Из решений обобщённого волнового уравнения
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial_{\uparrow}}{\partial t}=\boldsymbol{H}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q}, q\right) \psi
\]

особый интерес представляют те решения, для которых как плотность \( \psi \” \psi \), так и плотность тока не зависят от времени. При этом мы всюду предполагаем, что входящие в \( \boldsymbol{H} \) значения полей \( \boldsymbol{V}, \Phi_{k} \) не содержат времени явно. Рассматриваемые решения соответствуют тогда так называемым стационарным состояниям системы. Поскольку \( \psi^{*} \psi \) и \( \psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}-\psi \frac{\partial \psi^{*}}{\partial q_{k}} \) не зависят от времени, \( \psi \) должно иметь форму:
\[
\psi=u(q) e^{-i f(t)},
\]

где \( u \) не зависит от \( t \), а \( f \) не зависит от \( q \). Из (62) следует далее:
\[
\hbar \frac{\partial f}{\partial t} u(q)=\boldsymbol{H}[u(q)],
\]

что возможно только в том случае, если \( \frac{\partial f}{\partial t} \) не зависит от времени. Мы можем, следовательно, положить
\[
\begin{array}{c}
\psi_{E}=u(q) e^{-\frac{i}{\hbar} E t}, \\
H\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q}, q\right) u=E u .
\end{array}
\]

Мы имеем здесь, следовательно, однородное линейное дифференциальное уравнение, которое содержит один параметр. Такие дифференциальные уравнения, как известно, не всегда имеют регулярные решения при любых значениях \( E \), и потому возникает проблема собственных значений. Для того чтобы установить условия регулярности для проблемы \( { }^{2} \) ), мы будем исходить из уравнения
\[
\int v^{*}(\boldsymbol{H} u) d q=\int u(\boldsymbol{H} z)^{*} d q
\]
1) Єр. J. v. Ne um ann, Gött. Nachr. 1927, crp. 1. Этот вопрос был позже рассмотрен G. Jaf fé, Z. S. f. Phys., 66, 770, 1930. Однако, нам представляется, что в цитированной работе Неймана даётся наиболее общее решение вопроса.

справедливого для двух любых функций \( u \) и v. От функций, допустимых в качестве решений (123), мы должны потребовать, чтобы эта «эрмитовость» или «комплексная самосопряжённость» оператора \( \boldsymbol{H} \) не нарушалась особыми точками. В частности, (124) должно быть справедливо, когда одна из функций иррегулярна. Об области изменения \( q \) и функции \( u \) могут быть сделаңы ещё весьма общие предположения. [B общем случае можно подразумевать под \( d q \) дифференциал объёма \( p(q) d q_{1} d q_{2} \ldots d q_{f} \) с соответствуюцей весовой функцией \( \rho(q) \) ]. Например, при вращении твёрдого тела речь может итти об угловых переменных, которые изменяются только от 0 до \( 2 \pi \) или от 0 до \( \pi \). Речь может итти также о функциях ограниченного интервала [например \( (-1,+1)] \), которые на коңцах иңтервала принимают одинаковые значения, или о функциях, определённых в полупространстве \( (0, \infty) \), которые должны исчезать при \( q=0 \). Равенство (124) должно всегда выполняться в области функций, ограниченной условиями регулярности и краевыми условиями. При этом, однако, не обязательно, чтобы \( u \) и \( v \) были повсюду регулярны. \( \psi \” \psi=u u^{*} \) имеет значение плотности вероятности; поэтому нужно также потребовать, чтобы интеграл
\[
\int u u^{*} d q
\]

существовал (т. е. имел конечное значение) по всей области изменения \( q \). Во многих случаях эти требования определяот дискретные собственные значения \( E \). В случае непрерывных собственных значений требование (125) должно быгь несколько смягчено, что легко увидеть на примере свободных частиц. Одним из решений уравңения
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta u=E u
\]

является плоская волна
\[
u_{p_{1}, \ldots, p_{f}}=e^{\frac{i}{\hbar}\left(p_{1} q_{2}+\cdots+p_{f} q_{f}\right)}
\]

где \( p_{1}, \ldots, p_{f} \) рассматриваются как постоянные интегрирования. Для этих плоских волн условие (125), очевидно, не выполняется. Действительно, плоские волны

представляют собой физически особый предельный случай, так как здесь вероятность нахождения частицы вне определённого конечного объёма в бесконечное число раз превышает вероятность нахождения её внутри конечного объёма; только отношение вероятностей нахождения частиц в двух различных коңечных областях пространства имеет определённое значение \( { }^{1} \) ). Как уже было показано в § 2, эта особеңность исчезает, если рассматривать волновые пакеты. Если образовать функцию \( \bar{u} \) с помощью интегрирования по конечной, но сколь угодно малой области \( p \)-пространства:
\[
\bar{u}_{p_{h}^{\prime}, p_{k}^{\prime \prime}}=\int_{p_{k}^{\prime}}^{p_{k}^{\prime \prime}} d p_{1} \ldots d p_{f} u_{p_{1}, \ldots, p_{f}},
\]

то интеграл от \( \bar{u} \bar{u} * \) по всему \( q \)-пространству существует. обобщая условие (125) на случай собственных функций, зависящих непрерывно от нескольких параметров \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \). (обозначим их сокращённо \( \lambda \) без индекса), мы будем требовать, чтобы для
\[
u_{\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}}=\int_{\lambda^{+}}^{\lambda^{*}} u_{\lambda}(q) d \lambda
\]
(где \( d \lambda \) введеңо, как сокращеңие \( d \lambda_{1} d \lambda_{2} \ldots d \lambda_{n} \) ) существовал интеграл
\[
\int \bar{u}_{\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime}}(q) \bar{u}_{\lambda^{\prime} \lambda^{\prime \prime}}(q) d q .
\]

Только эти «элементарные пакеты» \( \bar{u}_{\lambda^{\prime}} \lambda^{*} \) должны удовлетворять условиям (124) для всего \( q \)-пространства.

Nожно найти единую формулировку для дискретных и непрерывных собственных значений, полагая
\[
\vec{u}_{\lambda}=\int_{\lambda_{0}}^{\lambda} u_{\lambda}(q) d \lambda+\sum_{p=\lambda_{1}}^{\lambda_{n}} u_{p}(q),
\]

где интегриғование выполияется по непрерывным собственным значениям, лежащим в интервале \( \lambda_{0} \leqslant \lambda^{\prime}<\lambda \), а сумма берётся по всем дискретным собственным значениям \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n} \), лежащим в этом интервале, так что \( \bar{u} \lambda \) может изменяться скачкооб-
Э. С. также П. А. М. Ди рак, Основы квантовой механики.

разно. Для всякой непрерывной функции \( f(\lambda) \) существует интеграл стильтьеса
\[
\int_{\lambda_{0}}^{\lambda} f(\lambda) d \bar{u}_{\lambda}=\int_{\lambda_{0}}^{\lambda} f(\lambda) u_{\lambda}(q) d \lambda+\sum_{p=\lambda_{1}}^{\lambda_{n}} u_{p} f\left(\lambda_{p}\right),
\]

и функцию \( \bar{u}_{\lambda} \), могущую изменяться скачкообразно при изменении \( \lambda \), можно охарактеризовать (совершенно независимо от существования \( u_{\lambda} \) ) с помощью уравнения
\[
\left(\boldsymbol{H} \bar{u}_{\lambda^{\prime \prime}}\right)-\left(\boldsymbol{H} \bar{u}_{\lambda^{\prime}}\right)=\int_{\lambda^{\prime}}^{\lambda^{\prime \prime}}\left[\boldsymbol{H} d \bar{u}_{\lambda}\right]=\int_{\lambda^{\prime}}^{\lambda^{*}} E(\lambda) d \bar{u}_{\lambda^{\prime}},
\]

которое является обобщением (123). Дискретные значения \( E_{1} \), \( E_{2}, \ldots \) предс́тавляют собой значения \( E \) в точках разрыва \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \)

Чгобы исследовать совместимые с (124) особенности функций \( u \) и \( v \), нужно вернуться к уравнению
\[
-\int\left[v^{*}(\boldsymbol{H} u)-u(\boldsymbol{H} v)^{*}\right] d q=\oint i_{N}\left(v^{*}, u\right) d f,
\]

которое получается из уравнения непрерывности
\[
v^{*} \boldsymbol{H} u-u(\boldsymbol{H} v)^{*}=\operatorname{Div} \vec{i}\left(v^{*}, u\right)
\]

при интегрировании по конечному объёму в \( q \)-пространстве. При этом \( \vec{i}\left(v^{*}, u\right) \) формально получается из обычной плотности тока \( \vec{i}\left(\psi^{*}, \psi\right) \) путём замены \( \psi^{*} \rightarrow v^{*}, \psi \rightarrow u \); Div определяется в \( f \)-мерном пространстве; поверхностный интеграл в первой части (128) берётся по замкнутой поверхности, ограничиваюшей область \( v ; i_{N} \) означает компоненту \( \vec{i} \) в направлении внешней нормали к граничной поверхности. В частности, если в левой части (128) стоит одномерный интеграл, то правая часть (128) вырождается в разность значений \( i \) на границах области интегрирования \( q_{1}, q_{2} \). В тех случаях, когда входящие в \( \boldsymbol{H} \) потенциальные функции имеют особые точки, следует потребовать, чтобы в уравнении (128) интеграл по поверхности, окружающей особую точку, можно было сделать сколь угодно малым.

Отсюда легко вытекает для различных случаев следующее:

a) Пусть дана одномерная задача с гамильтоновой функцией
\[
\frac{1}{2 m}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{d}{d x}-\frac{e}{c} \Phi(x)\right)^{2}+V(x) .
\]

В точке \( x_{0} \) нарушается непрерывность \( \Phi(x) \) или \( V(x) \), или обеих функций. Так как в этом случае
\[
\begin{aligned}
i\left(v^{*}, u\right)=\frac{1}{2 m}\left[v^{*}\right. & \left(\frac{\hbar}{i} \frac{d u}{d x}-\frac{e}{c} \Phi(x) u\right)- \\
& \left.-u\left(\frac{\hbar}{i} \frac{d v^{*}}{d x}-\frac{e}{c} \Phi(x) v^{*}\right)\right],
\end{aligned}
\]

следует потребовать

Это должно вынолняться для всех рассматриваемых функций, в том числе и для \( v(x) \).
b) Пусть для одной частицы в обычном пространстве \( V \) имеет особенность. Интеграл \( \oint i_{N} d f \) по сфере вокруг начала координат имеет вид
\[
r^{2} \int\left[v^{*}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial u}{\partial r}-\frac{e}{c} \Phi_{r} u\right)-u\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial v^{*}}{\partial r}-\frac{e}{c} \Phi_{r} 2^{*}\right)\right] d Q .
\]

Пусть все функции \( v, u \) могут быть представлены в форме \( \bar{v} / r^{\alpha}, \bar{u} / r^{\alpha} \), где \( \vec{u} \) и \( \bar{v} \) регулярны в начале координат (в частности, они могут быть равными нулю, однако, это требование не обязательно). Тогда, как легко видеть, необходимо потребовать \( 2-2 x>0 \), т. е. \( \alpha<1 \), для того чтобы интеграл \( \int i_{N} d f \) обращался в нуль в пределе піри \( r \rightarrow 0 \), для всех регулярных \( \bar{u} \) и \( \bar{v} \). Иными словами, функции \( u \) и \( v \) должны стремиться к бесконечности при \( r \rightarrow 0 \) медленнее, чем \( 1 / r \). Собственные функции, для которых \( \lim (r u)=A
eq 0 \) недопустимы (хотя \( \int_{0}^{\infty} u^{*} u r^{2} d r \) для таких функций существует).

Мы получаем, таким образом, вполне определённую проблему о собственных значениях и вместе с тем естественный и свободный от произвола метод, позволяющий

определять допустимые значения энергии системы как дискретные, так и непрерывные. Этот метод ввёл впервые Шредингер \( { }^{1} \) ), которому тогда же удалось определить спектр собственных значений энергии для электрона с зарядом-e, находящегося в поле ядра заряда \( +Z e \), т. е. обладающего потеңциальной энергией \( V=-\frac{Z e^{2}}{r} \). Он показал, что из установленного им волнового уравнения [cp. (98), (99)]
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta u+\left(E+\frac{Z e^{2}}{r}\right) u=0
\]

следует, что энергия имеет отрицательңые дискретные собственные значения \( -\frac{R h}{1^{2}},-\frac{R h}{2^{2}}, \ldots,-\frac{R h}{n^{2}}, \ldots \) и примыкающие к ним непрерывные положительные собственные значения ( \( 0 \leqslant E<+\infty \) ). При этом
\[
R=\frac{m e^{4}}{4 \pi \hbar^{3}} Z^{2}
\]

представляет собой постоянную Ридберга, умноженную на квадрат порядкового номера ядра. (Наличие в этом случае смешанного-дискретного и непрерывного-спектра собственных значений энергии связано с поведением потенциальной функции в бесконечности: а именно, с её медлеңным убыванием от отрицательных зңачений до нуля при \( r \rightarrow \infty \). Напротив, точечная особенность потенциала \( V \) в начале координат не играет никакой роли, так как точечное ядро может быть с таким же успехом заменено маленьким заряженным шаром.)

Простейший пример системы, имеющей только дискретные уровни энергии, представляет собой гармонический осциллятор. В одномерном случае он имеет потенциальную энергию
\[
V=\frac{m}{2} \omega^{2} x^{2} .
\]

В случае трёхмерного изотропного осциллятора потенциальная энергия равна
\[
V=\frac{m}{2} \omega^{2} r^{2},
\]
1) E.Schrödinger, Abhandlungen zur Wellenmechantk, т. I.

где а обозначает круговую частоту осциллятора، Уровни энергии для линейного осциллятора равны
\[
E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar(n=1,2,3, \ldots),
\]

а для изотропного трёхмерного осциллятора
\[
E_{n}=\left(n+\frac{3}{2}\right) \hbar \omega \quad(n=1,2,3, \ldots) .
\]

В рассмотренных здесь случаях (так же, как и в случае свободных частиц) значения энергии ограничены снизу: существует наименьшее значение энергии. Что это не всегда так \( { }^{1} \) ), показывает пример, соответствующий постоянной силе, направленной вдоль \( +x \) :
\[
V=-F x .
\]

В качестве примера на вычисление в криволинейных координатах мы рассмотрим здесь случай полярных координат (который входит также в упомянутую проблему водородного атома), так как он особенно важен для задачи о частице в центральном силовом поле, т. е. в поле, потенциальная энергия которого \( V(r) \) зависит только от расстояния \( r \) частицы от неподвижного центра. [Cр. уравнения \( \left(97^{\prime *}\right),\left(97^{\prime *}\right) \) на стр. (9.] Оператор \( \Delta \) принимает в полярных координатах \( r, \theta, \varphi \) вид

где
\[
\begin{array}{c}
\Delta u \equiv \frac{1}{r^{2}} \frac{d^{2}}{d r^{2}}(r u)+\frac{1}{r^{2}} \vec{Q} u, \\
\vec{Q} \equiv \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \sin \theta \frac{\partial}{i \theta}+\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}
\end{array}
\]

связано простым образом с оператором момента количества движения частицы, первая компоңента которого имеет выражение
\[
\boldsymbol{P}_{1}=\frac{\hbar}{i}\left(x_{2} \frac{\partial}{\partial x_{3}}-x_{3} \frac{\partial}{\partial x_{2}}\right),
\]

а остальные получаются циклической перестановкой. Квадрат вектора момента количества движения
\[
P^{2}=P_{1}^{2}+P_{2}^{2}+P_{8}^{2}
\]

равен просто
\[
\boldsymbol{P}^{2}=-\hbar^{2} \vec{Q} \text {. }
\]
1) Вычисления для специального примера имеются у Бете, Қвантовая механика простейшх систем:

В случае центрального поля сил волновое уравнение (123) допускает разделение переменных
\[
\dot{u}=f(r) Y(\theta, \varphi)
\]

где \( Y \) удовлетворяет уравнению
\[
\overrightarrow{\mathrm{Q}} Y=\lambda Y
\]

с постоянным \( \lambda \), а \( f(r) \) – уравнению
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left[\frac{1}{r} \frac{d^{2}}{d r^{2}}(r f)+\frac{\lambda}{r^{2}} r\right]+V(r) f=E f .
\]

Требуется найти решения уравнения (130) и собственные значения \( \vec{Q} \). Ответ общеизвестен \( { }^{1} \) ). Только при
\[
\lambda=-l(l+1) \text {, }
\]

где \( l \)-неотрицательное целое число ( \( l>0 \) ), , сушествуют регулярные решения (130), а именно обобщённые шаровые функции порядка \( l \). Для даңного \( l \) существуют \( 2 l+1 \) линейно независимых шаровых функций. Собственные зңачения \( \boldsymbol{P}^{2} \) равны, следовательно, \( \hbar^{2} l(l+1) \). Можно выбрать \( Y_{l}(\theta, \varphi) \) так, чтобы оператор
\[
\boldsymbol{P}_{3}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial p}
\]

просто умножал бы функцию \( Y_{l}(\theta, \varphi) \) на своё собственное значение. Собственные значения \( \boldsymbol{P}_{3} \) равны \( \hbar \mathrm{m} \), где \( m \)-целое число, лежащее между \( -l \) и \( +l \) :
\[
Y_{l, m}(\theta, \varphi)=Y_{l, m}(\theta) e^{i m \varphi} .
\]

Непосредственно очевидно, что функции \( Y_{l, m} \) ортогональны друг другу при одинаковом \( l \) и различных \( m \). Ортогональность для различных \( l \) вытекает из дифференциального уравнения. Действительно, для любых двух функций \( Y_{1} \) и \( Y_{2} \)
\[
\begin{array}{l}
\sin \theta\left(Y_{1} \vec{Q} Y_{2}-Y, \vec{Q} Y_{1}\right)=\frac{\partial}{\partial \theta} {\left[\sin \theta\left(Y_{1} \frac{\partial Y_{2}}{\partial \theta}-Y_{2} \frac{\partial Y_{1}}{\partial \theta}\right)\right]+\ldots } \\
+\frac{\partial}{\partial \varphi}\left[\frac{1}{-\sin \theta}\left(Y_{2} \frac{\partial Y_{1}}{\partial \varphi}-Y_{1} \frac{\partial Y_{2}}{\partial \varphi}\right)\right],
\end{array}
\]

откуда при подстановке \( Y_{i, m} \) вместо \( Y_{1} \) и \( Y_{i^{\prime}, m^{\prime}}^{*} \) вместо
1) Р. Курант и Д. Гильберт, Методы, математической физики, т. І, стр. \( 299-300 \), ГТТИ, 1933.

\( Y \), вытекает
\[
\int Y^{*}, m^{\prime} Y_{l, m} \sin \theta d \theta d \varphi=0 \text { при } \quad l
eq l^{\prime}
\]

в силу уравнения (130).
В связи с этим кнтересно обсудить возможность многозначных решений уравнения (130). Поскольку в общем решении \( \sum c_{n} e^{-\frac{i}{\hbar} E t} u_{n} \) непосредственное физическое значение имеет только плотность \( \psi^{*} \psi \), можно было бы усомниться в необходимости требования однозначности \( u \). Если все \( u_{n} \) рассматриваемой системы умножаются при обходе определённого замкнутого пути на один и тот же множитель с модулем, равным единице, то \( \psi^{*} \psi \) всё-таки остаётся всегда однозначным. Можно, однако, показать, что производные многозначных функций всегда имеют в известных местах такую особенность, которая нарушает ортогональность системы функций и самосопряжённость оператора Гамильтона (стр. 73). В частности, это имеет место в случае полуцелых шаровых функций \( Y_{l, m}(\theta, \varphi) \), у которых как \( l \), так и \( m \) различаются друг от друга на половину целого числа.

Решения дифференциального уравнения (97*) имеют в этом случае следующее свойство: при полном обходе вокруг полярной оси они изменяют свой знак. Это ещё не даёт оснований запрещать такие решения. Однако, кроме того, для этих функций предел
\[
\lim _{\theta \rightarrow 0} \sin \theta\left[Y_{l, m} \frac{\partial}{\partial \theta} Y_{l}^{*}, m-Y_{l}^{*}, m \frac{\partial}{\partial \theta} Y_{l, m}\right]=Q(0)
\]

не равен нулю, а имеет конечное значение. Определённая аналогично величина \( Q(\pi) \) оказывается равной
\[
Q(\pi)=(-1)^{l+l} Q(0) .
\]

Полагая \( l^{\prime}=l \), легко видеть, что функции \( Y_{l, m} \) с полуцелыми \( l \) и \( m \) соответствует полюсообразный источнкк в точке \( \theta=0 \) и отрицательный источник (сток) такой же силы в точке \( \theta=\pi \), тогда как при нечётном \( l^{\prime}-l \) не происходит никакой компенсации источников. Согласно установленному на стр. 79,80 критерию, такие функции недопустимы в качестве собственных функций: действи-

тельно, при \( l
eq l^{\prime} \) они даже не ортогональны Таким образом, целочисленность квантовых чисел \( l \) и \( m \) в нашем случае вытекает даже из общей точки зрения, не требующей заранее однозначности собственных функций. Непосредственно из основного уравнения (124) для оператора \( \boldsymbol{H} \) вытекает важное свойство собственных функций, если мы заменим входящие туда функции \( v \) и \( u \) двумя решениями \( u_{n} \) и \( u_{m} \), которым соответствуют различные значения энергии \( E_{n}, E_{m} \). При этом мы займёмся сначала случаем дискретных собственных значений, чтобы иметь возможность применить это соотношение непосредственно к собственным решениям. В этом случае получаем \( { }^{1} \) ).
\[
E_{n} \int u_{m}^{*} u_{n} d q=E_{m} \int u_{n} u_{m}^{*} d q
\]

откуда следует
\[
\int u_{m}^{*} u_{n} d \dot{q}=0 \text { при } E_{n}
eq E_{m} .
\]

Это свойство называют ортогональностью собственных функций. Здесь следует отметить, что одному значению энергии \( E_{n} \) может соответствовать несколько линейно независимых функций. Наиболее общее решение для этого собственного значения имеет вид
\[
u_{n}=c_{1} u_{n, 1}+c_{2} u_{n, 2}+\ldots+c_{g} u_{n, g},
\]

где \( c_{1}, \ldots, c_{g} \) – произвольные постоянные. Их число \( g \) кратность состояния, или его вес-равно максимальному числу линейно независимых решений, которые существуют при данном состоянии. (В упомянутом выше примере водородного атома состояние \( n \) имеет кратность
1) При этом здесь уже предположено, что все \( E \) вещественны. Это следует, однако, из (124) при \( v=u=u_{n} \), так как это соотношение переходит тогда в
т. e.
\[
E_{n} \int u_{n}^{*} u_{n} d V=E_{n}^{*} \int u_{n} u_{n}^{*} d V
\]
\[
E_{n}=E_{n}^{*} \text {. }
\]

\( n^{2} \) ), для плоского осциллятора \( g=n+1 \), состояния линейного гармонического осциллятора однократны.) Базис \( u_{n, 1}, \ldots, u_{n, g} \) решений (123) с данным \( E_{n} \) можно всегда ортогонализовать, т. е. посредством образования определённых линейных комбинаций заменить его другим базисом, при котором условие (131) выполняется для всех пар различных функций \( u_{n}, u_{m} \). В дальнейшем мы всегда предполагаем, что такая ортогонализация уже произведена. Ввиду того что постоянный множитель в каждой \( u_{n} \) ещё не определён, мы можем далее предполагать их нормированными согласно соотношению
\[
\int u_{n}^{*} u_{n} d q=1 .
\]

Комплексный множитель с модулем, равным 1 в \( u_{n} \), остаётся тогда всё-таки неопределённым.

Любую функцию \( f \), для которой существует \( \int \mid f_{1}^{2} d q \), можно разложить в ряд
\[
f \sim a_{1} u_{1}+a_{2} u_{2}+\ldots+a_{n} u_{n}+\ldots,
\]

где коэффициенты \( a_{n} \) имеют значения
\[
a_{n}=\int f u_{n} d q \text {, }
\]

которые легко найти с помощью соотношений ортогональности (131), (131′). Значок означает, что ряд в общем случае не является сходящимся в обычном смысле, а только «сходящимся в среднем». Это означает, что ряд удовлетворяет равенству
\[
\lim _{-N \rightarrow 0} \int\left|f-\sum_{k=1}^{N} a_{k} u_{k}\right|^{2} d q=0 .
\]

На это обстоятельство следует обращать особое внимание, когда \( f \) имеет какие-либо особенности, не нарушающие интегрируемости квадрата функции; для достижения сходимости в среднем функции \( u_{n} \) отнюдь не об язательно должны повторять эти особенности и наоборот.
1) Оо́ удвоении кратности этих состояний благодаря спину электрона см.
Интеграл в соотношении (132′) можно преобразовать
\[
\begin{aligned}
\int|f|^{2} d q-\sum_{k=1}^{N} a_{k}^{*} \int f u_{k}^{*} d q & -\sum_{k=1}^{N} a_{k} \int f^{*} u_{k} d q+ \\
& +\sum_{l, k=1}^{N} a_{k} a_{l}^{*} \int u_{k} u_{l}^{*} d q
\end{aligned}
\]

или, принимая во вңимание (131), (131′) и (133),
\[
\int|f|^{2} d q-2 \sum_{k=1}^{N} a_{k}^{*} a_{k}+\sum_{k=1}^{N} a_{k} a_{k}^{*}=\int|f|^{2} d q-\sum_{k=1}^{N} a_{k} a_{k}^{*} .
\]

Поэтому (132′) эквивалентно равенству
\[
\int \mid f_{1}^{2} d q=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}^{*} a_{k}
\]

причём одновременно доказана сходимость входящего сюда ряда. Это соотношение называется условием полноты (или замкнутости), так как оно служит критерием того, что к системе \( u_{n} \) нельзя добавить новую линейно независимую функцию и что ни одна из функций \( u_{n} \) не опущена. Поскольку соотношения между фуңкциями \( f \) и коэффициентами \( a_{n} \) линейны, для любых двух функций
\[
\begin{array}{lll}
f \sim a_{1} u_{1}+\ldots+a_{n} u_{n}+\ldots, & a_{n}=\int f u_{n}^{*} d q, \\
g \sim b_{1} u_{1}+\ldots+b_{n} u_{n}+\ldots, & b_{n}=\int g u_{n}^{*} d q
\end{array}
\]

справедливы формулы:
\[
\int f^{*} g d q=\sum_{k=1}^{N} a_{k}^{*} b_{k}, \quad \int f g^{*} d q=\sum_{k=1}^{N} a_{k} b_{k}^{*} .
\]

Они могут быть получены из (133), если подставить в это соотношение \( \lambda f+\mu g \) вместо \( f \) и \( \lambda a_{k}+\mu b_{k} \) вместо \( a_{k} \), где \( \lambda \) и \( \mu \)-произвольные числа.

Соотношения ортогональности можно обобщить, если ввести элементарные пакеты \( \bar{u}_{\lambda^{\prime} \lambda^{\prime \prime}}=\bar{u}_{\lambda^{\prime}}-\bar{u}_{\lambda^{\prime}} \) с помощью

(126). Применеңие соотношения (124) к этим функциям даёт
\[
\int \bar{u}_{\lambda_{1}^{\prime} \lambda_{1}^{\prime \prime}} \bar{u}_{\lambda_{9}^{\prime} \lambda_{2}^{\prime \prime}} d q=0
\]

если \( \left(\lambda_{1}^{\prime} \lambda_{1}^{\prime}\right) \) не перекрывается с \( \left(\lambda_{2}^{\prime} \lambda_{2}^{\prime}\right) \). Далее, в случае чисто непрерывного спектра существует предел
\[
\lim _{\Delta \lambda \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta \lambda} \int \vec{u}_{\lambda, \lambda+\Delta \lambda} \bar{u}_{\lambda, \lambda+\Delta \lambda} d q \rightarrow G(\lambda)
\]

так что
\[
\int \bar{u}_{\lambda, \lambda+\Delta \lambda}^{*} \bar{u}_{\lambda, \lambda+\Delta \lambda} d q=\int_{\lambda}^{\lambda+\Delta \lambda} G(\lambda) d \lambda .
\]
(131′) и (135) можно объединить уравнением
\[
\int \bar{u}_{\lambda_{1}^{\prime} \lambda_{1}^{\prime \prime}} \bar{u}_{\lambda_{2}^{\prime} \lambda_{2}^{\prime}} d q=\int_{\lambda^{\prime}}^{\lambda^{\prime}} G(\lambda) d \lambda,
\]

где \( \left(\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}\right) \) представляет собой общую часть интервалов \( \left(\lambda_{1}^{\prime} \lambda_{1}^{\circ}\right) u\left(\lambda_{2}^{\prime} \lambda_{2}^{\prime}\right) \). В частности, если \( G(\lambda) \) в (136) равно 1 , то функция \( u \) и соответственно \( u \) называются нормированными по отношению к непрерывному параметру \( \lambda \). В этом случае
\[
\int \bar{u}_{\lambda_{1}^{\prime} \lambda_{1}^{\prime}} \bar{u}_{\lambda_{\mathbf{2}}^{\prime} \lambda_{2}^{\prime \prime}}^{\prime} d q=\left(\lambda^{\prime \prime}-\lambda^{\prime}\right)
\]

Если ввести вместо \( \lambda \) функцию \( \mu=f(\lambda) \), как новый параметр, то по отношению к \( \mu \) нормированной будет функция
\[
\bar{u}_{\mu^{\prime}, \mu^{\circ}}=\int_{\lambda^{\prime}}^{\lambda^{\circ}} \sqrt{\frac{d \mu}{d \lambda}} d \bar{u}_{\lambda^{\prime} \lambda^{*}}
\]

или грубо говоря: собственные функции \( t_{\lambda} \) умножаются в этом случае на \( \sqrt{d \mu / d \lambda} \). Далее, разложение в ряд (132) заменяется здесь интегралом
\[
f \sim \int a_{\lambda} u_{\lambda} d \lambda=\int a_{\lambda} d \overline{u_{\lambda}}
\]

причём
\[
a_{\lambda} G(\lambda)=\int f u_{\lambda}^{*} d q
\]

или
\[
a_{\lambda}=\int f u_{\lambda}^{*} d q
\]

в том случае, если \( u_{\lambda} \) нормировано согласно (137). Условие полноты гласит
\[
\lim _{\substack{\lambda_{i} \rightarrow-\infty \\ \lambda_{2} \rightarrow+\infty}} \int\left|f-\int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}} a_{\lambda} u_{\lambda} d \lambda\right|^{2} d q=0
\]

или
\[
\lim _{\substack{\lambda_{1} \rightarrow-\infty \\ \lambda_{2} \rightarrow+\infty}} \int\left|f-\int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}} a d u_{\lambda} d_{\lambda}\right|^{2} d q=0,
\]

что, в силу соотношений ортогональности, равносильно
\[
\int|f|^{2} d q=\int\left|a_{\lambda}\right|^{2} d \lambda
\]

или при отсутствии нормировки:
\[
\int|f|^{2} d q=\int\left|a_{\lambda}\right|^{2} G(\lambda) d \lambda .
\]

Для двух функций \( f, g \) и коэффициентов их разложения \( a_{\lambda}, b_{\lambda} \),
\[
\int f g^{*} d q=\int a_{\lambda} b_{\lambda}^{*} G(\lambda) d \lambda .
\]

Эти результаты можно сформулировать так, чтобы объединить дискретный и непрерывный спектры \( { }^{1} \) ). Пусть снова \( u_{\lambda} \) функция, определённая в (124′), которая может изменяться скачкообразно в зависимости от \( \lambda \); введём далее для сокращения
\[
\bar{u}_{\lambda^{\prime} \lambda^{\circ}}=u_{\lambda^{\prime}}-u_{\lambda^{\prime}}
\]

и будем снова обозначать ( \( \lambda^{\prime}, \lambda^{\rho} \) ) общую часть обоих интервалов \( \left(\lambda_{1}^{\prime}, \lambda_{1}^{\prime \prime}\right) \) и ( \( \lambda_{2}^{\prime}, \lambda_{2}^{\prime \prime} \) ), если они встречаются в одном уравнении (общая часть может в частном случае исчезать). Отказываясь от нормировки, мы запишем условие ортогональности в виде:
\[
\int \bar{u}_{\lambda_{1}^{*} \lambda_{1}^{*} \bar{u}_{\lambda^{\prime} \lambda_{1}^{\prime \prime}}^{\prime \prime}} d q=\bar{G}\left(\lambda^{\prime \prime}\right)-\bar{\sigma}\left(\lambda^{\prime}\right)
\]

где \( \overline{\boldsymbol{G}}(\lambda) \) монотонно неубывающая с растушим \( \lambda \), всегда положительная функция, котогая может изменяться скачкообразно. Отказ от нормировки удобен потому, что он позволяет лучше
‘) Cм. J. v. Neum an n, Gotting. Nachr., 1927, стр. 1.
провести вычисления в случае вырождения, так как при определённых значениях \( \lambda \) к функции \( \tilde{u}_{\lambda} \) может добавляться целое линейное многообразие собственных функций. Если вместо (139) записать
\[
\int_{\lambda^{\prime}}^{\lambda^{*}} a_{\lambda} d \bar{G}(\lambda)=\int f \overline{u_{\lambda}^{*} \cdot \lambda^{\prime}} d q,
\]

то это равенство будет справедливо как для дискретного, так и для непрерывного спектра. Условие полноты может быть тогда записано в виде
\[
\int|f|^{2} d q=\int_{-\infty}^{+\infty}\left|a_{\lambda}\right|^{2} d \bar{G}(\lambda)
\]

и соответственно
\[
\int f g^{*} d q=\int_{-\infty}^{+\infty} a_{\lambda} b_{\lambda}^{*} d \bar{G}(\lambda) .
\]

Рассмотрим теперь оператор \( \boldsymbol{P}_{\lambda} \), который сопоставляет произвольной функции \( f \) ограничеңную верхним пределом \( \lambda \) часть интеграла (138)
\[
\boldsymbol{P}_{\lambda} f=\int_{-\infty}^{\lambda} a_{\lambda} \overline{d u_{\lambda}} .
\]

Этот оператор называют проецируюшим оператором, так как он проецирует многообразие коэффициентов \( a_{\lambda} \) на частичное многообразие этих коэффициентов, которое исчезает вне интервала \( (-\infty, \lambda) \). Қаждый проецирующий оператор \( \boldsymbol{P} \) имеет, очевидно, свойство
\[
P^{\mathbf{2}}=P
\]

и, обратно, каждый оператор \( \boldsymbol{P} \), обладающий этим свойством, мы будем называть проецирующим. В нашем случае оператор
\[
\boldsymbol{P}_{\lambda^{\prime} \lambda^{\prime}} \equiv \boldsymbol{P}_{\lambda^{\prime}}-\boldsymbol{P}_{\lambda^{\prime}} \quad \text { при } \quad \lambda^{\prime \prime}>\lambda^{\prime}
\]

является проецирующим оператором:
\[
\left(\boldsymbol{P}_{\lambda^{\prime \prime} \lambda^{\prime}}\right)^{2} \equiv\left(\boldsymbol{P}_{\lambda^{\prime}}-\boldsymbol{P}_{\lambda^{\prime}}\right)^{2}=\boldsymbol{P}_{\lambda^{\prime \prime} \lambda^{\prime}} \text { для всех } \quad \lambda^{\prime \prime}>\lambda^{\prime} .
\]

Далее,
\[
P(-\infty)=0, \quad P(+\infty)=1
\]

для \( \lambda^{\prime}>\lambda \) и \( \lim \lambda^{\prime} \rightarrow \lambda^{\bullet} \) следует \( \boldsymbol{P}_{\lambda^{\prime}} \rightarrow \boldsymbol{P}_{\lambda^{\prime}} \).

Рассмотрим теперь отношение между операторами \( \boldsymbol{H} \) и \( \boldsymbol{P}_{\lambda} \). Согласно (123′)
\[
H \bar{u}_{\lambda^{\prime} \lambda^{*}}=\int_{\lambda^{\prime}}^{\lambda^{\prime}} E(\lambda) d \bar{u}_{\lambda^{\prime}}
\]

и следовательно,
\[
\begin{array}{l}
P_{\lambda^{\prime} \lambda^{\prime} f} f=\int_{\lambda^{\prime}}^{\lambda^{\prime}} a_{\lambda} d \bar{u}_{\lambda^{\prime}} \\
\boldsymbol{H} \boldsymbol{P}_{\lambda^{\prime} \lambda^{\prime}} f=\int_{\lambda^{\prime}}^{\lambda^{*}} a_{\lambda} E_{\lambda} d \overline{u_{\lambda}}=\int_{\lambda^{\prime}}^{\lambda^{\circ}} E(\lambda) d\left(\boldsymbol{P}_{\lambda^{\prime} \lambda^{*}} f\right), \\
\end{array}
\]

при \( \lambda^{\prime}=-\infty \) и \( \lambda^{\prime \prime}=+\infty \) это переходит \( \cdot \) в
\[
\boldsymbol{H} f=\int_{-\infty}^{+\infty} E(\lambda) d\left(\boldsymbol{P}_{\lambda} f\right),
\]

что равносильно следующему утверждению: для всех \( g \) имеет место соотношение
\[
\int\left(g^{*} H f\right) d q=\int_{-\infty}^{+\infty} E(\lambda) d\left(\int g^{*} P_{\lambda} f d q\right) .
\]

Вместо произвольного параметра \( \lambda \) здесь можно ввести непосредственно энергию. Требования (I), (I), (III) определяют проблему собэтвенных значений весьма общим образом. Bопрос 0 её разрешимости мы обсудим ещё-в следующем параграфе.
Для вычислений часто удобно ввести интеграл
\[
\int u_{\lambda}^{*} u_{\lambda} d q
\]

как несобственный. Пусть \( \delta(\lambda) \) – несобственная функция со . свойствами

тогда
\[
\left.\begin{array}{rl}
\int u_{\lambda}^{i} u_{\lambda^{\prime}} d \lambda & =G(\lambda) \delta\left(\lambda^{\prime}-\lambda\right) \\
\text { или } & =\delta\left(\lambda^{\prime}-\lambda\right) \text { в случае нормировки. }
\end{array}\right\}
\]

В дальнейшем мы будем также употреблять производную б’ от б-функции, которая определяется следующим образом:

Эти соотношения должны рассматриваться как удобное формальное сокращение (136), (137).

Следует также отметить, что общее дифференциальное уравнение (123) проблемы собственных значений всегда эквивалентно \( { }^{1} \) ) вариационной проблеме
\[
\delta \int u^{*}(\boldsymbol{H} u) d q=\delta \int(\boldsymbol{H} u)^{*} u d q=0
\]

с дополнительным условием
\[
\int u^{*} u d q=1
\]

Здесь \( u \) и \( u^{*} \) должны варьироваться независимо друг от друга. В случае необходимости (148) может быть ещё преобразовано с помощью интегрирования по частям. Например, для гамильтоновой функции, зашисанной в декартовых координатах,
\[
\boldsymbol{H}=-\sum_{k} \frac{\hbar^{2}}{2 m_{k}}\left(\frac{\partial}{\partial q_{k}}-\frac{i e_{h}}{\hbar c} \Phi_{k}\right)^{2}+V(q)
\]

имеем:
\[
\begin{array}{r}
\delta \int\left[\sum_{k} \frac{\hbar^{2}}{2 m_{k}}\left(\frac{\partial u^{*}}{\partial q_{k}}+\frac{i e_{k}}{\hbar c} \Phi_{k}\right)\left(\frac{\partial u}{\partial q_{k}}-\frac{i e_{k}}{\hbar c} \Phi_{k}\right)+\right. \\
\left.+V u^{*} u\right] d q=0
\end{array}
\]

с дополнительным условием (149). Значение интеграла (150) для экстремальнай функции в силу (123) точно равно собственному значению энергии. Эта вариационная проблема часто бывает полезна для приближённого интегрирования дифференциальных уравнений. Для этого выбирают определённую форму функции \( и \) и затем пытаются решить вариационную задачу при этих дополни-
1) E. Schrodinger, Ann. d. Phys., \( 79,361,1926 \).

тельных ограничениях. При этом величина вариационного интеграла получается всегда больше, чем истинное собственное значение.

Коснёмся ещё двух общих положений. В случае вещественных собственных функций, если таковые имеются, наименьшим собственным значением обладает собственнная функция без узловых поверхностей (корней). В случае вещественных собственных функций одной переменной расположению фуңкций по возрастающему числу корней соответствует расположение их по возрастающим собственным значениям. Число корней имеет, таким образом, смысл «квантового числа» системы.