a) Классическая теория. Как известно, собственные колебания кубической полости (Hohlraum) со сторонами, равными \( l \), объёмом \( V=l^{3} \) и идеально отражающими стенками, обладают следующими свойствами: компоненты \( k_{i} \) вектора распространения волны, абсолютная величина которого равна \( 2 \pi / \lambda \), имеют собственные значения:
\[
k_{i}=2 \pi \frac{s_{i}}{2 l}, \quad s_{1}, s_{2}, s_{3}=1,2,3, \ldots,
\]

где целые числа \( s_{i} \) могут принимать лишь положительные значения, так как мы имеем стоячие волны. Число собственных колебаний \( d N \) со значениями \( k_{i} \), лежащими в интервале \( \left(k_{i}, k_{i}+d k_{i}\right. \) ), равно:
\[
d N=V \cdot 2 \cdot 8 \frac{1}{(2 \pi)^{3}} d k_{1} d k_{2} d k_{3},
\]

причём первый множитель, 2 , учитывает два направления поляризации волны, в то время как второй множитель, 8, получается потому, что в случае стоячих волн следует принимать во внимание лишь положительный октант в \( k \)-пространстве.

Для дальнейшего, однако, удобнее иметь дело с бегущими волнами. Мы получаем то же общее число собственных колебаний в определённом интервале частот, если наложим на поле следующее требование: поле периодично относительно каждой из трёх пространственных координат с периодом \( l \). Собственные значения \( k_{i} \) тогда равны:
\[
k_{i}=2 \pi \frac{s_{i}}{l}, \quad s_{i}=0, \pm 1, \pm 2, \ldots
\]

Эти собственные значения могут быть теперь положительны и отрицательны. Число собственных колебаний между \( k_{i}, k_{i}+d k_{i} \) будет.
\[
d N=V \cdot 2 \frac{1}{(2 \pi)^{3}} d k_{1} d k_{2} d k_{3},
\]

причём, однако, теперь уже используется всё \( k \)-пространство, а не только положительный октант. Электрическая и магнитная напряжённости \( \vec{E}(k, x) \) и \( \vec{H}(k, x) \) общие прицципы волвовой мехадики

волны, распространяющейся в направлении \( \vec{k} \), могут быть удобно записаны, если ввести только один комплексный вектор напряжённости поля \( \vec{F}(k) \)
\[
\begin{array}{c}
\vec{E}(k, x)=\vec{F}(k) e^{i(\vec{k} \vec{x})}+\vec{F}^{*}(k) e^{-\overrightarrow{i(k} \vec{x})}, \\
\vec{H}(k, x)=\left[\frac{\vec{k}}{|k|}, \vec{F}(k, x)\right] .
\end{array}
\]

При этом выполняется условие трансверсальности
\[
(\vec{k} \vec{E}(k, x))=(\vec{k} \vec{H}(k, x))=0 .
\]

Тақим образом также:
\[
(\vec{k} \vec{F})=0, \quad\left(\vec{k} \vec{F}^{*}\right)=0 .
\]

Между \( \vec{F}(k), \vec{F}(-k) \) и их комплексно сопряжёнными значениями не существует больше никаких соотношений. Разложение \( \vec{E}(k, x) \) производится так, что зависимость \( F \) от времени даётся для всех значений \( k \) множителем \( e^{-i v t} \), зависимость же от времени \( F^{*} \) даётся множителем \( e^{+i v t} \) :
\[
\vec{F}(k, t)=\vec{F}(k, 0) e^{-i
u t}, \quad \cdot \overrightarrow{F^{*}}(k, t)=\vec{F}^{*}(k, 0) e^{+i
u t},
\]

где \(
u \)-всегда полюжительное число:
\[

u=c|k| \text {. }
\]

Следовательно, \( \vec{F} \) и \( \vec{F}^{*} \) удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
\[
\frac{d \vec{F}}{d t}=-i c|k| \vec{F}, \quad \frac{d \vec{F}^{*}}{d t}=+i c|k| \vec{F}^{*} .
\]

Заменяя \( \vec{k} \) на \( -\vec{k} \) в (115), (116), получим напряжённости поля волны, распространяющейся в противоположном направлении.

Кроме разложения напряжённости \( \vec{E}(k, x) \) на две части с временными множителями \( e^{-i v t} \) или \( e^{+i v t} \) для каждого \( k \) бывает часто целесообразно разлагать общую напряжённость поля в пространственный ряд Фурье:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\vec{E}(k, x)+\vec{E}(-k, x) & =\vec{E}(k) e^{i(\vec{k} x)}+\vec{E}(-k) e^{-i(\vec{k} \vec{x})}, \\
\vec{E}(-k) & =\vec{E}^{*}(k), \\
\vec{H}(k, x)+\vec{H}(-k, x) & =\vec{H}(k) e^{\overrightarrow{i(k} \vec{x})}+\vec{H}(-k) e^{-i(\vec{k} x)}, \\
\vec{H}(-k) & =\vec{H}^{*}(k) .
\end{array}\right\}
\]

Тогда, как видно из сравнения с (115) и (116):
\[
\left.\begin{array}{rl}
\vec{E}(k) & =\vec{F}(k)+\vec{F}^{*}(-k), \\
\vec{H}(k) & =\left[\frac{\vec{k}}{|k|}, \vec{F}(k)-\vec{F}^{*}(-k)\right],
\end{array}\right\}
\]

откуда обратно следует:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\vec{F}(k) & =\frac{1}{2}\left\{\vec{E}(k)-\left[\frac{\vec{k}}{|k|} \cdot \vec{H}(k)\right]\right\}, \\
\vec{F}^{*}(-k) & =\frac{1}{2}\left\{\vec{E}(k)+\left[\frac{\vec{k}}{|k|} \cdot \vec{H}(k)\right]\right\}
\end{array}\right\}
\]

Соотношения (118), (119), (121) представляют собой полное выражение уравнений Максвелла. Если известны в определённый момент времени значения \( \vec{E}(k, x) \) и \( \vec{E}(-k, x) \) отдельно, то этим уже определено \( \vec{H}(k, x) \); напротив, задание \( \vec{E}(k) \) и \( \vec{E}(-k) \) в момент времени не определяет ещё значения \( \vec{H}(k) \).

Энергия \( E(k) \) волны, распространяющейся в направлении. \( k \), равна [учитывая, что \( \vec{H}^{2}(k, x)=\vec{E}^{2}(k, x) \) ]:
\[
\begin{aligned}
E(k) & =\frac{1}{2} \int_{\vec{E}}\left[\vec{E}^{2}(k, x)+\vec{H}^{2}(k, x)\right] d V= \\
& =2\left(\vec{F}(k) \vec{F}^{*}(k)\right) V .
\end{aligned}
\]

Импульс
\[
\begin{array}{c}
\vec{P}(k)=\frac{1}{2} \int[\vec{E}(k, x), \vec{H}(k, x)] d V= \\
=\frac{\vec{k}}{c|k|} \int \vec{E}^{2}(k, x) d V=\frac{\vec{k}}{c|k|} 2 \vec{F}(k) \vec{F}^{*}(k) V .
\end{array}
\]

Можно далее разложить \( \vec{F}(k) \vec{F}^{*}(k) \) и тем самым также \( \vec{E} \) и \( \vec{H} \) на два поляризованных собственных колебания. Положим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\vec{F}(k) & =\sum_{\lambda=1,2} \vec{e}(\lambda, \vec{k}) A(\lambda, \vec{k})= \\
& =\sum_{\lambda=1,2} \vec{e}(\lambda, \vec{k}) B(\lambda, \vec{k}) e^{-t
u t}, \\
\vec{F}^{*}(k) & =\sum_{\lambda=1,2} \vec{e}^{*}(\lambda, \vec{k}) A^{*}(\lambda, \vec{k})= \\
& =\sum_{e^{*}}(\lambda, \vec{k}) B^{*}(\lambda, \vec{k}) e^{i
u t}
\end{array}\right\}
\]
\( 19^{*} \)

Здесь, во-первых, согласно (119), для обоих значений \( \lambda \) \( \vec{e}(\lambda, k) \vec{k})=0 \), таким образом также \( (\vec{e} \cdot \vec{k})=0 \), и во-вторых:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(\vec{e}(1, k) \vec{e}^{*}(2, k)\right)=\left(\overrightarrow{e^{*}}(1, k) \vec{e}(2, k)\right)=0 ; \\
\left.\left(\vec{e}(1, k) \vec{e}^{*}(1, k)\right)=\overrightarrow{(e}(2, k) \overrightarrow{e^{*}}(2, k)\right)=1 .
\end{array}\right\}
\]

Это означает, что \( \vec{e}(1, k), \vec{e}(2, k) \) в общем случае комплексные единичные векторы, ортогональные друг по отношению к другу и относительно \( \vec{k} \).

Отсюда следует согласно (123), что энергия \( E(k) \) аддитивно разлагается на:
\[
E(k)=2\left[A(1, k) A^{*}(1, k)+A(2, k) A^{*}(2, k)\right] V .
\]

Если, в частности, три компоненты \( \vec{e} \)-действительные числа [отвлекаясь от (возможного) общего фазового множителя], то мы имеем дело с линейно поляризованными собственными колебаниями.

Вместо того, чтобы рассматривать сумму напряжённостей поля, соответствующих различным собственным значениям \( \vec{k}_{r} \) переменной \( \vec{k} \), часто бывает также целесообразно перейти к пределу \( V \rightarrow \infty \), причём тогда условие периодичности отпадает, и мы имеем дело с непрерывно меняющимися \( \vec{k} \), стало быть, с интегралом Фурье. В таком случае мы получим \( { }^{1} \) ):
\[
\begin{array}{l}
\vec{E}(x)=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int \vec{E}(k) e^{i(\vec{k} \vec{x})} d k^{(3)}, \\
\vec{E}(k)=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int \vec{E}(x) e^{-i \overrightarrow{(k} \vec{x})} d x^{(3)} .
\end{array}
\]

То же самое имеет место для \( \vec{H}(x) \) и \( \vec{F}(x) \), причём связь \( \vec{E}(k), \vec{H}(k), \vec{F}(k) \) попрежнему задаётся (115), (116). Общая энергия и общий импульс волнового пакета даются выражениями:
\[
\begin{array}{l}
E=\frac{1}{2} \int\left(\vec{E}^{2}+\vec{H}^{2}\right) d x^{(3)}=2 \int \vec{F}^{*}(k) \vec{F}(k) d k^{(3)}, \\
\vec{P}=\int \frac{1}{c}[\vec{E}, \vec{H}] d x^{(3)}=\frac{2}{3} \int \frac{\vec{k}}{|k|} \vec{F}^{*}(k) \vec{F}(k) d k^{(3)} .
\end{array}
\]
1) Мы пишем \( d k^{(\mathbf{s})} \) для краткости вместо \( d k_{1} d k_{2} d k_{3} \) и тдкже \( d x^{(3)} \) вместо \( d x_{1} d x_{2} d x_{3} \).

Для момента импульса \( D \) с компонентами \( D_{i j}=-D_{j_{i}} \) получаем посредством интегрирования по частям, принимая во внимание условие трансверсальности (119) \( { }^{1} \) ),
\[
\left.\begin{array}{rl}
D_{i j}= & \frac{1}{c} \int[\vec{x}[\vec{E} \vec{H}]]_{i j} d x^{(3)}= \\
=\frac{2 i}{c} \int \frac{1}{|k|} \sum_{\alpha=1}^{s}\left(F_{\dot{\alpha}}^{*} \frac{\partial F_{a}}{\partial k_{i}} k_{j}-F_{\alpha}^{*} \frac{\partial F_{\alpha}}{\partial k_{j}} k_{i}\right) d k^{(3)}+ \\
\quad+\frac{2 i}{c} \int \frac{1}{|k|}\left(F_{j}^{*} F_{i}-F_{i}^{*} F_{j}\right) d k^{(3)} .
\end{array}\right\}
\]

Мы увидим ниже, что это разделение момента импульса на две части в известном отношении аналогично разделению момента импупьса электрона на орбитальный и спиновый моменты [см. (84)].
b) Kеантование. Мы подходим теперь к вопросу, как производить квантование поля излучения. При этом исходят из аналогии между (поляризованным) собственным колебанием и гармоническим осциллятором. Из исследования теплового равновесия известно, что энергия такого собственного колебания с вектором распространения \( \vec{k}_{r} \) и индексом поляризации \( \lambda \) обладает дискретными собственными значениями:
\[
E=N(\vec{k}, \lambda) \hbar
u_{r}=N(\vec{k}, \lambda) \hbar c \mid k_{r} ! .
\]

При этом здесь нашло уже своё выражение то обстоятельство, что различным собственным колебаниям должны быть приведены в соответствие независимые квантовые числа. Следует также отметить, что в противоположность материальному осциллятору здесь более последовательно не вводить на каждую степень свободы нулевую энергию \( \hbar v_{r} / 2 \). Дело в том, что, с одной стороны, она привела бы, вследствие бесконечного числа степеней свободы, к бесконечно большой энергии на единицу объёма; с другой стороны, эта энергия была бы принципиально ненаблюдаема, так как она не может быть ни излучена, ни абсорбирована или рассеяна, ни заклю1932 .
1) С, C. G, Darwin, Proc. Roy. Soc. London (A), 136, 36,

чена внутри определённого объёма, и не создаёт, как это видно из оныта, гравитационного поля.

Подобно тому как прежде к собственным колебаниям вакуумного излучения (Hohlraumstrahlung) применялся метод квантования фазовых интегралов, теперь должен быть применён волновомеханический метод. Этот метод имеет то преимущество, что он применим также и к бегущим волнам. Очевидно, в согласии с (123)(136), следует выразить, что энергия
\[
E_{\lambda}=2 V A_{\lambda}^{*} A_{\lambda}
\]

поляризованной \( (\lambda=1,2) \) бегущей волны обладает собственными значениями \( N \hbar
u \). Положим
\[
\begin{array}{l}
A_{\lambda}=\sqrt{\frac{\overline{\hbar v}}{2 \bar{V}}} \cdot a_{\lambda}=\sqrt{\frac{\hbar c|k|}{2 V}} \cdot a_{\lambda}, \\
A_{\lambda}^{*}=\sqrt{\frac{\hbar \bar{\hbar}}{2 V}} \cdot a_{\lambda}^{*}=\sqrt{\frac{\hbar c|k|}{2 V}} a_{\lambda}^{*} .
\end{array}
\]

Таким образом,
\[
a_{\perp}^{*}(\lambda, \vec{k}) a(\lambda, \vec{k})=N_{\Delta}(\lambda, \vec{k})
\]

должны обладать собственными значениями \( 0,1,2, \ldots \) Это имеет место, если эрмитовски сопряжённые величины \( \boldsymbol{a}^{*} \) и \( \boldsymbol{a} \) удовлетворяют перестановочным соотношениям:
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{a}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right) \boldsymbol{a}^{*}\left(\lambda^{\prime}, \vec{k}_{s}\right)-\boldsymbol{a}^{*}\left(\lambda^{\prime}, \vec{k}_{s}\right) \boldsymbol{a}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right)= \\
=\left\{\begin{array}{l}
0, \text { если } \lambda
eq \lambda^{\prime} \text { или } r
eq s, \\
1, \text { если } \lambda=\lambda^{\prime}, r=s,
\end{array}\right.
\end{array}
\]

тогда как

и
\[
\left.\begin{array}{r}
\boldsymbol{a}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right) \boldsymbol{a}\left(\lambda^{\prime}, \vec{k}_{s}\right)-\boldsymbol{a}\left(\lambda^{\prime}, \vec{k}_{s}\right) \boldsymbol{a}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right)=0 \\
\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right) \boldsymbol{a}^{*}\left(\lambda^{\prime}, \vec{k}_{s}\right)-\boldsymbol{a}^{*}\left(\lambda^{\prime}, \vec{k}_{s}\right) \boldsymbol{a}^{*}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right)=0
\end{array}\right\}
\]
[см. часть I, (340a) и (340a’)]. Мы избегаем нулевой энергии осциллятора, устанавливая в (126′) такую последовательность множителей, чтобы \( A^{*} \) предшествовало \( A \).
Симметричное выражение.
\[
2 V \cdot \frac{1}{2}\left(A_{\lambda}^{*} A_{\lambda}+A_{\lambda} A_{\lambda}^{*}\right)=\frac{\hbar
u}{2} \cdot\left(a_{\lambda}^{*} a_{\lambda}-a_{\lambda} a_{\lambda}^{*}\right)
\]

имеет собственные значения материальных гармонических осцилляторов, \( \left(N+\frac{1}{2}\right) \hbar v \). Действительно, эрмитовы величины
\[
\boldsymbol{p}=\sqrt{\overline{\hbar
u}}\left(a+\boldsymbol{a}^{*}\right), \quad \boldsymbol{q}=i \sqrt{\frac{\check{\hbar}}{2
u}}\left(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{a}^{*}\right),
\]

или
\[
\boldsymbol{p}=\sqrt{\bar{V}}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{*}\right), \quad \boldsymbol{q}=\frac{\boldsymbol{i}}{
u} \sqrt{\boldsymbol{V}}\left(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{*}\right),
\]

удовлетворяющие перестановочным соотношениям:
\[
\boldsymbol{p} \boldsymbol{q}-\boldsymbol{q} \boldsymbol{p}=-i \hbar,
\]

аналогичны импульсу и энергии осциллятора. Также выражение для энергии, увеличенное на нулевую энергию,
\[
\boldsymbol{E}+\frac{\hbar
u}{2}=V\left(\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{*}\right)=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{p}^{2}+
u^{2} \boldsymbol{q}^{2}\right),
\]

имеет такую же форму, как и энергия гармонического осциллятора с массой, равной 1 и частотой У. В дальнейшем, однако, удобнее оперировать прямо с величинами \( a \) и \( a^{*} \) или \( A \) и \( A^{*} \) вместо \( p \) и \( q \). Уравнения .
\[
\dot{\boldsymbol{a}}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right)=-i c|k| \boldsymbol{a}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right) ; \dot{\boldsymbol{a}}^{*}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right)=+i c \mid \boldsymbol{k} \boldsymbol{a}^{*}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right)
\]

могут быть с помощью оператора Гамильтона
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{H}=\sum_{k_{r}} \sum_{\lambda} 2 V \boldsymbol{A}^{*} & \left(\lambda, \vec{k}_{r}\right) \boldsymbol{A}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right)= \\
& =\sum_{k_{r}} \sum_{\lambda} \hbar c\left|k_{r}\right| \boldsymbol{a}^{*}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right) \boldsymbol{a}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right)
\end{aligned}
\]

написаны в обычной форме:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{a}}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right)=\frac{i}{\hbar}\left[\dot{\boldsymbol{H}}, \boldsymbol{a}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right)\right] \\
\dot{\boldsymbol{a}}^{*}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right)=\frac{i}{\hbar}\left[\boldsymbol{H}, \boldsymbol{a}^{*}\left(\lambda, \vec{k}_{r}\right)\right] .
\end{array}
\]

Величины \( \boldsymbol{a} \) и \( \boldsymbol{a}^{*} \), рассматриваемые как операторы, действуют следующим образом на волновую функцию \( \varphi\left(N\left(\lambda, k_{r}\right)\right) \) – или просто \( \varphi(N) \), если мы имеем дело с одним только собственным колебанием:
\[
a^{*} \varphi(N)=\sqrt{N} \varphi(N-1) ; \quad a_{\varphi}(N)=\sqrt{N+1} \varphi(N+1)
\]

или в матричной форме
\[
a(N, N-1)=\sqrt{N}, \quad a^{*}(N-1, N)=\sqrt{N} .
\]

Остальные матричные элементы обращаются в нуль. Введя вспомогательные операторы \( \vec{\Lambda}^{*} \) и \( \vec{\Delta} \) :
\[
a^{*}=\sqrt{\bar{N}} \vec{\Lambda}^{*}, \quad a=\vec{\Lambda} \sqrt{N},
\]

удовлетворяющие условию \( \vec{\Lambda} \vec{\Lambda}=1 \), получим
\[
\vec{\Lambda} \varphi(N)=\varphi(N+1), \quad \vec{\Lambda} \varphi(N)=\varphi(N-1)
\]
[см. часть I, (342)-(345)].
Произведённое квантование поля излучения уже передаёт все корпускулярные свойства света. Наппимер, собственное значение импульса бегущей волны, согласно (124) и (131), равно
\[
\vec{P}(k)=N \hbar \vec{k},
\]

а его модуль, таким образом, равен \( \hbar v / c \). Таким образом, если приписать световому кванту или фотону импульс \( \hbar \vec{k} \) и энергию \( \hbar
u \), то квантовые числа \( N(\lambda, k) \) могут быть истолкованы как числа фотонов с заданным импульсом и данной поляризацией. Флуктуации энергии и импуульса излучения в некоторой части объёма также могут быть правильно описаны с помощью формального аппарата квантованных волн, как уже упоминалось в части I, § 15. К этим фотонам, правда, неприменимо классическое понятие механической траектории, но квантованные волны по содержанию полностью эквивалентны частицам, описываемым методами волновой механики в конфигурационном пространстве и пространстве импульсов (часть I, § 15 и следующие).

Рассмотрим предварительно некоторые формальные свойства квантованных волн. Сначала вкратце выведем, как изменятся функции от числа световых квантов, если перейти от одного вида поляризации к другому. Это соответствует следующему нересчёту амплитуд A в (125):
\[
A^{\prime}(\lambda)=\sum_{\lambda^{\prime}=1,2} c\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) A\left(\lambda^{\prime}\right)
\]

где \( c \) унитарно:
\[
\sum c\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) c^{*}\left(\lambda^{\prime \prime}, \lambda^{\prime}\right)=\delta_{\lambda \lambda^{*}} ;^{*}
\]

таким образом,
\[
c(2,1)=-c^{*}(1,2), \quad c(2,2)=c^{*}(1,1) .
\]

Этому соответствует нереход от единичных векторов \( \overrightarrow{\boldsymbol{e}}(1), \overrightarrow{\boldsymbol{e}}(2) \) к новым единичным векторам \( \overrightarrow{\boldsymbol{e}^{\prime}}(1), \overrightarrow{\boldsymbol{e}^{\prime}} \) (2)
\[
\overrightarrow{\boldsymbol{e}^{\prime}}(\lambda)=\sum_{\lambda^{\prime}} c^{*}\left(\lambda^{\prime}, \lambda\right) \overrightarrow{\boldsymbol{e}}\left(\lambda^{\prime}\right),
\]

которые снова ортогональны друг к другу [уравнение (126)].

Пусть \( N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime} \) – числа световых квантов, соответствующие векторам, \( \overrightarrow{\boldsymbol{e}^{\prime}}(1), \overrightarrow{\boldsymbol{e}^{\prime}}(2) \) и \( \varphi^{\prime}\left(N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime}\right) \)-соответствующая собственная функция, тогда, согласно общей теорик преобразований [см. часть I, ур. (151)], переход от старых чисел световых квантов \( N_{1}, N_{2} \) и соответствуюцих собственных функций к новым определяется соотношением:
\[
\varphi^{\prime}\left(N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime}\right)=\sum_{N_{1}, N_{2}} \varphi\left(N_{1}, N_{2}\right) S\left(N_{1}, N_{2} ; N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime \prime}\right),
\]

причём, согласно части I, уравнения (157) и (164), для всех \( N_{1}, N_{2}, N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime} \) и \( \lambda=1,2 \) должно иметь место:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{\bar{N}_{1}^{\prime} \bar{N}_{2}^{\prime}} S\left(N_{1}, N_{2} ; \bar{N}_{1}^{\prime}, \bar{N}_{2}^{\prime}\right) A^{\prime}(\lambda)\left(\bar{N}_{1}^{\prime}, \bar{N}_{2}^{\prime} ; N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime}\right)= \\
=\sum_{\lambda^{\prime}=1,2} c\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) \sum_{\bar{N}_{1} \bar{N}_{2}} A\left(\lambda^{\prime}\right)\left(N_{1}, N_{2} ; \bar{N}_{1}, \bar{N}_{2}\right) \times \\
\times \times\left(\bar{N}_{1}, \bar{N}_{2} ; N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Если подставить значения (137) для матричных элементов [постоянный множитель, на который отличаются \( A(\lambda) \) и \( a(\lambda) \), выпадает], то мы получим рекуррентные

формулы:
\[
\begin{array}{l}
S\left(N_{1}, N_{2} ; N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime}\right) \sqrt{N_{1}^{\prime}}= \\
=c(1,1) \sqrt{N_{1} S}\left(N_{1}-1, N_{2} ; N_{1}^{\prime}-1, N_{2}^{\prime}\right)+ \\
+c(1,2) \sqrt{N_{2}} S\left(N_{1}, N_{2}-1 ; N_{1}^{\prime}-1, N_{2}^{\prime}\right) \text {, } \\
S\left(N_{1}, N_{2} ; N_{2}^{\prime}, N_{2}^{\prime}\right) \sqrt{N_{2}^{\prime}}= \\
=c(2,1) \sqrt{N_{1}} S\left(N_{1}-1, N_{2} ; N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime}-1\right)+ \\
\left.+c(2,2) \sqrt{N_{2}} S\left(N_{1}, N_{2}-1 ; N_{1}^{\prime}, N_{3}^{\prime}-1\right) .\right\} \\
\end{array}
\]

Легко видеть, что \( S\left(N_{1}, N_{2} ; N_{1}^{\prime}, N_{2}^{\prime}\right) \) лишь тогда отлично от нуля, когда \( N_{1}+N_{2}=N_{1}^{\prime}+N_{2}^{\prime}=N \). Так как \( S \) должно быть унитарно, то, очевидно, имеем \( S(0,0,0,0)=1 \). Для одного светового кванта сразу получаем из (141):
\[
\begin{array}{ll}
S(1,0 ; 1,0)=c(1,1), & S(0,1 ; 1,0)=c(1,2), \\
S(1,0 ; 0,1)=c(2,1), & S(0,1 ; 0,1)=c(2,2) .
\end{array}
\]

Таким образом,
\[
\left.\begin{array}{l}
\varphi^{\prime}(1,0)=\varphi(1,0) c(1,1)+\varphi(0,1) c(1,2), \\
\varphi^{\prime}(0,1)=\varphi(1,0) c(2,1)+\varphi(0,1) c(2,2) .
\end{array}\right\}
\]

Это означает, что \( \varphi \) преобразуются, как \( \boldsymbol{A}(\lambda) \). В общем случае \( N \) световых квантов переход от \( (N+1) \) величин \( \varphi\left(N_{1}, N-N_{1}\right) \quad\left(N_{1}=0, \ldots, N\right) \) к \( (N+1) \) величинам \( \varphi^{\prime}\left(N_{1}^{\prime}, N-N_{1}^{\prime}\right)\left(N_{1}^{\prime}=0,1, \ldots, N\right) \) аналогичен перепреобразования определяют неприводимое унитарное представление степени \( N+1 \) группы линейных унитарных преобразований двух комплексных переменных (см. часть \( 1, \S 13 \) ).

Мы перейдём далее к тому, чтобы установить перестановочные соотношения для компонент векторов \( \vec{E}(k), \vec{H}(k) \) и \( \vec{F}(k) \), сначала для определённого собственного значения \( \vec{k} \). Прежде всего из (132), (133), (134) для \( \vec{F}(k) \) следует, согласно (125), (126) и вытекающим

из (124) и условий трансверсальности соотношениям:
\[
\sum_{\lambda=1,2} e_{j}(\lambda) e_{j}^{*}(\lambda)=\delta_{i j}-\frac{k_{i} k_{j}}{|k|^{2}},
\]

что
\[
\begin{array}{c}
{\left[\boldsymbol{F}_{i}(k), \boldsymbol{F}_{j}\left(k^{\prime}\right)\right]=0, \quad\left[\boldsymbol{F}_{i}^{*}(k), \boldsymbol{F}_{j}^{*}\left(k^{\prime}\right)\right]=0,} \\
{\left[\boldsymbol{F}_{i}(k), \boldsymbol{F}_{j}^{*}(k)\right]=\left[\boldsymbol{F}_{j}(k), \boldsymbol{F}_{i}^{*}(k)\right]=\frac{\hbar c|k|}{2 V}\left(\delta_{i j}-\frac{k_{i} k_{j}}{|k|^{2}}\right) .}
\end{array}
\]

Перейдём теперь к непрерывному спектру. В этом случае для оператора Гамильтона
\[
\boldsymbol{H}=\int \hbar c|k| \sum_{\lambda=1,2} \boldsymbol{a}^{*}(\lambda, k) \boldsymbol{a}(\lambda, k) d k^{(3)} .
\]

Для того чтобы сохранились соотношения (136), следует вместо (133) положить:
\[
\boldsymbol{a}(\lambda, k) \boldsymbol{a}^{*}\left(\lambda^{\prime}, k^{\prime}\right)-\boldsymbol{a}^{*}\left(\lambda^{\prime}, k^{\prime}\right) \boldsymbol{a}(\lambda, k)=\delta_{\lambda \lambda^{+}} \delta\left(k-k^{\prime}\right),
\]

где второй \( \delta \)-множитель представляет собой введённую уже в ч. I (145) несобственную функцию, которая определяется следующим образом:
\[
\int_{V} \delta(k) d k^{(3)}=\left\{\begin{array}{ll}
0, \text { если } V \text { не содержит точку } & k=0, \\
1, \text { если } V \text { содержит точку } & k=0 .
\end{array}\right.
\]

Соотношения (133) остаются справедливыми так же, как и первая строка соотношений (143), а вместо второй строки (143) имеем:
\[
\begin{aligned}
{\left[\boldsymbol{F}_{i}(k), \boldsymbol{F}_{j}^{*}\left(k^{\prime}\right)\right] } & =\left[\boldsymbol{F}_{j}\left(k^{\prime}\right), \boldsymbol{F}_{i}^{*}(k)\right]= \\
& =\frac{\hbar c \mid}{2} \frac{k \mid}{2}\left(\delta_{i j}-\frac{k_{i} k_{j}}{|k|^{2}}\right) \delta\left(k-k^{\prime}\right) .
\end{aligned}
\]

Обозначаемые прежде через \( N(\lambda, k) \) квантовые числа переходят, правда, при предельном переходе к непрерывному спектру, в несобственные числа \( \boldsymbol{N}(\lambda, k) \delta\left(k-k^{\prime}\right) \); однако можно говорить о собственных значениях выражений
\[
\int_{K_{0}} a^{*}(\lambda, k) a(\lambda, k) d k^{(8)}=N\left(\lambda, K_{0}\right) \quad(\lambda=1,2)
\]

и
\[
\int_{\dot{K}_{0}} 2 \overrightarrow{\boldsymbol{F}}^{*}(k) \overrightarrow{\boldsymbol{F}}(k) d k^{(3)}=\boldsymbol{N}\left(1, K_{0}\right)+\boldsymbol{N}\left(2, K_{0}\right) .
\]

Эти собственные значения будут целыми числами. Они дают число световых квантов в обозначенном через \( K_{0} \) интервале «k»-пространства, по которому проводится интегрирование в левой части формулы; (144а) даёт число квантов с определённой поляризацией, ( \( 144 \mathrm{~b} \) ) даёт число квантов с произвольной поляризацией. Для суммы двух интервалов \( K_{1} \) и \( K_{2} \), очевидно, имеем тождественно: \( N\left(\lambda, K_{1}\right)+N\left(\lambda, K_{2}\right)=N\left(\lambda, K_{1}+K_{8}\right) \). Перестановочные соотношения для компонент Фурье электрической и магнитной напряжённостей поля \( E_{i} \) и \( H_{i k}=-H_{k i} \) (написание последних в виде антисимметричного тензора наиболее целесообразно) получаются, согласно (121), из соответствующих соотношений (143), (143′) для \( F_{i} \) :
\[
\begin{array}{c}
{\left[\boldsymbol{E}_{i}(k), \boldsymbol{E}_{j}\left(k^{\prime}\right)\right]=0, \quad\left[\boldsymbol{H}_{i j}(k), \boldsymbol{H}_{k l}\left(k^{\prime}\right)\right]=0,} \\
{\left[\boldsymbol{E}_{i}(k), \boldsymbol{H}_{j l}\left(k^{\prime}\right)\right]=\hbar c \delta\left(\vec{k}+\overrightarrow{k^{\prime}}\right)\left(\delta_{i j} k_{l}-\delta_{i l} k_{j}\right) .}
\end{array}
\]

Заметим, что здесь аргументом \( \delta \)-дункции является \( \vec{k}+\overrightarrow{k^{\prime}} \), а не \( \vec{k}-\vec{k}^{\prime} \), и что, таким образом, критической точкой будет \( \vec{k}=-\overrightarrow{k^{\prime}} \); далее мы видим, что множитель, содержащий абсолютное значение \( (k) \), здесь отсутствует, в противоположность перестановочным соотношениям для \( \vec{F} \) и \( \overrightarrow{F^{*}} \). Левые части условий трансверсальности (117), (118) переместительны со всеми величинами, как и должно быть.

Это облегчает переход к перестановочным соотношениям для напряжённостей ноля, записанных как фунқции координат:
\[
\begin{aligned}
\vec{E}(x) & =\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int \vec{E}(k) e^{\overrightarrow{i k} \vec{x}} d k^{(3)}, \\
\vec{H}(x) & =\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int \vec{H}(k) e^{\overrightarrow{i k} \vec{x}} d k^{(3)}, \\
\overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x) & =\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int \overrightarrow{\boldsymbol{F}}(k) e^{\overrightarrow{i k} \vec{x}} d k^{(?)}, \\
\overrightarrow{\boldsymbol{F}}^{*}(x) & =\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int \overrightarrow{\boldsymbol{F}}^{*}(k) e^{-\overrightarrow{i k} \vec{x}} d k^{(3)} .
\end{aligned}
\]

Мы можем формально положить:
\[
\frac{1}{(2 \pi)^{8}} \int e^{\vec{k} \vec{x}} d k^{(3)}=\delta(\vec{x})
\]
(что имеет место в обычном смысле, лишь, если проинтегрировать выражение, стоящее слева по конечному объёму \( x \)-пространства), следовательно:
\[
\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int k_{i} e^{\overrightarrow{i k} \vec{x}} d k^{(3)}=\frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \delta \overrightarrow{(x)} .
\]

С помощью этих соотношений получаем перестановочные соотношения для напряжённостей поля \( { }^{1} \) ):
\[
\begin{array}{r}
{\left[\boldsymbol{E}_{i}(x), \boldsymbol{E}_{j}\left(x^{\prime}\right)\right]=0, \quad\left[\boldsymbol{H}_{i j}(x), \boldsymbol{H}_{k l}\left(x^{\prime}\right)\right]=0,} \\
{\left[\boldsymbol{E}_{i}(x), \boldsymbol{H}_{j_{l}}\left(x^{\prime}\right)\right]=\frac{\hbar c}{i}\left(\delta_{i j} \frac{\partial}{\partial x_{l}}-\delta_{i l} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right) \delta\left(\vec{x}-\overrightarrow{x^{\prime}}\right) .}
\end{array}
\]

Чтобы формулировать соответствующие перестановочные соотношения для компонент \( \vec{F} \) и \( \vec{F} \), следует сначала определить оператор \( \sqrt{-\Delta} \) и обратный ему \( \frac{1}{\sqrt{-\Delta}} \). Это-линейные операторы, которые действуют на функцию следующим образом:
\[
\begin{array}{r}
\sqrt{-\Delta e^{\vec{k} \vec{x}}}=\mid k, \overrightarrow{e^{\vec{k} x} \vec{x},} \\
\therefore \frac{1}{\sqrt{-\Delta}} e^{\overrightarrow{i k} \vec{x}}=\frac{1}{|k|} e^{\vec{k} \vec{x}} .
\end{array}
\]

Легко видеть, что оба оператора эрмитовы. Двукратное применение оператора \( \sqrt{-\Delta} \) даёт оператор Лапласа с отрицательным знаком, откуда становится понятным принятое обозначение. Тем самым уже неявно определено, как действуют \( \sqrt{-\Delta} \) и \( \frac{1}{\sqrt{-\Delta}} \) на произвольную функцию \( f(\vec{x}) \). Введём функции:
\[
\begin{array}{l}
D_{1 / 2}(\vec{x})=\sqrt{-\Delta \delta}(\vec{x})=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int|k| e^{\overrightarrow{i k} \vec{x}} d k^{(3)}, \\
D_{-1}(\vec{x})=\frac{1}{\sqrt{-\Delta}} \delta(\vec{x})=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int \frac{1}{|k|} e^{\overrightarrow{i k} \vec{x}} d k^{(3)}=\frac{1}{(2 \pi)^{2} r^{2}},
\end{array}
\]
1) Зти соотношения впервые опубликованы в несколько другой четырёхмерной форме в работе P. Jordan и W. Pauli, Zs.t.Phys., 47, 151, 1927 и в изложенной здесь форме в работе W. Heisenberg и W. Pauli, ibid., 56, 1, 1927, II гл., § 4, 5.

из которых первая является несобственной функцией; существует лишь интеграл этой функции по конечному объёму в \( x \)-пространстве. Тогда \( { }^{1} \) )
\[
\begin{array}{l}
\sqrt{-\Delta} f(x)=\int f\left(\overrightarrow{\left.x^{\prime}\right)} D_{1_{12}}\left(\vec{x}-\overrightarrow{x^{\prime}}\right) d x^{\prime(3)},\right. \\
\frac{1}{\sqrt{-\Delta}} f(x)=\int f\left(\overrightarrow{x^{\prime}}\right) D_{-1 / 2}\left(\vec{x}-\overrightarrow{x^{\prime}}\right) d x^{\prime(3)}
\end{array}
\]

и, согласно (143), \( \left(143^{\prime}\right)^{2} \) ), имеем:
\[
\begin{array}{l}
{\left[\boldsymbol{F}_{i}(x), \boldsymbol{F}_{j}\left(x^{\prime}\right)\right]=0,\left[\boldsymbol{F}_{i}^{*}(x), \boldsymbol{F}_{j}^{*}\left(x^{\prime}\right)\right]=0, \quad \cdot\left(150_{1}\right)} \\
{\left[\boldsymbol{F}_{i}(x), \boldsymbol{F}_{j}^{*}\left(x^{\prime}\right)\right]=\left[\boldsymbol{F}_{j}(x), \boldsymbol{F}\left(x^{\prime}\right)\right]=} \\
\left.\begin{array}{l}
=\frac{1}{2} \hbar c\left(\sqrt{-\Delta} \delta_{i j}+\frac{1}{\sqrt{-\Delta}} \frac{\dot{\delta}^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right) \delta\left(x-x^{\prime}\right)= \\
=\frac{1}{2} \hbar c\left\{\delta_{i j} D_{1 / 2}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{j}} D_{-1 / 2}\left(x-x^{\prime}\right)\right\} \cdot
\end{array}\right\} \\
\end{array}
\]

Оператор Гамильтона, согласно (128), будет:
\[
\boldsymbol{H}=2 \int \overrightarrow{\boldsymbol{F}}^{*}(x) \overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x) d x^{(3)},
\]

импульс, согласно (129):
\[
\boldsymbol{P}_{i}=\frac{2}{c} \int \overrightarrow{\boldsymbol{F}}^{*}(x) \frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{1}{\sqrt{ }-\Delta} \overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x) d x .
\]

Условия трансверсальности суть просто:
\[
\operatorname{div} \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\operatorname{div} \overrightarrow{\boldsymbol{F}}^{*}=0 \text {; }
\]

они коммутируют с оператором Гамильтона. Далее имеем:
\[
\begin{array}{c}
\overrightarrow{\dot{F}}^{*}=\frac{i}{\hbar}[H, \vec{F}]=-i c \sqrt{-\Delta \boldsymbol{F}}, \\
\overrightarrow{\dot{F}}^{*}=\frac{i}{\hbar}\left[H, F^{*}\right]=i c \sqrt{-\Delta} \vec{F}^{*} .
\end{array}
\]
\( \left.{ }^{1}\right) \) Cм. L. Landau и R. Peier1s, Zs. f. Phys., 62, 188, 1930.
2) Введение величин \( F \) и \( F^{*} \) с целью избегнуть нулевой энергии встречается y L. Rosenfeld и J. Solomon, Journ. de phys. (7), 2, 139, 1931, а также J. So \( 10 \mathrm{~m} \) on., Thèse de doctorat, Paris. 1931. Данные там соотношения коммутативности между \( F \) и \( F^{*} \) однако неверны, так как они несовместны с условиями: \( \operatorname{div} \vec{F}=0 \) и \( \operatorname{div} \vec{F}^{*}=0 \).

Наличие операторов \( \sqrt{-\Delta} \) и \( \frac{1}{\sqrt{-\Delta}} \) в перестановочных соотношениях мало удовлетворительно, так как эти операторы не носят характера бесконечно малых операций, т. е. их значение в данной точке зависит от всего пространственного поведения функции, а не только от поведения функции вблизи рассматриваемой точки. Это приводит далее к тому, что преобразование по формулам Лоренца величин \( \vec{F}(x) \) и \( \vec{F}^{*}(x) \), связанных с \( \vec{E} \) и \( \vec{H} \), согласно (121), (122), соотношениями:
\[
\begin{array}{c}
\vec{E}(x)=\vec{F}(x)+\vec{F}^{*}(x), \\
\vec{H}(x)=\frac{1}{\sqrt{-\Delta} i} \operatorname{rot}\left(\vec{F}(x)-\vec{F}^{*}(x)\right), \\
\vec{F}(x)=\frac{1}{2}\left(\vec{E}(x)+\frac{i}{\sqrt{-\Delta}} \operatorname{rot} \vec{H}\right) ; \\
\vec{F}^{*}(x)=\frac{1}{2}\left(\vec{E}(x)-\frac{i}{\sqrt{-\Delta}} \operatorname{rot} \vec{H}\right),
\end{array}
\]

носит совершенно не наглядный характер.
Введение образованных несколько искусственно величин \( \boldsymbol{F} \) и \( \boldsymbol{F}^{*} \) служит только для того, чтобы избежать нулевой энергии. Вследствие того что
\[
\frac{1}{2} \int\left(\vec{E}^{2}+\overrightarrow{\boldsymbol{H}}^{2}\right) d x^{(3)}=\int\left(\overrightarrow{\boldsymbol{F}}^{*} \overrightarrow{\boldsymbol{F}}+\overrightarrow{\boldsymbol{F}} \overrightarrow{\boldsymbol{F}}^{*}\right) d x^{(3)},
\]

оператор Гамильтона по (151) будет:
\[
\boldsymbol{H}=\frac{1}{2} \int\left\{\left(\overrightarrow{\boldsymbol{E}}^{2}+\overrightarrow{\boldsymbol{H}}^{2}\right)+i\left[\overrightarrow{\boldsymbol{E}}, \frac{1}{\sqrt{-\Delta}} \operatorname{rot} \overrightarrow{\boldsymbol{H}}\right]\right\} d x^{(3)} .
\]

Второй член выражения в скобках нужен для того, чтобы компенсировать содержащуюся в первом члене бесконечно большую нулевую энергию; второй член содержит также оператор \( 1 / \sqrt{-\Delta} \).

Причина появления здесь формальных усложнений заключается в том, что средние значения (математическое ожидание) функций напряжённостей поля в определённой точке пространства, например квадратичных функций, даже в предельном случае больших квантовых чисел в общем случае не переходят в значения классических величин,.а во многих случаях становятся даже

бесконечно большими. Это происходит потому, что мы здесь имеем дело с системой, обладающей б.сконечно большим числом степеней свободы (причём не существенна, берём ли мысчётное бесконечно большое число степеней свободы или континуальное множество степеней свободы). Например, бесконечное произведение собственных функций для компонент Фурье электрической напряжённости не сходится, даже если возбуждено лишь конечное число собственных колебаний. Применение аппарата волновой механики кажется поэтому оправданным с точки зрения принципа соответствия, только поскольку можно ограничиться конечным числом степеней свободы. Например в \( k \)-пространстве можно вовсе не рассматривать достаточно большие собственные значения \( k \); или в обычном пространстве, прежде чем перейти к предельному случаю больших квантовых чисел, можно произвести сначала усреднение напряжённостей по малым, но конечным объёмам (мы скоро увидим, что это всегда происходит само собой при реальных измерениях напряжённостей) или можно, используя как переменные числа фотонов \( N(k) \), что является наиболее естественным, ограничиться тем случаем, когда существует лишь конечное число световых квантов. Применения теории к случаям, когда ограничение конечным числом степеней свободы недостаточно, приводят действительно к противоречию с опытом (§8).
c) Границы точности для измерения напряжённостей поля \( { }^{1} \) ). Остаётся ещё исследовать, как точно могут быть вообще измерены напряжённости поля. Электрическая напряжённнсть определяется измерением импульса пробного тела заряда \( e \) за время \( \delta t \)
\[
e \vec{E} \delta t=\vec{P}-\overrightarrow{P^{\prime}} .
\]

Если \( P \) перед измерением напряжённости известно точно и по истечении времени \( \delta t \) снова измерено с точностью \( \Delta P \) за время \( \Delta t \), то
\[
e, \Delta \vec{E} \text { ot }>\Delta \vec{P} \text {. }
\]
\( { }^{1} \) ) Cm. L. Landau u R. Peieris, Žs. f. Phys., 69, 56, 1931, особенно § 3 и 4; В. Гейзенберг, Физические основы квантовой теории, гл. 3, § 2 .

Для измерения импульса произвольного тела мы имеем [часть I, (22), (23)] следующее соотношение:
\[
\Delta P \Delta t>\frac{h}{v-v^{\prime}}>\frac{h}{c} .
\]

Сначала кажется, что, применяя тела с большим \( e \), можно измерить напряжённость сколько угодно точно. Однако, Ландау и Пайерлс опровергли это утверждение по следующим соображениям. Испытывая ускорение за время измерения импульса, заряженное тело излучит энергию \( { }^{1} \) ):
\[
\Delta E>\frac{e^{2}}{c^{2}} \frac{\left(v^{\prime}-v\right)^{2}}{\Delta t} .
\]

Это даёт добавочную неопределённость импульса:
\[
\Delta P>\frac{\Delta E}{v^{\prime}-v}
\]

и, следовательно,
\[
\Delta P \Delta t>\frac{e^{2}}{c^{2}}\left(v^{\prime}-v\right) .
\]

В этом месте в аргументации Јандау и Пайерлса имеется, однако, существенный пробел, так как излученный импульс и излученная энергия могут быть точно измерены. Изменение энергии и импульса заряженного тела, возникающее вследствие излучения, не может поэтому без дополнительных рассуждений рассматриваться как неопределённое. Вследствие этого дальнейшие следствия являются ненадёжными, и вопрос о точности измерения поля следует пока считать невыясненным.
Из (157) и (158) следует посредством перемножения:
\[
\Delta P \Delta t>\frac{h}{c} \sqrt{\frac{e^{-}}{h c}} ;
\]

таким образом,
\[
|\Delta \overrightarrow{\mathrm{E}}|>\frac{\sqrt{h c}}{(c \Delta t)^{2}} \text {. }
\]
\( 1 \int_{t}^{t+\Delta t} v^{2} \Delta t \geqslant \frac{\left(v^{\prime}-v\right)^{2}}{\Delta t} \), если заданы \( \Delta t \) и начальная и конечная скорости.
20 Общие принциты волновой мехацики

Такое же неравенство соблюдается и для магнитной напряжённости:
\[
|\Delta \vec{H}|>\frac{\sqrt{h c}}{(c \Delta t)^{2}} .
\]

Наиболее благоприятный случай будет достигнут, если
\[
e^{2}\left(v^{\prime}-v\right) \sim h .
\]

Так как средняя частота излучённого света равна \( 1 / \Delta t \), то это означает, что среднее число излучённых световых квант будет по крайней мере порядка 1. Измерение напряжённости связано с конечным и неопределённым изменением числа световых квантов. «Нулевая» энергия тех волн, частота которых \( \vee \) меньше, чем \( 1 / \Delta t \), как раз соответствует қвадрату напряжённости поля:
\[
\vec{E}^{2} \sim \frac{
u^{3 s}}{c^{3}} \frac{h v}{2} \sim \frac{h c}{(c \Delta t)^{4}} .
\]

Эта величина совпадает с правой частью (159). Таким образом, она не может быть измерена, если выполняется (159).

Дальнейшие выкладки показывают, что при одновременном измерении \( \vec{E} \) и \( \vec{H} \) в пространственной области \( \Delta l \) имеем:
\[
|\Delta \vec{E}||\Delta \vec{H}|>\frac{h c}{(c \Delta t)^{2}} \frac{1}{(\Delta l)^{2}} .
\]

Это соотношение лишь при \( \Delta l<c \Delta t \) является более жёсткой оценкой, чем граница точности \( \hbar c /(c \Delta t)^{4} \), которая получается перемножением величин (159) и (159′). Для волновых полей, т. е. на расстояниях от тел, создающих поля, больших, по сравнению с длиной волны, оценка (160) не даёт ничего нового. Из неё следует:
\[
\Delta \vec{E}|| \Delta \vec{H} \left\lvert\,(\Delta l)^{3}>\frac{h c}{\Delta l}\right. \text { для } \Delta t<\frac{\Delta l}{c},
\]

что можно считать непосредственным выражөнием перестановочных соотношезий (146). Статические поля, очевидно, можно измерять с произвольной точностью \( { }^{1} \) ).
1) Соотношения неточности (159), (160) рассматривались независимо от вопроса, какую часть пространства может занимать оп рсделённый заряд \( е \). Для. электрона следует уже из (156) (157),

То обстоятельство, что в классическом предельном случае напряжённости \( E \) и \( H \) (относительно своего поведения в пространстве и времени), а также и их фазы являются измеримыми величинами, приводит к следствию, что световые кванты должны иметь симметричные состояния (принадлежат статистике Бозе-Эйнштейна).

Иначе обстоит дело в случае материальных частиц. Здесь \( \psi \)-функции являются величинами, не поддающимися измерению, и случаи симметричного и антисимметричного состояний нескольких одинаковых частиц будут равноценны с точки зрения принципа соответствия. Совокупность материальных частиц, имеющих симметричные состояния, как, например, ядра гелия, не аналогична совокупности световых квантов, нока не происходят процессы, при которых изменяется число частиц. Дело в том, что если последнее не имеет места, то для функции \( \psi \), [имеется в виду функция \( \psi, q= \) число (оператор), в обычном трёхмерном пространстве (см. часть I, § 14), а не функция \& в координатном пространстве] нет аналогии с силой Лоренца, её фаза не входит ни в оператор Гамильтона, ни в другие физические измеримые величины, функция \( \psi \) неизмерима.
d) Переход к конфигурационному пространству для световых квантов \( { }^{1} \) ). Так же, как и в случае нескольких одинаковых материальных частиц (часть I, \& 14) и в случае световых квантов возможен переход от конфигурационного пространства к пүостранству числа частиц в элементе объёма координатного простран-

без рассмотрения излучения:
\[
\Delta E>\frac{h}{e c(\Delta t)^{2}}=\frac{\sqrt{h c}}{e^{2}} \frac{\sqrt{h c}}{(c \Delta t)^{2}},
\]

что (так как \( \frac{\hbar c}{e^{2}} \sim 137 \) ) является высшей границей, чем (159). Вопрос о точности измерения поля посредством электрона рассматривается ещё в работе П. Иордана и В. А. Фока (Zs. f. Phys., 66, 206, 1930). Они нашли несколько отличное соотношение:
\[
|\Delta E|>\frac{\sqrt{h c}}{e} \frac{\sqrt{h c}}{c \Delta t \Delta t} .
\]
\( { }^{1} \) ) L. Landau u R. Peier1s, Zs. f.’ Phys., 62, 188, 1930; см. также J. R. Oppenheimer, Phys. Rev., 38, 725, 1931.
20*

ства импульсов обратно. Для случая, когда имеется одна частица, этот переход тривиален. Пусть \( k_{1}, k_{2}, \ldots \)-сначала дискретные значения \( k \); тогда в пространстве \( N\left(\lambda, k_{r}\right)(\lambda=1,2), \varphi\{N(\lambda, k)\} \) отлично от нуля, лишь если \( N\left(\lambda, k_{r}\right) \) для определённой точки \( k_{s}, \lambda_{s} \). равно 1 или 0 . Это значит, что собственные значения \( N\left(\lambda, k_{r}\right) \) равны
\[
\delta_{\lambda \lambda_{s}} \delta\left(k_{r}-k_{s}\right) \text {. }
\]

Подставим это собственное значение для определённых \( \lambda_{*} \) и \( k_{*} \) как аргумент в \( \varphi\{N(\lambda, k)\} \) и образуем, согласно (125):
\[
\vec{f}\left(k_{g}\right)=\vec{e}\left(\lambda_{s}, k_{g}\right) \varphi\left\{\hat{\delta}_{\lambda_{g}} \delta\left(k_{r}-k_{s}\right)\right\} .
\]

Тогда вектор \( \vec{f} \), перпендикулярный \( k_{j} \), может рассматриваться как волновая функция светового кванта в пространстве импульсов. Аналогично этому обстоит дело и при наличии нескольких световых квантов. При \( N \) световых квантов собственные значения \( N\left(\lambda, k_{r}\right) \) будут равны:
\[
\sum_{\varepsilon} \delta_{\lambda_{\theta}} \delta\left(k_{r}-k_{s}\right), \quad .
\]

причём суммировать следует по \( N \)-точкам \( s \). Из них некоторые могут встречаться многократно. Пусть \( p_{1} \)-число однократных, \( p_{2} \) – число двукратных, \( p_{N} \) – число \( N \)-кратных точек, так что:
\[
p_{1}+2 p_{2}+\cdots+N p_{N}=N \text {. }
\]

Тогда следует образовать ещё комбинаторный множитель

и положить:
\[
C=\frac{N !}{(1 !)^{p_{1}}(2 !)^{p_{2}} \cdots(N !)^{p_{K}}}
\]
\[
\begin{array}{c}
\vec{f}_{N}\left(\vec{k}_{, \ldots,}^{(1)}, k^{(N)}\right)=\vec{e}^{(1)}\left(\lambda^{(1)}, \vec{k}^{(1)}\right) \cdots \\
\cdots \vec{e}^{(N)}\left(\lambda^{(N)} \vec{k}^{(N)}\right) c^{-1 / 2} p\left\{\sum_{s} \delta_{\lambda \lambda_{e}} \delta\left(k_{r}-k_{s}\right)\right\}
\end{array}
\]
\( \vec{f}_{N} \)-вектор в \( 3 N \)-мерном пространстве и имеет, следовательно, \( 3 N \) компонент. Он перпендикулярен ко всем \( k_{s} \). Комбинаторный множитель необходим для того, чтобы функции \( \vec{f} \) были нормированы, если \( \varphi\{N(\lambda, k)\} \) нормированы. Остаётся ещё проделать небольшие преобразования, необходимые, если \( k \) трактуется как непрерывная неременная. Функции \( \vec{f} \), согласно определению, симметричны относительно координат частиц. Это соответствует тому обстоятельству, что световые кванты подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.

Применение оператора \( F_{i}(k) \) к волновой функции \( \vec{f} \) очень просто получить на основании (137) и (161). Мы имеем последо-

вательность функции:
\[
f_{0}, \vec{f}_{1}(\vec{k}), \vec{f}_{2}\left(\vec{k}_{1}, \vec{k}_{2}\right), \ldots, \vec{f}_{N}\left(\vec{k}_{1}, \vec{k}_{2}, \ldots, \vec{k}_{N}\right), \ldots,
\]

относящихся к случая. когда существует \( 0,1, \ldots, N \) световых квантов. Тогда \( F_{i}(k) \) переводит функцию \( \vec{f}_{N}\left(k_{1}, \ldots, k_{N}\right) \) в следующую:
\[
\boldsymbol{F}_{i}(k) f_{N ; i_{1}, \ldots, i_{N}}\left(k_{1}-k_{N}\right)=f_{N+1 ; i_{1}, \ldots, i_{N}}\left(k_{1}^{(1)}, \ldots, k_{1}^{(N)}, k\right) .
\]

Результат применения \( F^{*} \) получается из того, что \( F^{*} \) есть оператор, сопряжённый оператору \( \boldsymbol{F} \); далее результат применения операторов напряжённостей поля получаем на основании (121′). Мы увидим, что проведённый в (b) пересечёт волновой функции \( \varphi\{N(\lambda, k)\} \) из vдного вида поляризации в другой в конфигура- ционном пространстве, т. е. для \( \vec{f}_{N} \), становится тривиальным.

Как пример, рассмотрим опе атор вращательного импульса (130). Он удовлетворяет тем же перестановочным соотношениям, что и оператор момента импульса материальных частиц (см. часть I, ур. 13). Это необходимо должно иметь мест’, потому что перестановочные соотношения следуют единственно из группы в ращения. Поэтому оператор (130) имеет те же собственные значения; каждая компонента \( D_{i j} \) имеет собственное значение \( m h \), а квадрат \( D^{2}=\sum_{i<j} D_{i j}^{2}- \) собственные значения \( j(j+1) \). Для случая, когда имеется один световой квант, оператор, определяемый выражением (130), следующим образом действует на \( f_{1}(k) \) :
\[
\boldsymbol{D}_{i j} f_{l}(k)=\frac{2 i}{c|k|}\left\{\left(\frac{\partial}{\partial k_{i}} k_{j}-k_{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right) f_{l}+\left(\delta_{j l} f_{i}-\delta_{i l} f_{j}\right)\right\} .
\]

Для одного светового кванта из условия трансверсальности
\[
\sum t_{i} k_{i}=0
\]

следует, что собственное значение \( f=0 \) неосуществимо. Действительно, для этого должно выполняться соотношение
\[
\left(\frac{\partial}{\partial k_{i}} k_{j}-\frac{\partial}{\partial k_{j}} k_{i}\right) f_{l}+\left(\delta j_{l} t_{i}-\delta_{i l} j_{j}\right)=0
\]

для всех \( i, l, l \). Положим \( l=j \) и просуммируем по \( j \). Тогда имеем:
\[
\sum_{l}\left[\frac{\partial}{\partial k_{i}}\left(k_{l} f_{l}\right)-k_{i} \frac{\partial f_{l}}{\partial k_{l}}\right]+2 f_{i}=0 .
\]

Это, однако, невыполнимо вследствие условия трансвегсальности. Действительно, сначала имеем:
\[
2 f_{i}=k_{i} \sum_{l} \frac{\partial f_{l}}{\partial k_{l}}
\]

умножая скалярно на \( \vec{k} \), затем получаем:
\[
\sum_{l} \frac{\partial f_{l}}{\partial k_{l}}=0
\]

следовательно, \( f_{i}=0 \), т. е. все компоненты \( \vec{f} \) должны обращаться в нуль, что и требовалось доказать. Обоснованное в части I, § 15, стр. 218 правило отбора, запрещающее переходы \( j=0 \rightarrow j=0 \) при эмиссии светового кванта, следует непосредственно отсюда. и из закона сохранения момента количества движения.

Функции \( \vec{f}_{N}\left(x^{(1)}, \ldots, x^{(N)}\right) \) в пространстве импульсов определяют соответствующие функции в пространстве координат:
\[
\vec{f}_{N}\left(x^{(1)}, \ldots, x^{(N)}\right)=\int f_{N}\left(k^{(1)}, \ldots, k^{(N)}\right) e^{i \overrightarrow{k(1) x}(1)}+\ldots+i \overrightarrow{k(N)} \overrightarrow{x(N)} d k^{(3 N)} .
\]

Эти функции не имеют, однако, непосрелственно отношения к плотности частиц. Например, при наличии одного светового кванта \( f^{*}(x) f(x) \) определяет плотность энергии, а не пространственную плотность фотонов. Последнюю можно попытаться определить выражениями:
\[
\left(f^{*} \frac{1}{\sqrt{-\Delta}} f\right)
\]

или
\[
(\vec{g} * \vec{g}) \text {, }
\]

где
\[
\vec{g}=\frac{1}{\sqrt[4]{-\Delta}} \vec{t}
\]

причём последнее выражение положительно дефинитно. Подобное определение было бы, однако, с физической точки зрения произвольно и не гарантировало бы (как следует из излагаемой ниже теории взаимодействия между материей и излучением), что квант не производит никакого действия в точке пространства, где так определённая плотность обращается в нуль. Обращение в нуль функции \( \vec{f} \) или \( \vec{g} \) в определённой точке пространства не имеет непосредственного физического смысла.

Далее, благодаря сложному поведению \( \vec{F} \) пр пр пеобразовании Лоренца оказывается, что для светового кванта не суиествует четырёхмерного вектора плотности тока, который удовлетворял бы уравнению непрерывности и имел положительно дефинитную плотность. Можно удовлетворить формально лишь одному из обоих требований: либо векторному характеру плотности тока при лоренцовских преобразованиях, либо положительному характеру плотности. Это находится в резкой противоположности с описанием материальных частиц в теории Дирака, где можно удовлетворить* обоим требованиям. Отсутствию плотности для световых квантов соответствует также то обстоятельство, что нельзя подобрать оператора в обычном смысле для координаты светового кванта (координата светового кванта не есть \”наблюдаемая» в смысле определёний теории преобразований; часть I, §§ 7 и 9).

Действительно, обсуждение измерительных возможностей для координаты светового кванта \( { }^{1} \) ) показывает, что эта координата не может быть определена точнее, чем
\[
|\Delta x|>\frac{h c}{E},
\]

где \( E \)-энергия кванта, причём для определения координаты требуется промежуток времени, не меньший чем
\[
\Delta t>\frac{\hbar}{E} \text {. }
\]

Это совпадает, однако, как раз с областью применимости геометрической оптики, так как для светового кванта \( h c / E \) равно \( h / P \) или равно длине волны. [Для материальной частицы справедливы те же соотношения; часть I, уравнения (16), (17), но там, однако, \( h c / E \) может быть значительно меньше, чем длина материальной волны.] Только пока применимо классическое понятие «луча», координата светового кванта имеет физический смысл.

С этим не следует смешивать измерение средних значений по времени (за время, большое по сравнению с периодом света) величин \( \overrightarrow{E^{2}} \) или \( \overrightarrow{H^{2}} \). Эти величины могут быть измерены, например, в случае стоячих волн, в области пространства, меньшей, чем длина волны.