Если оператор Гамильтона инвариантен относительно некоторой группы преобразований (трансформаций) переменных, то из каждого решения \( u_{n}(q) \) волнового уравнения можно получать новые решеңия, применяя к \( u_{n}(q) \) преобразования этой группы. Пусть \( T \)-преобразование группы, \( \boldsymbol{H} \) – оператор Гамильтона, \( \boldsymbol{f} \)-любая функция, \( u_{n}(q) \)-решение уравнения
\[
H u(q)=E u(q) .
\]

Равенство
\[
\boldsymbol{T}(\boldsymbol{H} f)=\boldsymbol{H}(\boldsymbol{T} f)
\]

справедливо для любого \( f \), откуда следует, что функция
\[
v(q)=T u(q)
\]
1) О связи волновой механики с теорией групп имеются общи́нье руководства: H. W у 1 , Gruppentheo-ie und Quantenmechanik, 2 Aufl., Leipzig, 1931; E: Wigner, Gruppentheorie und ihe Anwendungen auf die Quantenmechanik der Atome. Berlin, 1931; В а н-д е р-В а рдєн, Метод теории групп в квантовой механике; Харьков, 1938. Мы даём здесь лишь весьма сжатый очерк этого предмета и ссылаемся при всех доказательствах и во всех част ных вопросах на эти учебники.

тоже удовлетворяет уравнению
\[
\boldsymbol{H} v(q)=E v(q) .
\]

Если определённому значеңиі энергии соответствует конечное число, например, \( h \) собственных функций ( \( h \)-кратное вырождение), то \( h \)-мерное векторное пространство, принадлежащее собственному значению \( E \), имеет базис \( u_{1}, u_{3}, \ldots, u_{h} \), так что каждое решение уравнеңия
\[
H v=E v
\]

можно представить в форме
\[
v=\sum_{k} c_{k} v_{k}
\]

Преобразования \( \boldsymbol{T} \) нашей группы, применённые к \( u_{1} \), \( u_{2}, \ldots, u_{h} \), преобразуют это векторное пространство линейно таким образом, что последовательное применение двух различных преобразований \( \boldsymbol{T} \) равносильно двум соответствующим отображениям. Чтобы сохранить согласие с законом матричного умңожения, целесообразно при этом принять следующее определение. Если над переменными \( q \) функции \( u(q) \) производится преобразование \( T \), определяемое переходом к новым переменным \( q_{p}^{\prime}= \) \( =f_{p}\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right) \), то этому преобразованию переменных \( q \) сопоставляется оператор \( T \), преобразующий функцию \( u\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right) \) в функцию \( u^{\prime}\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right) \) :
\[
T u \equiv u^{\prime},
\]

причём \( u^{\prime}\left(q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{f}^{\prime}\right)=u\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right) \), и следовательно,
\[
u^{\prime}(T q)=\dot{u}(q)
\]

или
\[
u^{\prime}(q)=u\left(T^{-1} q\right) .
\]

Только при таком определении применению двух операторов в последовательности: сңачала \( T_{2} \), потом \( T_{1} \) соответствует такая же последовательность преобразований переменных \( q \). Действительно, пусть
\[
T_{2} u(q)=u^{\prime}(q)=u\left(T_{\mathrm{s}}^{-1} q\right)
\]

заменяя \( q \) на \( T_{1}^{-1} q \), получаем
\[
\left(T_{1} T_{2}\right) u=u^{\prime}\left(T_{1}^{-1} q\right)=u\left(T_{2}^{-1} T_{1}^{-1} q\right)=u\left(\left(T_{1} T_{2}\right)^{-1} q\right),
\]

как и должно быть.
Введём матричную запись
\[
\left(T u_{l}\right)=\sum_{k=1}^{n} u_{k} c_{k l} .
\]

Тогда
\[
c_{k l}\left(\boldsymbol{T}_{1} \boldsymbol{T}_{\mathbf{2}}\right)=\sum_{m} c_{k m}\left(\boldsymbol{T}_{1}\right) c_{m l}\left(\boldsymbol{T}_{2}\right)
\]

и соответственно в матричной записи
\[
c\left(T_{1} T_{2}\right)=c\left(T_{1}\right) c\left(T_{2}\right) .
\]

Мы будем говорить, что соответствующие линейные отображения образуют представление группы. Различным преобразованиям групшы могут, конечно, в представлении соответствовать одинаковые линейные отображения. Если при преобразовании \( \boldsymbol{T} \) детерминант новых переменных \( q_{p}^{\prime}=f_{p}\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right) \) по отношению к старым \( q_{\rho} \) равен единице, и, кроме того, все \( q_{p}^{\prime} \) вещественны одновременно с \( q \), то для преобразования
\[
\boldsymbol{T} v\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right)=v\left(f_{1}(q), f_{2}(q), \ldots, f_{f}(q)\right)
\]

получаем
\[
\int v_{k}^{*} v_{l} d q \equiv \int\left(\boldsymbol{T} v_{k}\right)^{*}\left(\boldsymbol{T} v_{l}\right) d q .
\]

В этом случае матрицы \( c(T) \) yнитарны для любого \( T \), и представление тогда тоже называют унитарным. Нормированная ортогональная система переходит в этом случае опять в нормированную оргогональную систему.

Существенное значение имеет понятие редукции (приведения) представлений. Представление называется \( n p u \) водимым, если существует инвариантное подпространство меньшего числа измерений, чем первоначальное пространство представления. Это значит, что при надлежащем выборе базис линейно независимых функций \( u_{1}, \ldots, u_{q} \) \( (g<h) \), образующих только часть полного базиса \( u_{1}, \ldots, u_{h} \), трансформируется при преобразованиях сам в себя. Полная

—————————————————————-
0002ru_fizik_book4_bez_photo_page-0169.jpg.txt

168
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ
โบ. I
матрица \( c(T) \) имеет при таком выборе базиса вид
\[
\boldsymbol{c}=\left(\begin{array}{ll}
\boldsymbol{a} & \boldsymbol{r} \\
0 & \boldsymbol{b}
\end{array}\right)
\]

где \( \boldsymbol{a} g \)-мерно, а \( \boldsymbol{b}(h-g) \)-мерно. Если не существует таких инвариантных подпространств, то представление называется неприводимым. Изменение базиса означает трансформацию \( \boldsymbol{c}^{\prime}=\boldsymbol{S} \boldsymbol{c} \boldsymbol{S}^{-\mathbf{1}} \) матрицы представления. Два представления, которые различаются друг от друга только такой трансформацией, называются эквивалентными. Если c.- унитарная матрица, то из уравнения (287) следует, что, изменяя базис, можно обратить \( r \) в нуль, и тогда говорят, что представление \( c \) распадается. Для коңечных групп можно показать, что каждое представление эквивалентно унитарному представлению, и поэтому каждое приводимое представление распадается. Для непрерывных групп это удаётся не всегда и выполнимо только для определённого класса непрерывных групп: так называемых полупростых групп. Группа вращений принадлежит к этому классу, так же как и группа всех лиңейных преобразований с детерминантом, равным единице, причём последнее ограничение существенно. В квантовой механике мы имеем дело только с унитарными представлениями и поэтому не будем рассматривать усложнений, возникающих в общем случае.

Каждое представление (D) группы распадается на неприводимые представления
\[
(D)=\left(D_{1}\right)+\left(D_{2}\right)+\ldots,
\]

причём можно показать, что это разложение однозначно. Степень вырождения собственного значения энергии \( E \) совпадает со степенью неприводимого представления. Вырождение, соответствующее неприводимому представлению, не может быть снято с помощью непрерывного изменения оператора Гамильтона, пока он инвариантен по отношению к группе (в отличие от случайных вырождений, соответствующих более высоким степеням приводимого представления). Если, однако, изменять оператор Гамильтона так, чтобы оң был инвариантен только по отношению к некоторой подгруппе основной группы, то по отношению \( \mathrm{k} \) этой меньшей группе представление будет
в общем случае приводимо. Для того чтобы представление при этом распалось, необходимо изменить. выбор базиса. Этот процесс называют также приведением первоначального представления по отношению -к подгруппе. Ему соответствует (в общем случае) распадение исходного уровня энергии \( E \) на различные уровни, если в гамильтониан введена возмущающая функция, которая инвариантна только юо отношению к подгруппе.

Из двух представлений \( \left(D_{1}\right) \) и \( \left(D_{2}\right) \) степени \( h_{1} \) и \( h_{2} \) можно образовать произведение ( \( D_{1} \times D_{2} \) ) -представление степени \( h_{1} h_{2} \), которое строится следующим образом. Из базиса \( u_{k}\left(k=1,2, \ldots, h_{1}\right) \), принадлежащего \( \left(D_{1}\right) \), и базиса \( v_{l}\left(l=1,2, \ldots, h_{2}\right) \), принадлежащего \( \left(D_{2}\right) \), образуют \( h_{1} h_{2} \) произведений \( u_{k} v_{l} \). Когда \( u_{k} \) испытывает линейное отображение \( D_{1}(T) \), а \( v_{l} \)-линейное отображение \( D_{\mathbf{2}}(T) \), то произведения \( u_{k} v_{l} \) также подве ргаются линейному отображению, которое и определяет произведение ( \( \left.D_{1} \times D_{2}\right) \). В частности, может быть \( \left(D_{1}\right)=\left(D_{2}\right) \). Произведение \( \left(D_{1} \times D_{2}\right) \) в общем случае, разумеется, приводимо, даже если ( \( D_{1} \) ) и \( \left(D_{2}\right. \) ) были неприводимы. Изменением выбора базиса \( h_{1} h_{2} \)-мерного пространства можно тогда добиться распаденйя \( \left(D_{1} \times D_{2}\right. \) ), причём неприводимые составные части могут быть отличны от \( \left(D_{1}\right) \) и \( \left(D_{2}\right) \). Такое образование произведения представлений осуществляется всегда при соединении независимых систем.

Для непрерывных груип особое значение имеют бесконечно малые преобразования, близкие к тождественному отображению. Эти преобразования образуют линейное многообразие-векторное пространство с числом измерений, равным числу независимых параметров группы (например, для группы вращений в трёхмерном пространстве-трёхмерное векторное многообразие). Действительно, из \( T(0, \ldots, 0)=1 \) следует
\[
\boldsymbol{T}\left(\mathrm{a}_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{r}\right)=\mathbf{1}+\varepsilon_{1} \vec{\omega}_{1}+\varepsilon_{2} \vec{\omega}_{2}+\ldots+\varepsilon_{r} \vec{\omega}_{r},
\]
\( \vec{\omega}_{2}, \ldots, \vec{\omega}_{r} \), так же как и \( T \), являются операторами, которые применяются к аргументам \( q \) собственных функций. Поскольку эти преобразования образуют группу, скобка Пуассона \( \left[\overrightarrow{\omega_{p}}, \overrightarrow{\omega_{q}}\right]=\vec{\omega}_{p} \vec{\omega}_{q}-\vec{\omega}_{q} \vec{\omega}_{p} \) может. быть выра-
жена через сами \( \vec{\omega} \) с характерными для данной группы коэффициентами:
\[
\left[\vec{\omega}_{p}, \vec{\omega}_{q}\right]=\sum_{s=1}^{r} c_{p q, s^{\omega^{\omega}}} .
\]

Эти коэффициенты должны только удовлетворять известным соотношениям, вытекающим из тождества
\[
\left[\left[\vec{\omega}_{p}, \vec{\omega}_{q}\right] \vec{\omega}_{r}\right]+\left[\left[\vec{\omega}_{q}, \vec{\omega}_{r}\right] \vec{\omega}_{p}\right]+\left[\left[\vec{\omega}_{r}, \vec{\omega}_{p}\right] \vec{\omega}_{q}\right] \doteq 0 .
\]

При введённом выше правиле расположения трансформаций переменңых и соответствующих операторов, действующих на собственные функции, оңи удовлетворяют одинаковым перестановочным соотношениям, и можно поэтому не делать между ними никакого различия в обозначениях. Инвариантность оператора Гамильтона по отношению к рассматриваемой группе находит своё выражение в коммутативности \( \vec{\omega} \) и \( \boldsymbol{H} \) :
\[
\vec{\omega}_{p} \boldsymbol{H}-\overrightarrow{H \omega}_{p}=0
\]

точно так же, как и для оператора \( \boldsymbol{T} \) в случае конечных трансформаций. Это равңосильно тому, что \( \vec{\omega}_{p} \), как матрицы, не зависят от времени, т. е. являются интегралами движеңия. Если \( \boldsymbol{T} \) унитарны, то матрицы \( \bar{\omega}_{p} \) эрмитовы с точностью до множителя \( i \) (ср. §10, стр. 131). Каждому представлению группы принадлежит система матриц для \( \vec{\omega}_{k} \), которые удовлетворяют соотношениям (288).

Приведём пример. Для группы преобразований, смещающих координаты \( x_{k}^{(a)}(k=1,2,3) \) на величину \( A_{k} \) \( x_{k}^{\prime(a)}=x_{k}^{(a)}+A_{k} \quad\left(A_{1}, A_{2}, A_{\mathrm{a}}\right. \) – непрерывные параметры), имеем:
\[
\vec{\omega}_{k}=\sum_{a} \frac{\partial}{\partial x_{k}^{(a)}},
\]

что соответствует с точностью до множителя \( \hbar / i \) полному импульсу системы. Действительно, инвариантность функции Гамильтона по отношению к этой группе означает, что потенциальная энергия системы зависит только от взаимных расстояний -частиц.

Теперь мы перейдём к рассмотрению группы вращений қоординатного пространства, выполняемых одновре-
менно для всех частиц системы. Здесь можно применить два различных метода. Можно исходить сначала из бесконечно малых преобразований, найти форму для операторов \( \vec{\omega}_{k} \), описывающих бесконечно малые вращения, и, основываясь на их перестановочных соотношеңиях, построить чисто алгебраическим путём соответствующие матрицы представления. Или же можно пытаться найти представление посредством анализа группы конечных вращений. Оба метода дополняют друг друга. Мы рассмотрим сначала первый метод.

В качестве трёх независимых бесконечно малых вращений трёхмерного пространства мы выберем вращения вокруг қоординатных осей
\[
\delta x_{1}=0, \quad \delta x_{2}=-\varepsilon_{1} x_{3}, \quad \delta x_{3}=\varepsilon_{1} x_{2} ;
\]

два других бесқонечно малых вращения получаются из записанного циклической перестановкой. с помощью элементарных кинематических соображений (предельңый переход от конечных вращений к бесконечно малым) получаем перестановочные соотношения, характерные для: бесконечно малых вращений
\[
\vec{\omega}_{1} \vec{\omega}_{2}-\vec{\omega}_{2} \vec{\omega}_{1}=\vec{\omega}_{3}, \ldots,
\]

причём операторы \( \vec{\omega} \), или соответствующие линейные отображения определяются так, чтобы, например, к преобразованиям (289) принадлежал оператор \( 1+\varepsilon_{1} \vec{\omega}_{1} \). Эти соотношения должны выполняться для всех представлений группы вращений. Так как в дальнейшем мы будем рассматривать также зеркальные отображения, то подчеркнём, что \( \vec{\omega} \) ведут себя по отношеңию к этим преобразованиям, как антисимметричные тензоры, а не как векторы. Вводя обозначения \( \vec{\omega}_{23}, \vec{\omega}_{31}, \vec{\omega}_{12} \) вместо \( \vec{\omega}_{1}, \vec{\omega}_{2}, \vec{\omega}_{3} \), причём \( \omega_{i k}=-\vec{\omega}_{k i} \), мы можем переписать (290) в виде
\[
\vec{\omega}_{i k} \vec{\omega}_{l m}-\vec{\omega}_{l m} \vec{\omega}_{i k}=\delta_{k l} \vec{\omega}_{i m}+\delta_{i m} \vec{\omega}_{k l}-\delta_{i l} \vec{\omega}_{k m}-\delta_{k m} \vec{\omega}_{i l}\left(290^{\prime}\right)
\]
( \( \delta_{i k}=0 \) при \( l
eq k \) и \( \delta_{i k}=1 \) при \( i=k \) ). Такая форма перестановочных соотношеңий для бесконечно малых вращений верна также и для \( n \)-мерного пространства, и мы будем ею пользоваться ниже при рассмотрении группы преобразований Лоренца.

Рассмотрим одну частицу. В соответствии с нашими предыдущими определениями бесконечно малому вращению (289) принадлежит оператор \( 1+{\overrightarrow{\varepsilon \omega_{1}}}_{1} \) (или \( 1+{\overrightarrow{\varepsilon \omega_{23}}} \) ), который переводит \( u\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \) в \( u\left(x_{1}, x_{2}+\varepsilon x_{3}, x_{3}-\varepsilon x_{2}\right) \), так что
\[
\vec{\omega}_{1} u=-\left(x_{2} \frac{\partial u}{\partial x_{3}}-x_{3} \frac{\partial u}{\partial x_{2}}\right) .
\]

В случае многих частиц координаты всех частиц должны претерпевать одинаковое вращение:
\[
\vec{\omega}_{1} u=-\sum_{r}\left(x_{2}^{(r)} \frac{\partial u}{\partial x_{3}^{(r)}}-x_{3}^{(r)} \frac{\partial u}{\partial x_{2}^{(r)}}\right),
\]

где суммирование производится по всем частицам. Поскольку поступательный импульс \( p_{k}^{(r)} \) представляется оператором \( \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{k}^{(r)}}, \vec{\omega} \) связано простым соотношением с суммарным моментом количества движения
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{P}_{1}=\sum_{r} \boldsymbol{x}_{3}^{(r)} \boldsymbol{p}_{3}^{(r)}-\boldsymbol{x}_{3}^{(r)} \boldsymbol{p}_{2}^{(r)}= \\
= \frac{\hbar}{i} \sum_{r}\left(x_{2}^{(r)} \frac{\partial}{\partial x_{3}^{(r)}}-x_{3}^{(r)} \frac{\partial}{\partial x_{2}^{(r)}}\right),
\end{array}
\]

а именно
\[
\vec{\omega}_{k}=-\frac{\boldsymbol{i}}{\boldsymbol{\hbar}} \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{k}} .
\]

Это снова подтверждает, что \( \vec{\omega} \) отличается от эрмитова оператора множителем \( i \). Из перестановочных соотношений (103) для \( \boldsymbol{p}_{k} \) и \( \boldsymbol{q}_{k} \) следует
\[
\boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{\mathbf{2}}-\boldsymbol{P}_{\mathbf{2}} \boldsymbol{P}_{\mathbf{1}}=-\frac{\hbar}{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{P}_{\mathbf{2}} .
\]

При этом, однако, особенно существенно указать на то, что существование интегралов трёх компонент момента количества движения, которые с точностью до чисто мнимого множителя совпадают с операторами бесконечно малых вращений \( \vec{\omega} \). может быть доказано независимо от перестановочных соотношений (103), причём перестановочные соотношения для \( \vec{\omega} \) вытекают непосредственно из кинематики группы вращения. Это справедливо также относительно следующих перестановочных соотношений:
\[
\left[\vec{\omega}_{k}, C\right]=0 \quad \text { и } \quad\left[P_{k}, C\right]=0
\]

для любого скаляра \( C \), а также
\[
\left[\vec{\omega}_{1}, A_{2}\right]=-\left[\vec{\omega}_{2}, A_{1}\right]=A_{3}
\]

и соответственно
\[
\left[P_{1}, A_{2}\right]=-\left[P_{2}, A_{1}\right]=-\frac{\hbar}{i} A_{3}
\]

для компонент любого векторного оператора \( \overrightarrow{\boldsymbol{A}} \). При этом предполагается, что \( \boldsymbol{C} \) и \( \vec{A} \) суть функции только от \( \boldsymbol{p}_{k} \) и \( \boldsymbol{q}_{k} \), причём эти функции не содержат постоянных векто-. ров. Эти перестановочные соотношения можно получить из более общих соотношений, справедливых для конечңых вращений:
\[
\boldsymbol{T C}=\boldsymbol{C T} \text { или } \boldsymbol{T C T ^ { – 1 } = C}
\]

и
\[
\boldsymbol{T} \boldsymbol{A}_{k}^{\prime}=\boldsymbol{A}_{k} \boldsymbol{T} \quad \text { или } \quad \boldsymbol{A}_{k}^{\prime}=\boldsymbol{T}^{-1} \boldsymbol{A}_{k} \boldsymbol{T},
\]

в качестве предельного случая, считая вращения бесконечно ‘ малыми. Первое соотношение означает инвариантность \( \boldsymbol{C} \) (как в случае оператора Гамильтона), второе-ковариантность \( \boldsymbol{A} \) относительно вращений. Существование такой уңитарной трансформации \( \boldsymbol{T} \) следует уже из того, что совокупность компонент \( \boldsymbol{A}_{k}^{\prime} \) имеет те же собственные значения и удовлетворяет тем же перестановочным соотношениям, как и \( \boldsymbol{A}_{k} \). На основании (291) и фундаментальных перестановочных соотношений (103) можно показать, что из них следует также (296). В частности, эти соотношения верны для \( \boldsymbol{A}_{k}=\boldsymbol{p}_{k}^{(r)} \) или \( \boldsymbol{A}_{k}=\boldsymbol{q}_{k}^{(r)} \), далее, (294) справедливо для \( \boldsymbol{C}=\boldsymbol{P}^{2}=\boldsymbol{P}_{\mathbf{1}}^{2}+\boldsymbol{P}_{\mathbf{2}}^{3}+\boldsymbol{P}_{\mathbf{3}}^{\mathbf{3}} \), что следует также непосредственно из (293):
\[
\boldsymbol{P}^{2} \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{k}}-\boldsymbol{P}_{k} \boldsymbol{P}^{\mathbf{2}}=0 .
\]

Отсюда следует, что \( \boldsymbol{P}^{\mathbf{2}} \) и одна из компонеңт \( \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{k}} \) могут быть одновременно приведены к диагональному виду.

Легко найти элементарным, чисто алгебраическим путём все конечные эрмитовы матрицы, которые удовлетворяют соотношениям (293) \( { }^{1} \) ). Приводя \( \boldsymbol{P}^{\mathbf{2}} \) и \( \boldsymbol{P}_{\mathbf{3}} \) к диаго: нальной форме, находим, что собственные значения \( \boldsymbol{P}^{2} \) равны
\[
\boldsymbol{P}^{2}=\hbar^{2} j(j+1),
\]

где \( j \)-целые \( (j=0,1,2, \ldots) \) или полуцелые \( \left(j=\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \ldots\right) \) неотрицательные числа. Даңному собственному значению \( \boldsymbol{P}^{2} \) принадлежит \( 2 j+1 \) различных собственных значений компоненты \( \boldsymbol{P}_{3} \), а именно:
\[
\boldsymbol{P}_{\mathbf{3}}=\hbar m, \text { где }-j \leqslant m<j,
\]

причём \( m \) изменяется от одного собственного значения к другому на одну единицу и является одновременно с \( j \). целым или полуцелым. При фиксированном \( j \) получаем следующие матрицы для \( P_{1} \) и \( P_{2} \) :
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(\boldsymbol{P}_{1}+i \boldsymbol{P}_{\mathbf{3}}\right)_{m+1, m}= \\
=\hbar \sqrt{j(j+1)-m(m+1)}=\hbar \sqrt{(j-m)(j+1+m)}, \\
\left(\boldsymbol{P}_{1}-i \boldsymbol{P}_{2}\right)_{m, m+1}=\left(\boldsymbol{P}_{1}+i \boldsymbol{P}_{2}\right)_{m+1, m}, \quad\left(\boldsymbol{P}_{3}\right)_{m, m}=m \hbar .
\end{array}\right\}
\]

Остальные матричные элементы матриц \( \left(\boldsymbol{P}_{\mathbf{1}}-\boldsymbol{i} \boldsymbol{P}_{2}\right) \) и \( \left(\boldsymbol{P}_{\mathbf{1}}+i \boldsymbol{P}_{2}\right) \) равны нулю. Каждому значению \( j \) соответствуют матрицы (301) некоторого представления бесконечно малых вращений. Это представление неприводимо.

Из (295) вытекают следующие выражения для координатных матриц любого вектора \( \vec{A} \) (не зависящего от векторов с определёнными численными компонентами) \( { }^{2} \) ).
\[
\left.\begin{array}{rl}
\left(A_{1}+i A_{2}\right)_{j+1, m+1 ; j, m} & =-A_{j+1, j} \sqrt{(j+m+2)(j+m+1)} \\
\left(A_{1}-i A_{3}\right)_{j+1, m-1 ; j, m} & =A_{j+1 ; j} \sqrt{(j-m+2)(j-m+1)}, \\
\left(A_{3}\right)_{j+1, m ; j, m} & =A_{j+1, j} \sqrt{(j+m+1)(j-m+1)} ;
\end{array}\right\}
\]
1) Ср., например: M.. Born u. P. Jordan, Elementare Quantenmechanik, Berlin, 1931.
2) Доказательство см. в книге: П. А. М. Дирак, Основы квантовой механики, ОНТИ, 1937 (второе издание); или M. Born u.P. Jordan, Elementare Quantenmechanik.
\[
\left.\begin{array}{rl}
\left(A_{1}+i A_{2}\right)_{j, m+1 ; j, m} & =A_{j, j} \sqrt{(j+m+1)(j-m)} \\
\left(A_{1}-i A_{2}\right)_{j, m-1 ; j, m} & =A_{j, j} \sqrt{(j+m)(j-m+1)}, \\
\left(\boldsymbol{A}_{3}\right)_{j, m ; j, m} & =A_{j, j} m ; \\
\left(\boldsymbol{A}_{1}+i \boldsymbol{A}_{2}\right)_{j-1, m+1 ; j, m} & =A_{j-1, j} \sqrt{(j-m)(j-m-1),} \\
\left(\boldsymbol{A}_{1}-i \boldsymbol{A}_{2}\right)_{j-1, m-1 ; j, m}=-A_{j-1, j} \sqrt{(j+m)(j+m-1)}, \\
\left(\boldsymbol{A}_{3}\right)_{j-1, m ; j, m}=A_{j-1, j} \sqrt{(j+m)(j-m)} .
\end{array}\right\}\left(301^{\prime} \mathrm{c}\right)
\]

Матричные элементы для всех остальных пар значений \( j, m \) в начальном и конечном состояниях обращаются в нуль. Эти формулы содержат правила отбора для \( j \) и \( \mathrm{m} \) и соотношения интенсивностей мультиплетных термов \( { }^{1} \) ):

Следует добавить ещё одно замечание о соединении двух систем с моментами количества движения \( j_{1} \) и \( j_{2} \) в одну сложную систему. Допустим, сначала, что соответствующие компоненты \( \boldsymbol{P}_{3}^{(1)} \) и \( \boldsymbol{P}_{3}^{(2)} \) одновременно приведены к диагональной форме и имеют собственные значения \( m_{1} \) и \( m_{2} \), которые пробегают значения от \( -j_{1} \) до \( j_{1} \) и от \( -j_{2} \) до \( j_{2} \). Образуем суммарный импульс \( \boldsymbol{P}_{r} \stackrel{\boldsymbol{P}_{r}^{(1)}}{=}+\boldsymbol{P}_{r}^{(2)} \) и его квадрат \( \boldsymbol{P}^{2}=\sum_{k=1}^{3} \boldsymbol{P}_{r} \). При этом \( \boldsymbol{P}_{\mathbf{8}} \) уже имеет диагональную форму, а каждое из его собственных значений
\[
m=m_{1}+m_{2}
\]

имеет кратность, равную числу комбинаций, с помощью которых оно может быть представлено в виде суммы двух чисел, лежащих в интервале ( \( \left.-j_{1}, j_{2}\right) \) и \( \left(-j_{2}, j_{2}\right) \). Полагая \( j_{1} \geqslant j_{2} \), мы находим следующие выражения для краткости \( Z(m) \) собственного значения \( m \) : для
\[
\begin{array}{ll}
\quad j_{1}-j_{2} \leqslant m \leqslant j_{1}+j_{2}, & Z(m)=j_{2}+j_{2}-m+1, \\
-\left(j_{1}-j_{2}\right) \leqslant m \leqslant j_{1}-j_{2}, & Z(m)=2 j_{2}+1 \\
-\left(j_{1}+j_{2}\right) \leqslant m \leqslant-\left(j_{1}-j_{2}\right), & Z(m)=j_{1}+j_{2}+m .
\end{array}
\]
1) \( \mathrm{C}_{\mathrm{p}} \). Бете, Квантовая механика пғостейших систем.

—————————————————————-
0002ru_fizik_book4_bez_photo_page-0177.jpg.txt

176
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ
[4. 1
Если мы теперь приведём к диагональной форме \( \boldsymbol{P}^{2}{ }^{1} \) ), т. е. \( j \), для каждого \( m \) вместо \( m_{1} \) и \( m_{2} \), то, как нам уже известно, получится ряд состояний с различными \( f \), так что для каждого \( j \) величина \( m \) пробегает значения от \( -j \) до \( +j \). Если \( j \) имеет кратность \( N(j) \), то общее число состояний \( Z(m) \) с определённым \( m \) получается из
\[
Z(m)=\sum_{i>m} N(j)
\]

Формула справедлива при \( m>0 \). Мы можем этим ограничиться, так как случай \( m \leqslant 0 \) не вносит ничего нового. Отсюда, далее, следует
\[
N(j)=Z(j)-Z(j+1) .
\]

Это приводит в нашем случае к тому, что осуществляются все различающиеся между собой на единицу значения \( j \), которые лежат в интервале
\[
\left|j_{1}-j_{2}\right| \leqslant j \leqslant j_{1}+j_{2},
\]

причём каждое из них встречается только один раз, а остальные не встречаются вовсе, что соответствует «векторной модели» старой квантовой механики. Отсюда может быть легко получена с помощью введённого ранее определения произведений двух представлеңий следующая форма представления группы конечных вращений
\[
\left(D_{j_{1}}\right) \times\left(D_{j_{\mathbf{2}}}\right)=\sum_{j=1 j_{1}-j_{9} \mid}^{j_{1}+j_{2}}\left(D_{j}\right) .
\]

До сих пор случаи целых и полуцелых \( j \) были совершенно равноправны. В § 6 было, однако, доказано, что обозначенное там через \( l \) вместо \( j \) квантовое число момента количества движения одной частицы в центральном ноле сил имеет всегда целочисленное значение. Из (302) следует то же самое для многих частиц, причём ноложение не изменяется также и при включении любых сил вза-
1) Это получается для каждого \( m \) с помощью унитарной матрицы \( S\left(m_{1}, f\right) \), которую можно вычислить явно. Ср. Ван-дерВарден, Метод теорич групп в квантовой механике, § 18; а также H. A. Kramers u. H. C. Brinkmann, цит. в прим. 2 на стр. 177 .
имодействия между частицами (благодаря непрерывности этого включения). При обобщении, необходимом для введения спина, однако, существенно, что перестановочные соотношения матриц момента количества движения (293) так же, как и перестановочные соотношения (294), (295) допускают полуцелые значения \( j \) и \( \mathrm{m} \). Целочисленность \( j \). и \( m \) вытекает только из определения (291) момента количества движения в соединении с перестановочными соотношениями для координат и импульсов \( { }^{1} \) ). По этой причине мы должны обобщить определение (291).

Построим теперь неприводимые представления группы конечных вращений \( { }^{2} \) ) (второй метод), соответствующие целым и полуцелым значениям \( j \). При этом, однако, целесообразно вместо груплы вращений в трёхмерном пространстве рассмотреть сперва группу унитарных преобразований \( U_{2} \) двух комплексных переменных \( \xi_{1}, \xi_{2} \) с детерминантом, равным единице:
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi_{1}^{\prime}=\xi_{1} \alpha-\xi_{2} \beta^{*}, \\
\xi_{2}^{\prime}=\xi_{1} \beta+\xi_{2} \alpha^{*},
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\alpha \alpha^{*}+\beta \beta^{*}=1 \text {. }
\]

Соответствующее преобразование \( a_{1}, a_{2} \), которое оставляет линейную форму
\[
a_{1} \xi_{1}+a_{2} \xi_{2}
\]

инвариантной, имеет вид
\[
\left.\begin{array}{l}
a_{1}^{\prime}=\alpha a_{1}+\beta a_{2}, \\
a_{2}^{\prime}=-\beta^{*} a_{1}+\alpha^{*} a_{2} .
\end{array}\right\}
\]

В силу (303), \( v+1 \) произведений степеней
\[
\xi_{1}^{v}, \xi_{1}^{v-1} \xi_{2}, \ldots, \xi_{2}^{v}
\]

преобразуются между собой линейно. Они образуют тем самым представление рассматриваемой группы степени
1) Доказательство этого следствия с помющью матричного исчисления см. M. B or n u. P. Jord.an, Elementare Quantenmechanik cтp. 164 , Berlin, 1930 .
2) Кроме цитиғованых в прим. на стр. 186 учебников см. также H. A. Kram ers, Pioc. Amsterdam, 33, .953, 1930 и Н.C. Brinkmann, Dissert. Utrecht, 1932, где -разобраны применения. к расчёту различных матричных элементов.
\( v+1 \). Это представление неприводимо. Выбирая
\[
\Xi_{r}=\frac{\xi^{-r} \xi_{r}^{r}}{\sqrt{r !(v-r) !}}(r=0,1, \ldots, v)
\]

в качестве нового базисного вектора, мы получаем даже унитарное представление, так как одновременно с \( \xi_{1} \xi_{1}^{+}+ \) \( +\xi_{2} \xi_{2}^{*} \) является инвариантом и \( \left(\xi_{1} \xi_{1}^{*}+\xi_{2} \xi_{2}^{*}\right)^{v} \), т. е. \( \sum_{r} \Xi_{r} \xi_{r}^{*} \).
Полагая \( v=2 j \) и \( r=j-m \), мы получим связь с прежними обозначениями. Таким образом построено представление \( D_{f} \) степени \( 2 j+1 \) группы унитарных преобразований с детерминантом 1. \( D_{0} \)-тождественное представление, \( D_{1 / 2} \)-сами первичные преобразования.

Связь с группой врацений в трёхмерном пространстве получается при рассмотрении \( D_{1} \). При \( j=1, v=2 \) коэффициенты \( c_{0}, c_{1}, c_{2} \) преобразуются так, что
\[
\frac{1}{2} c_{0} \xi_{1}^{z}+c_{1} \xi_{1} \xi_{2}+\frac{1}{2} c_{2} \xi_{2}^{2}
\]

остаётся инвариантным. При этом определитель
\[
\left|\begin{array}{ll}
c_{1} & c_{0} \\
c_{2} & c_{2}
\end{array}\right|=c_{1}^{2}-c_{0} c_{2}
\]

является инвариантом, так как детерминант преобразования равен 1. Если положить
\[
x+i y=c_{2}, \quad x-i y=-c_{0}, \quad z=c_{1},
\]

то
\[
x^{2}+y^{2}+z^{2}=|x+i y||x-i y|+z^{2}=c_{1}^{3}-c_{0} c_{2},
\]

и, следовательно, отображение \( D_{1} \) представляет собой обыкновенное врашение в пространстве \( (x, y, z) \). Легко показать, что \( (x, y, z) \) преобразуются как
\[
a_{1} a_{2}^{*}+a_{2} a_{1}^{*}, \quad i\left(a_{1}^{*} a_{1}^{*}-a_{2} a_{1}^{*}\right), \quad a_{1} a_{1}^{*}-a_{2} a_{2}^{*},
\]

если \( a_{1}, a_{2} \) преобразуются согласно (303′): Поскольку эти числа вещественны, речь идёт, очевидно, о вещественных вращениях. Для вращения с эйлеровыми углами \( \theta \), \( \varphi, \psi \) получаем следующие значения коэффициентов преобразования, входящих в (303) и (303′):
\[
\alpha=\cos \frac{\theta}{2} e^{-\frac{i}{2}(\varphi+\psi)}, \beta=-i \sin \frac{\theta}{2} e^{-\frac{i}{2}(\varphi+\phi)} .
\]

В частности, при \( \theta=0 \) получаем вращение вокруг оси \( z \) на угол \( \varphi+\phi \), причём матрица диагональна. Тождественному «вращению»соответствует не только тождественное преобразование (303), но также и преобразование
\[
\xi_{1}^{\prime}=-\xi_{1}, \quad \xi_{2}^{\prime}=-\xi_{2} .
\]

Следовательно, вращения представляют собой сокращённое представлеңие \( U_{2} \), и наоборот, \( D_{1 / 2} \) есть двузначное представление группы вращений. Рассматривая величины \( \Xi_{r} \), определённые в (305), можно с помощью (307) вычислить также общие матрицы представлений для \( D_{f} \), как функции углов \( \theta, \varphi, \psi^{1} \) ). Они уже приведены относительно подгруппы вращений вокруг оси \( z \). Для полуцелых \( i \) получаются двузначные представления, для целых \( j \)-однозначные. Шаровые функции порядка \( l \) преобразуются с помощью представления \( D_{l} \).

Следует отметить, что функция Гамильтона инвариантна также относительно зеркальных отображений от центра тяжести системы
\[
x_{k}^{\prime}=-x_{k} .
\]

Эти зеркальные отображения перестановочны со всеми вращениями. Поэтому каждая собственная функция должна при таких отображениях просто умножаться на постоянный множитель. (Можно также представить себе, что благодаря введению внешнего магнитного поля, вырождение, связанное с группой вращений, совершенно снимается без нарушения инвариантности функции Гамильтона относительно зеркальных отображений.) Двукратное зеркальное отображение даёт тождественное иреобразование. Поэтому фактор ., определяемый равенством
\[
u\left(-q, \ldots,-q_{f}\right)=\varepsilon u\left(q, \ldots, q_{f}\right),
\]
1) P. Güttinger, Zs. f. Phys.,’ 73, 169, 1931.
12*
может быть равен только \( \pm 1 \) :
\[
\varepsilon= \pm 1 \text {. }
\]

Мы назовём этот множитель характером или сигнатурой зеркального отображения (Das Spiegelungsmoment или die Signatur). Терм называется чётным при \( \varepsilon=+1 \) и нечётным при \( \varepsilon=-1 \). Для одной частицы в центральном поле сил из свойств шаровых функций получается
\[
\varepsilon=(-1)^{l}
\]

а для многих частиц:
\[
\varepsilon=(-1)^{l_{1}+l_{2}+\ldots+1 f} .
\]

Это получается сперва только для невзаимодействующих частиц, однако, включение сил взаимодействия не может, благодаря его непрерывности, ничего изменить. Элементы матрицы координат частиц только тогда отличны от нуля, когда е имеет различные знаки в начальном и конечном состояниях (правило Лапорта).

С этими вспомогательными средствами уже легко установить обобщённые волновые уравнения для частиц со спином. При этом мы сиерва займёмся элементарными частицами (электроны, протоны) \( { }^{2} \) ). Мы будем понимать под спином частицы её момент количества движения, не сводимый к поступательному движению материальной точки. Модуль спина (в отличие от его отдельных компонент) мы будем считать постоянным числом. Такая точка зрения, повидимому, необходима, так как при совремеңном состоянии квантовой теории мы вынуждены трактовать подобным образом не только спин элементарных частиц, но и спин атомных ядер (если он отличен от нуля). Повидимому, невозможно описывать состояние ядра с помощью собственной функции, содержащей пространственные координаты находящихся внутри ядра электронов. Можно, однако, описывать реакцию ядра как целого по отношению к внешним силам с помощью волновой функции, которая содержит в качестве независимой переменной, кроме координаты ядра, ещё его спино-
1) W. Pauli, Zs. f. Phys., 43, 601, 1927.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА
181
вую координату, причём ядро может пребывать в определённом возбуждённом состоянии.

Описаңие спина основывается на следующих предположениях: 1) Кроме орбитального момента
\[
l_{1}=\frac{1}{i}\left(x_{1} \frac{\partial}{\partial x_{2}}-x_{2} \frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)
\]

имеется спиновый момент с компонентами \( s_{1}, s_{2}, s_{3} \), которым соответствуют операторы, действующие на волновую функцию. Эти операторы должны быть коммутативны с координатами и импульсами частиц. При этом мы считаем, что оба момента импульса измеряются в единицах \( \hbar .2 \) ) Бесконечно малым вращениям соответствует применение операторов
\[
\overrightarrow{\omega_{k}}=-i\left(l_{k}+s_{k}\right)
\]

к собственным функциям, так что
\[
\boldsymbol{P}_{k}=\hbar\left(l_{k}+s_{k}\right)
\]

играет роль суммарного момента импульса. Действительно: этот суммарный оператор коммутирует со всеми инвариантами вращения, если функция Гамильтона инвариантна относительно вращений и не зависит от времени. Если функция Гамильтона инвариантна только по отношению к вращениям вокруг одной оси, например оси \( x_{3} \), то остаётся всегда постоянңым только \( \boldsymbol{P}_{3} \). Из этих предположений чисто кинематически вытекают перестановочные соотношения (290) для \( \vec{\omega}_{k} \), и следовательно, поскольку \( \boldsymbol{l}_{k} \) коммутативно с \( \boldsymbol{s}_{k} \), перестановочные соотношения \( { }^{1} \) )
\[
s_{1} s_{2}-s_{2} s_{1}=i s_{3},
\]

аналогичные (293). Мы всегда рассматриваем
\[
s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{2}^{2}
\]
1) Первоначально эти перестановочные соотношения основывались просто на аналогии с пересталовочными соотношениями для \( l_{r} \), которые выводились из канонических перестановочных соотношений для \( p_{k} \) и \( q_{k} \). Возможность кинематического вывода перестановочных соотношений для \( s_{\text {, }} \) из группы вращений была указана впервые Нейманом и Вurнером: J. v, N e um an n u. E. Wigner, Zs. f. Phys.: 47, 203, 1927. как заданное постоянное число, которое, как мы видели, может принимать, согласно (314), только значения \( s(s+1) \) с целым или полуцелым \( s \)
\[
s_{1}^{2}+s_{3}^{2}+s_{3}^{2}=s(s+1) \cdot 1 .
\]

Поэтому мы можем ввести в волновую функцию в качестве независимой переменной, кроме пространственных координат частиц, ещё только одну из компонент \( s_{k} \), например \( s_{3} \). Волновая функция приобретает тогда следующую форму:
\[
\psi\left(x, s_{2} ; t\right) .
\]

Переменная \( s_{3} \) принимает здесь, как мы видели; только дискретные значения \( -s,-(s-1), \ldots,+s \), так что мы можем вместо (316) писать также
\[
\psi\left(x, s_{s} ; t\right)=\sum_{\mu} c_{\mu}\left(s_{3}\right) \psi_{\mu}(x, t) ;
\]
\( c_{\mu}\left(s_{\mathrm{s}}\right) \) не зависят от \( x \) и \( t \) и определяются равенствами
\[
c_{\mu}\left(s_{8}\right)=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { при } & s_{3}=\mu, \\
0 & \text { при } & s_{3}
eq \mu .
\end{array}\right.
\]
\( c_{\mu}\left(s_{3}\right) \) нормированы и ортогональны, т. е. удовлетворяют соотношениям
\[
\sum_{s=-s}^{+s} c_{\mu}^{*}\left(s_{3}\right) c_{\mu^{\prime}}\left(s_{3}\right)=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { при } & \mu=\mu^{\prime} \\
0 & \text { при } & \mu
eq \mu^{\prime}
\end{array}\right.
\]

В применениях, впрочем, специальный выбор \( c_{12}\left(s_{3}\right) \) в уравнениях (317) не играет роли, а существенны только соотношения (317′), которые сохраняются при вращениях системы координат.

Вообще \( \psi_{\mu}^{*} \) является попрежнему вероятностью в пространстве конфигураций и спина. Плотность в пространстве одних координат положения равна, таким образом,
\[
\rho=\sum_{i s} \psi^{*}\left(x, s_{3} ; t\right) \psi\left(x, s_{3} ; t\right)=\sum_{\mu} \psi_{\mu}^{*}(x, t) \psi_{\mu}(x, t) .
\]
Объёмный интеграл плотности не зависит от времени. Условия нормировки и ортогональности для собственных функций стационарного состояния
\[
u\left(x, s_{3}\right)=\sum_{\mu} c_{\mu}\left(s_{3}\right) u_{\mu}(x)
\]

имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{s_{3}} \int d x u_{n}\left(x, s_{3}\right) u_{m}\left(x, s_{3}\right)= \\
\quad=\sum_{\mu} \int u_{n \mu}^{*}(x) u_{m \mu}(x) d x=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { при } m=n, \\
0 & \text { при } m
eq n .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Компоненты тока рассматриваются в релятивистской теории. Результат применения операторов \( s_{1}, s_{2}, s_{3} \) к волновой функции может быть проще всего получен из их матричного представления, аналогичного (301):
\[
\left.\begin{array}{rl}
\left(s_{1}+i s_{2}\right)_{\mu+1, \mu} & =\sqrt{(s-\mu)(s+1+\mu)}, \\
\left(s_{1}-i s_{2}\right)_{\mu-1, \mu} & =\sqrt{(s-\mu+1)(s+\mu)}, \\
\left(s_{3}\right)_{\mu, \mu} & =\mu .
\end{array}\right\}
\]

Мы получаем вообще
\[
\left(s_{k}\right) \psi_{\mu}(x, t)=\sum_{\mu^{\prime}} \Psi_{\mu^{\prime}}\left(s_{k}\right)_{\mu^{\prime}, \mu},
\]

причём, однако, не более двух матричных элементов \( \left(s_{k}\right)_{\mu^{\prime} ; \mu} \) отличны от нуля. Например:
\[
\begin{array}{l}
s_{1} \psi_{\mu}= \frac{1}{2}\left(s_{1}+i s_{2}\right) \psi_{\mu}+\frac{1}{2}\left(s_{1}-i s_{2}\right) \psi_{\mu}= \\
= \frac{1}{2} \psi_{\mu-1} \sqrt{(s-\mu+1)(s+\mu)}+ \\
\quad+\frac{1}{2} \psi_{\mu+1} \sqrt{(s-\mu)(s+1+\mu)},
\end{array}
\]

причём при \( \mu=s \) исчезает второй член, при \( \mu=-s \) первый. С другой стороны, имеем просто
\[
s_{3} \psi_{\mu}=\psi_{\mu} \mu .
\]

Функция Гамильтона в общем случае содержит, кроме \( x \), ецё \( s_{k} \). Например во внешнем магнитном поле с компонентами \( H_{1}, H_{2}, H_{3} \) функция Гамильтона получает добавок \( K\left(s_{1} H_{1}+s_{2} H_{3}+s_{3} H_{3}\right) \), где численный множитель \( K \) обозначает отношение магнитного момента к моменту импульса частицы. Вообще форма онератора Гамильтона должна быть определена на основании аналогии с классической теорией \( \left.{ }^{1}\right) \).
\( c_{\mu} \) и \( \psi_{\mu} \) В (316′) преобразуются при пространственных вращениях как коәффициенты \( c_{\mu} \) и переменные \( \Xi_{\mu} \) инвариантной формы
\[
\sum c_{\mu} \Xi_{\mu}
\]

причём, согласно (305),
\[
\Xi_{\mu}=\frac{\xi_{1}^{s+\mu_{\xi}} \xi_{2}^{-\mu}}{\sqrt{(s+\mu) !(s-\mu) !}},
\]

где положено \( v=2 s, r=s-\mu \), а \( \xi_{1}, \xi_{2} \) преобразуются согласно (303). Таким образом, преобразование \( \psi_{\mu} \) определяется непосредственно представлением \( \left(D_{s}\right) \) группы вращений, которое однозначно или двузначно в зависимости от того, является ли \( s \) полуцелым или целым числом. При зеркальном отражении индексы функции \( \psi_{\mu} \) могут оставаться неизменными, так как \( s \), представляющее собой антисимметрический тензор; остаётся инвариантным. В случае \( s=1 \) функции \( \psi_{1}, \psi_{0}, \psi_{-1} \) преобразуются при вращении \( D^{-1} \) их аргументов так, как преобразуются – \( \left(x_{1}-i x_{3}\right), \quad x_{3}, \quad x_{1}+i x_{2} \) при вращении \( D \), так что соответствующие линейные комбинации \( \Downarrow_{\mu} \) могут рассматриваться как компоненты векторов.

Особый интерес представляет, однако, случай \( s=1 / 2 \), потому что, как показывает опыт, он осуществляется для элементарных частиц (электронов, протонов). Согласно (317), мы получаем в этом случае
\[
\left(s_{1}+i s_{2}\right)_{+1 / 2,-1 / 2}=\left(s_{1}-i s_{2}\right)_{-1 / 3},+1 / 2=1,
\]

или, в матричной записи,
\[
s_{1}+i s_{3}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad s_{1}-i s_{2}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad s_{3}=\left(\begin{array}{rr}
1 / 2 & 0 \\
0 & -1 / 2
\end{array}\right),
\]
1). Ср. по этому вопросу Г. Бете, Квантовая механика простейших систем, § 22 .
т. е., обозначая
\[
\begin{array}{c}
s_{i}=\frac{1}{2} \vec{\sigma}_{k}, \\
\vec{\sigma}_{1}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \vec{\sigma}_{3}=\left(\begin{array}{rr}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right), \vec{\sigma}_{3}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Если писагь вместо \( \psi_{+1 / 2}(x, t), \psi_{-1 / 2}(x, t) \) соответственно \( \psi_{\alpha}(x, t), \psi_{\beta}(x, t) \), а вместо \( C_{+1 / 2} \) и \( C_{-1 / 2} \). просто \( C_{+} \)и \( C_{-} \), то получается
\[
\psi\left(x, s_{3} ; t\right)=C_{+} \psi_{\alpha}(x, t)+C_{-} \psi_{\beta}(x, t) .
\]

Далее, на основании (320), можем записать
\[
\begin{array}{ll}
\vec{\sigma}_{1} \psi_{\alpha}=\psi_{\beta}, & \vec{\sigma}_{1} \psi_{\beta}=\psi_{\alpha}, \\
\vec{\sigma}_{2} \psi_{\alpha}=\psi_{\beta} i, & \vec{\sigma}_{2} \psi_{\beta}=\psi_{\alpha}(-i), \\
\vec{\sigma}_{3} \psi_{\alpha}=\psi_{\alpha}, & \overrightarrow{\sigma_{3} \psi_{\beta}}=\psi_{\beta},
\end{array}
\]

и «компоненты плотности вероятности спинового момента»
\[
\left.\begin{array}{l}
d_{1}=\psi_{a}^{*} \sigma_{1} \psi_{a}+\psi_{\beta}^{*} \sigma_{1} \psi_{\beta}=\psi_{a}^{*} \psi_{\beta}+\psi_{\beta}^{*} \psi_{a}, \\
d_{2}=\psi_{a}^{*} \sigma_{2} \psi_{\alpha}+\psi_{\beta}^{*} \sigma_{2} \psi_{\beta}=i\left(\psi_{a}^{*} \psi_{\beta}-\psi_{\beta}^{*} \psi_{a}\right), \\
d_{3}=\psi_{a}^{*} \sigma_{3}^{*} \psi_{a}+\psi_{\beta}^{*} \sigma_{3} \psi_{\beta}=\psi_{\alpha}^{*} \psi_{\alpha}-\psi_{\beta}^{*} \psi_{\beta},
\end{array}\right\}
\]

преобразуются как компоненты вектора, тогда как
\[
\rho=\psi_{a}^{*} \psi_{a}+\psi_{\beta}^{*} \psi_{\beta}
\]

остаётся инвариантным. Эти матрицы \( \vec{\sigma}_{k} \) удовлетворяют соотношениям
\[
\left.\begin{array}{c}
\overrightarrow{\sigma_{1} \sigma_{2}}=-\overrightarrow{\sigma_{2} \vec{\sigma}_{1}}=\overrightarrow{i \sigma_{3}}, \cdots, \\
\vec{\sigma}_{1}^{2}=\vec{\sigma}_{2}^{2}=\vec{\sigma}_{2}^{4}=1,
\end{array}\right\}
\]

которые являются частным случаем (314), (315) и обозначают, что \( \vec{\sigma}_{k} \) перемножаются как единицы кватернионов; умноженные на \( i \). \( \psi_{a} \). \( \psi_{\beta} \) преобразуются при пространственных вращениях, как \( \xi_{1}, \xi_{2} \), введённые в (303), т. е. с помощью матрицы
\[
\left(\begin{array}{cc}
\alpha & -\beta^{*} \\
\beta & \alpha^{*}
\end{array}\right),
\]

которая выводится из (307). Как уже упоминалось,
\[
\text { . } \vec{\omega}_{k}=-i s_{k}=-\frac{1}{2} \vec{\sigma}_{k}
\]
определяет преобразование ( \( \psi_{\alpha}, \psi_{\beta} \) ) при бесконечно малых вращениях.

Обобщение на случай многих взаимодействующих между собой частиц, обладающих спином, не представляет затруднений. ‘Вводятся собственные функции
\[
\psi\left(x_{r 1}, x_{r 2}, x_{r 3}, s_{r 3}\right),
\]

причём индекс \( r \) обозначает здесь номер частицы и пробегает значения от 1 до \( N \), где \( N \)-число частиц. При этом каждое \( s_{r s} \) изменяется от \( -s_{r} \) до \( s_{r} \). В индексной записи собственные функции имеют вид
\( \psi\left(x_{r k}, s_{r 3}, t\right)= \)
\[
=\sum_{\mu_{1}, \ldots, \mu_{N},} C_{\mu_{1}}\left(s_{18}\right) \ldots C_{\mu_{N}}\left(s_{N 3}\right) \Psi_{\mu_{1}, \ldots, \mu_{N}}\left(x_{11}, \ldots, x_{N 3}\right),\left(325^{\prime}\right)
\]

где \( \mu_{r} \) пробегает значения от \( -s_{r} \) до \( +s_{r} \). В случае одних лишь электронов каждое \( \mu \) принимает только два значения \( +1 / 2 \) и – \( 1 / 2 \), и соотношения (325’) определяют \( 2^{N} \) функций. Оператор \( s_{r k} \) действует только на индекс \( \mu_{r} \) с тем же номером \( r \), причём совершенно так же, как в рассмотренном выше случае.

Существенное различие между сложными и элементарными частицами (электронами и протонами), так же как и обоснование значения \( 1 / 2 \) для спина последних, было выяснено впервые в релятивистской квантовой механике (ср. часть II, § 2).