Способ, которым в квантовой механике описывается система, состояџая из нескольких частиц, имеет для этой теории фундаментальное значение и является для неё более всего характерным. Этот способ показывает, с одной стороны, плодотворность идеи Шредингера о введении функции ‡, удовлетворяющей линейному уравнению, с другой стороны, показывает чисто символический характер этой функции, принципиально отличной от волновых функций классической теории (поверхностные волны в жидкостях, упругие волны, электромагнитные волны).

Мы не получим удовлетворительного описания системы из нескольких частиц, если зададим только вероятность найти одну частицу в определённом месте. Представим себе, например, систему, состоящую из двух материальных частиц, находящихся в замкнутом ящике. Пусть этот ящик разделён на две части перегородкой с небольшим запирающимся отверстием. Закрывая внезапно отверстие и разделяя тем самым обе половины, можно установить, в какой из половин ящика находится каждая из частиц в соответствующий момент. Можно не только исследовать, как велика для каждой частицы вероятность находиться в одной или другой половине, но также определить,’ как часто частицы находятся в той же самой или различной половинах яцика. Пусть вместо разделяющей перегородки применяется «микроскоп» с коротковолновым излучением и вместо разделения конечного объёма только на две части пусть будет произведено разделение пространства на произвольно малые части. Допустим, что имеется \( N \) частиц с координатами \( x_{k}^{(1)}, x_{k}^{(2)}, \ldots, x_{k}^{(N)} \), причём мы для простоты будем писать \( q_{1}, \ldots, q_{f} \), где \( f=3 N \) означает число степеней свободы, системы; далее будем писать просто \( d q \) вместо многомерного элемента объёма \( d q_{1} d q_{2} \ldots d q_{f} \).

Основные предположения, принимаемые для описания системы из нескольких материальных частиц, можно тогда сформулировать следующим образом:
1. В каждый момент времени \( t \) существует вероятность
\[
W\left(q_{i}, \ldots, q_{f}, t\right) d q
\]

того, что одновременно координаты первой частицы находятся в интервале \( \left(q_{k}, q_{k}+d q_{k}\right)(k=1,2,3) \), координаты вторай частицы – в интервале \( \left(q_{k}, q_{k}+d q_{k}\right)(k=4,5,6) \), координаты \( N \)-ой частиџы-в интервале \( \left(q_{k}, q_{k}+d q_{k}\right. \) ) \( (k=f-2, f-1, f) \).

Для пояснения введённого понятия вероятности заметим, что здесь прежде всего предположена различимость частиц; вероятность найти первую частицу в интервале \( x_{k}^{(1)}, x_{k}^{(1)}+ \) \( +d x_{k}^{(1)} \) и вторую в интервале \( x_{k}^{(2)}, x_{k}^{(2)}+d x_{k}^{(1)} \), вообще говоря, будет отлична от вероятности найти вторую частицу в интервале \( x_{k}^{(1)}, x_{k}^{(1)}+d x_{k}^{(1)} \) и первую-в интервале \( x_{k}^{(1)} \), \( x_{k}^{(2)}+d x_{k}^{(2)} \) или, что то же самое, вероятность зависит от последовательности, в которой расположены \( x_{k}^{(p)} \) среди аргументов \( q_{1}, \ldots, q_{f} \) функции \( W \). Подобная различимость действительно существует, если обе частицы принадлежат к. различным сортам, например, имеют различную массу (как электрон и протон или ядра двух различных изотопов).

Существование в природе точно одинаковых частиц, например, двух электронов или двух протонов или двух \( \alpha \)-частиц, вынуждает нас, однако, к особой осмотрительности, которая, впрочем, не нашла ещё непосредственного выражения в основах современной квантовой теории. В случае частич одинакового сорта можно лишь говорить о вероятности того, что одна из частиц находится в интервале \( \left(x_{k}^{(1)}, x_{k}^{(1)}+d x_{k}^{(1)}\right) \), ругая-в интервале \( \left(x_{k}^{(2)}, x_{k}^{(2)}+d x_{k}^{(2)}\right) \) и последняя-в интервале ( \( \left.\lambda_{k}^{(N)}, x_{k}^{(N)}+d x_{k}^{(N)}\right) \). Если, таким образом, существуют несколько частиц одинакового сорта, то можно считать имеюцими смысл лишь такие функции \( W \), которые симметричны относительно координат одинаковых частиц. К этому вопросу мы возвратимся более подробно в § 14, а пока не будем принимать во внимание этого обстоятельства.

Посредством интегрирования по координатам всех частиц, кроме одной, получаем \( N \) новых функций:
\[
W_{1}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), W_{2}\left(x_{4}, x_{5}, x_{6}\right), \ldots, W_{N}\left(x_{3 N-2}, x_{N-1}, x_{3 N}\right)
\]

Эти функции дают вероятность найти определённую частицу в определённой точке пространства при произвольном местонахождении всех остальных частиц. Они говорят

меньше о системе, чем первоначальная функция от 1 аргументов, так как, в то время как мы вывели эти функции однозначно из первоначальной, обратное, очевидно, не может быть выполнено. (В рассмотренном выше примере ящика, состоящего из двух половин, в котором находятся две частицы, из указания: «для каждой частицы одинаково вероятно наход тться в первой или второй половине», не следует ещё что-либо об относительной частоте случаев: «обе частицы в одной половине» и «обе частицы в разных половинах».)

Только в частном случае знание функций \( W_{1}, \ldots, W_{N} \) равнозначно знанию функции \( W\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{f}\right) \)-именно, если эта функция \( W \) распадается на произведение:
\[
\begin{array}{l}
W\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right)= \\
\quad=W_{1}\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right) W_{2}\left(q_{4}, q_{5}, q_{6}\right) \ldots W_{N}\left(q_{3 N-2}, q_{3 N-1}, q_{3 N}\right) .
\end{array}
\]

В этом специальном, случае мы говорим, что частицы статистически независимы.

Существование вероятности \( W\left(q_{1}, \ldots, q_{f} ; t\right) \) содержит утверждение или возможно лишь в предположении, что измерения положения различных частиц не возмущают друг друга принципиально, т. е. что не теряется возможность использования сведений о положении одной частицы для предсказаний результатов других измерений (например, коордиңаты этой частицы в более позднее время), если мы знаем координаты других частиц. Такое положение дел тесно связано с вопросом, насколько существенна одновременность измереңий положения различных частиц для существоваңия вероятности. Это можно выразить ещё так: при каких условиях существует вероятность
\[
W\left(x_{k}^{(1)} t^{(1)} ; x_{k}^{(2)}, t^{(2)} ; \ldots ; x_{k}^{(1)}, t^{(N)}\right) d q_{1} \ldots d q_{3 N},
\]

что первая частица находится в момент \( t^{(1)} \) в интервале \( x_{k}^{(1)}, x_{k}^{(1)}+d x_{k}^{(1)} \), далее вторая частица в момент \( t^{(2)} \) в иңтервале \( x_{k}^{(2)}, x_{k}^{(2)}+d x_{k}^{(2)} \), далее \( N \)-ая частица в момент \( t^{(N)} \) — в интервале \( x_{k}^{(N)}, x_{k}^{(N)}+d x_{k}^{(N)} \). В общем случае, т. е. если между частицами существуют произвольные силы взаимодействия, отсутствие взаимного возмущения измерений гарантировано лишь тогда, когда имеет место сле-

дующее соотношение между расстоянием \( r_{a b} \) какой-либо пары ( \( a, b \) ) частиц и соответствующим временем:
\[
t_{a}-t_{b} !<\frac{r_{a b}}{c} .
\]

Вызванное измерением координаты изменение силового воздействия частицы \( a \) на частицу \( b \) не может распространяться быстрее скорости света. Поскольку в релятивистской квантовой механике вообще принимается, что существует вероятность \( W\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} ; t\right) d x_{1} d x_{2} d x_{3} \) для местоположения одной частицы, следует принять существующей и вероятность. (88), если значения аргументов удовлетворяют условию (89) \( { }^{1} \) ). В нерелятивистской области последовательно считать скорость свёта \( c \) бесконечно большой величиной и потому ограңичиться случаем, когда \( t^{(1)}=t^{(2)}=\ldots=t^{(N)}=t \).
2. Как естественное обобщение аналогичных предположений для случая одной частицы, мы принимаем также и здесь существование функции \( \psi\left(q_{1}, \ldots, q_{f} ; t\right) \), причём
\[
W\left(q_{1}, \ldots, q_{f} ; t\right)=\psi^{*} \psi d q .
\]

Допустим также, что функция \( џ \) опять-таки удовлетворяет уравнению:
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \dot{\varphi}}{\partial t}=\boldsymbol{H} \dot{\psi}
\]

где \( \boldsymbol{H} \)-линейный оператор. Функция \( (\boldsymbol{H} \psi)\left(q_{1}, \ldots, q_{f} ; t\right) \) при этом однозначно определяется значением функции \( \psi\left(q_{1}, \ldots, q_{f}, t\right) \) для того же момента времени \( t \), так что не требуется знания д для других моментов времени.
Чтобы выполнялось условие
\[
\frac{d}{d t} \int \psi^{*} \psi d q=0
\]
\( \boldsymbol{H} \) должно быть эрмитовским оператором, т. е. для двух произвольных функций \( \psi_{1}, \psi_{2} \), удовлетворяющих лишь известным условиям регулярности, должно иметь место соотношение
\[
\int \psi_{1}^{*} \boldsymbol{H} \dot{\psi}_{2}^{\prime} d q=\int \psi_{2}\left[\boldsymbol{H} \psi_{1}\right]^{*} d q .
\]
1) О необходимости несқельких ф-функций для частиц со спином см. § 13 .

3. Обобщая (24\”) и (27), мы полагаем, что
\[
\begin{array}{c}
\varphi\left(p_{1}, \ldots, p_{f} ; t\right)= \\
\frac{1}{\sqrt{\left(2 \pi_{h}\right)^{\prime}}} \int \psi\left(q_{1}, \ldots, q_{f} ; t\right) e^{-\frac{i}{\hbar}\left(p_{1} q_{1}+\ldots+p_{f} f_{f}\right)} d q,
\end{array}
\]

С обращением:
\[
\begin{array}{c}
\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{f} ; t\right)= \\
=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi \hbar)^{f}}} \int \varphi\left(p_{1}, \ldots, p_{f} ; t\right) e^{+\frac{i}{\hbar}\left(p_{1} q_{1}+\ldots+p_{f} q_{f}\right)} d p,
\end{array}
\]

Тогда как
\[
W\left(p_{1}, \therefore, p_{f} ; t\right) d p=\varphi \varphi^{*} d p
\]

даёт вероятность, что в момент \( t \) импульс частицы находится в интервале ( \( \left.p_{k}, p_{k}+d p_{k}\right) \). В этих выражениях положено: \( d q=d q_{1}, \ldots, d q_{f} \) и \( d p=d p_{1}, \ldots, d p_{f} \). Далее соблюдается соотношение
\[
\int \varphi^{*} \varphi d p \equiv \int \psi^{*} \psi d q
\]

Отсюда следует, с помощью интегрирования по частям, совершенно аналогично (47), (47′):
\[
\begin{array}{l}
\overline{F\left(p_{1}, \ldots, p_{f}\right)}=\int \varphi^{*} F \varphi d p= \\
=\int \Psi^{*}\left[F\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{f}}\right) \Psi\right] d q, \\
\overline{F\left(q_{2}, \ldots, q_{f}\right)}=\int \psi^{*} F \Psi d p= \\
=\int \varphi^{*}\left[F\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial p_{1}}, \ldots, i \hbar \frac{\partial}{\partial p_{f}}\right) \varphi\right] d p .
\end{array}
\]

Здесь \( F \)-целая рациональная функция \( f \) переменных. Эти соотношения мы разъясним несколько пізже.

Что касается выбора оператора Гамильтона \( \boldsymbol{H} \), то прежде всего положим, что в случае отсутствия взаимодействия между частицами, но при наличии, однак \( \phi \), произвольных внетиних сил оператор Гамильтона распадается на независимые слагаемые:
\[
\boldsymbol{H}=\boldsymbol{H}^{(1)}+\boldsymbol{H}^{(2)}+\cdots+\boldsymbol{H}^{(N)},
\]

причём оператор \( \boldsymbol{H}^{(1)} \) изменяет лишь функцию \( \psi\left(x_{k}^{(1)}\right) \), содержащую координаты первой частицы, но функции,

содержащие координаты только других частиц, оставляет неизменными. Таким образом, имеем:
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{H}^{(1)}\left[\psi ( q ^ { ( 1 ) } ) \dot { \Psi } \left(q^{(2)}\right.\right. & \left.\left., \ldots, q^{(N)}\right)\right]= \\
& =\left\{\boldsymbol{H}^{(1)}\left[\psi\left(q^{(1)}\right)\right]\right\} \Psi\left(q^{(2)}, \ldots, q^{(N)}\right) .
\end{aligned}
\]

Аңалогичные соотношения имеют место для операторов \( \boldsymbol{H}^{(2)}, \ldots, \boldsymbol{H}^{(N)} \). Если, таким образом,
\[
\psi^{(1)}\left(q^{(1)}\right), \ldots, \psi^{(N)}\left(q^{(N)}\right)
\]

суть какие-либо решения волнового уравнения
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi^{(a)}}{\partial t}=\boldsymbol{H}^{(a)} \psi^{(a)} \quad(a=1,2, \ldots, N)
\]

изолированной системы, то
\[
\psi=\psi^{(1)} \cdot \psi^{(2)} \cdots \psi^{(N)}
\]

есть решение (правда, не наиболее общее) уравнения:
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=\boldsymbol{H} \psi=\left[\boldsymbol{H}^{(1)}+\boldsymbol{H}^{(2)}+\ldots+\boldsymbol{H}^{(N)}\right] \psi .
\]

Аддитивное разложеңие оператора Гамильтона на независимые слагаемые соответствует, таким образом, разложению волновой функции на независимые множители. Это находится в согласии с тем обстоятельством, что в случае статистически независимых частиц вероятность \( W\left(q_{1}, \ldots, q_{f} ; t\right) \) распадается на произведение. Так как \( \psi \) для всех времён однозначно определяется заданием \( \psi_{0} \) для определённого момента времени \( t_{0} \), то можно утверждать, что если в случае несвязанных частиц волновая функция в определёнңый момент времени распадается на произведение, то это будет соблюдаться для всех моментов времени. Также справедливо следующее: если механически несвязаңные частицы статистически независимы для определённого момента времени \( t_{0} \), то они остаются статистически независимыми и для всех моментов времени.

На основании предыдущего параграфа мы знаем гамильтонов оператор \( \boldsymbol{H}_{0} \) для несвязанных частиц, находящихся под действием внешних сил. Оң даётся выражеңием:
\[
\boldsymbol{H}_{n}=\sum_{a=1}^{N}\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m^{(a)}} \sum_{k=1}^{3}\left(\frac{\partial}{\partial x_{k}^{(a)}}-\frac{i}{\hbar} e^{(a)} \Phi^{(a)}\left(x_{k}^{(a)}\right)\right)^{2}+V^{(a)}\left(x_{k}^{(a)}\right)\right] .
\]

Если силы между частицами могут быть получены из потенциала \( V\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right) \), зависящего только от координат частиц, то естественно положить:
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=(\boldsymbol{H} \psi)=\left(\boldsymbol{H}_{0} \psi\right)+V\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right) \psi .
\]

Высказанному предположению о характере сил между частицами удовлетворяют и кулоновы электрические силы между заряженными частицами, потенциал которых даётся выражением:
\[
V=\sum_{(a, b)}^{\prime} \frac{e_{a} e_{b}}{r_{a b}} .
\]
(В этой сумме \( a
eq b \) и каждая пара \( (a, b) \) берётся только один раз.) Вопросы магнитного взаимодействия двух частиц мы будем подробно разбирать при обсуждении релятивистской квантовой механики.

В нерелятивистском случае выражения (97), (98), (99) для волнового уравнения проблемы многих тел представляют собой (не учитывая необходимого дополнения, касающегося спина, см. § 13) основу для расчёта строения атомов и молекул. Что касается их принципиального значения, то подчеркнём, что здесь потенциалы \( \left.\Phi^{(a)}, V^{(a)}{ }^{1}\right) \) и \( V \) взяты из классической теории; это относится, в частности, и к кулонову потенциалу (99), который в свою очередь является следствием уравнений Максвелла. Таким образом, современная волновая механика покоится на двух различных основах: во-первых, на уравнениях для (понимаемых лишь символически) волн материи, которые должны рассматриваться как логическое обобщение классической механики частицы, вносящее в теорию квантов действие и, во-вторых, на электродинамических уравнениях Максвелла, которые, конечно, тоже нуждаются в квантово-мехаңическом истолковаңии. Весьма заманчивым был бы охват обоих этих положеңий с одной логически единой точки зрения, пока ещё не найденной.
1) «Внешние силы» следует рассматривать как вспомогательное понятие, применение которого улобно, когда тела, вызывающие эти силы, не входят в рассматриваемую систему. Исключение этих сил в принципе вседа было бы возможно, если бы кожно было строго провести в квантовой теории уче̋т запаздывания действия сил.

Этот вопрсс должен быть связан с ещё не решённой проблемой электрического элементарного кванта.

В настоящей главе мы будем, однако, рассматривать потенциал просто как заданную функцию координат пространства и времени. Прежде всего на наш случай могут быть непосредственно перенесены уравнение непрерывности (37) и уравнение (45′) для изменения тока со временем. При этом целесообразно вместо \( e^{(a)}, m^{(a)} \), \( \Phi^{(a)}\left(x_{k}^{(a)}\right) \), где \( k=1,2,3,(a)=1,2, \ldots, N \), ввести обозначения \( e_{k}, m_{k}, \Phi_{k} \), где \( k=1,2, \ldots, t \), -так что, например, \( m_{1}=m_{2}=m_{3}=m^{(1)}, \quad m_{4}=m_{5}=m_{6}=m^{(2)} \). Тогда мы будем иметь в \( f \)-мерном пространстве вектор с \( f \) компонентами \( \boldsymbol{t}_{k}(k=1, \ldots, f) \); физический смысл этого вектора таков; \( i_{1} \), например, есть вероятность того, что, при заданном положении всех частиц, в положительном направлении относительно оси \( x_{1} \)-через перпендикулярную по отношению к оси \( x_{1} \) единичную площадку пройдёт число частиц, на одну частицу бо́льшее. Этот вектор \( \vec{i} \) даётся в \( f \)-мерном пространстве выражением:
\[
\boldsymbol{i}_{k}=\frac{\hbar}{2 m_{k} i}\left(\psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}-\psi \frac{\partial \psi^{*}}{\partial q_{k}}\right)-\frac{1}{m_{k}} \frac{\boldsymbol{e}_{k}}{c} \Phi_{k} \psi^{*} \psi
\]

и удовлетворяет уравнению непрерывности
\[
\frac{\partial\left(\psi^{*} \psi\right)}{\partial t}+\sum_{k=1}^{f} \frac{\partial i_{k}}{\partial q_{k}}=0 .
\]

Тензор напржения также будет даваться в \( f \)-мерном пространстве выражением, плотностью аналогичным (79):
\[
\begin{array}{l}
T_{\mathrm{x} \lambda}=\frac{\hbar^{2}}{4 m_{\lambda}}\left[-\psi^{*}\left(\frac{\partial}{\partial q_{\lambda}}-\frac{i e_{\lambda}}{\hbar c} \Phi_{\lambda}\right)\left(\frac{\partial\rangle}{\partial q_{\mathrm{x}}}-\frac{i e_{\mathrm{x}}}{\hbar c} \Phi_{\mathrm{x}} \psi\right)-\right. \\
-\psi\left(\frac{\partial}{\partial q_{\lambda}}+\frac{i e_{\lambda}}{\hbar c} \Phi_{\lambda}\right)\left(\frac{\partial_{\iota^{*}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}+\frac{i e_{\mathrm{x}}}{\hbar c} \Phi_{\mathrm{x}} \psi^{*}\right)+ \\
+\left(\frac{\partial \psi}{\partial q_{\mathrm{x}}}-\frac{i e_{\mathrm{x}}}{\hbar c} \Phi_{\mathrm{z}} \psi\right)\left(\frac{\partial \varphi^{*}}{\partial q_{\lambda}}+\frac{i e_{\lambda}}{\hbar c} \Phi_{\lambda} \psi^{*}\right)+ \\
\left.+\left(\frac{\partial \tau^{*}}{\partial q_{\mathrm{x}}}+\frac{i e_{\mathrm{x}}}{\hbar c} \Phi_{\mathrm{x}} \psi^{*}\right)\left(\frac{\partial \zeta}{\partial q_{\lambda}}-\frac{i e_{\lambda}}{\hbar c} \Phi_{\lambda} \psi\right)\right] \text {. } \\
\end{array}
\]

Условие симметричности \( T_{\mathrm{x \lambda}}=T_{\lambda x} \) выполняется здесь только в случае, если \( x \) и \( \lambda \) принадлежат той же частице. Аналогично (78) имеет место следующее соотношение:
\[
\begin{aligned}
m \frac{\partial i_{\mathrm{x}}}{\partial t}=-\sum_{\lambda} \frac{\partial T_{\mathrm{x} \lambda}}{\partial q_{\lambda}}+( & \left.\frac{\partial\left(V+\sum_{\boldsymbol{a}} V^{(a)}\right)}{\partial q_{\mathrm{x}}}-\frac{e_{\mathrm{x}}}{c} \frac{\partial \Phi_{\mathrm{x}}}{\partial t}\right) \psi^{*} \psi+ \\
& +\frac{e_{\mathrm{x}}}{c} \sum_{\lambda}\left(\frac{\partial \Phi_{\lambda}}{\partial q_{\mathrm{x}}}-\frac{\partial \Phi_{\mathrm{x}}}{\partial q_{\lambda}}\right) i_{\lambda} .
\end{aligned}
\]

При наших предположениях относительно \( \Phi_{k} \) в последней сумме отличны от нуля лишь три члена (относящиеся к той же самой частице). Далее, снова имеем:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \bar{q}_{k}}{d t}=\int i_{k} d V=\frac{1}{m_{k}}\left(\bar{p}_{k}-\frac{e_{h}}{c} \bar{\Phi}_{k}\right), \\
m \frac{d^{2} \bar{q}_{k}}{d t^{2}}=\bar{K}_{k},
\end{array}
\]

причём \( \bar{K}_{k} \) определено выражением (81).
Последние из приведённых соотношений – уравнения движения – могут быть выведены весьма общим способом из волнового уравнения с помощью операторного исчисления. Мы обратимся сначала к соотношениям (91), (91′), из которых следуют соотношения (94), (94′), если \( F \)-целая рациональная функция. Из этих соотношений следует, что импульсам и координатам приводятся в соответствие операторы, которые действуют следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{p}_{k} \psi\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right)=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{k}} \psi, \quad \boldsymbol{q}_{k} \psi\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right)=q_{k} \psi, \\
\boldsymbol{p}_{k} \varphi\left(p_{1}, \ldots, p_{f}\right)=p_{k} \varphi\left(p_{1}, \ldots, p_{f}\right) \\
\boldsymbol{q}_{k} \varphi\left(p_{1}, \ldots, p_{f}\right)=-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial p_{k}} \varphi .
\end{array}
\]

Отсюда следуют фундаментальные перестановочные соотноиения
\[
\left.\begin{array}{l}
\boldsymbol{p}_{k} \boldsymbol{q}_{l}-\boldsymbol{q}_{l} \boldsymbol{p}_{k}=\delta_{l k} \frac{\hbar}{i}, \quad\left(\delta_{l k}=\left\{\begin{array}{l}
1, \text { если } l=k \\
0, \text { если } l
eq k
\end{array}\right)\right. \\
\boldsymbol{p}_{k} \boldsymbol{p}_{l}-\boldsymbol{p}_{l} \boldsymbol{p}_{k}=0 \\
\boldsymbol{q}_{k} \boldsymbol{q}_{l}-\boldsymbol{q}_{l} \boldsymbol{q}_{k}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Например:
\[
\boldsymbol{p}_{k} \boldsymbol{q}_{k} \psi=\frac{\hbar}{\boldsymbol{i}} \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{q}_{k}}\left(\boldsymbol{q}_{k} \psi\right), \quad \boldsymbol{q}_{k} \boldsymbol{p}_{k} \psi=\boldsymbol{q}_{k} \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{q}_{k}} \psi .
\]

Таким образом, действительно,
\[
\left(\boldsymbol{p}_{k} \boldsymbol{q}_{k}-\boldsymbol{q}_{k} \boldsymbol{p}_{k}\right) \psi=\frac{\hbar}{i}\left(\frac{\partial}{\partial q_{k}}\left(q_{k} \psi\right)-q_{k} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}\right)=\frac{\hbar}{i} \psi .
\]

То же самое получим, если используем для проверки перестановочных соотношений функцию \( \varphi\left(p_{1}, \ldots, p_{f}\right) \). Аналогичным способом можно проверить и остальные перестановочные соотношения (103). Эта форма перестановочных соотношенкй является лишь другим выражением для связи (91), (91′) \( \varphi(p) \) и \( \psi(q) \).

Далее заметим, что \( \boldsymbol{p}_{k} \) и \( \boldsymbol{q}_{k} \) являются эрмитовскими (линейными) операторами. Такие операторы определяются тем, что соотношение
\[
\int \psi_{i}^{*}\left(\boldsymbol{H} \psi_{3}\right) d V=\int \psi_{2}\left(\boldsymbol{H} \psi_{1}\right)^{*} d V
\]

должно иметь место для произвольных функций \( \psi_{1} \) и \( \psi_{2} \). Легко установить, что это соотношение справедливо для операторов (102). Мы напомним далее, что в результате двукратного применения (63) к двум эрмитовским операторам получается:
\[
\begin{array}{l}
\int\left(\boldsymbol{H}_{1} \dot{\psi}_{1}\right)^{*}\left(\boldsymbol{H}_{2} \psi_{2}\right) d V=\int \psi_{2}\left(\boldsymbol{H}_{2}\left[\boldsymbol{H}_{1} \psi_{1}\right]\right)^{*} d V, \\
\int\left(\boldsymbol{H}_{2} \psi_{2}\right)^{*}\left(\boldsymbol{H}_{1} \psi_{1}\right) d V=\int \psi_{1}\left(\boldsymbol{H}_{1}\left[\boldsymbol{H}_{2} \psi_{2}\right]\right)^{*} d V ;
\end{array}
\]

таким образом,
\[
\int \psi_{2}\left(\boldsymbol{H}_{2}\left[\boldsymbol{H}_{1} \psi_{1}\right]\right)^{*} d V=\int \psi_{1}\left(\boldsymbol{H}_{1}\left[\boldsymbol{H}_{2} \psi_{2}\right]\right)^{*} d V .
\]

Отсюда следует: если \( \boldsymbol{H}_{1} \) и \( \boldsymbol{H}_{2} \)-эрмитовы линейные операторы, то таковыми же являются и операторы:
\[
\begin{array}{l}
F=H_{1} H_{2}+H_{2} H_{1}, \\
G=i\left(H_{1} H_{2}-H_{2} H_{2}\right) .
\end{array}
\]

Если, в частности, \( \boldsymbol{H}_{1} \) и \( \boldsymbol{H}_{3} \) комутативны, то \( \boldsymbol{H}_{1} \boldsymbol{H}_{2} \) также эрмитово; таким образом, каждая целая рацио-

нальная функция от \( \boldsymbol{H}_{1} \) снова будет эрмитовой. Пусть \( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \)-два линейных оператора; для краткости мы часто будем использовать следующее обозначение:
\[
[\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}] \equiv i(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}-\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}) .
\]

Тогда имеем:
\[
\begin{array}{c}
{\left[A_{1} A_{2}, A_{3}\right] \equiv A_{1}\left[A_{2} A_{3}\right]+\left[A_{1} A_{3}\right] A_{2}} \\
{\left[\left[A_{1}, A_{2}\right] A_{3}\right]+\left[\left[A_{3}, A_{1}\right] A_{2}\right]+\left[\left[A_{2}, A_{3}\right] A_{1}\right] \equiv 0 .}
\end{array}
\]

Пусть \( \boldsymbol{F} \) – произвольный эрмитов линейный оператор, неявно зависящий от времени, и \( \boldsymbol{H} \)-оператог Гамильтона. Мы хотим вычислить производную среднего значения (математического ожидания):
\[
\begin{array}{l}
\overline{\boldsymbol{F}}=\int \psi^{*}(\boldsymbol{F} \psi) d V, \\
\hbar \frac{d \bar{F}}{d t}=\hbar \int \frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}(\boldsymbol{F} \psi) d V+\hbar \int \psi^{*}\left(\boldsymbol{F} \frac{\partial}{\partial t}\right) d V= \\
=i \int(\boldsymbol{H} \psi)^{*}(\boldsymbol{F} \psi) d V-i \int \psi^{*}(\boldsymbol{F}[\boldsymbol{H} \psi]) d V= \\
=i \int \psi^{*}[(\boldsymbol{H}) \psi] d V-i \int \psi^{*}[(\boldsymbol{F H}) \psi] d V
\end{array}
\]

Таким образом,
\[
\hbar \frac{d \bar{F}}{d t}=\int \psi^{*}([\boldsymbol{H}, \boldsymbol{F}] \psi) d V=\overline{[\boldsymbol{H}, \boldsymbol{F}]}=i \overline{(\boldsymbol{H} \boldsymbol{F}-\boldsymbol{F H})} .
\]

Далее имеем для каждой функции \( F\left(p_{1}, \ldots, p_{f}\right) \) от одних лишь \( p \)
\[
\boldsymbol{F} \boldsymbol{p}_{k}-\boldsymbol{p}_{k} \boldsymbol{F}=0, \boldsymbol{F} \boldsymbol{q}_{k}-\boldsymbol{q}_{k} F=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{p}_{k}} .
\]

Последняя формула справедлива для \( F=p_{i} \) и для \( F=q_{i} \); если формула (111) справедлива для \( F_{1} \) и \( F_{2} \), то она справедлива л для \( F_{1}+F_{2} \) и \( F_{1} \cdot F_{2} \), что очевидно из (107). Отсюда следует справедливость соотношения (111) и для любой целой рациональной функции \( F \) от \( p \). Далее, в соответствии с определением \( p_{k}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{k}} \), имеем для каждой функции \( G\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right) \) от одних лишь \( q \) :
\[
\boldsymbol{p}_{k} \boldsymbol{G}-\boldsymbol{G} \boldsymbol{p}_{k}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \boldsymbol{G}}{\partial \boldsymbol{q}_{k}}, \quad \boldsymbol{q}_{k} \boldsymbol{a}-\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{q}_{k}=0 .
\]

Из (111). и.(112) вліесте сләдует, что для каждой функции типа
\[
\boldsymbol{H}(p, q)=\boldsymbol{F}\left(p_{1}, \ldots, p_{f}\right)+\boldsymbol{G}\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right),
\]

где \( F \)-целая рациональная, а \( G \)-произвольная функция,
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{H} \psi(q)=\left[\boldsymbol{F}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{f}}\right)+\boldsymbol{G}\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right)\right] \dot{\psi}, \\
\boldsymbol{H} \boldsymbol{p}_{k}-\boldsymbol{p}_{k} \boldsymbol{H}=-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial \boldsymbol{q}_{k}}, \quad \boldsymbol{H} \boldsymbol{q}_{k}-\boldsymbol{q}_{k} \boldsymbol{H}=\frac{\hbar}{\boldsymbol{i}} \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial \boldsymbol{p}_{i}} \cdot \text { (11) }
\end{array}
\]

Наконец, пользуясь определением \( \boldsymbol{p}_{k} \) и \( \boldsymbol{q}_{k} \), так же легко доказать формулу (114) ещё для функции вида:
\[
\begin{array}{r}
\boldsymbol{H}=\boldsymbol{F}\left(p_{1}, \ldots, p_{f}\right)+\sum_{k}\left[\boldsymbol{A}_{k}(q) \boldsymbol{p}_{k}+\boldsymbol{p}_{k} \boldsymbol{A}_{k}(q)\right]+ \\
+\boldsymbol{G}\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right) .
\end{array}
\]

Как раз тәкой вид имеет гамильтонова функция в декартовых координатах, которые мы употребляли до сих пор. (Следует соблюдать симметрию в последовательности множителей \( A_{k} \) и \( \dot{p}_{k} \); это, согласно (105), необходимо для того, чтобы оператор \( \boldsymbol{H} \) был эрмитов.)

Полагая в (110) \( F=p_{k} \) или \( F=q_{k} \), получим, принимая во внимание (114):
\[
\frac{\partial \overline{p_{k}}}{\partial t}=-\overline{\left(\frac{\partial H}{\partial q_{k}}\right)}, \frac{\partial \overline{q_{k}}}{\partial t}=+\overline{\left(\frac{\partial H}{\partial p_{k}}\right)} .
\]

Это-уравнения для средних значений соответствующих величин, причём усреднение происходит по волновому пакету, являющемуся произвольным решением волнового уравнения. При этом, исходя из предшествующего, под средним значением выражения вида
\[
A_{k}(q) p_{k}+p_{k} A_{k}(q)
\]

понимается интеграл
\[
\int \psi^{*}\left[A_{k}(q) \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{k}}+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{k}}\left(A_{k}(q) \psi\right)\right] d q,
\]

который имеет всегда действительное значение. Это определение оказывается опраяданным во многих отношениях. Затем из (110), если положить \( \boldsymbol{F}=\boldsymbol{H} \), следует
ољщие принцины волновой механики

(для случая, когда \( H \) не зависит от времени явно)
\[
\frac{d \bar{H}}{d t}=0, \quad \bar{H}=\text { const } .
\]
(так как \( [H, \dot{H}]=0 \) ).
Здесь мы усматриваем выражение закона сохранения энергии, так как \( H \) может быть интерпретировано как среднее значение энергии по волновому пакету. Подобным же образом для общего импульса системы следует:
\[
\bar{P}=\sum_{(k)} \overline{p_{k}}, \quad \frac{\overline{d P}}{d t}=-\overline{\left(\sum_{k} \frac{\partial}{\partial q_{k}}\right) H} .
\]

Это выражение обращается в нуль, если \( \boldsymbol{H} \) явно зависит лишь от разностей координат \( q_{k}-q_{i} \). Далее имеем для момента количества движения (момента импульса), в случае отсутствия магнитного поля,
\[
\begin{array}{c}
J_{i k}=\sum_{a=1}^{N}\left(q_{i}^{(a)} p_{k}^{(a)}-q_{k}^{(a)} p_{i}^{(a)}\right), \\
\left(J_{i k}=-J_{k i}, i, k=1,2,3\right)
\end{array}
\]
\( [(a) \) – индекс частицы, пробегающий значения от 1 до \( N] \).

Здесь, как в классической механике, правая часть обращается в нуль, если потенциальная энергия системы инвариантна относительно вращения всей системы как целого в пространстве. При наличии магнитного поля имеем:
\[
\frac{d \overline{q_{x}}}{d t}=\frac{1}{m}\left(\bar{p}_{x}-\frac{e}{c} \bar{\Phi}_{x}\right)=\int i_{x} d q,
\]

причём \( i_{x} \) определяется выражением (100).
Далее имеем при нашем определении среднего значения:
\[
\begin{array}{l}
\int H_{\mathrm{x} \lambda} i_{\lambda} d V=\frac{1}{2} \overline{\left(H_{\mathrm{x} \lambda} \dot{q}_{\lambda}+\dot{q}_{\lambda} H_{\mathrm{x} \lambda}\right)}= \\
=\frac{1}{2 m} \overline{\left(H_{\mathrm{x} \lambda} p_{\lambda}+p_{\lambda} H_{\mathrm{x} \lambda}\right)}-\frac{e}{m c} H_{\mathrm{x} \lambda} \Phi_{\lambda},
\end{array}
\]

где
\[
H_{x \lambda}=\frac{\partial \Phi_{\lambda}}{\partial q_{x}}-\frac{\partial \Phi_{x}}{\partial q_{\lambda}}
\]

Таким образом,
\[
\begin{aligned}
m \frac{d^{2} q_{\mathrm{x}}}{d t^{2}}=-\frac{\overline{\left(V+\sum_{a} V^{(a)}\right)}}{\partial q_{\mathrm{x}}}-\frac{e_{\mathrm{x}} \frac{\overline{\partial \Phi_{\mathrm{x}}}}{c}+}{\partial t}+ \\
\quad+\frac{e_{\mathrm{x}}}{c} \frac{1}{2} \sum_{\lambda} \overline{\left(H_{\mathrm{x} \lambda} \dot{q}_{\lambda}+\dot{q}_{\lambda} H_{\mathrm{x} \lambda}\right)}=\overline{K_{\mathrm{x}}} .
\end{aligned}
\]

Затем
\[
\begin{array}{l}
\bar{J}_{i k}=\sum_{a=1}^{N} m^{(a)}\left(q_{i}^{(a)} \dot{q}_{k}^{(a)}-q_{k}^{(a)} q_{i}^{(a)}\right)= \\
=\sum_{a=1}^{N}\left[\left(q_{i}^{(a)} p_{k}^{(a)}-p_{k}^{(a)} q_{i}^{(a)}\right)-\frac{e^{(a)}}{c}\left(q_{i}^{(a)} \Phi_{k}^{(a)}-q_{k}^{(a)} \Phi_{i}^{(a)}\right)\right], \\
\bar{J}_{i k}=\sum_{a=1}^{N} m^{(a)} \int\left[q_{i}^{(a)} i_{k}^{(a)}-q_{k}^{(a)} i_{i}^{(o)}\right] d q \\
\frac{d \bar{J}_{i k}}{d t}=\frac{1}{2} \sum_{(a)}\left[\overline{\left(q_{i}^{(a)} K_{k}^{(a)}-q_{k}^{(a)} K_{i}^{(a)}\right)}+\overline{\left(K_{k}^{(a)} q_{i}^{(a)}-K_{i}^{(a)} q_{k}^{(a)}\right)}\right] .
\end{array}
\]

Здесь под \( \boldsymbol{K}_{k}^{(a)} \) понимается оператор соответственной компоненты сил. (120) следует также и непосредственно из (78′). Правая часть (120) снова обращается в нуль, если система обладает симметрией вращения относительно оси, перпеңдикулярной к плоскости \( x_{i} x_{k} \) (ср. § 13).

Скажем несколько слов о случае, когда вместо декартовых координат употребляются какие-либо другие координаты. Так как классическая гамильтонова функция имеет тогда общий вид квадратичной формы от \( p \), с произвольным образом зависящими от \( q \) коэффициентами, то здесь появляется, вообще говоря, двузначность относительно последовательности множителей \( f(q) \) и \( p_{k} \). Эта последовательность может быть установлена только посредством пересчёта в декартовы координаты \( { }^{1} \) ).
1) B. Podolsky, Phys, Rev., 32, 812, 1928.
5

Для образования частных производных этого общего выражения по \( p_{k} \) и \( q_{k} \), напротив, можно дать рациональные правила \( { }^{1} \) ), именно можно установить как определение, что при дифференцировании произведения двух функций \( F_{1} F_{2} \) всегда должен иметь место следующий порядок сомножителей:
\[
\frac{\partial}{\partial X}\left(F_{1} F_{2}\right)=\frac{\partial F_{1}}{\partial X} F_{2}+F_{1} \frac{\partial F_{2}}{\partial X} .
\]

Для произведения произвольного числа сомножителей отсюда по индукции следует
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial \bar{X}}\left(F_{1} \ldots F_{N}\right)=\frac{\partial F_{1}}{\partial X} F_{2} \ldots F_{N}+ \\
\quad+F_{1} \frac{\partial F_{2}}{\partial X} F_{3} \ldots F_{N}+\ldots+F_{1} \ldots F_{N-1} \frac{\partial F_{N}}{\partial \bar{X}} .
\end{array}
\]

Здесь под \( X \) понимается любая из переменных \( p_{1}, \ldots, q_{j} \). (114) в этом случае снова справедливо, если \( \boldsymbol{H} \)-целая рациональная функция от \( p \) и произвольная функция от \( q \). Благодаря (107), (115) снова будет следствием волнового уравнения.

Мы можем сформулировать волновое уравнение в произвольных криволи ейных координатах. Пусть элемент крирой
\[
d s^{2}=g_{x \lambda} d q_{\mathrm{x}} d q_{\lambda}
\]
(по каждому индексу, который встречается два раза, в последующих уравнениях всегда подразумевается суммирование), где \( g_{x \lambda}=g_{\lambda x} \) – произвольные функции от \( q_{x} \), и множитель массы предполагается включённым в \( g_{x \lambda} \). Из \( g^{x \lambda} \) может быть образована обратная \( g_{x \lambda} \) матрица; пусть далее \( D=\sqrt{|g|} \) будет квадратным корнем из детерминанта \( |g|=\left|g_{x \lambda}\right| \) функций \( g_{x \lambda} \). Тогда в этих координатах волновое уравнение будет иметь вид:
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{1}{2} D\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{x}}+A_{x}\right) D g^{\lambda \lambda}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{\lambda}}+A_{\lambda}\right) \psi+V \psi .
\]

Здесь \( A_{x} \) есть помноженный на \( -\frac{e_{x}}{c} \) вектор-потенциял.
1) M. Born, P. Jordan, W. Heisenberg, Z. S. f. Phys 35, 557, 1926 .

Точно так же имеет место уравнение непрерывности
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial i^{x}}{\partial q_{\mathrm{x}}}=0
\]

где
\[
\begin{aligned}
\rho & =D \psi^{*} \\
i^{\boldsymbol{\alpha}} & =D g^{\mathrm{\alpha} \lambda}\left[\psi^{*}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial q_{\lambda}}+A_{\lambda} \psi\right)+\psi\left(-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \dot{\ell}^{*}}{\partial q_{\lambda}}+A_{\lambda} \psi^{*}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Вследствие присутствия множителя \( D \) в функции плотности мы будем называть оператор \( F \) эрмитовским, ес пи
\[
\int D_{\ell^{*}}\left(F_{\imath}\right) d q=\int D\left(F_{r,}\right)^{*} \psi d q .
\]

Пусть оператор импульса \( \boldsymbol{p}_{\mathbf{x}} \) будет эрмитов в этом смысле и, коме того, удовлетворяет перестановочным соотношениям:
\[
\boldsymbol{p}_{\mathbf{x}} \boldsymbol{q}_{\mathbf{x}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{x}} \boldsymbol{p}_{\mathbf{x}}=\frac{\hbar}{i}
\]

тогда
\[
\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}} \psi=\frac{\hbar}{i} \frac{1}{\sqrt{D}} \frac{\partial \sqrt{\bar{D}_{\ell}}}{\partial q_{x}} .
\]

Легко установить отношение этого оператора к волновому уравнению и току.
В частном случае сферических координат
\[
d s^{2}=m\left(d r^{2}+r^{2} d \theta^{2}+r^{2} \sin ^{2} \theta d \varphi^{2}\right)
\]

и, таким образом,
\[
D=r^{2} \sin \theta, \quad g^{r r}=\frac{1}{m}, \quad g^{\forall]}=\frac{1}{m} \frac{1}{r^{2}}, \quad g^{\varphi \varphi}=\frac{1}{m} \frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} .
\]

Для дальнейших применений заметим, что в этом случае
\[
\frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r}\left(r^{2} \frac{d f}{d r}\right)=\frac{1}{r} \cdot \frac{d^{2}}{d r^{2}}(r f)
\]

Согласно (97*), оператор Гамильтона можно написать в следующей простой форме:
\[
\boldsymbol{H}+\frac{1}{2 m}\left(\boldsymbol{p}_{\tau}^{2}+\frac{\boldsymbol{p}^{2}}{\boldsymbol{r}^{2}}\right)+V
\]

где
\[
\left.\begin{array}{rl}
\boldsymbol{p}_{r} \psi & =\frac{\hbar}{i} \frac{1}{r} \frac{d}{d r}(r \psi), \\
\boldsymbol{P}^{2} & =-\hbar^{2}\left(\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}\right) \cdot
\end{array}\right\} \quad\left(97^{\prime \prime *}\right)
\]

Такой способ написания часто встречается в старых работах по квантовой механике.