c}\left(\sum_{i}[\vec{E} \times \vec{\pi}]_{i} \sigma_{i}\right)-\right. \\
\left.-i \frac{e \hbar}{2 m c} \frac{1}{2} \frac{1}{m c} \sum_{i} E_{i} \pi_{i}\right\} \varphi=0 .
\end{array}
\]

Множитель, стоящий перед \( \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \), соответствует поправке на изменение массы, далее имеем нерелятивистский член взаимодействия спина с внешіним магнитным полем с

правильным значением – \( \frac{e \hbar}{2 m c} \) магнитного спинового момента, затем член, соответствующий поправке Томаса во внешнем электрическим поле с правильным множителем \( 1 / 2 \), и, наконец, своеобразный дополнительный член, впервые найденный Дарвином \( { }^{2} \) ). Можно, впрочем, получить это волновое уравнение непосредственно, подставив \( \left(88_{1}\right. \) ) в строгое волновое уравнение второго порядка (79).

Полученный результат содержит доказательство того, что если:
\[
\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}-e \Phi_{0}\right) \varphi \ll 2 m c^{2} \varphi,
\]

то из волнового уравнения Дирака следует, как первое приближение, волновое уравнение нерелятивистской квантовой механики спина. Этого достаточно, например, когда речь идёт о сравнении собственных значений энергии в обеих теориях. Однако, существенно, что в этом приближении в обеих теория совпадают также следствия относительно величины вероятности перехода при испускании света. Этот вопрос будет сводиться по принципу соответствия к сравнению выражений для вектора тока в обеих теориях.

Чтобы провести это сравнение, целесообразно преобразовать сначала вектор тока
\[
s_{\mu}=\psi^{+} \gamma^{\mu} \psi
\]

по способу, предложенному впервые Гордоном \( { }^{2} \) ).
Подставим, согласно волновым уравнениям (II), (III), в выражение для \( s_{\mu} \) один раз
\[
-\frac{i}{m c} \sum_{
u} \gamma^{
u}\left(p_{
u}+\frac{e}{c} \Phi_{
u}\right) \psi \text { вместо } \psi
\]

и другой раз
\[
+\frac{i}{m c} \sum_{
u}\left[\left(p_{
u}-\frac{e}{c} \Phi_{
u}\right) \psi^{(+)}\right] \gamma^{
u} \text { вместо } \psi^{(+)}
\]
1) C. G. Darwin, Proc. Roy. Soc. London (A), 118, 654, 1928.
2) W. Gordon, Zs. f. Phys., 50, 630, 1927.
общие приндипм волновой механики

и сложим. Отделяя члены с \( \mu=
u \) и \( \mu
eq
u \), получаем:
\[
\begin{array}{c}
s_{\mu}=s_{\mu}^{(0)}+s_{\mu}^{(1)}, \\
s_{\mu}^{(0)}=\frac{i}{2 m_{0} c}\left\{\left[\left(p_{\mu}-\frac{e}{c} \Phi_{\mu^{\prime}}\right) \psi^{(+)}\right] \psi-\psi(+)\left(p_{\mu}+\frac{e}{c} \Phi_{\mu}\right) \psi\right\}, \\
s_{\mu}^{(1)}=\frac{\hbar}{2 m c} \sum_{
u} \frac{\partial M_{\mu
u}}{\partial x_{
u}},
\end{array}
\]

где
\[
M_{\mu
u}=-M_{
u \mu}=-\psi^{(+)} \gamma^{\mu} \gamma^{
u} \psi .
\]

Здесь \( M_{\mu
u} \) может рассматриваться как антисимметричный тензор поляризации и намагничения. Замечательно, что
\[
\sum_{\mu=1}^{4} \frac{\partial s_{\mu}^{(1)}}{\partial x_{\mu}}=0 .
\]

Таким образом, \( s_{\mu}^{(0)} \) и \( s_{\mu}^{(1)} \) сами по себе удовлетворяют уравнению непрерывности. Переходя к \( \psi^{*} \), получим следующие выражения для пространственных компонент плотности тока:
\[
\begin{array}{c}
i_{k}^{(0)}=c s_{k}^{(0)}=\frac{1}{2 m_{0}}\left\{\psi^{*}\left(p_{k}+\frac{e}{c} \Phi_{k}\right) \beta \psi-\right. \\
\left.-\left[\left(p_{k}-\frac{e}{c} \Phi_{k}\right) \psi^{*}\right] \beta \psi\right\}, \\
i_{k}^{(1)}=c s_{k}^{(1)}=\frac{\hbar}{2 m} \sum_{
u=1}^{4} \frac{\partial M_{k v}}{\partial x_{
u}}
\end{array}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{c}
M_{k l}=-M_{l k}=\frac{1}{i}\left(\psi^{*} \beta \alpha_{k} \alpha_{l} \psi\right) \text { для } k
eq l \text { и } k, l=1,2,3, \\
M_{k 4}=\frac{1}{i}\left(\psi^{*} \beta \alpha_{k} \psi\right) .
\end{array}\right\}\left(93^{\prime}\right)
\]

Если мы снова отделим временный множитель,-согласно (86), и возьмём матрицы \( \alpha_{k} \) и \( \beta \) в форме (15), то увидим, что \( M_{k 4} \) будет порядка \( 1 / c^{2} \), а \( M_{k l} \), пренебрегая членами порядка \( 1 / c^{\mathbf{3}} \), равно:
\[
M_{18}=-M_{11}=\left(\varphi^{\circ} \sigma_{8} \varphi\right), \ldots
\]

Если пренебречь членсми порядка \( 1 / c^{2} \), то \( i_{k}^{(0)} \) совпадает с выражением для тока нерелятивистской теории. Дополнительный член
\[
\ddots \vec{i}^{(1)}=\operatorname{rot}\left(\varphi^{*} \sigma \varphi\right)
\]

не может быть, согласно части 1 (364) и (370), причиной дипольного излучения, так как в результате интегрирования по объёму все его матричные элементы исчезают. Однако, он должен быть учтён при расчёте квадрупольного или мультипольного излучения.

Интересно сравнить выражение (81), (84) для момента импульса \( P_{i k} \) с выражением для магнитного момента:
\[
\begin{array}{c}
\bar{M}_{i k}=\frac{(-e)}{2 c} \int\left(x_{i} i_{k}-x_{k} i_{i}\right) d V= \\
=\int \psi^{\cdot}\left[\frac{(-e)}{2 m c}\left(x_{i} \pi_{k}-x_{k} \pi_{i}\right) \beta+\frac{(-e) \hbar}{2 m c} \frac{1}{i}\left(\alpha_{i} \alpha_{k} \beta\right)\right] \psi d V .
\end{array}
\]

Вследствие наличия в последнем выражении матрицы \( \beta \), обе ча́сти \( M_{t k} \) и \( P_{t_{k}} \) в общем случае не пропорциональны друг другу. Пропорциональность имеет место лишь для малых скоростей частицы, когда можно пренебречь величинами порядка \( v^{2} / c^{2} \). В этом случае частное магнитного и механического моментов для первой части равно- \( e / 2 m c \), для второй-e/mc в соответствии с требованиями опыта \( { }^{1} \) ).

Валлер \( { }^{2} \) ) сравнил, пользуясь принципом соответствия, следствия, вытекающие из волнового уравнения Дирака для рассеяния света, со следствиями из волнового уравнения нерелятивистской теории. В первой (дираковской) теории оператор возмущения гамильтоновской функции имеет вид просто \( \sum_{k=1}^{3} e\left(\alpha^{k} \Phi_{k}\right) \), где \( \Phi_{k} \) векторпотенциал внешнего поля излучения; в противоположность нерелятивистской теории в релятивистской функции возмущения отсутствуют члены, пропорциональ-
1) Cм. также C. G. D a rwin, Proc. Royc. Soc. London, 120, 621, 1928; о величине магнитного момента водородоподобных атомов G. Breit, Nature, 122, 649, 1928.
) I. W a Ile r, Zs. f. Phys., 58, 57, 1929.
\( 18 * \)

\( \cdot \) [ч. 11
ные \( \Phi_{k}^{2} \). Поскольку в нерелятивистской теории (как упоминалось в части I, § 15) в случае, когда рассеивается квант с энергией \( h \gamma \), большой по сравнению с ионизационным потенциалом системы и малой по сравнению с \( m c^{2} \), как раз эти квадратичные члены \( \Phi_{k}^{2} \) функции возмущения дают главную часть рассеянного излучения, то можно с первого взгляда усомниться, совпадают ли здесь хотя бы приближённо результаты, полученные с помощью волнового уравнения Дирака с результатами нерелятивистской теории. Однако, оказывается, что те матричные элементы выражения \( \sum_{k} \alpha^{k} \Phi_{k} \), которые соответствуют переходам от состояний с положительной к состояниям с отрицательной энергией, дают в конечном счёте как раз те члены интенсивности рассеянного излучения, которые в нерелятивистской теории обязаны своим происхождением члену гамильтоновской функции, пропорциональному \( \Phi_{k}^{2} \). Это особенно важно потому, что отсюда следует, что матричные элементы функции возмущения, относящиеся к упомянутым переходам, не могут быть просто вычеркнуты. Эти матричные элементы оказываются особенно существенными для согласования результатов, получающихся при вычислении интенсивности рассеяния света низкой частоты ( \( h
u \ll m c^{2} \) ) на свободных электронах, если вычисление проводится один раз с помощью волнового уравнения Дирака, другой раз с помощью классической теории (формула Томсона).