Открытие волн материи де-Бройлем ${}^2$ ), матричной механики Гейзенбергом ${}^8$ ) и общее волново-механическое дифференциальное уравнение Шредингера ${}^4$ ), позволившее установить связь между этими двумя воззрениями, произвели последний, решающий поворот в квантовой теории. Принцип неопределённости Гейзенберга ${}^5$ ) и примыкающие к нему принципиальные пояснения Бора ${}^{\circ })$ завершили предварительное построение основ теории.

Эти основы непосредственно связаны с двойственной (корпускулярной и волновой) природой света и материи и приводят к давно (но тщетно) искавшемуся решению задачи непротиворечивого и полного описания относящихся сюда явлений. Это решение приобретается ценой отказа от однозначной объективируемости (Objektivierтеории, ОНТИ, 1932; N. B oh r, Atom theorie und Naturbeschreibung, Berlin, 1931; Solvay-Kongress, 1927; Л. де-Б ройль, Введение в волновую механику, ОНТи, 1934; Е. Schrödinger, Vorlesungen über Wellenmechanik, Berlin, 1928.
2) L. de Brogli e, Ann. d. phys. (10), 3, 22, 1925 (Théses, Paris, 1924); A. Einstein, Berl. Ber., 1925, стр. 9.
3) W. He isenberg, $z$. S.t. Phys., 33, 879,$1925;$ M. B or $n$ u. P. Jordan, ibid., 34, 858, 1925; M. Born, W. Heisenberg u. P. Jord an, ibid., 35, 557, 1926; P. A. M. Dir ac, Proc. Roy. Soc., London, 109, 642, 1925.
4) E. S chrödinger, Ann. d. Phys. (4), 79, 361, 489, 734, 1926; 80, 437, 1926; 81, 109, 1926. То же в Abhandlungen der Wellenmechanik. Berlin, 1927.
5) W. Heisenberg, Z. S. f. Phys., 43, 172, 1927.
o) N. Boh r, Naturwissensch., 16, 245, 1928 .

barkeit) процессов природы, т. е. от классического пространственно-временного и причинного описания природы, которое существенным образом покоится на однозначной разделимости явления и средств его наблюдения.

Чтобы напомнить об обычных трудностях, которые возникают при одновременном использовании понятий о волнах и квантах света, рассмотрим в качестве примера точечный, приближённо монохроматический источник света, установленный против диффракционной решётки (разрешающая способность которой для простоты принимается бесконечно большой). Согласно волновой теории, свет, диффрагированный решёткой, может попадать только на вполне определённые места, которые соответствуют разностям хода в целое число волн для пучков света, исходящих от отдельных штрихов решётки. Мы можем принять на основании принципа суперпозициu, подтверждаемого чрезвычайно большим числом опытных данных; что этот вывод волновой теории соответствует действительности; он остаётся справедливым (что характерно для таких явлений) также и для произвольно слабых интенсивностей падающего излучения, а следовательно, и для отдельного излучающего атома. С корпускулярной точки зрения явление протекает так: сначала в светящемся атоме происходит эмиссия света, затем (через промежуток времени, необходимый для распространения света) на диффракционной решётке происходит процесс рассеяния, связанный с наблюдаемой отдачей импульса, и, наконец, в определённом месте свет поглощается. Как уже говорилось выше, свет позади решётки может попадать только на такие места, которые соответствуют дискретным (вычисляемым по волновой теории) направлениям диффрагированного кванта. Это обстоятельство зависит от наличия всех атомов диффракционной решётки. Если теперь предположить, что возможно также установить, не изменяя при этом характера явления диффракции, то место диффракционной решётки, на которое попадает световой квант, то это приведёт к непреодолимым трудностям. Поведение светового кванта должно в каждый момент определяться положением всех вообще существующих атомов. Однако

прежде всего в этом случае недостаточно задание классического волнового поля, чтобы предсказать дальнейшее статистическое поведение кванта .. Именно нельзя; как ещё будет пояснено, построить волновое поле так; чтобы его интенсивность по всей решётке, за исключением одного единственного её штриха, обращалась бы в нуль и, кроме того, чтобы в нём были представлены только определённые направления рассеянных лучей. С помощью волнового поля можно осуществить либо только то, либо только другое свойство. Чтобы избежать противоречия с принципом суперпозиции, необходимо поэтому потребовать: констатирование того, что световой квант попал на определённый штрих рещётки и что на остальные штрихи он не попал, исключает влияние этих штрихов на наблюдаемое позади решётки диффракционное явление; последнее должно быть таково, как если бы существовал только один этот штрих.

Это требование, конечно, не связано специальным видом диффракционного опыта, но может быть обобщено и для любого интерференционного опыта. Последние всегда основаны на том, что световые волны, прошедшие различные пути и вследствие этого обладающие разностью фаз, снова встречаются в одном месте. Надо постулировать, что утверждение о выборе световым квантом в определённом случае какого-нибудь одного из этих путей исключает возможность наблюдения интерференционной картины, вычисленной по воліновой теории (см. § 16).

Как уже упоминалось, это требование содержится в другом, более общем, которое-мы можем сформулировать следующим образом: все (возможно только статистические) свойства других (предшествующих или последуюших) результатов измерений над световым-квантом, которые могут быть выведены из знания какогонибудв одного результата измерения, должны однозначно устанавливаться заданием определённого волнового поля, относящегося к этому результату измерения. На это волновое поле накладывается требование, чтобы его можно было всегда составить наложеңием (суперпозицией) плоских волн различного направления и длин волн. В этих случаях говорят $\sigma$ волновом пакете,

Ещё не анализируя более точно возможные результаты измерений, касающиеся светового кванта, мы можем сказать, что знание того, что световой квант находится в определённой пространственно-временной области, должно выражаться в соответствующем ему волновом пакете в том, что волновые амплитуды заметно отличны от нуля лишь внутри соответствующей пространственно-временной области. Запишем плоскую волну с комплексной фазой в виде:
$$e^{i({\mathrm{\Sigma }}^k{x}_i-\omega t)}$$

где вектор $\overrightarrow{k}$ с компонентами ${\dot{k}}_i$ имеет направление нормали к волне и абсолютную величину $2\pi /\lambda$. В дальнейшем мы будем его называть волновым вектором волны. Величины $\omega$ и $u$ будут обозначать соответственно круговую частоту и число колебаний, помноженное на $2\pi$. Частота $\omega$ есть функция от $k_1,k_2,k_3$, однозначно определённая природой волн. Например, для электромагнитных волн в вакууме просто:
$$\sum _i{k}_i^2=\frac{{\omega }^2}{c^2},$$

где $c$ означает универсальную постоянную-скорость света в вакууме. Важно заметить, что следующие заключения не зависят от опециального вида функции $\omega \left(k_1{k}_1{k}_3\right)$. Для произвольного волнового поля можно каждую компоненту какой-либо напряжённости поля представить в виде
$$u(x_i,t)=\int A(\overrightarrow{k})e^{i(\sum ^k{x}_i-\omega t)}d{k}_{1}d{k}_{2}d{k}_3,$$

где $\mathit{A}(\overrightarrow{k})$ обозначает функцию от $k_1,k_2,k_3$. Путём простых выкладок можно показать следующее: если $u(x_i,t)$ для фиксированного момента времени заметно отлично от нуля только внутри пространственной области с размерами $\mathrm{\Delta }{x}_1,\mathrm{\Delta }{x}_2,\mathrm{\Delta }{x}_3$, и одновременно $A(\overrightarrow{k})$ отлично от нуля только внутри области « $\overrightarrow{k}$-пространства» с размерами $\mathrm{\Delta }{k}_1,\mathrm{\Delta }{k}_2,\mathrm{\Delta }{k}_3$, то три произведения $\mathrm{\Delta }{x}_i\mathrm{\Delta }{k}_i$ не могут быть произвольно малыми, а должны быть, по край-
ней мере, порядка единицы:
$$\mathrm{\Delta }{x}_i\mathrm{\Delta }{k}_i\sim 1.$$

О количественном уточнении этого положения и о его доказательстве речь будет позже. Аналогичное положение относится к продолжительности интервала времени $\mathrm{\Delta }t$, в течение которого заметно отлично от нуля $u(x_i,t)$ для фиксированной точки пространства $x_1,x_2,x_3$, и к размерам интервала частот $\mathrm{\Delta }\omega$, соответствующего упомянутой области $\overrightarrow{k}$-пространства, внутри которой $A(\overrightarrow{k})$ заметно отлично от нуля. Здесь также
$\mathrm{\Delta }\omega \mathrm{\Delta }t\sim 1$.

Из условия (4) непосредственно следует, что в случае волнового пакета с шириной порядка расстояния между двумя штрихами решётки, угловая ширина рассеянного пучка лучей так велика, что она охватывает (по крайней мере) два следующих друг за другом диффракционных максимума, и диффракционная картина становится совершенно смазанной.

Так как измерения, касающиеся светового кванта, осуществляются всегда посредством взаимодействия кванта с материальными телами, то условия (4) и (4′), которые существенны для непротиворечивого проведения корпускулярных представлений при явлениях интерференции, позволяют, обратно, делать некоторые заключения о материальных телах. Понятие о световых квантах вводится для расчёта обмена энергией и импульсом между светом и материей (веществом). В предположении, что законы сохранения импульса и энергии при этом обмене строго выполняются, — а только этими законами энергия и импульс определяются вообще-мы получаем, как известно, что обмен будет описываться правильно, если наделить световой квант энергией $\hslash \omega$ и импульсом $\overrightarrow{p}$ в направлении его распространения с абсолютной величиной $\hslash \frac{\omega }{c}$. Здесь $\hslash$ обозначает универсальную постоянную Планка $\hslash$, делённую на $2\pi$.

Принимая во внимание определение вектора $\overrightarrow{k}$ и соотношение (2), это можно записать так:
$$\overrightarrow{p}=\hslash \overrightarrow{k},E=\hslash \omega .$$

Соотношения (4) и (4′) приводят к следствию, что положение светового кванта в фиксированный момент времени не может быть определено совместно с импульсом, а энергия совместно с моментом времени, в который световой квант проходит определённое место, и что справедливы следующие выражения:
$$\mathrm{\Delta }{p}_i\mathrm{\Delta }{x}_i\sim \hslash ,\mathrm{\Delta }E\mathrm{\Delta }t\sim \hslash .$$

Это и есть соотношения неопределённости, установленные впервые Гейзенбергом; приведённый здесь вывод их принадлежит Бору. Взаимодействие кванта света с материальным телом происходит (например, при процессе рассеяния), когда они совпадают в пространстве и времени, т. е. когда интервалы $\mathrm{\Delta }x$ и $\mathrm{\Delta }t$ для обоих одинаковы. Если бы значения $p_i$ и $E$ для материального тела до и после взаимодействия было возможно измерить точнее, чем это соответствует условию (II), то можно было бы с помощью законов сохранения получить более точное [чем по условию (II)] значение $\mathrm{\Delta }{p}_i$ и $\mathrm{\Delta }E$ для светового кванта. Если же считать строго справедливыми условия (II) для светового кванта и законы сохранения энергии и импульса для его взаимодействия с материальными телами, то эти соотноиения неопределённости должны иметь всеобщее значение и выполняться не только для световых квантов, но также и для материальных тел любого вида (как для электронов и протонов *), так и для макроскопических тел).

Простейшая интерпретация этого общего ограничения применимости классических представлений о корпускулах, қ которому мы таким образом приходим, состоит в предположении, что обычная материя **) также обладает волновыми свойствами, причём волновой вектор и частота волны определяются соотношением (I), которое отныне постулируется как универсальное. Наличие дуализма волн и частиц и справедливость выражения (I) для материu составляет как раз содержание гицотезы де-Бройля
*) В момент написания книги лишь эти частицы и были известны.
**) Отметим во избежание недоразумений, что термин мматерия» Паули всюду употребляет в смысле физического тела, обладающего инертной массой.

о волнах материи, которая получила столь блестящее подтверждение в опытах по рассеянию заряженных и незаряженных материальных лучей на кристаллической решётке.

Необходимость универсального дуализма волн и корпускул для общего непротив оречивого описания явлений хорошо иллюстрируется на- рассмотренном выше примере диффракции светового кванта на решётке. Можно было бы сначала придумать такой способ определения места столкновения кванта с решёткой: представим себе отдельные части решётки подвижными друг относительно друга и установим, которая из этих частей испытает отдачу светового кванта, и тогда будем считать световой квант попавшим в неё. Такое опытное определение в действительности возможно, но, однако, неверно было бы думать, что теперь явление диффракции будет таким же, как и в том случае, когда части решётки жёстко связаны друг с другом. Во-первых, импульс той части решётки, о которой идёт речь, до столкновения со световым квантом должен быть определён с неточностью, меньшей, чем переданный световым квантом импульс отдачи, для того чтобы последний был наблюдаем. Но тут проявляется волновая природа подвижной части решётки, и отсюда следует, согласно (II), неопределённость положения подвижных частей решётки друг относительно друга. Эта неопределённость будет как раз такого порядка, что получающееся в результате явление диффракции будет таким, как если бы существовала только затронутая световым квантом часть решётки.

Всё, что до сих пор сказано о диффракции световых квантов, справедливо также для диффракции волн материи. Только связь между волновым числом и частотой; которая в случае световых волн давалась соотношением (2), для волн материи будет другой. Согласно релятивистской механике между энергией и импульсом материальной точки существует соотношение
$$\frac{E^2}{c^2}=m^2{c}^2+\sum _{i}pl$$

где $m$ — масса покоя частиц.

Согласно (I) отсюда следует для волн
$$\frac{{\omega }^2}{c^2}=\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}+\sum _i{k}_i^2=\frac{{\omega }_0^2}{c^2}+\sum _i{k}_i^2$$

где
$${\omega }_0=\frac{m{c}^2}{\hslash }:$$

Связь (I) между энергией и частотой, а также между импульсом и волновым вектором релятивистски инвариантна, так как и $({\overrightarrow{p}}_i,i\frac{E}{c})$ и $(\overrightarrow{k},i\frac{\omega }{c})$ образуют компоненты четырёхмерного вектора: соотношения (5) и (5′) тоже инвариантны. Для $m=0(5)$ и (5′) переходят в соответствующие законы для энергии и импульса светового кванта.

Не только энергия и импульс, но также и скорость частицы может быть связана с простой характеристикой волны, отнесённой к частице. Скорость частицы, как показал де-Бройль, равна групповой скорости волн. Действительно, эта скорость определяется из соотношения ${}^1$ ):
$$dE=\sum _i{v}_{i}d{p}_i$$

или
$$v_i=\frac{\partial E}{\partial p_i}$$

причём групповая скорость определяется выражением
$$v_i=\frac{\partial \omega }{\partial k_i}.$$

Согласно (I) оба выражения совпадают. Это обстоятельство существенно потому, что когда можно пренебречь эффектом диффракции, волновые пакеты движутся вдоль классических механических траекторий, а следовательно,
1) Заметим, что это выражение для групповой скорости даёт правильную связь между фазовой и лучевой скоростями и в случае диспергирующего кристалла. Хотя волновая нормаль и луч здесь направлены неодинаково и $\overrightarrow{v}$ не параллельно $\overrightarrow{k}$, но выражения $\left(7^{\wedge }\right)$ здесь таюе справедливы.

в рассматриваемом здесь случае свободного движения по прямым линиям (см. § 4). Если выполняется соотношение (5), то имеем:
$$r_i=\frac{\partial E}{\partial p_i}=\frac{c^2{p}_i}{E}.$$

Таким образом, $p_i=\frac{E}{c^2}{v}_i$ и, подставляя эти выражения в (5), получаем хорошо известные выражения для энергии и импульса через скорость
$$\begin{array}{rl}\frac{E^2}{c^2}(1-\frac{v^2}{c^2})& =m^2{c}^2,\\ E& =\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\\ p_i& =\frac{m{v}_i}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\}.$$

В нерелятивистском случае, очень важном для дальнейшего, когда $|p|\ll mc$, получается:
$$\frac{E}{c}=\sqrt{m^2{c}^2+\sum _i{p}_i^2}=mc(1+\frac{1}{2m^2{c}^2}\sum _i{p}_i^2)$$

или
$$E=m{c}^2+\frac{1}{2m}\sum _i{p}_i^2$$

и, таким образом,
$$\omega ={\omega }_0+\frac{\hslash }{2m}\sum _t{k}_i^2.$$

Заметим ещё (о чём подробнее см. часть II, § 2), что, в согласии с опытом, мы здесь взяли положительный знак для $E$ и ю, однако формально можно было бы также положить:
$$E=-(m{c}^2+\frac{1}{2m}\sum _i{p}_i^2).$$

Если мы ограничиваемся первым выбором знака, то целесообразно перенесением начала отсчёта энергии ввести
$$E^{\prime }=E-m{c}^2,{\omega }^{\prime }=(\omega ){\omega }_0.$$

Тогда имеем
$$\begin{array}{rl}{E}^{\prime }& =\frac{1}{2m}\sum _i{p}_i^2,\\ {\omega }^{\prime }& =\frac{\hslash }{2m}\sum _i{k}_i^2\\ v_i& =\frac{p_i}{m}=\frac{\hslash k_i}{m},\end{array}\}$$

и, таким образом,
$$\lambda =\frac{2\pi }{|k|}=\frac{2\pi \hslash }{mv},$$

где $v$ обозначает скорость. Это есть известная формула для длины материальных волн, установленная де-Бройлем.

Соотношения неопределённости (II) для материи показывают, что уже в случае отсутствия сил классическая кинематика материальной точки не может применяться неограниченно. Эти соотношения содержат утверждение, что каждое точное знание местоположения частицы имеет одновременно следствием не только незнание, но и принципиальную неопределённость импульса и наоборот. Различие между (принципиальной) неопределённостью и незнанием имеет решающее для всей квантовой теории значение. Это можно более подробно пояснить на примере одного опыта. Пусть световой квант может проходить через два отверстия и создавать на расположенном за ними экране диффракционную картину (в статистическом среднем, при частом повторении опытов). В этом случае неизвестно, через какое именно отверстие пролетел световой квант. Если же имеется опытное устройство *), при котором для светового кванта
*) Здесь имеется в виду опыт, при котором попеременно открывается то одно отверстие, то другое, причём наблюдатель не может знать, какое именно отверстие открыто в данный момент. (Прим. перев.)

наверняка открыто только одно отверстие, то мы говорим: неизвестно, через какое отверстие пролетел световой квант. Очевидно, в последнем случае диффракционная картина получается путём сложения интенсивностей диффракционных картин от одного отверстия, возможно только без учёта множителя пропорциональности. Обобщая, мы можем сказать: $n$ ри неопределённости некоторого свойства системы определённого устройства (при определённом состоянии системы) всякая попытка измерить это свойство уничтожает (по крайней мере частично) влияние прежних сведений о системе на (статистические) высказывания о позднейших возможных результатах измерений. Поэтому мы имеем право сказать, что в этом случае измерение приводит систему в новое состояние. При этом, впрочем, часть влияния, оказанного на систему измерительным аппаратом, остаётся сама опять неизвестной.

Таким образом, для определения положения частицы и её импульса должны быть использованы взаимно исключающие опытные устройства. Для измерения положения сушествуют пространственно фиксированные аппараты (масштабы часы, диафрагмы), на которые переносится неопределенная часть импульса; последнее делает невозможным точное иространственно-временное следование за частицей. Не помогает делу и предварительное определение положения частицы. Воздействие на систему аппаратом, измеряющим импульс (положение) таково, что в границах, даваемых соотношением неопределённости, использование прежних знаний положения (импульса) теряет своё значение для предсказания результатов более поздних измерений положения (импульса). Когда из подобного рода соображений использование одного классического понятия исключает другое, мы, согласно Бору, называем оба эти понятия дополнительными; таковы, например, координата и импульс частицы. По аналогии с термином «теория относительности» можно поэтому назвать современную квантовую теорию «теорией дополнительности».

Мы увидим, что эта «теория дополнительности» не имеет аналога в классической теории газов, которая
общие приндипи волновой механикн
2

также оперирует со статистическими закономерностями ${}^1$ ). Именно газокинетическая теория не содержит утверждений (справедливых прежде всего благодаря конечности величины кванта действия), что вследствие измерений системы добытые о ней предшествующими измерениями сведения, при известных условиях, утрачиваются, т. е. не могут быть больше использованы. (Это высказывание обусловливает, впрочем, также существенное отличие новой теории от прежней теории Бора, Крамерса, Слэтера.) Как уже упоминалось, тем самым утрачивается однозначная объективность физических явлений и вместе с тем возможность их причинного пространственно-временного описания (см. §9). Если эти явления вообще подлежат оиисанию, то должен быть сделан произвольный внешний по отношению к описываемой (наблюдаемой) системе, совершаемый во время наблюдения выбор того, где следует отделить средства наблюдения от явления (см. § 9).

В дальнейшем должно быть изложено, как при таком положении дел могут быть непротиворечиво установлены статистические характеристики состояния и статистические закономерности.