Теперь нам следует ввести такие основные предположения о вероятностях \( W\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \) и \( W\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \) координат и импульсов частицы, которые находились бы в согласии с соотношением неопре делённости (II) и волновым характером материи. При этом сначала мы ограничимся нерелятивистским приближением, считая, что скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, и частота волны связана с фазовым вектором \( \vec{k} \) соотношением (8′):
\[
\omega=\omega_{0}+\frac{\hbar}{2 m} \sum_{i} k_{i}^{2} .
\]

Вследствие ограничения нерелятивистской областью световые кванты сразу же исключаются из рассмотрения. Связанные с этим вопросы будут обсуждаться лишь в следующем отделе. Образуем так же, как в § 1 [см. (3)],

функции:
\[
\psi\left(x_{i}, t\right)=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^{3}}} \int A(\vec{k}) e^{i[\vec{l} \cdot \vec{x})-\omega t]} d k_{1} d k_{2} d k_{3},
\]

где \( k \) и (1) всегда удовлетворяют соотношению (8′) и таким образом всегда положительны. Множитель \( 1 / \sqrt{(2 \pi)^{3}} \) вводится для удобства, как это вскоре выяснится. Далее мы образуем комплексно сопряжённую функцию
\[
\psi^{*}\left(x_{i}, t\right)=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^{3}}} \int A^{*}(\vec{k}) e^{-i[(\vec{l} \cdot \vec{x})-\omega t]} d k_{1} d k_{2} d k_{3} .
\]

Если ввести, согласно (I), в (24) и (24*) импульс \( \vec{p}=\hbar \vec{k} \) и энергию \( E=\hbar \omega \) частицы вместо \( \vec{k} \) и \( \omega \), то (24) и (24*) можно записать так:
\[
\begin{array}{c}
\psi\left(x_{i}, t\right)=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi \hbar)^{3}}} \int A(\vec{p}) e^{\left.\frac{i}{\hbar} \overrightarrow{(p \vec{p})}-E t\right]} d p_{1} d p_{2} d p_{3}, \quad\left(24^{\prime}\right) \\
\psi^{*}\left(x_{i}, t\right)=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi \hbar)^{3}}} \int A(\vec{p}) e^{-\frac{i}{\hbar} \overrightarrow{[(p \vec{x})-E t]}} d p_{1} d p_{2} d p_{3} \cdot\left(24^{*}\right)
\end{array}
\]
\( [A(\vec{p}) \) и \( A(\vec{k}) \) отличаются на такой численный множитель, что \( \left.|A(p)|^{2} d p_{1} d p_{2} d p_{3}=|A(k)|^{2} d k_{1} d k_{2} d k_{3}\right] \). Введём функцию
\[
\varphi(\vec{p})=A(\vec{p}) e^{-\frac{i}{\hbar} E t},
\]

которая удовлетворяет уравнению
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \varphi}{\partial t}=E \varphi=\left(E_{0}+\sum_{i} \frac{p_{i}^{2}}{2 m}\right) \varphi .
\]

Таким образом, можно написать:
\[
\begin{aligned}
\psi\left(x_{i}, t\right) & =\frac{1}{\sqrt{(2 \pi \hbar)^{3}}} \int \varphi(\vec{p}) e^{\left.\frac{\hbar}{\hbar} \vec{p} \vec{x}\right)} d \vec{p}, \\
\psi^{*}\left(x_{i}, t\right) & =\frac{1}{\sqrt{(2 \pi \hbar)^{3}}} \int \varphi^{*}(\vec{p}) e^{-\frac{i}{\hbar}(\vec{p} x)} d \vec{p} .
\end{aligned}
\]

Обращение этих соотношений даёт согласно теории интеграла Фурье:
\[
\varphi(\vec{p})=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi \hbar)^{3}}} \int \psi\left(x_{i}, t\right) e^{\left.-\frac{i}{\hbar} \vec{p} \vec{x}\right)} d V
\]

или
\[
A(\vec{p})=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi \hbar)^{3}}} \int \psi\left(x_{i}, t\right) e^{-\frac{i}{\hbar}[(\vec{p} \vec{x})-E t]} d V
\]

и
\[
A(\vec{k})=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^{3}}} \int \Psi\left(x_{i}, t\right) e^{-i[(\vec{k} \vec{x})-\omega t]} d V .
\]

Далее имеет место соотношение замкнутости или полноты:
\[
\int \psi^{*} \psi d V=\int \varphi^{*} \varphi d p=\int A^{*} A d p,
\]

которое определяет сделанный выбор численного множителя в (24) и (24′).

Легко видеть, что в силу (8′) функции \( \psi \) и \( \psi^{*} \) удовлетворяют диффереңциальным уравнениям
\[
\begin{array}{c}
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=\left(E_{0}-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta\right) \psi, \\
+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}=\left(E_{0}-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta\right) \psi^{*},
\end{array}
\]

где, как в (6),
\[
E_{0}=\hbar \omega_{0}=m_{0} c^{2},
\]
a \( \Delta \) обозначает оператор Лапласа. Обратно, (24) есть общее \( { }^{2} \) ) решение дифференциального уравнения (29), если для каждой парциальной волны, входящей в (24), соблюдается соотношение (8′). Это соотношение получается в согласии с (I) из соотношения классической механики
\[
E=E_{0}+\frac{1}{2 m} \sum_{i} p_{i}^{2}
\]
1) Для того чтобы это выражение охватывало также случай, когда \( \psi \) является суммой плоских волн, а не интегралом, следует допустить для \( \varphi(k) \) определённую осообенность и понимать интеграл (24) в смысле Стильтьеса.

которое даёт связь между энергией и импульсом частицы. Формально (29) прямо следует из (8), если ввести операторы (действующие на функции от координат и времени)
\[
E=-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}, \quad p_{i}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}
\]

и затем заменить (8) операторным уравнением, тождественным (29):
\[
E \psi=\left(E_{0}+\frac{1}{2 m} \sum_{i} p_{i}^{2}\right) \psi .
\]

Кроме того, это уравнение формально аналогично (26).
В дальнейшем мы будем иметь дело с различными операторами, которые все, однако, будут линейными. Под этим понимается, что рассматриваемый оператор \( \boldsymbol{D} \) удовлетворяет условию:
\[
D\left(c_{1} \psi_{1}+c_{2} \psi_{2}\right)=c_{1} D \psi_{1}+c_{2} D \psi_{2},
\]

где \( c_{1} \) и \( c_{2} \)-две произвольные постоянные, а \( \psi_{1} \) и \( \psi_{2} \) произвольные функции каких-либо переменных. Эти переменные, вообще говоря, не обязательно должны пробегать непрерывную последовательность значений, как в случае пространственно-временных координат, но могут принимать только дискретные значения, или даже конечное число значений. Однако, всегда функции \( D \Psi \) следует считать зависящими от тех же переменных, что и функции \( \psi \). Переходя к специальным операторам (26), заметим, что применение этих операторов к значениям энергии и импульса представляет лишь другое выражение для построения интеграла Фурье (24′) при переходе от пространственно-временной функции \( \psi\left(x_{i}, t\right) \) к функции импульса \( \varphi \overrightarrow{(p)} \).

Введённые здесь функции получают физический смысл лишь тогда, когда они связаны с вероятностями \( W\left(k_{i}\right) \) и \( W\left(p_{i}\right) \) энергии и импульса частицы. При этом существенно заметить, что, во-первых, эти вероятности не могут быть отрицательны, и, во-вторых, в каждый момент времени должны соблюдаться условия:
\[
\int W(\vec{x}) d x_{2} d x_{2} d x_{3}=1
\]

и
\[
\int W(\vec{p}) d p_{1} d p_{2} d p_{3}=1 .
\]

Простейшее предположение относительно \( W(\vec{x}) \), удовлетворяющее этим требованиям, заключается в том, что \( W(\vec{x}) \) есть дефинитная квадратичная форма функций \( \psi_{p}, \psi_{p}^{*}, \ldots(p=1,2, \ldots) \), каждая из которых удовлетворяет уравнениям (25) или (25*):
\[
W(x)=Q\left(\psi_{\rho}, \psi_{\rho}^{*}\right) .
\]
(Конечно, только успех теории может показать, возможно ли обойтись без образования форм четвёртого или более высокого порядков.) Кроме того, чтобы. добиться постоянства во времени интеграла \( \int W(\vec{x}) d x_{1} d x_{2} d x_{3} \), в согласии с (29) и (29*), необходимо ноложить:
\[
Q\left(\psi_{\rho}, \psi_{\rho}^{*}\right)=\sum_{\rho} C_{\rho} \psi_{\rho}^{*} \psi_{\rho},
\]

где \( C_{p} \) – положительные действительные числа. В справедливости этого можно убедиться как из (24) посредством теоремы Фурье, так из (29) интегрированием по частям. Например, по последнему способу имеем:
\[
\begin{aligned}
-\frac{1}{2} \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}\left(\psi^{2}\right) & =E_{0} \psi^{2}-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \sum_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\psi \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}\right)+\frac{\hbar}{2 m}\left(\operatorname{grad} \psi^{2},\right. \\
+\frac{1}{2} \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}\left(\psi^{* 2}\right) & =E_{0} \psi^{* 2}-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \sum_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\varphi^{*} \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{i}}\right)+\frac{\hbar}{2 m}\left(\operatorname{grad} \psi^{*}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]

Ho
\[
\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}\left(\psi \psi^{*}\right)=\frac{\hbar^{2}}{2 m} \sum_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}-\psi \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{i}}\right) .
\]

Таким образом, ни \( \int \psi^{2} d V \), ни \( \int \psi^{* 2} d V \), ни какая-либо линейная комбинация обоих этих выражений не постоянна во времени, тогда как
\[
\int \psi \psi^{*} d V=\text { const. }
\]

ВОЛ НОВАЯ ФУНКЦИЯ с ВОЕОДНСИ чАСТИцЫ
31
[При выполнении интегрирования предполагается, что появляющиеся вследствие интегрирования по частям поверхностные интегралы (по поверхности очень больших сфер) в предельном случае бесконечно большой области интегрирования обращаются в нуль.]

Заметим ещё для дальнейших применений, что последнее из написанных выше дифференциальных равенств принимает форму уравнения непрерывности
\[
\frac{\partial p}{\partial t}+\operatorname{di\chi } \vec{i}=0,
\]

если наряду с \( \rho=\psi \psi^{*} \) положить
\[
\vec{i}=\frac{\hbar}{2 m i}\left(\psi^{*} \operatorname{grad} \psi-\psi \operatorname{grad} \psi^{*}\right) .
\]

Если условиться считать производную по времени вещественной функции – новой (второй) функцией, то можно утверждать следующее: из (31) следует, что одной действительной функции недостаточно, чтобы из волн muпа (24) построить всюду неотрицательную вероятность, постоянную во времени после интегрирования по объёму \( { }^{1} \) ).

Иначе говоря, для этого необходимы, по крайней мере, две действительные функции или комплексная функция и ей сопряжённая. Постоянные \( C_{\rho} \) могут быть,
1) Это связано с тем, что действительная часть \( \psi \) функции \( \boldsymbol{u}= \) \( =\frac{1}{2}\left(\psi+\psi^{*}\right) \) [для мнимой части \( v=\frac{1}{2 i}\left(\psi-\psi^{*}\right) \) дело обстоит аналогично] не удовлетворяет (согласно (25) и (25*) дифференциальному уравнению первого порядка относительно производной по времени, а удовлетворяет лищь «итерированному» дифференциальному уравнению второго порядка
\[
\left(-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}+\frac{\hbar}{2 m} \Delta-E_{0}\right)\left(+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}+\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta-E_{0}\right) u=0
\]

или
\[
\left[\hbar^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}+\left(\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta-E_{0}\right)^{2}\right] u=0 .
\]

Если составить из \( u \) квадратичное выражение, интеграл по объёму которого постоянен, то оно должно содержать не только u и его производные по координатам, но таюже и первые производные по времени.

очевидно, включены в \( \psi \), так что
\[
W(x)=\sum_{\rho} \psi_{\rho}^{*} \psi_{\rho}=\sum_{\rho}\left|\psi_{\rho}\right|^{2}
\]

является наиболее общим выражением для вероятности \( W(x) \).

Как мы увидим позже, иногда действительно бывает необходимо ввести несколько \( \Psi \)-функций: например, когда рассматриваются частицы с моментом импульса. Пока, однако, мы, ради простоты, не будем принимать это во внимание и будем оперировать с одной комплексной \( \Psi \)-функцией. Таким образом, мы имеем:
\[
W(x)=|\psi|^{2}=\psi^{*} \psi,
\]

с условием нормировки:
\[
\int \psi^{*} \psi d V=1
\]

Согласно уравнению непрерывности (37) мы можем теперь интерпретировать выражение (34) как статистическую плотность тока или поток вероятности. \( i(x) \) является вероятностью того, что через единицу поверхности, перпендикулярно к оси \( x \), пройдёт в единицу времени на одну частицу больше в положительном направлении оси \( x \), чем в отрицательном.

Теперь легко получить также плотность вероятности \( W(p) \) в пространстве импульсов, которая, впрочем, для свободной частицы будет сама постоянна во времени (не говоря уже об интеграле), так как в этом случае импульс частицы постоянен.
Эта вероятность даётся следующим выражением:
\[
W(\vec{p})=|A(\vec{p})|^{2}=A^{*} A=\varphi^{*} \varphi .
\]

Сначала может показаться, что \( W(p) \) определяется как
\[
W \vec{p})=C(\vec{p})|\mathrm{A}(\vec{p})|^{2},
\]

где \( C(\vec{p}) \)-ещё более общим образом определяемая положительная функция. Однако, благодаря соотношению замкнутости (28), выте́кающему из (24′), необходимо положить \( |C(\vec{p})| \equiv 1 \), так как из
\[
\int W(x) d x=1
\]

необходимо должно следовать:
\[
\int W(\vec{p}) \overrightarrow{d p}=1 .
\]

Этим полностью задан аппарат для статистического описания какого-либо состояния свободной материальной частицы. Каждое такое состояние описывается волновым пакетом \( \psi(x, t) \) формы (24), из которого согласно (27) однозначно получается «пакет» \( \varphi(\vec{p}) \) в прогтранстве импульсов. Однако, фазы функций \( \psi(x, t) \) и \( \varphi(p) \) – эти функции часто называют «амплитудами вероятности»непосредственно не наблюдаемы; непосредственно наблюдаемы лишь плотности вероятности \( W(x, t) \) и \( W(p) \). Комплексная волновая функция сама по себе носит, таким образом, символический характер и служит для того, чтобы осуществлять связь между \( W(x, t) \) и \( \left.W(p)^{1}\right) \).

Из развитых основных положений можно выводить различные простые следствия, которые могут непосредственно сравниваться с экспериментом. В частности, можно образовать средние значения каких-либо функций от \( \vec{x} \) или \( \vec{p} \) и исследовать связь между этими средними и их изменение со временем. Например,
\[
\bar{x}_{l}=\int x_{l} \dot{\varphi}^{*} \psi d V, \quad \bar{p}_{l}=\int p_{l} \varphi^{*} \varphi d p .
\]

Далее представляет интерес средняя протяжённость пакета в обычном пространстве и в пространстве импульсов, которая даётся «средним поперечником» волнового пакета («mittlere Querschnitte»):
\[
\left.\begin{array}{l}
\overline{\left(\Delta x_{l}\right)^{2}}=\int\left(x_{l}-\bar{x}_{l}\right)^{2} \psi^{*} \psi d V, \\
\overline{\left(\Delta p_{l}\right)^{2}}=\int\left(p_{l}-\bar{p}_{l}\right)^{2} \varphi^{*} \varphi d p .
\end{array}\right\}
\]

Поведение средней точки пакета получается с помощью
1) В настоящее время ещё не решён в общем виде математический вопрос о том: определяется ли однозначно волновая функция \( \psi \) заданием физически совместимых функций \( W(x) \) и \( W(p) \), т. е. таких \( W(x) \) и \( W(p) \), которым соответствует по крайней мере одна волновая функция.

(24) и (27\”) посредством интегрирования по частям
\[
\begin{aligned}
\overrightarrow{x_{l}} & =\frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^{3}}} \int x_{l} \dot{\psi}^{*} d V \int \varphi(\vec{k}) e^{i(\vec{k} \vec{x})} d k= \\
& =\frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^{3}}} \int \Psi^{*} d V \int \varphi(\vec{k}) \frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial k_{l}}\left(e^{i(\vec{k} \vec{x})} d k=\right. \\
& =\frac{1}{\sqrt{(2 \pi \hbar)^{3}}} \int \Psi^{*} d V \int i \hbar \frac{\partial}{\partial p_{l}}[\varphi(p)] e^{\left.\frac{i}{\hbar} \vec{p} \vec{x}\right)} d p= \\
& =\frac{1}{\sqrt{(2 \pi \hbar)^{3}}} \int i \hbar \frac{\partial}{\partial p}[\varphi(p)] d p \int \psi^{*} e^{\left.\frac{i}{\hbar} \vec{p} \vec{x}\right)} d V= \\
& =\int \varphi^{*}(\vec{p}) i \hbar \frac{\partial}{\partial p_{l}}[\varphi(p)] d p .
\end{aligned}
\]

Таким образом,
\[
\vec{x}_{l}=\int \varphi^{*}(p) i \hbar \frac{\partial \varphi(p)}{\partial p_{l}} d p=\int \varphi^{*}(\vec{k})\left(i \frac{\partial}{\partial k_{l}}\right) \varphi(\vec{k}) d k,
\]

или также
\[
\bar{x}_{l}=\int A^{*}(k) e^{i \omega t}\left(i \frac{\partial}{\partial k_{l}}\right)\left[A(k) e^{-i \omega t}\right] d k .
\]

Таким образом, окончательно
\[
\bar{x}_{l}=\int A^{*} i \frac{\partial A}{\partial k_{l}} d k+t \int \frac{\partial \omega}{\partial k_{l}} A^{*} A d k .
\]

Из этого следует:
\[
\frac{d \bar{x}_{l}}{d t}=\overline{\left(\frac{\partial \omega}{\partial k_{l}}\right)}=\left(\overline{\left.\frac{\partial E}{\partial p_{l}}\right)}=\overline{v_{l}}=\frac{\overline{p_{l}}}{m},\right.
\]

что представляет собой выражение для групповой скорости.
С другой стороны, из уравнения непрерывности (37) легко получить, умножая (37) на \( x_{l} \) и интегрируя по частям:
\[
\frac{d \overline{x_{l}}}{d t}=\int i_{l} d V=\frac{1}{m} \int \psi^{*}\left(\begin{array}{cc}
\hbar & \frac{\partial \psi}{\partial x_{l}} \\
\hdashline i & \frac{\partial}{\partial x_{l}}
\end{array} V\right.
\]

далее из сравнения с (44) следует:
\[
\bar{p}_{l}=\int \varphi^{*}(p) p_{l} \varphi(p) d p=\int \psi^{*}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{l}} \psi\right) d V,
\]

что легко также проверить непосредственно.

Соотношения (42) и (46) могут быть широко обобшены. Іусть \( F(x) \)-какая-либо целая рациональная функция от \( x_{i}, F(p) \)-какая-либо целая рациональная функцуя от \( p_{i} \). Тогда имеем следующие соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\overline{F\left(x_{l}\right)}=\int \psi^{*} F(\vec{x}) \psi d V=\int \varphi^{*} F\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial p_{l}}\right) \varphi d p, \\
\overline{F\left(p_{l}\right)}=\int \psi^{*} F\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{l}}\right) \psi d V=\int \varphi^{*} F\left(p_{l}\right) \varphi d p .
\end{array}
\]

Справедливость этого можно непосредственно проверить, интегрируя по частям и пользуясь теоремой об интеграле Фурье \( { }^{\mathbf{1}} \) ). Так, например:
\[
\begin{array}{l}
\overline{p_{l}^{2}}=\int \varphi^{*} p_{l}^{2} \varphi d p=\int \psi^{*}\left(-\hbar^{2} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{l}^{2}}\right) d V=+\hbar^{2} \int \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{l}} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial x_{l}} d V, \\
\overline{x_{l}^{2}}=\int \psi^{*} \lambda_{l}^{2} \Psi d V=\int \varphi^{*}\left(-\hbar^{2} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial p_{l}^{2}}\right) d p=+\hbar^{2} \int \frac{\partial^{*}}{\partial p_{l}} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial p_{l}} d p .
\end{array}
\]

Чтобы установить соотьетстьующие соотношения для \( \overline{\left(\Delta x_{l}\right)^{2}} \) и \( \overline{\left(\Delta p_{l}\right)^{2}} \), требуется только небольшое изменение этих уравнений. Оно достигается наиболее просто, если перейти к новой системе отсчёта: \( x^{\prime}=x-x_{0}-v t, t^{\prime}=t \). При этом мы, конечно, должны использовать преобразование Галилея, так как релятивистские поправки пока последовательно пренебрегаются. Так как
\[
p_{x}^{\prime}=p_{x}^{\prime}-m v, \quad E^{\prime}=E-p_{x} \imath+\frac{m}{2} \imath^{2},
\]

то необходимо положить
\[
\varphi^{\prime}=\varphi e^{-\frac{i}{\hbar}\left[\frac{m}{2} y^{2}-p_{x} v\right]} e^{\frac{i}{\hbar} f},
\]

чтобы, в соответствии с (26), удовлетворить уравнению:
\[
\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial t}=E^{\prime} \varphi^{\prime} .
\]

В выражении для ‘ \( \psi \) ‘ функция \( t \), не зависящая от \( t \), должна быть определена так, чтобы функция
\[
\psi^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi \hbar)^{3}}} \int \varphi^{\prime}\left(\overrightarrow{p^{\prime}}\right) e^{\frac{i}{\hbar}\left(\overrightarrow{p^{\prime}} \overrightarrow{x^{\prime}}\right)} d p^{\prime}
\]
1) Относительно обобщения этого соотношения для других, не целых, рациональных функций смотри часть II, § 2c и 2 b.
3*

обладала свойством:
\[
W^{\prime}\left(\overrightarrow{x^{\prime}}\right)=W(\vec{x})
\]

или
\[
\psi^{* \prime}\left(\overrightarrow{x^{\prime}}\right) \psi^{\prime}\left(\overrightarrow{x^{\prime}}\right)=\psi^{*}(\vec{x}) \psi(\vec{x}) .
\]

Чтобы достичь этого, достаточно положить \( f=p_{x} x_{0} \). Тогда окончательно получаем:
\[
\begin{array}{l}
\varphi^{\prime}\left(\overrightarrow{p^{\prime}}\right)=\varphi(\vec{p}) e^{-\frac{i}{\hbar}\left[\frac{m}{2} v^{q} t-p_{x}\left(x_{0}+v t\right)\right]}, \\
\left.\psi^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=\psi(x) e^{-\frac{i}{\hbar}\left[m v\left(x-x_{0}\right)-\frac{m}{2} v^{2} t\right.}\right] \text {, } \\
\end{array}
\]

или
\[
\psi^{\prime}\left(x^{\prime}, t^{\prime}\right)=\psi\left(x^{\prime}+x_{0}+2 t^{\prime}\right) e^{-\frac{i}{\hbar}\left[m v x^{\prime}+\frac{m}{2} v^{s} t^{\prime}\right]} .
\]

Легко проверить, что эта функция действительно удовлетворяет уравнению:
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial t^{\prime}}=\left(E_{0}-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta^{\prime}\right) \psi^{\prime} .
\]

Для плотности тока (38) отсюда следует
\[
\overrightarrow{i^{\prime}}=\vec{i}-\vec{v} \psi^{*} \psi \text {. }
\]

Непосредственное наглядное истолкование этого выражения очевидно.

Так как средняя точка волнового пакета движется, согласно (43), с постоянной скоростью, мы введём систему отсчёта \( K^{\prime} \), которая движется вместе с центром волнового пакета, так что последний покоится относительно нового начала координат. Тогда в этой новой системе
\[
\bar{x} \equiv 0, \quad \bar{p} \equiv 0
\]

и
\[
\overline{x^{2}}-\overline{(x-\bar{x})^{2}}=(\Delta x)^{2}, \quad \overline{p^{2}}=\overline{(p-\bar{p})^{2}}=\overline{(\Delta p)^{2}} .
\]

Строго говоря, следовало бы писать \( \overline{x_{1}^{\prime}}=0, \ldots \), и т. д. для каждой координаты. Чтобы упростить обозначения, мы в дальнейшем будем рассматривать одномерный случай и опускать штрихи.
Среднее значение
\[
\overline{p^{2}}=\int p^{2} \psi^{*} \varphi d p=\hbar^{2} \int \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial x} d V
\]

постоянно во времени; напротив,
\[
\overline{x^{2}}=\int x^{2} \psi^{*} \psi d V=\hbar^{2} \int \frac{\partial p^{*}}{\partial p} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial p} d p
\]

меняется со временем. Из последнего выражения, согласно (25), сразу следует:
\[
\begin{array}{r}
x^{2}=\hbar^{2} \int \frac{\partial A^{*}}{\partial p} \cdot \frac{\partial A}{\partial p} d p+i \hbar t \int \frac{\partial E}{\partial p}\left(A^{*} \frac{\partial A}{\partial p}-A \frac{\partial A^{*}}{\partial p}\right) d p+ \\
+t^{2} \int\left(\frac{\partial E}{\partial p}\right)^{2} A^{*} A d p
\end{array}
\]

или
\[
\begin{aligned}
\overline{x^{2}}= & \hbar^{2} \int \frac{\partial A^{*}}{\partial p} \frac{\partial A}{\partial p} d p+ \\
& +\frac{\hbar i t}{m} \int p\left(A^{*} \frac{\partial A}{\partial p}-A \frac{\partial A^{*}}{\partial p}\right) d p+\frac{t^{2}}{m^{2}} \overline{p^{2}}
\end{aligned}
\]

Средний поперечник произвольного волнового пакета вдоль каждой из осей координат является в случае свободной частицы квадратичной функцией времени. Она возрастает, после прохождения минимума, как позднее, так и ранее произвольно сильно. Легко также переписать (51’) для координатного пространства. Обозначим через \( \psi_{0} \) значение \( \psi \) при \( t=0 \); через \( \left(\overline{x^{2}}\right)_{0}=\int x \psi_{0}^{*} \psi_{0} d V \) значение \( \left.\overline{\left(x^{2}\right.}\right) \) при \( t=0 \); через \( \overrightarrow{i_{0}}=\frac{\hbar}{2 m}\left(\psi_{0}^{*} \operatorname{grad} \psi_{0}-\psi_{0} \operatorname{grad} \psi_{0}^{*}\right)- \) значение \( \vec{i} \) при \( t=0 \). Тогда получим:
\[
\overline{x^{2}}=\left(\overline{x^{2}}\right)_{0}+2 t \int(x i) d V+\frac{t^{2}}{m^{2}} \overline{p^{2}},
\]

и в нештрихованной координатной системе (с \( \rho=\Psi^{*} \psi \) ):
\[
\overline{\Delta x^{2}}=\left(\overline{\left.\Delta x^{2}\right)_{0}}+2 t \int(x-\bar{x})\left(i-\frac{p}{m} p\right) d V+\frac{t^{2}}{m^{2}}\left(\overline{\Delta p^{2}}\right) .\right.
\]

Этот результат не содержит ничего особенно характерного для квантовой теории, так как получилось бы то же самое для совокупности свободно движущихся точек, распределённых с плотностью \( \rho \), плотностью тока \( \vec{i} \) и средним квадратом импульса \( \left(\frac{\Delta p^{2}}{}\right) \).

Вспомним, однако, что для повторяемости измерения положения важна непрерывность \( \bar{x} \) и \( \overline{\Delta x} \) как функций времени (при произвольно малых ( \( \left.\overline{\Delta x})_{0}\right) \). Можно также в трёхмерном случае вычислить изменение со временем среднего значения \( \overline{\Delta x_{l} \Delta x_{m}} \) произведения двух координат. Для этих произведений получается аналогично выражение, квадратичное относительно \( t \) :
\[
\begin{aligned}
\overline{\Delta x_{l} \Delta x_{m}} & =\left(\overline{\Delta x_{l} \Delta x_{m}}\right)_{0}+t \int\left[\left(x_{l}-\bar{x}_{l}\right)\left(\mathfrak{i}_{m}-\frac{\rho}{m} p_{m}\right)+\right. \\
& \left.+\left(x_{m}-\bar{x}_{m}\right)\left(\mathfrak{i}_{l}-\frac{\rho}{m} p_{l}\right)\right] d V+\frac{t^{2}}{m^{2}} \overline{\Delta p_{l} \Delta p_{m}} .
\end{aligned}
\]

Для квантовой теории характерно, однако, то обстоятельство, что между значениями \( \overline{(\Delta x)^{2}} \) и \( \overline{(\Delta p)^{2}} \) существует соотношение, соответствующее соотношению неопределённости. В этом соотношении оба выражения \( \overline{(\Delta x)^{2}} \) и \( \overline{(\Delta p)^{2}} \) не могут быть одновременно сделаны произвольно малыми \( { }^{1} \) ).

Проще всего можно получать это соотношение преобразованием слелующего неравенства:
\[
D=\left|\frac{x}{2 x^{2}} \psi+\frac{\partial \psi}{\partial x}\right|^{2} \geqslant 0 .
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
D & =\frac{x^{2}}{4\left(\bar{x}^{2}\right)^{2}} \psi \psi^{*}+\frac{x}{2 \bar{x}^{2}}\left(\psi \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x}+\psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x}\right)+\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x}= \\
& =\frac{1}{4}\left(\frac{x}{\bar{x}^{2}}\right)^{2} \psi \psi^{*}+\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{\overline{x^{2}}} \psi \psi^{*}\right)-\frac{1}{2} \frac{1}{\overline{x^{2}}} \psi \psi^{*}+\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x}= \\
& =\frac{1}{4} \frac{1}{\left(\overline{\left.x^{2}\right)^{2}}\right.} \cdot\left[x^{2}-2 x^{2}\right] \psi \psi^{*}+\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{\overline{x^{2}}} \psi \psi^{*}\right)+\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x} .
\end{aligned}
\]

Далее интегрируем:
\[
\int D d V=\frac{1}{\hbar^{2}} \overline{p^{2}}-\frac{1}{4} \frac{1}{\overline{x^{2}}} \geqslant 0 .
\]
1) C. H. W e y l, Gruppentheorie u. Quantenmechanik, 2 Aufl., Leipzig, 1931, Anh nng 1; В. Гейзенберг, Физучеккие основы кнатовой механики, ОНТИ; Обсбщения см. Е. U. Condon, Sience, 1929 ; H. P. Rob ert s on, Phys. Rev., 34, 163, 1929 и прежде всего Шрёдингёр (Berl. Ber. 1930, 296), где вйрвые в общем виде докззаны положенй (51), (52).

Таким образом,
\[
\overline{p^{2}} \overline{x^{2}}=\overline{(\Delta p)^{2}} \overline{(\Delta x)^{2}} \geqslant \frac{\hbar^{2}}{4},
\]

Это выражение является количественным уточнением соотношения неопределённости. Мы получаем знак равенства в (54). лишь в случае, если
\[
\frac{1}{2} \frac{x}{x^{2}} \psi+\frac{\partial \psi}{\partial x}=0
\]

или
\[
\psi=C e^{-\frac{1}{4} \frac{x^{3}}{x^{2}}} .
\]

Если интересуются произведением \( \overline{\left(\Delta p_{l}^{2}\right)\left(\Delta x_{l}^{2}\right)} \) только для одного определённого значения индекса \( l \), то зависимость от остальных координат безразлична. Если мы хотим, чтобы минимум был достигнут для всех трёх координат, следует положить:
\[
\psi=C e^{-\frac{1}{4}\left(\frac{x_{1}^{2}}{\left.\frac{x_{1}}{x_{1}}+\frac{x_{2}}{x_{2}^{2}}+\frac{x_{2}}{x_{2}}\right)} .\right.}
\]

В то время как \( \overline{\Delta p_{l}^{2}} \) постоянно во времени, \( \overline{\Delta x_{l}^{2}} \) меняется со временем; если минимум выражения \( \overline{\left(\Delta p_{l}\right)^{2}\left(\Delta x_{l}\right)^{2}} \) достигается в момент \( t=0 \), то линейный относительно \( t \) член в (52) исчезает, и тогда для более раннего или позднего момента времени произведение \( \left(\overline{\left.\Delta p_{l}\right)^{2}\left(\Delta x_{l}\right)^{2}}\right. \) принимает бо́льшие значения. Последующими измерениями оно может быть, правда, снова уменьшено, но никогда не может стать меньше минимального значения. Функция импульсов \( \varphi(p) \), соответствующая этому минимуму, очевидно, представляет собой тоже гауссовскую функцию, что следует из полной симметрии проблемы минимума относительно \( p_{x} \) и \( x \) :
\[
\varphi(p)=C e^{-\frac{1}{4} \frac{p_{2}^{2}}{\left(\Delta p_{x}\right)}}
\]

или
\[
\varphi(p)=C e^{-\frac{1}{4}}\left[\frac{p_{1}}{\left(\Delta p_{1}\right)^{2}}+\frac{p_{2}^{2}}{\left(\Delta p_{2}\right)^{3}}+\frac{p 1}{\left(\Delta p_{2}\right)^{2}}\right] .
\]

В этом легко также убедиться непосредственным вычислением с помощью (24\”).

В заключение-рассмотрим общий метод решения (зависящего от времени) уравнения (29) при условии, если \( \psi \) для \( t=0 \) задана как функция координат \( \psi_{0} \).

Эту задачу можно будет сразу решить, если нам удастся найти фундаментальное решение \( U\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t\right) \), которое при \( t=0 \) представляет собой такую функцию, что для любой конечной области интегрирования
\[
\lim _{t \rightarrow 0} \int_{(V)} U d V=\left\{\begin{array}{l}
1, \text { если } V \text { содержит нулевую точку, } \\
0, \text { если } V \text { не содержит нулевой точки. }
\end{array}\right.
\]

Тогда вследствие линейного характера дифференциального уравнения искомым решением будет функция
\[
\begin{aligned}
\psi\left(x_{i}, t\right) & =-\int U\left(\bar{x}_{i}-x_{i}, t\right) \psi\left(\bar{x}_{i} ; 0\right) d V= \\
& =\int U\left(\bar{x}_{i}, t\right) \psi\left(x_{i}+\bar{x}_{i} ; 0\right) d V .
\end{aligned}
\]

Чтобы найти основное решение \( U \) для случая свободной частицы нерелятивистской волновой механики, полезно вспомнить о формальной аналогии дифференциального уравнения
\[
\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{i \hbar}{2 m} \Delta \psi
\]

с уравнением теплопроводности или диффузии \( { }^{1} \) ).
Мы здесь для простоты положили \( E_{0}=0 \), так как это может быть легко достигнуто отщеплением множителя \( e^{-\frac{i}{\hbar} E_{0} t} \) от \( \psi \) функции. Здесь, однако, коэффициент теплопроводностия является мнимым числом. Наше основное решение соответствует тогда решению уравнения терлопроводности для точечного источника тепла и дается для одномерного случая следующим выражением:
\[
U(x, t)=\frac{c}{\sqrt{t}} e^{-\frac{i m}{2 \hbar} \frac{x^{2}}{t}} .
\]
1) На эту анаяогию особо указывал П. Э ренфест (Zs. \( f \). Phys., 45, 455, 197). Для дальне шего см. Л. де-Б рой ль, Введение в волновую механику, гл.11, § 13 .

—————————————————————-
0002ru_fizik_book4_bez_photo_page-0042.jpg.txt

§3] ВОлновая ФУнкция своБодноп частицы
41
Легко проверить, что эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
\[
\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{i \hbar}{2 m} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} .
\]

Далее имеем:

Если
\[
\lim a \rightarrow+\infty, \quad \lim b \rightarrow+\infty, \text { то } \lim \int_{a}^{b} e^{i \xi^{3}} d \xi=0 .
\]

Если
\[
\lim a \rightarrow-\infty, \lim b \rightarrow+\infty,
\]

To
\[
\lim \int_{a}^{b} e^{i \xi^{2}} d \xi=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \xi^{2}} d \xi=\sqrt{\pi} e^{i \frac{\pi}{4}} .
\]

Таким образом, действительно, қак требует условие (57),
\[
\lim _{t \rightarrow 0} \int_{x_{1}}^{x_{2}} U d x=
\]
\( =\left\{\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right. \) если точка \( x=0 \) лежит \( \left\{\begin{array}{l}\text { внутри } \\ \text { вне }\end{array}\right. \) интервала \( \left(x_{1} x_{2}\right) \).
При этом постоянная \( C \) должңа быть выбрана следуюцим образом:
\[
C=e^{-i \frac{\pi}{4}} \sqrt{\frac{m}{2 \pi \hbar}} .
\]

Таким образом мы окончательно имеем:
\[
U(\ddot{x}, t)=e^{-i \frac{\pi}{4}} \sqrt{\frac{m}{2 \pi \hbar}} \frac{1}{\sqrt{t}} e^{\frac{i m}{2 \hbar} \frac{x}{t}} .
\]

Образуя произведение
\[
\begin{aligned}
U\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} ; t\right) & =U\left(x_{1}, t\right) U\left(x_{2}, t\right) U\left(x_{3}, t\right)= \\
& =e^{-\frac{3 \pi}{4} i}\left(\frac{m}{2 \pi \hbar}\right)^{\frac{3}{2}} \frac{1}{t^{\frac{3}{2}} e^{\frac{i m}{2 \hbar} \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}{t}}},
\end{aligned}
\]

получаем отсюда решение для трёхмерного случая.
Подставив это выражение в (58), получим общее решение волнового уравнения \( \left.\psi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} ; t\right){ }^{1}\right) \).

Основное решение \( U \) можно также найти, исходя из разложения \( U \) в интеграл Фурье, согласно (24) и (27), и используя (57).