Исторически, как известно, процессы излучения света играли существенную роль при основании матричной механики Гейзенберга, причём была указана прямая и непосредственно примыкающая к классической электродинамике связь матричных элементов электрического момента атома с напряжённостью электрического поля, полученного при соответствующем переходе света. Борн,
1) Доказательство см. кроме цитированных работ, также в статье Фока (V. Fock, Zs. \( f \). Phys. 75, 622, 1932) и в книге Гейзенберга, Гейзенберг и Иордаң \( { }^{1} \) ) распространили этот аппарат на явления дисперсии. Соответствующий волновомеханический способ рассмотрения был дан Клейном \( { }^{2} \) ). При этом, однако, оказалось, что заключения относительно испушенного атомом света по электрическому моменту атома можно было сделать, если ввести особые предписания, которые, казалось, не могли быть выведены из общих принципов квантовой мєханики. Этот недостаток был устранён только последовательным квантовомеханическим рассмотрением световых волн, проведёнңым Дираком. Поскольку, с другой стороны, эта последовательная теория, которая будет более подробно изложена в части II, §§ 6 и 7, приводит к особым трудностям, связанным с нерешённой проблемой строения электрона, представляет известный интерес и первоначальный способ рассмотрения, основывающийся на соответствии с классической теорией, более ограниченный вследствие отказа от квантования электромагнитного поля. Мы сформулируем его ниже таким образом, чтобы обеспечить впоследствии возможно более непосредственный перенос полученных рассуждений и заключений в теорию излучения Дирака. При этом сначала мы не будем вводить ограничивающих предположений о числе электронов в атоме и отношении длины волны к размерам атома.

Рассмотрим сначала классцчески систему частиц, для которых имеются определённые статистические данные. А именно: для каждой конфигурации положения частиц \( x_{k}^{(a}(k=1,2,3 ; a=1, \ldots, N) \) в интервалах \( d x_{k}^{(i)} \) задана вероятность этой конфигурации и соответствующий средний поток \( i_{k}^{(a)}\left(\dot{x}_{l}^{(1)}, \ldots, x_{l}^{(N)} ; t\right) \) частицы (a). Тогда плотность \( \rho\left(x_{k}^{(1)}, \ldots, x_{k}^{(N)} ; t\right) \) и ток частицы (a) в точке \( x_{k}^{(c)} \) в момент времени \( t \), усреднённые по положениям остальных частиц, равны
\[
\left.\begin{array}{l}
\bar{p}^{(a)}=\int p d V_{1} \ldots d V^{(a-1)} d V^{(a+1)} \ldots d V^{(N)} ; \\
\bar{i}^{(a)}=\int i_{h}^{(a)} d V_{1} \ldots d V^{(a-1)} d V^{(a+1)} \ldots d V^{(N)} .
\end{array}\right\}
\]
1) M. Born, W. Heisenberg и P. Jordan, Zs. f: Phys., 35, 557, 1926.
\( \left.{ }^{2}\right) \) O. Kiein, Zs. f. Phys., 41, 407, 1927.

Средние значения скалярного потенциала \( \Phi_{0} \) и векторного потенциала \( \Phi_{k} \) в точке наблюдения \( P \) с координатами \( x_{P} \) в момент времени \( t \) по классической электродинамике, как известно, равны

Эти выражения упрощаются, если рассматривать расстояние от точки наблюдения \( P \) до точки источника \( Q \), как большое по сравнению с размерами области, в которой \( \rho^{(a)} \) и \( i_{k}^{(a)} \) заметно отличаются от нуля или, короче говоря, по сравнению с размерами системы. В волновой зоне для \( P \), рассмотрением которой мы ограничимся в этом параграфе, можно, как известно, положить
\[
r_{P Q}=R_{P}-\left(\vec{x}_{Q} \vec{n}\right),
\]

где \( R_{P} \) – расстояние внешней точки \( P \) от закреплённой точки \( O \) в системе, \( \vec{n} \) – единичный вектор в направлении от \( Q \) к \( P \), а \( \vec{x}_{Q} \) – радиус-вектор, проведённый из \( O \) в \( Q \). Чхобы быть последовательными, мы должны ограничиться в этой волновой зоне величинами, пропорциональными \( 1 / R_{P} \) как в выражениях для потенциалов, так и в соответствующих выражениях для напряжённости поля. Из (351) и (352) тогда следует
\[
\left.\begin{array}{l}
\Phi_{0}\left(x_{P} ; t\right)= \\
\left.=\frac{1}{R_{P}} \sum_{a=1}^{N} \int \tilde{\rho}(a)\left(x_{Q} ; t-\frac{R_{P}}{c}+\frac{1}{c} \vec{x}_{Q}, \vec{n}\right)\right) d V_{Q}^{(a)}, \\
\Phi_{k}\left(x_{P} ; t\right)= \\
=\frac{1}{R_{P}} \sum_{a=1}^{N} \int \frac{1}{c} \bar{i}_{k}^{(a)}\left(x_{Q} ; t-\frac{R_{P}}{c}+\frac{1}{c}\left(\vec{x}_{Q}, \vec{n}\right)\right) d V_{Q}^{(a)} .
\end{array}\right\}
\]

При переходе к напряжённостям поля следует заметить, что дифференцируя по \( \left(x_{P}\right)_{k} \), нужно \( R_{P} \) в рассматриваемом приближении считать постоянным, причём из соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x_{k, P}} \int f\left(x_{Q} ; t-\frac{r_{P Q}}{c}\right) d V_{Q}= \\
=-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \int f\left(x_{Q} ; t-\frac{r_{P Q}}{c}\right) \frac{\partial r_{P Q}}{\partial x_{k, P}} d V_{Q}= \\
=+\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \int f\left(x_{Q} ; t-\frac{r_{P Q}}{c}\right) \frac{\partial r_{P Q}}{\partial x_{k, Q}} d V_{Q}
\end{array}
\]

для волновой зоны, согласно (352), следует:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x_{k, P}} \int f\left(x_{Q} ; t-\frac{r_{P Q}}{c}\right) d V_{Q}= \\
\quad=-n_{k} \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \int f\left(x_{Q} ; t-\frac{r_{P Q}}{c}\right) d V_{Q} .
\end{array}
\]

Тогда для той части напряжённости поля, которая пропорциональна \( 1 / R_{P} \), получаем.
\[
\left.\begin{array}{l}
\vec{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \Phi}{\partial t}-\operatorname{grad} \vec{\Phi}_{0}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \Phi}{\partial t}+\vec{n} \frac{1}{c} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial t}, \\
\vec{H}=\operatorname{rot} \vec{\Phi}=-\left[\vec{n}, \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{\Phi}}{\partial t}\right] .
\end{array}\right\}
\]

В то время как \( \vec{H} \) перпендикулярно к \( n \), кажется на первый взгляд, что \( \vec{E} \) содержит и продольную, т. е. параллельную \( \vec{n} \) часть. Исходя из уравнения непрерывности для \( i^{(a)} \) и \( \bar{p}^{(a)} \), легко, однако, получить соотношение \( { }^{1} \) )
\[
\frac{1}{c} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial t}=\left(\vec{n} \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{\Phi}}{\partial t}\right),
\]

справедливое для волновой зоны. Из этого соотношения, в силу (354), следует, что продольная часть электри-
1) Это связано с тем, что благодаря уравнению непрегывности выражения (351) всегда удовлетворяют условию
\[
\text { . } \quad \frac{1}{c} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial t}+\operatorname{div} \vec{\Phi}=0,
\]

которое в волновой зоне переходит в (355).
ческого поля равна нулю
\[
(\vec{E} \vec{n})=0
\]

в волновой зоне (это означает, что ( \( \vec{E} \vec{n} \) ) исчезает с расстоянием быстрее, чем \( 1 / R_{P} \) ).

Вводя трансверсальную компоненту векторного потенциала
\[
\begin{aligned}
\vec{\Phi}_{t r} & =\vec{\Phi}-\vec{n}(\vec{\Phi})= \\
& =\frac{1}{R_{P}} \sum_{a=1}^{N} \frac{1}{c} \int \vec{i}_{t r}\left(x_{Q} ; t-\frac{R_{P}}{c}+\frac{1}{c}\left(\vec{x}_{Q}, \vec{n}\right)\right) d V_{Q}^{(a)},
\end{aligned}
\]

можно, в силу (355), переписать соотношения
в виде
\[
\vec{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{\Phi}_{t r}}{\partial t}, \quad \vec{H}=-\left[\vec{n} \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{\Phi}_{t r}}{\partial t}\right]=[\vec{n} \vec{E}]
\]

Вектор Пойнтинга равен
\[
\vec{S}=\frac{c}{4 \pi}[\vec{E} \vec{H}]=\frac{c}{4 \pi} \vec{n} E^{2}=\frac{c}{4 \pi} \vec{n} H^{2} .
\]

Мы пришли телерь к вопросу о том, как следует перенести эти результаты классической теории в квантовую механику. Ведь в квантовой механике каждое состояние системы описывается принципиально статистически, а именно с помощью какого-либо решения соответствующего волнового уравнения
\[
\psi\left(x_{1}, \ldots, x_{3 N} ; t\right)=\sum_{n} c_{n} u_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{3 N} ; t\right),
\]

где \( u_{n} \) обозначает какую-нибудь нормированную систему частных решений этого уравнения. На первый взгляд может показаться, что нужно в выражение для тока, билинейное относительно \( \psi^{*} \) и \( \psi \), прямо подставить написанное выражение для \( \psi \) и после этого построить \( \vec{\Phi}_{t \dot{r}} \) и \( \vec{E}, \vec{H} \), согласно (356) и (357), которые должны дать среднее значение (математическое ожидание) потенциала.и напряжённости поля в рассматриваемой точке. Однако измерение излучения системы отнюдь не заключается в определении среднего значения силы поля. Так, например, это последнее исчезает для стационарного состояния, ири котором \( \vec{i} \) не зависит от времени. Здесь речь идёт всегда об определении средних знччений, квадрапичных по отношению ‘ к напряжённости поля выражений. Ниже мы увидим даже, что чри процессах с ничтожной интенсивностью света, при которых играет роль лишь небольшое и вполне определённое число световых квантов, сама напряжённость поля всегда должна рассматриваться как неизмеримая величина (если пренебречь установлением тривиального факта, что среднее по времени математического ожидания напряжённости равно нулю). В действиг тельности можно, разумеется, не только измерять среднее по времени от квадрата суммарной напряжённости поля в данном месте, но и определять средние по времени значения квадратов амплитуды различных компонент Фурье \( \vec{E} \) или \( \vec{H} \), поскольку фотографические пластинки, ионизационные камеры, поглощающие атомы и другие средства для изучения света различно реагируют на различные частицы. Мы имеем в виду здесь разложение \( \vec{E} \) и \( \vec{H} \) во временной ряд Фурье
\[
\vec{E}\left(x_{P} ; t\right)=\sum_{(\omega)} \vec{E}\left(\omega ; x_{P}\right) e^{i \omega t}, \quad \vec{H}\left(x_{P} ; t\right)=\sum_{(\omega)} \vec{H}\left(x_{P} ; \omega\right) e^{i \omega t} ;
\]

сумма может быть также заменена интегралом, причём
\[
\vec{E}(-\omega)=\vec{E}^{*}(\omega), \quad \vec{H}(-\omega)=\vec{H}^{*}(\omega),
\]
т. е. для \( \omega \) и – амплитуды принимают комплексно сопряжённые значения. Мы не будем нока разбирать, сколь подробно можно проследить с помоцью измерений изменение среднего значения \( \vec{E}_{\omega}^{2} \) в пространстве. Это может, во всяком случае, иногда осуществляться в пространственных областях, малых по сравнению с длиной волны, что известно, ңапример, из опытов со стоячими световыми волнами.

Поскольку \( \vec{i} \) билинейно относительно \( \psi \) и \( \psi^{*} \), математическое ожидание любой линейной относительно компонент напряжённостей поля величины можно представить В. форме
\[
F\left(x_{P} ; t\right) \doteq \sum_{n, m} c_{n}^{*} F_{n, m}\left(x_{P} ; t\right) c_{m},
\]

—————————————————————-
0002ru_fizik_book4_bez_photo_page-0215.jpg.txt

214
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ
[ч. 1
где \( F_{n, m} \) – матричные элементы, получающиеся при подстановке \( \psi^{\bullet}=v_{n}^{*} \) и \( \psi=v_{m} \) в \( \vec{i} \). Тогда математическое ожидание \( F^{2} \) равно
\[
\begin{aligned}
\left(F^{2}\right) & =\sum_{n, m} c_{n}^{*}\left(F^{2}\right)_{n, m}\left(x_{P} ; t\right) c_{m}= \\
& =\sum_{n, m} c_{n}^{*} \sum_{l} F_{n, l}\left(x_{P} ; t\right) F_{l, m}\left(x_{P} ; t\right) c_{m},
\end{aligned}
\]

как было показано в § 7. Далее, среднее по времени математического ожидания ( \( F^{2} \) ) равно
\[
\begin{aligned}
\left.\overline{F^{2}}\right)= & \sum_{n} c_{n}^{*} \sum_{l} \sum_{\omega} F_{n, l}\left(\omega ; x_{P}\right) F_{l, m}\left(-\omega, x_{P}\right) c_{m}= \\
= & \sum_{n} c_{n}^{*} \sum_{l} \sum_{\omega>0}\left[F_{n, l}\left(\omega ; x_{P}\right) F_{l, m}\left(-\omega ; x_{P}\right)+\right. \\
& \left.\quad+F_{n, l}\left(-\omega ; x_{P}\right) F_{l, m}\left(\omega, x_{P}\right)\right] c_{m} .
\end{aligned}
\]

В этом месте возникает известная двузначность в толковании принципа соответствия, так как \( F_{n, m}\left(\omega ; x_{P}\right) \) могут быть не эрмитовыми, а в общем случае удовлетворяют только соотношению
\[
F_{n, m}^{*}(-\omega)=F_{m, n}(\omega) .
\]

Эта двузначность устраняется, если ввести особое предписание, сформулированное Клейном. Смысл этого предписания при таком способе рассмотрения неясен, однако, оно необходимо, чтобы сохранить согласие с опытом, или даже хотя бы с законом сохранения энергии при отдельном процессе излучения или рассеяния. Для волновой зоны, т. е. для области, внешней по отношению к самой излучающей или рассеивающей системе, это предписание гласит:

Предписание I: Рассматриваемую величину \( F \) следует разделить на части \( F^{(+)} \)и \( F^{(-)} \), согласно \( { }^{1} \) )
\[
F \doteq F^{(+)}+F^{(-)^{*}},
\]
1) Мы опустили здесь \( \boldsymbol{F}^{(0)}=\overline{\boldsymbol{F}} \), так как мы не интересуемся здесь статическими полями.

\( \S 15] \)
РАССМОТРЕНИЕ ПРОДЕССОВ ИЗЛУЧЕНИЯ
215
\[
\left.\begin{array}{l}
\boldsymbol{F}^{(+)}=\sum_{\omega>0} \boldsymbol{F}\left(\omega ; x_{P}\right) e^{i \omega t}, \\
\boldsymbol{F}^{(-)}=\sum_{\omega<0} \boldsymbol{F}\left(\omega ; x_{P}\right) e^{i \omega t}=\sum_{\omega>0} \boldsymbol{F}\left(-\omega ; x_{P}\right) e^{-i \omega t},
\end{array}\right\}
\]

следовательно
\[
\left.\begin{array}{l}
F_{n, m}^{+}=\sum_{\omega>0} F_{n, m}\left(\omega ; x_{P}\right) e^{i \omega t}, \\
F_{\bar{n}, m}^{-}=\sum_{\omega<0} F_{n, m}\left(\omega ; x_{P}\right) e^{i \omega t}=\sum_{\omega>0} F_{n, m}\left(-\omega ; x_{P}\right) e^{-i \omega t},
\end{array}\right\}\left(362^{\prime}\right)
\]
\( \left(362^{\prime}\right) \)
и заменить среднее по времени от математического ожидания классической величины \( F^{2} \) выражением \( 2 F^{+} F^{-} \):
\[
\overline{\left(\boldsymbol{F}^{2}\right)} \rightarrow 2 \overline{\left(\boldsymbol{F}^{+} \boldsymbol{F}^{-}\right)}
\]

и соответственно
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{F}(\omega) \boldsymbol{F}(-\omega)+\boldsymbol{F}(-\omega) \boldsymbol{F}(\omega) \rightarrow 2 \boldsymbol{F}(\omega) \boldsymbol{F}(-\omega)= \\
=2 \sum_{n, m} c_{n}^{*} \sum_{l} F_{n, l}(\omega) F_{l, m}(-\omega) c_{m} .
\end{array}
\]

Это предписание одинаковым образом применяется при излучении и при рассеянии, причём в первом случае следует подставлять для \( v_{n} \) ортогональные решения волнового уравнения невозмущённой системы, а во второмортогональные решения \( { }^{1} \) ) системы, возмущённой внешним излучением. Сама (зависящая от времени) ортогональная система остаётся пока совершенно произвольной.

В качестве применения этих общих рассуждений мы рассмотрим более подробно излучение света. Для \( v_{n} \) мы выберем решения
\[
u_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{B N}\right) e^{-\frac{i E_{n}}{\hbar} t},
\]
1) Согласно § 8, ортогональность и нормировка системы решений волнового уравнения сохраняются с течением времени и для зависящей от времени функции Гамильтона, если только она вещественна.
которые соответствуют стационарным состояниям невозмуцённой системы и зависят от времени экспоненциально. Согласно (356) патричные элементы поперечной слагающей векторного потенциала для излучённого света тогда равны
\[
\left(\vec{\Phi}_{t r}\right)_{n, m}=\frac{e^{i
u_{n} ; m^{t}}}{R} \frac{(-e)}{c} \sum_{a=1}^{N} \int \overrightarrow{\vec{i}_{i r}^{(a)}}\left(u_{n}^{*}, u_{m}\right) e^{i\left(\vec{m}_{n, m} \vec{x}^{(a)}\right)} d V^{(a)}
\]

Здесь введена частота излучения
\[
v_{n, m}=\frac{E_{n}-E_{m}}{\hbar}
\]

и волновой вектор \( \vec{k}_{n, m} \) излучённого света:
\[
\vec{k}_{n, m}=\frac{
u_{n, m}}{c} \vec{n}
\]

Множитель (-e), равный заряду электрона, введён, чтобы при решениях, нормированных к единице, установленное выше выражение для \( \vec{i} \) обозначало поток частиц. В силу (77) и (100),
\[
\begin{array}{l}
i_{k}^{(a)}\left(u_{n}^{*}, u_{m}\right) \\
=\frac{\hbar}{2 m} \int d V^{(1)} d V^{(2)} \cdots d V^{(a-1)} d V^{(a+1)} \cdots d V^{(N)} \frac{1}{i} \times \\
\times\left(u_{n}^{*} \frac{\partial u_{m}}{\partial x_{k}^{(a)}}-u_{m} \frac{\partial u_{n}^{*}}{\partial x_{k}^{(a)}}\right),
\end{array}
\]

если для простоты предположить, что постоянное магнитное поле отсутствует. В релятивистской теории мы должны будем использовать другое выражение для тока, но (364) остаётся справедливым и там. Подставляя (364) в (366), убедимся в эрмитовости матриц \( \left(\Phi_{t r}\right)_{n, m} \), причём существенно, что берутся поперечные комноненты.

Согласно (364), разложение \( \vec{\Phi} \) на \( \Phi^{(+)} \)и \( \Phi^{(-)} \)весьма просто, а именно:

—————————————————————-
0002ru_fizik_book4_bez_photo_page-0218.jpg.txt

§ 15]
РАССМОТРЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ИЗЛУЧЕНИЯ
217.
Для энергии, излучённой в направлении \( \vec{n} \) на единицу телесного угла \( d Q \) в единицу времени, мы получаем, следовательно, согласно (358), (364), (366), (367) на основании предписания (363) выражение
\[
(\vec{S})=\frac{c}{4 \pi} \sum_{m} 2\left[\vec{E}^{(+)} \times \vec{H}^{(-)}\right]_{m ; m}=\frac{e^{2}}{c^{3}} \frac{1}{4 \pi} 2 \sum_{m\left(E_{m}<E_{n}\right)}\left|C_{n, m}\right|^{2},(368)
\]

где сокращённо обозначено
\[
\begin{aligned}
\vec{C}_{n, m}=\frac{\hbar}{2 m} i \psi_{n, m} \int & d V^{(1)} \cdots d V^{(N)} \sum_{a=1}^{N} e^{i \vec{k}_{n, m}} \vec{x}^{(a)} \frac{1}{i} \times \\
& \times\left(u_{n}^{*} \frac{\partial u_{m}}{\partial x_{t r}^{(a)}}-u_{m} \frac{\partial u_{n}^{*}}{\partial x_{t r}^{(a)}}\right) .
\end{aligned}
\]

Это есть излучаемая энергия, если сначала имело место только состояние \( n \). Таким образом, то обстоятельство, что здесь приходится суммировать только по таким состояниям \( m \), для которых \( E_{m}<E_{n} \), существенно связано с особым предписанием (363). Если бы мы взяли также \( \left[E^{(-)} \times H^{(+)}\right] \), то, в противоречии с законом сохранения – энергии, получилось бы излучение, которое соответствует переходу в состояние с энергией, большей, чем энергия чачального состояния.

Если вначале имеется не только одно единственное стационарное состояние, а волновой пакет
\[
\sum_{(n)} c_{n} u_{n}
\]

то согласно (354) нужно построить следующее образование:
\[
\vec{S})=\frac{e^{2}}{c^{8}} \frac{1}{4 \pi} \sum_{n, m} 2 c_{n}^{*}\left(\sum_{l} C_{n, l} C_{l, m}\right) e^{i v} n, m^{t} c_{m},
\]

где \( E_{l}<E_{n}, E_{l}<E_{m} \). При образовании среднего по времени исчезают, однако, все члены, для которых \( \varphi_{n, m}
eq 0 \), т. е. \( E_{n} \) и \( E_{m} \) различны. Вырожденная система может, конечно, иметь несколько состояний с одінаковой энергией \( E_{n}=E_{m} \),
Упомянем также, что из (364) вытекает простое правило отбора, которое строго справедливо для произвольно коротких длин волн (мультипольное излучение). Если как в начальном, так и в конечном состоянии собственные функции инварианты относительно вращений, что согласно § 13 соответствует равному нулю моменту количества движения, то \( C_{n, m} \) обращается в нуль и вместе с тем исчезает излучение. Действительно, если вращать координатную систему вокруг оси, параллельной \( \vec{k}_{n, m} \), то в этом случае подинтегральное выражение сохраняет своё значение и свою форму; с другой стороны, благодаря дифференцированию по \( \vec{x}_{t r} \) оно преобразуется как вектор (например меняет знак при повороте на \( 90^{\circ} \) ); то и другое совместимо только при \( \vec{C}_{n, m} \), равном нулю. Скачок момента количества движения \( J \) от значения 0 к значению 0 п ри спонтанном излучении, следовательно, строго исключается. Легко видеть, что это остаётся справедливым и при учёте спина (ср. § 13), если под \( J \) понимать суммарный вращательный момент спина и орбиты. Для одного результирующего вращательного момента орбиты \( L \) это правило справедливо только лишь, когда можно пре- небречь взаимодействием орбитального момента со спиновым.

До сих пор мы не делали никаких предположений об отношении размеров системы к длине волн излучаемого света. Если это отношение мало, то собственные функции заметно отличны от нуля только при малых значениях \( \left(\vec{k}_{n, m} \vec{x}\right) \) и тогда целесообразно разложить экспоненциальную функцию \( e^{-i\left(\vec{k}_{n, m^{x}} \vec{x}^{(a)}\right)} \) в степенной ряд. Отдельные члены этого разложения соответствуют дипольному, квадрупольному, … излучениям. В частности, если заменить \( e^{-t\left(\vec{k}_{n, m} \vec{m}^{(a)}\right)} \) единицей, получается дипольное излучение. Такая замена равносильна полному пренебрежению членом \( \frac{1}{c}\left(\vec{x}_{Q} \vec{n}\right) \), учитывающим запаздывание в аргументе времени для тока. Поскольку матричные элементы координат \( \vec{x}_{n, m} \) связаны, в силу уравнения непрерывности, с матричными элементами тока соотношением
\[
i v_{n, m} \vec{x}_{n, m}=\vec{i}_{n, m}
\]
[cp. § 5 уравнения \( \left(75^{\prime}\right) \) ], для дипольного излучения можно также положить
\[
\left.\vec{C}_{n, m}\right)_{\text {дипольв. }}=-
u_{n, m}^{2} \vec{x}_{n, m}
\]

и, согласно (368), получаем
\[
\left(\vec{S}_{n, \text { дипольн. }}=\frac{e^{2}}{c^{3}} \frac{1}{4 \pi} 2 \sum_{m\left(E_{m}<E_{n}\right)} v_{n, m}^{d}\left|\vec{x}_{t r, n, m}\right|^{2} .\right.
\]

Это соотношение Гейзенберг первоначально использовал для определения матриц.

Подобным образом можно трактовать также дисперсию. Но в этом случае прежде всего необходим аппарат теории возмущений, чтобы учесть влияние внешнего поля на собственную функцию атома. Мы введём это возмущение в вычисления так, как будто бы речь шла о классическом, изменяющемся во времени, электромагнитном поле с заданной зависимостью от времени, и будем описывать его векторным потенциалом \( \Phi_{k}(x, y, z ; t) \). Разумеется; поле падающей световой волны вовсе не может быть классически измеримой величиной, однако, получаемые следствия так же, как и обсуждаемое ниже квантование поля излучения, оправдывают такой способ рассмотрения. В случае плоской волны
\[
\Phi_{k}=\varphi_{k}^{(+)} e^{i(v t \overrightarrow{-k} \vec{x})}+\varphi_{k}^{(-)} e^{-i(v t-\vec{k} x)},
\]

причём
\[
\varphi_{k}^{(-)}=\left(\varphi_{k}^{(+)}\right)^{*},
\]
т. е. \( \varphi_{k}^{(-)} \)комплексно сопряжено с \( \varphi_{k}^{(+)} \). Среднее по времени значение квадрата силы поля равно
\[
\overline{E^{2}}=
u^{2} 2 \varphi_{k}^{(+)} \varphi_{k}^{(-)}=2
u^{2}\left|\varphi_{k}\right|^{2} .
\]

Для световых волн всегда можно положить скалярный потенциал равным нулю, а векторный потенциал нормировать согласно
\[
\sum_{\mathbf{l}=1}^{3} \frac{\partial \Phi_{k}}{\partial x_{k}}=0,
\]
т. е. выбрать его трансверсальным. Тогда, согласно (97), оператор возмущений функций имеет вид \( { }^{1} \) ):
\[
\overrightarrow{\mathrm{Q}}=\frac{1}{2 m} \frac{\hbar}{i} \sum_{c=1}^{N}\left\{\frac{e}{c} 2 \sum_{k=1}^{3} \Phi_{k}\left(x^{(a)} \frac{\partial}{\partial x_{k}^{(a)}}+\frac{1}{2 m} \frac{e^{2}}{c^{2}} \sum_{k=1}^{3} \Phi_{k}^{2}\left(x^{(a)}\right)\right\} .\right.
\]

Если
\[
\vec{i}_{a, h}^{(0)}=\frac{\hbar}{2 m} \frac{1}{i}\left(\psi^{*} \frac{\partial}{\partial x_{h}^{(a)}}-\dot{\psi} \frac{\partial \varphi^{*}}{\partial x_{h}^{(a)}}\right)
\]
– невозмущённый ток, то матрица пропорциональной \( \Phi_{k} \) части возмущающей функции даётся выражением
\[
Q_{n, m}^{(1)}=\frac{e}{c}\left\{\sum_{a=1}^{N} \sum_{k=1}^{3} \Phi_{k}\left(x^{(a)}\right) \vec{i}_{k}^{(a)}\right\}_{n, m} .
\]

Далее, согласно (100), к \( \vec{i} \) добавляется член возмущения:
\[
\vec{i}_{a}^{(1)}=\frac{e}{m c} \vec{\Phi}\left(x^{(a)}\right) \psi^{*} \psi,
\]

пропорциональный \( \Phi_{k} \). Оба добавочных члена-первый в функции Гамильтона, второй в векторном потенциале-являются согласно (356) причиной появления матричных элементов векторного потенциала излучаемого света, пропорциональных амплитуде падающего света. Членов высших порядков мы здесь не касаемся \( { }^{2} \) ). (Следует только отметить, что выражение (373) для возмущающей функции сохраняется также и в релятивистской теории, несмотря на то, что оператор тока там иной; (374), напротив, там несправедливо.)

Применение аппарата теории возмущений к общей формуле (356) даёт следующее общее выражение для матричного элемента рассеянного излучения
\[
\begin{array}{l}
\left(\vec{\Phi}_{t r}\right)_{n, m}^{\prime}=\sum_{k=1}^{s}\left\{\varphi_{k}^{(+)} \vec{a}_{k ; n, m} e^{i\left(
u_{n, m}+
u\right) t}+\right. \\
\left.+\varphi_{k}^{(-)} \vec{b}_{k ; n, m} e^{i\left(
u_{n, m}-
u\right) t}\right\},
\end{array}
\]
1) Мы заменяем введённый там заряд \( e^{(a)} \) или \( e_{k} \) зарядом электрона ( \( -e \) ).
2) О проведении вычислений см. кроме цитированной работы Клейна, особенно для случая малых длин волн: I. W a \( 11 \mathrm{er}, \mathrm{Na} \) turwissensch., 15, 959, 1927; Phil. Mag., 4, 1228, 1927.

если ограничиться выражениями, линейными по отношению к потенциалу \( \Phi_{k} \) падающей волны. Величины, относяциеся к рассеянному свету, отмечены здесь штрихамй в отличие от величин, относящихся к падающему свету. Напряжённости поля получаются отсюда дифференцированием, по времени (с последующим делением на \( c \) ). В силу эрмитовости оператора Гамильтона, матрица \( \left(\vec{\Phi}_{t r}\right)_{n, m}^{\prime} \) сама тоже эрмитова; следоеательно [ср. (373)],
\[
\vec{b}_{k ; n, m}=\vec{a}_{k ; n, m}^{*}
\]

или, иначе говоря, \( \vec{a}_{k} \) не является эрмитовой матрицей, но \( \vec{b}_{k} \) есть матрица, эрмитовски сопряжённая \( \vec{a}_{k} \).

Применим теперь общее преднисание (363) для получения выражения излучённой энергии. Если начальное состояние было \( n \), то с частотой \(
u^{\prime}=
u_{n, m}+
u \) излучается энергия:
\[
\dot{S}_{n}=\left.\frac{c}{4 \pi}
u^{\prime 2} 2\left|\varphi_{k 1} \vec{a}_{k ; n, m} \vec{b}_{k ; n, m}=\frac{c}{4 \pi}
u^{\prime 2} 2\right| \varphi_{k}\right|^{2},\left.\vec{a}_{k ; n, m}\right|^{2},\left(361_{1}\right)
\]

если \(
u^{\prime}=
u_{n, m}+
u>0 \), а с частотой \(
u^{\prime}=v_{n, m}-
u \) энергия:
\[
\begin{array}{c}
S_{n}=\frac{c}{4 \pi}
u^{\prime 2} 2\left|\varphi_{k}\right|^{2} \vec{b}_{k ; n, m} \vec{a}_{k ; m, n}=\frac{c}{4 \pi}
u^{\prime 2} 2\left|\varphi_{k}{ }^{2} \vec{a}_{k ; n, m}\right|^{2},\left(362_{2}\right) \\
\text { если }
u^{\prime}=v_{n, m}-
u>0 .
\end{array}
\]

Если бы мы не применяли особых правил разделения величин на члены, пропорциональные \( e^{i \omega t} \), и члены, пропорциональные \( e^{-i \omega t}(\omega>0) \), то состояние \( m \) и состояние \( n \) ничем не отличались бы друг от друга, и для обоих состояний мы получили бы излучение \( \frac{1}{2}\left(S_{n}+S_{m}\right) \). Однако в особом случае \( n=m \), \( y=v^{\prime} \), предисание, о котором идёт речь, не даёт ничего нового, так что случай рассеяния без изменения частоты может быть рассмотрен и без применения этого предписания.

Что же касается общей формы для \( \vec{a}_{k ; n, m} \) и её обсуждения, то мы отсылаем к статье Вентцеля \( { }^{1} \) ). Укажем только на один частный случай ввиду его принципиального значения. Мы рассмотрим паддающее излучение, ча-
1) G. Wentze 1, Handb. d. Phys., 24/1, гл. 5.

стота которого \( \vee \) велика по сравнению с работой выхода электрона из системы. Можно показать, что в этом случае в (359) играют существенную роль члены, обязанные своим происхождением смешанным членам (374) тока, в то время как членами, связанными с изменением собственных функций благодаря внешнему возмущению, можно пренебречь. Согласно (356), первые члены дают следующее выражение для векторного потенциала рассеянного излучения:
\[
\begin{array}{l}
\left(\vec{\Phi}_{t r}\right)_{n, m}^{\prime}=\frac{e}{m c} \vec{\varphi}_{t r}^{(+)} e^{i\left(
u_{n, m}+v\right) t} \times \\
\left.\quad \times \sum_{a=1}^{N} \int e^{-i(\vec{K} \vec{x}}{ }^{(a)}\right)+i \overrightarrow{\left(\boldsymbol{K} \vec{x}^{(a)}\right)} u_{n}^{*} u_{m} d V^{(i)} \cdots d V^{(N)},
\end{array}
\]

где \( \vec{K} \) и \( \vec{K}^{\prime} \)-волновые векторы падающей и рассеянной световых волн:
\[
\vec{K}=\frac{v}{c} \vec{n}, \quad \vec{K}^{\prime}=\frac{
u^{\prime}}{c} \vec{n}^{\prime} .
\]

Рассмотрим несколько более общий случай, когда падающий свет с частотой \(
u \) каким-либо образом составлен из плоских волн различных направлений, и векторный потенциал его задан в виде
\[
\Phi_{k}=\Phi_{k}^{(+)}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) e^{i v t}+\Phi_{k}^{(-)}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) e^{-i v t} .
\]

Тогда вместо (376) получаем
\[
\begin{aligned}
& \left.\vec{\Phi}_{t r}\right)_{n, m}^{\prime}=\frac{e}{m c} e^{i\left(
u_{n, m}+v\right) t} \times \\
\times & \sum_{a=1}^{N} \int \vec{\Phi}_{t r}^{(+)}\left(x_{i}^{(a)}, x_{2}^{(a)}, x_{a}^{(a)}\right) e^{i\left(K^{\prime} x\right)} u_{n}^{*} u_{m} d V^{(1)} \cdots d V^{(N)} .
\end{aligned}
\]

Суммарная интеңсивность света всех частот \(
u^{\prime} \), рассеянного в одном направлеңии, если заменить \( \overrightarrow{\mathrm{K}}^{\prime} \) одним единствеңным средним значением, в силу условия полноты, может быть тогда написана в виде:
\[
\begin{array}{c}
S=\frac{1}{4 \pi} \overline{
u^{\prime 2}} \frac{e^{2}}{m^{2} c^{2}} \times \\
\times 2 \int\left|\sum_{a=1}^{N} \vec{\Phi}_{t r}^{(+)}\left(x_{1}^{(a)}, x_{2}^{(a)}, x_{z}^{(a)}\right) e^{i\left(\vec{K}^{\prime} \vec{x}^{(a)}\right)}\right|^{2} u_{n}^{*} u_{n} d V^{(1)} \cdots d V^{(N)},
\end{array}
\]
а для плоской падающей волны
\[
S=\frac{1}{4 \pi} \frac{
u^{\prime \prime}}{m^{2} c^{2}} 2 \int\left|\sum_{a=1}^{N} e^{i\left(-\vec{k}+\vec{K}^{\prime}\right) \vec{x}^{(a)}}\right|^{2} u_{n}^{*} u_{n} d V^{(1)} \cdots d V^{(N)} \cdot\left(377^{\prime}\right)
\]

В это выражение входит только плотность начального состояния \( u_{i}^{*} u_{n} \), а остальные состояния не входят вовсе. Поэтому в границах применимости этой формулы принципиально возможно измерить плотность распределения частиц в этом состоянии, применяя, например, сходящийся пучок света; интенсивность которого в одном месте много больше, чем во всём остальном пространстве. Точно так же можно с помощью исследования спектрального распределения интенсивности рассеянного света в плоской падающей волне измерить распределеңие импульсов связанных частиц в начальном соєтоянии, используя (376). Об этом была уже речь в § 2 и § 11. Однако справедливость рассматриваемых формул и вместе с .тем возможность простого и прямого определения плотности частиц в пространстве координат и в пространстве импульсов ограничивается релятивистскими поправками, которыми мы здесь пренебрегаем. Когда частота рассеянного света делается сравнимой с \( m c^{2} / \hbar \), возможность прямого определения плотности и распределения токов по многим причинам утрачивается (ср. раздел в § 5). В предыдущих рассуждениях речь шла только об излучении и рассеянии света, но не о сопровождающем эти процессы измеңении стационарных состояний атома. От полной теории, однако, следует потребовать, чтобы она давала также способ расчёта для нарастающей во времени вероятности найти атом при излучении в менее возбуждённом состояңии. Для того чтобы установить возможно ли это, мы исследуем снова влияние падающей плоской волны на атом, пользуясь возмущающей функцией (373); но будем искать в этом случае зависящее от времени решение, которое при \( t=0 \) совпадает с невозмущённым решением. Таким образом мы представим возмущённую собственную функцию в виде
\[
\text { . } \phi=\sum c_{n}(t)^{-i \frac{E_{n}}{\hbar} t} u_{n}
\]
и разложим \( c_{n}(t) \) по степеням амплитуды падаюей волны
\[
c_{n}(t)=c_{n}^{(0)}+c_{n}^{(\mathbf{1})}(t)+c_{n}^{(2)}(t)+\ldots,
\]

где \( c_{n}^{(0)} \) не зависят от времени, а \( c_{n}^{(\mathbf{1})}, c_{n}^{(2)} \) обращаются в нуль при \( t=0 \), причём верхний значок при коэффициентах \( c_{n}^{(k)} \) указывает, в какой степени в них входит амплитуда падающей волны (ср. § 10). Тогда
\[
c_{m}^{(\mathbf{1})}=i \sum_{n} T_{m, n} c_{n}^{(0)},
\]

где \( T \), как показывают вычисления, – эрмитова матрица \( { }^{1} \) ). Для плоской падающей волңы с напряжённостью поля
\[
\vec{E}=\vec{E}^{(+)} e^{i(
u t-\vec{K} \vec{x})}+\overrightarrow{E^{(-)}} e^{-i(v t-\vec{K} \vec{x})}
\]
\( T \) имеет вид
\[
\begin{aligned}
\dot{T}_{m, n}=\frac{e^{i\left(-
u_{n, m}+v\right) t}-1}{-
u_{n, m}+
u} & \vec{V}_{n, m} \vec{E}^{(+)}+ \\
& +\frac{e^{-i\left(
u_{n, m}+
u\right) t}-1}{
u_{n, m}+
u} \vec{V}_{n, m}^{*} \vec{E}^{(-)} .
\end{aligned}
\]

Матрица \( V_{n, m} \) здесь не обязательно эрмитова. Особый интерес представляет здесь поведение решений при резонансе, т. е. при таких \(
u \), когда один из зңаменателей в (379) исчезает ( \(
u=-
u_{n, m}=v_{m, n} \) или \(
u=
u_{n, m} \) ). Это приводит к таким членам в \( \left|c_{m}^{(1)}(t)\right|^{2} \), которые после суммирования по малому интерва.ту \( v \) линейно возрастают со временем. Эти члены равны (остальные опускаем):
\[
\begin{aligned}
\left|c_{m}^{(1)}(t)\right|^{2}= & c_{m}^{*(1)}(t) c_{m}^{(1)}(t)= \\
= & \sum_{n}\left|\frac{e^{i\left(-
u_{n}, m+v\right) t}-1}{-
u_{n, m}+
u}\right|^{2}\left(\vec{V}_{m, n}^{*} \vec{E}^{(-)}\right)\left(\vec{V}_{m, n} \vec{E}^{(+)}\right)+ \\
& +\sum_{n}\left|\frac{e^{i\left(
u_{n, m}+
u\right) t}-1}{
u_{n, m}+
u}\right|^{2}\left(\vec{V}_{n, m} \vec{E}^{(+)}\right)\left(\vec{V}_{n, m}^{*} \vec{E}^{(-)}\right) .
\end{aligned}
\]

Мы получаем в точке резонанса \(
u=v_{n, m} \) (энергия конечного состояния меньше энергии начального) после сум-
‘) Cp. G. Wentze1, Handb. d. Phys., 24/I, Kap. 5.
мирования по »
\[
\left|c_{m}^{(1)}(t)\right|^{2}=t \cdot B_{m \rho_{v}}^{n},
\]

где \( B_{m}^{n} \) зависит ещё от направления и поляризации падающей волны. Аналогично при \(
u=v_{m, n} \) (эңергия конечного состояния больше энергии начального)
\[
\left|c_{m}^{(1)}(t)\right|^{2}=t \cdot B_{n}^{m} \rho_{
u},
\]

где \( \rho_{
u} \)-плотность энергии падающего излучения. Первый случай соответствует индуцированному излучению, второй-поглощению. Спонтанное излучение при этом не получается. Чтобы получить его, нужно ввести новое, на первый взгляд произвольное предписание, аналогичное предписанию I.

Предписание II. Нужно формально записать \( \left|c_{m}^{(1)}(t)\right|^{2} \) с последовательностью множителей \( \boldsymbol{c}_{m}^{*(\mathbf{1})} c_{m}^{(\mathbf{1})} \) и обратить внимание на последовательность множителей \( E^{(+)} \)и \( E^{(-)} \); смешанные члены, в которых \( E^{(+)} \)стоит впереди \( E^{(-)} \), нужно отбрасывать и сохранять члены, в которых \( E^{(-)} \)

Оправдание введённых здесь ad hoc предписаний получается только из квантоваңия электромагнитного поля по Дираку. С другой стороны, уже предписания I достаточңо для того, чтобы иметь возможность обсудить без противоречий интерференционные опыты и вопросы когерентности. Это будет показано в следующем параграфе.