Описание состояния системы частиц, находящихся в силовом поле, посредством статистических понятий и закономерностей получается обобщением подобного описания для свободных частиц. Очевидно, эти понятия и законы должны быть внутренне непротиворечивы и содержать в себе, как предельный случай, понятия и законы классической механики точечных частиц. Кроме этих общих требований, только успех может решить вопрос о пригодности определённых предпосылок. Для случая одной частицы и при пренебрежении релятивистскими поправками исходные предпосылки можно формулировать следующим образом:
1. Вероятность того, что в определённый момент времени \( t \) координаты \( x_{i} \) частицы находятся в интервале \( \left(x_{i}, x_{i}+d x_{i}\right) \), является и здесь вполне определённым понятием. Эта вероятность снова даётся выражением
\[
W\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t\right) d x_{1} d x_{2} d x_{3}=\psi^{*} \psi d x_{1} d x_{2} d x_{3},
\]

где \( \dot{\psi}\left(x_{1}, \ldots, t\right) \)-сама по себе не наблюдаемая, в общем случае комплексная, волновая функция, а \( \psi^{*} \)-ком-
1) Специальные решения волнового уравнения, в особенности для случая, когда для \( \psi\left(x_{i}, 0\right) \) выбирается гауссовская функция ошибок, можно найти \( \mathrm{y} \) : \( \mathrm{W} \). Heis enberg, Zs. \( f \). Phys., 43, 172, 1927; E. H. Ken nard, ibid., 44, 326, 1927; C. G. Darwin, Proc. Roy. Soc., Loitdon (A), 117, 258, 1927.

плексно-сопряжённая ей. При таком написании џ мыслится нормированной следующим образом:
\[
\int \psi^{*} \psi d V=1
\]

Это предположение о вероятности весьма естествеңно потому, что определение координат может быть произведено в такое короткое время, что наличие сил не будет играть при этом никакой роли.
Из (36) следует условие для изменения ४ во времени:
\[
\frac{d}{d t} \int \psi^{*} \psi d V=0
\]

Это условие выполнимо только в том случае, если для каждого момента времени \( \frac{\partial \psi}{\partial t} \) и \( \frac{\partial \psi}{\partial t} \) определяотся заданными \( \psi \) и \( \psi^{*} \). (О необходимости использовать для частиц с моментом количества движения нескольких функций см. § 13.)
2. Если мы положим
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=\boldsymbol{H}(\psi)
\]

то \( \boldsymbol{H} \) должно быть линейным (но не более общим) оператором. Как уже упоминалось, применение оператора \( \boldsymbol{H} \) означает сопоставление фуңкции \( \psi \) новой функции \( \boldsymbol{H} \psi \). При этом для произвольных постоянных \( c \), которые могут быть также комплексными, имеет место соотношение:
\[
\boldsymbol{H}(c \psi)=\boldsymbol{c H}(\psi),
\]

а для двух произвольных функций \( \psi_{1} \), \( \psi_{2} \) имеем:
\[
\boldsymbol{H}\left(\psi_{1}+\psi_{2}\right)=\boldsymbol{H} \psi_{1}+\boldsymbol{H} \psi_{2} .
\]
(Из этих обоих свойств следует, кроме того, что \( \boldsymbol{H}(\psi) \) неявно зависит : от \( \psi^{*} \).)

Требование линейности оператора \( \boldsymbol{H} \) может рассматриваться как обобщение принципа суперпозиции, так как линейность \( \boldsymbol{H} \) в случае свободной частицы, как мы уже видели, непосредственно выражает этот принцип, обязанный своим происхождением волновой теории. Принцип суперпозиции существенен для непротиворечивой формулировки понятия измерения, поскольку связь системы

с измерительным аппаратом сама описывается квантовотеоретически (ср. § 9). Чтобы из (62) следовало постоянство \( \int \psi^{*} \psi d V \) во времени, \( \boldsymbol{H} \) должно обладать свойством:
\[
\int\left[\dot{\varphi}^{*} \boldsymbol{H} \psi-\dot{\psi}(\boldsymbol{H} \dot{\psi})^{*}\right] d V=0 .
\]

При выводе (63) было использовано волновое уравнение
\[
+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}=(\boldsymbol{H})^{*} .
\]

Условие (63) должно выполняться для всех регулярных функций, достаточно быстро исчезающих в бесконечности. Оператор \( \boldsymbol{H} \), обладающий свойством (63), называюг эрмитовским \( { }^{1} \) ). Вследствие линейности \( \boldsymbol{H} \) из (63) следует для двух произвольных функций:
\[
\int\left[\psi_{1}^{*} \boldsymbol{H} \dot{\psi}_{2}-\psi_{2}\left(\boldsymbol{H} \psi_{1}\right)^{*}\right] d V=0 .
\]
3. Связь \( \psi \) с «амплитудой» \( \varphi(p) \) для импульса, определяющей вероятность согласно соотношению (39), даётся попрежнему \( { }^{2} \) ) выражением \( \left(24^{\prime \prime}\right) \), (27), но вероятность \( W\left(p_{i}, t\right) d p_{1} d p_{2} d p_{3} \) уже более не посто янна. (Об измерении импульса связанных частиц см. § 5.) Соотношения (46), (47), так же как и (28), остаются справедливыми и здесь.

С точки зрения нерелятивистской волновой механики единственным путём для нахождения оператора \( \boldsymbol{H} \) определённой системы является сравнение поведения общего. решения уравнения (62) со свойствами механических траекторий этой системы в классической теории, в соответствующих предельных случаях, как это следует из боровского принципа соответствия. Между различными возможностями, вытекающими для \( \boldsymbol{H} \) из принципа соответствия, может сделать выбор лишь опыт.
1) Заметим, что из (63) ещё не следует линейность \( \boldsymbol{H} \). Например, нелинейный оператор \( \boldsymbol{H} \psi=i \psi \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x}\left(\right. \) причём \( \left.(\boldsymbol{\psi})^{*}=-i \psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x}\right) \) обладает свойством (63), так как \( \psi^{*} \boldsymbol{\psi} \psi-\psi(\boldsymbol{H} \psi)^{*}=\frac{i}{2} \frac{\partial}{\partial x}\left(\psi^{2} \psi^{*}\right) \). Принцип суперпозиции необходимо сформулировать как особое предположение.
3) Это былю в общем виде впервые замечено П. Иорданом (Zs. f. Phys., 40, 809, 1927).

Как простейший пример рассмотрим частицу во внешнем поле сил с потенциальной функцией \( V\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \). Классическая гамильтонова функция в этом случае такова:
\[
H\left(p_{i}, x_{i}\right)=\sum_{i} \frac{p_{i}^{q}}{2 m}+V\left(x_{i}\right) .
\]

Принимая во внимание, что среднее значение \( p_{i}^{2} \), согласно (47′), равно
\[
\overline{p_{i}^{2}}=\int p_{i}^{2}|\varphi(p)|^{2} d p=-\hbar^{2} \int \psi^{*} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{i}^{2}} d V,
\]

естественно предположить по Шредингеру \( { }^{1} \) ), что волновое уравнение имеет следующий вид:
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta \psi+V \psi \text {. }
\]

Мы выведем отсюда некоторые следствия о средних значениях, которые аналогичны сформулированным в предыдущем параграфе положениям о поведении центра и ширины волнового пакета.

Прежде всего, так как при вычислении \( \frac{\partial \rho}{\partial t} \) выпадает член, содержащий \( V џ \), из (64) снова следует уравнение непрерывности
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \vec{i}=0,
\]

где \( \rho=\psi^{*} \psi \), и плотность тока выражается попрежнему [см. (38)] в виде
\[
i_{k}=\frac{\hbar}{2 m i}\left(\psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}-\psi \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{h}}\right) .
\]

Далее, отсюда снова сразу же следуют соотношения, данные в (44), (45), (46):
\[
\begin{array}{c}
\overline{x_{k}}=\int x_{k} \psi^{*} \psi d V, \quad \overline{p_{k}}=\int p_{k} \varphi^{*} \varphi d p=\int \psi^{*}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}\right) d V, \\
\frac{d \overrightarrow{x_{k}}}{d t}=\int i_{k} d V=\frac{1}{m} \bar{p}_{k}=\left(\frac{\dot{c} H}{\partial p_{k}}\right) .
\end{array}
\]
1) E. Schrödinger, Ann. d. Phys., 79, 361, 1926. На несбходимость статистическаго истолкования волновой функции указывал в оссбенности М. Борн (Zs. f. Phys., 38, 803, 1926).

Мы получим, однако, нечто новое, если вычислим \( \frac{d \overline{p_{k}}}{d t} \), так как это выражение уже не равно нулю, как в случае свободной частицы. Для этой цели образуем сначала выражение
\[
\begin{aligned}
m_{i t}^{i i_{k}}= & \frac{1}{2}\left[(\boldsymbol{H})^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}-\psi^{*} \frac{\partial}{\partial x_{k}}(\boldsymbol{H} \psi)+(\boldsymbol{H} \psi) \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{k}}-\psi \frac{\partial}{\partial x_{k}}(\boldsymbol{H})^{*}\right]= \\
= & \frac{\hbar^{*}}{2 m}\left[-\left(\Delta \psi^{*}\right) \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}+\psi^{*} \frac{\partial}{\partial x_{k}}(\Delta \psi)-(\Delta \psi) \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{k}}+\psi \frac{\partial}{\partial x_{k}} \Delta \psi^{*}\right]+ \\
& \quad+\frac{1}{2}\left[V \psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}-\psi^{*} \frac{\partial}{\partial x_{i k}}(V \psi)+V \psi \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{k}}-\psi \frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(V \psi^{*}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Вторая скобка сразу же упрощается и сводится к \( -\frac{\partial V}{\partial x_{k}} \psi^{*} \psi \). Первую скобку следует преобразовать. Для двух произвольных функций \( u, v \) имеем:
\[
\imath \Delta u-u \Delta v=\sum_{l} \frac{\partial}{\partial x_{l}}\left(v \frac{\partial u}{\partial x_{l}}-u \frac{\partial v}{\partial x_{l}}\right) .
\]

Положив в этом выражении один раз \( v=\psi^{*} \) и \( \boldsymbol{u}=\frac{\partial \psi}{\partial x_{k}} \) и другой раз \( v=\psi, u=\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{k}} \) и вводя силу \( K_{l}=-\frac{\partial V}{\partial x_{l}}= \) \( =-\frac{\partial H}{\partial x_{l}} \), получим:
\[
m \frac{\partial i_{k}}{\partial t}=-\sum_{l} \frac{\grave{o} T_{h l}}{\partial x_{l}}+K_{k} \psi^{*} \psi
\]

где
\[
T_{k l}=\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left[-\psi^{*} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{k} \partial x_{l}}-\psi \frac{\partial^{2} \psi^{*}}{\partial x_{k} \partial x_{l}}+\frac{\partial \psi}{\partial x_{k}} \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{l}}+\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial x_{l}}\right] .
\]

Симметричный тензор \( T_{l l}\left(T_{k l}=T_{l k}\right) \) может быть назван \»тензором напряжений\» \( { }^{1} \) ). Далее получаем:
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} \overline{p_{k}}}{d t^{2}}=m \frac{d^{2} \overline{x_{k}}}{d t^{2}} & =m \int \frac{\partial i_{k}}{\partial t} d V=\int K_{k} \psi^{*} \psi d V= \\
& =-\left(\frac{\partial V}{\partial x_{k}}\right)=-\overline{\left(\frac{\partial H}{\partial x_{k}}\right)} .
\end{aligned}
\]
1) О релятивистском обсбщении этого см. E. Schrodinger, Ann. d. Phys., 82, 265, 1927; см. таюже часть II, § 2.

Это означает, что производная по времени среднего значения \( p_{k} \) равна среднему значению силы по волновому пакету \( { }^{1} \) ). Последнее, вообще говоря, отличается от значения силы в центре \( \bar{x}_{k} \) волнового пакета. Однако если пакет, в согласии с соотношением неопределённости \( \Delta x_{k} \Delta p_{k} \sim \hbar \), может быть выбран так, что в области пакета сила меняется лишь незначительно, поведение пакета будет подобно поведению классической частицы, траектория которой удовлетворяет уравнению движения (cM. § 12)
\[
m \frac{d^{2} x_{k}}{d t^{2}}=-\frac{\partial V}{\partial x_{k}} .
\]

Другое следствие из (65) касается теоремы вириала \»). Умножая (65) на \( x_{k} \) и интегрируя по частям, получаем:
\[
m \frac{\partial}{\partial t} \int x_{k} i_{k} d V=+\int T_{k k} d V-\int x_{k} \frac{\partial V}{\partial x_{k}} \psi \psi d V
\]

Вследствие (66) получаем далее для первого интеграла правой части, интегрированием по частям
\[
\frac{\hbar^{2}}{m} \int \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{i i}} \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}} d V=\frac{\overline{p_{k}^{2}}}{m} .
\]

Таким образом
\[
m \frac{\partial}{\partial t} \int x_{k} i_{k} d V=\frac{\overline{p_{k}^{2}}}{m}-\overline{\left(x_{k} \frac{\partial V}{\partial x_{k}}\right)} .
\]

Если ещё просуммировать по всем значениям индекса \( k \); то получим аналог теореме вириала.

Наконец, можно, аналогично (52), рассмотреть изменение со временем ширины волнового пакета; последняя даётся выражением:
\[
\overline{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}}=\int\left(x_{k}-\overline{x_{k}}\right)^{2} \psi \psi d V .
\]

Однако теперь, вследствие действия сил, уже невозможно в общем случае дать поведение \( \overline{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}} \) со временем;
1) P. Ehrenfest, Zs. f. Phys., 45, 455, 1927.
2) A. So m merfeld, Wellenmech. Ergawzungsband zu Atombau und Spektrallinien Braunschweig 1є 29 , гл. II, \& 9 .

вместо этого мы вычислим первые и вторые производные \( \overline{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}} \) по времени. Так как \( \int\left(x_{k}-\bar{x}_{k}\right) \psi^{*} \psi d V=0 \), то
\[
\frac{d}{d t} \overline{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}}=\int\left(x_{k}-x_{k}\right)^{2} \frac{\partial}{\partial t}\left(\psi^{*} \psi\right) d V .
\]

С помощью уравнения непрерывности и интегрирования по частям получаем
\[
\frac{d}{d t} \overline{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}}=2 \int\left(x_{k}-\overline{x_{k}}\right) i_{k} d V .
\]

Далее, так как \( \frac{d x_{k}}{d t}=\int i_{k} d V=\frac{\overline{p_{k}^{2}}}{m} \), то
\[
\frac{1}{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \overline{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}}=\int\left(x_{k}-\overline{x_{k}}\right) \frac{\partial i_{k}}{\partial t} d V-\left(\int i_{k} d V\right)^{2} .
\]

Используя (68), имеем
\[
\frac{1}{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \overline{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}}=\frac{\overline{p_{k}^{2}}-\left(\overline{p_{k}}\right)^{2}}{m}+\overline{\left(\Delta x_{k} \Delta K_{k}\right)}
\]

или
\[
\frac{1}{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \overline{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}}=\overline{\frac{\left(p_{k}-\overline{p_{k}}\right)^{2}}{m}}+\overline{\left(\Delta x_{k} \Delta K_{k}\right)} .
\]

Соотношения (70) и (71) представляют собой естественное обобщение соотношения (52).

Прежде чем разбирать вопрос о взаимодействии нескольких частиц, рассмотрим, как нужно модифицировать волновое уравнение при наличии внешнего магнитного поля. Пусть \( \Phi_{k} \)-компоненты вектор-потенциала, \( e \) заряд частицы, \( c \)-скорость света. Тогда магнитная напряжённость даётся следующим выражением:
\[
H_{k l}=\frac{\partial \Phi_{l}}{\partial x_{k}}-\frac{\left.\partial \Phi_{k}{ }^{1}\right) .}{\partial x_{l}} .
\]
1) Мы предпочитаем написание \( H \) в форме антисимметрического тензора ( \( H_{i, l}=-H_{l k} \) ), так что \( H_{23}, H_{31}, H_{12} \) означают соответственно 1,2 , 3-ю компоненты \( H \). Векторное произведение \( [\dot{\vec{x}} \vec{H}] \) имеет тогда 1-10 компоненту \( \dot{x}_{2} H_{12}-\dot{x}_{3} H_{31} \). Это выражение, вследствие того что \( H_{31}=H_{13}, H_{11}=0 \), действительно равно \( \sum_{\text {(i) }} H_{11} \dot{x}_{l} \).

В случае если \( \Phi_{k} \) явно зависит от времени, к электрической напряжённости добавляется член:
\[
E_{k}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \Phi_{k}}{\partial t} .
\]

Сила выразится следующим образом:
\[
\begin{aligned}
K_{k} & =-\frac{\partial V}{\partial x_{i}}+\frac{e}{c}\left(E_{k}+\frac{1}{c} \sum_{l} H_{k l} \dot{x}_{l}\right)= \\
& =-\frac{\partial V}{\partial x_{k}}+\frac{e}{c}\left[-\frac{\partial \Phi_{k}}{\partial t}+\sum_{(l)}\left(\frac{\partial \Phi_{l}}{\partial x_{k}}-\frac{\partial \Phi_{k}}{\partial x_{l}}\right) \dot{x}_{l}\right] .
\end{aligned}
\]

Как известно, если сила задаётся выражением (74), уравнения движения механики
\[
m \frac{d^{2} x_{k}}{d t^{2}}=K_{k}
\]

можно написать в канонической форме \( { }^{1} \) ):
\[
{ }_{d t}^{d x_{k}}=\frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial p_{k}}, \quad \frac{d p_{k}}{d t}=-\frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial x_{k}},
\]

если положить
\[
\boldsymbol{H}=\sum_{k} \frac{1}{2 m}\left(p_{k}-\frac{e}{c} \Phi_{k}\right)^{2}+V(x) .
\]

В этом случае изменится также обычная связь между импульсом и скоростью:
\[
\dot{x}_{k}=\frac{1}{m}\left(p_{k}-\frac{e}{c} \Phi_{k}\right), \quad p_{k}=m \dot{x}_{k}+\frac{e}{c} \Phi_{k} .
\]

То обстоятельство, что классическая гамильтонова функция (75) получается из гамильтоновой функции в отсутствии магнитного поля заменой \( p_{k} \) на \( p_{k}-\frac{e}{c} \Phi_{k} \), подсказывает нам, что волновое уравнение частицы при наличии магнитного поля получится из обычного волно-
1) Отметим, в качестве̨ исторической справки, что впервые это было показано в книге Larm or, Aetber and matter, Cambridge, 1900 .
Общие принцигы волновои механики

вого уравнения без магнитного поля (64), если заменить оператор \( \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \) оператором \( \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{k}}-\frac{e}{c} \Phi_{k} \). Сделав это, мы получим вместо (64) обобщённое уравнение:
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{1}{2 m} \sum_{k}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{k}}-\frac{e}{c} \Phi_{k}\right)\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{k}}-\frac{e}{c} \Phi_{k}\right) \psi+V \psi
\]

или
\[
\begin{array}{r}
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{1}{2 m} \sum_{k}\left[-\hbar^{2} \Delta \psi-\frac{\hbar}{i} \frac{e}{c} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(\Phi_{k} \psi\right)-\right. \\
\left.-\frac{\hbar}{i} \frac{e}{c} \Phi_{k} \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}+\frac{e^{2}}{c^{2}} \Phi_{k}^{2} \psi\right]+V \psi .
\end{array}
\]

Оправдание сделанного предположения заключается в том, что из этого уравнения для средних значений \( p_{k} \) и \( x_{k} \), полного тока \( \overline{i_{k}}=\int i_{k} d V \) и их производных по времени следуют выражения, которые аналогичны соответствующим уравнениям движения классической механики.

Прежде всего снова имеет место уравнение непрерывности:
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\psi^{*} \psi\right)+\operatorname{div} \vec{i}=0
\]

Это вместе с тем доказывает, что \( \boldsymbol{H} \)-действительно эрмитов оператор. Но для тока \( \vec{i} \) теперь получаем новое выражеңие:
\[
i_{k}=\frac{1}{2 m}\left[\psi^{*}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{k}}-\frac{e}{c} \Phi_{k}\right) \psi-\psi\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{k}}+\frac{e}{c} \Phi_{k}\right) \Psi^{*}\right]
\]

или
\[
i_{k}=\frac{\hbar}{2 m}\left(\psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}-\psi \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{k}}\right)-\frac{e}{m c} \Phi_{k} \psi^{*} \psi \cdot
\]

Если мы образуем выражения:
\[
\overline{p_{k}}=\int p_{k} \varphi^{*} \varphi d p=\int \psi^{*} \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}} d V
\]

и
\[
\frac{d \bar{x}_{k}}{d t}=\frac{\partial}{\partial t} \int x_{k} \psi^{*} \psi d V=\int i_{k} d V
\]

то. мы найдём, что
\[
\frac{d \bar{x}_{k}}{d t}=\frac{1}{m}\left(\vec{p}_{k}-\frac{e}{c} \bar{\Phi}_{k}\right) .
\]

Это уравнение аналогично (75′).
Далее находим, аналогично (65) и (66):
\[
m \frac{\partial i_{k}}{\partial t}=-\sum_{(l)} \frac{\partial T_{k l}}{\partial x_{l}}+\left(-\frac{\partial V}{\partial x_{k}}-\frac{e}{c} \frac{\partial \Phi_{k}}{\partial t}\right) \psi^{*} \psi+\frac{e}{c} \sum_{(l)} H_{k l} i_{l},
\]

где
\[
\begin{aligned}
T_{k l}= & \frac{\hbar^{2}}{4 m}\left[-\psi^{*}\left(\frac{\partial}{\partial x_{l}}-\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{l}\right)\left(\frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}-\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{k}\right)-\right. \\
& -\psi\left(\frac{\partial}{\partial x_{l}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{l}\right)\left(\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{k}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{k} \psi^{*}\right)+ \\
& +\left(\frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}-\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{k} \psi\right)\left(\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{l}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{l} \psi^{*}\right)+ \\
& \left.+\left(\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{k}}+\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{k} \psi^{*}\right)\left(\frac{\partial \psi}{\partial x_{l}}-\frac{i e}{\hbar c} \Phi_{l} \psi^{*}\right)\right]
\end{aligned}
\]

или
\[
\begin{array}{r}
T_{k l}=\frac{\hbar^{2}}{4 m}\left\{\left[-\psi^{*} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{l} \partial x_{k}}-\psi \frac{\partial^{2} \psi^{*}}{\partial x_{l} \partial x_{k}}+\frac{\partial \psi}{\partial x_{l}} \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{l}} \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}\right]+\right. \\
+\frac{2 i e}{\hbar c}\left[\Phi_{k}\left(\psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x_{l}}-\psi^{\left.\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{l}}\right)+\Phi_{l}}\left(\psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}-\psi \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{k}}\right)\right]+\right. \\
\left.+\frac{4 e^{2}}{\hbar^{2} c^{2}} \Phi_{k} \Phi_{l} \psi^{*} \psi\right\} .
\end{array}
\]

Условие симметрии \( T_{k l}=T_{l k} \) здесь снова выполняется. Если положить, принимая во внимание (74):
\[
\overline{K_{k}}=\int\left[-\left(\frac{\partial V}{\partial x_{k}}+\frac{e}{c} \frac{\partial \Phi_{k}}{\partial t}\right) \psi^{*} \psi+\frac{e}{c} \sum_{(l)} H_{k l} i_{l}\right] d V,
\]

то из (78) (так как \( \left.\int i_{k} d V=\frac{d \overline{x_{k}}}{d t}\right) \) получим
\[
m \frac{d^{2} \overline{x_{k}}}{d t^{2}}=\bar{K}_{k},
\]

что является аналогом уравнения движения.
Далее с помощью выражения:
\[
\overline{x_{k} K_{k}}=\int\left[-x_{k}\left(\frac{\partial V}{\partial x_{k}}+\frac{e}{c} \frac{\partial \Phi_{k}}{\partial t}\right) \psi^{*} \psi+\frac{e}{c} \sum_{(l)} H_{l k} x_{k} i_{l}\right] d V,\left(81^{\prime}\right)
\]
4*

совершенно аналогично предыдущему, получим
\[
m \frac{\partial}{\partial t} \int x_{k} i_{k} d V=\int T_{k k} d V+\overline{x_{k} K_{k}} .
\]

Из (79) посредством интегрирования по ча์стям следует:
\[
\begin{aligned}
\int T_{k k} d V & =\frac{h^{2}}{m} \int\left(\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_{k}}+\frac{i e}{h c} \Phi_{k} \psi^{*}\right)\left(\frac{\partial \psi}{\partial x_{k}}-\frac{i e}{h c} \Phi_{k} \psi\right) d V= \\
& =-\frac{1}{m}\left(p_{k}-\frac{e}{c} \Phi_{k}\right)^{2}=m \overline{\dot{x}_{k}^{2}} .
\end{aligned}
\]

Оба последние выражения могут быть, правда, полностью оправданы лишь с точки зрения систематического операторного исчисления, которое будет рассматриваться позже. С этой оговоркой мы имеем:
\[
m \frac{\partial}{\partial t} \int x_{k} i_{k} d V=m \overline{\dot{x}_{k}^{2}}+\overline{x_{k} K_{k}},
\]

что является аналогом теоремы вириала.
Таким же образом получаем, аналогично (70) и (71):
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \overline{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}}=2 \int\left(x_{k}-\overline{x_{k}}\right) i_{k} d V, \\
\frac{1}{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \overline{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}}=m \overline{\left(\dot{x}_{k}-\overline{x_{k}}\right)^{2}}+\overline{\left(x_{k}-\bar{x}_{k}\right) K_{k}} .
\end{array}
\]

Как известно, потенциалы \( \Phi_{k} \) определены лишь с точностью до добавочного градиента, так как произвольный добавочный градиент не меняет магнитной напряжённости \( H_{k l} \). Таким образом, полагая
\[
\Phi_{k}^{\prime}=\Phi_{k}+\frac{\partial f}{\partial x_{k}},
\]

где \( f \)-произвольная функция координат, мы совершаем допустимую подстановку; \( f \) может даже явно зависеть от времени, но только тогда одновременно следует положить:
\[
V^{\prime}=V-\frac{\partial f}{c t},
\]

чтобы сохранить инвариантным выражением (74) для силы. Действительно, тогда мы будем иметь:
\[
\frac{\partial V^{\prime}}{\partial x_{k}}+\frac{e}{c} \frac{\partial \Phi_{k}^{\prime}}{\partial t}=\frac{\partial V}{\partial x_{k}}+\frac{e}{c} \frac{\partial \Phi_{k}}{\partial t}, \quad H_{k l}=H_{k l}^{\prime} .
\]

Так как в волновое уравнение (76) входят не только магнитные и электрические напряжённости и сила, но также и сами потенциалы \( V \) и \( \Phi_{k} \), то может сначала показаться, что вытекающие из этого уравнения физические результаты также зависят от абсолютного значения потенциала. Это, однако, не так; действительно, если \( \psi \) есть решение волнового уравнения (76) для потенциалов \( V \) и \( \Phi_{k} \), то с помощью подстановки:
\[
\psi^{\prime}=\psi e^{\frac{t e}{\hbar c} \boldsymbol{t}}
\]

получим решение \( \psi^{\prime} \) для. уравнения с потенциалами \( V \) и \( \Phi_{k}^{\prime} \), заданных выражениями (86), (86′). Определённая выражениями (86), (86′), (86\») групиа подстановок называется «градиентной группой» (Eichgruppe); величины, которые не изменяются по отношению к этой подстановке, называются «eich-цнвариантными» величинами \( { }^{1} \) ). Замечательно, что не только плотность вероятности \( \dot{\psi}^{*} \psi \), но также данная выражением (17) плотность тока и определённый выражением (79) тензор напряжений \( T_{k l} \) являются Eich-инвариантными величинами. Следует отметить, что с этой точки зрения представляются весьма естественными как волновое уравнение (76), так и, в частности, специальный выбор оператора Гамильтона в этом уравнении. С другой стороны, это уравнекие существенно связано с предположением, что характеристики поля \( V \) и \( \Phi_{k} \) сами по себе могут рассматриваться как классические величины (заданные функции координат пространства и времени), т. е. что можно пренебречь возможным влиянием кванта действия на определение этих величин поля (см. часть II, § 6).
1) Инвариантность волнового уравнения относительно рассматриваемой группы подстановоб (для случая релятивистского обобнения этого уравнения) была впервые установлена В. А. Фоком (Zs. f. Phys., 39, 226, 1927). Аналогия этой группы с «eich-группой» в старой теории грзвитации и электричества Вейля была указана Ф. Лондоном (Zs. f. Phys., 42, 375, 1927). Сам В е й ль (ibid., 56, 330, 1929) отметил связь этой группы с законом сохранения заряда при выводе волнового уравнения из вариационного принципа. Относительно \»градиентной группы\» в релятивистском волновом уравнении см. часть 11 , § 2 d.