Если мы имеем дело со многими одинаковыми частицами, то появляются некоторые особенности, которые связаны с тем, что оператор Гамильтона инвариантен
1) Cр. учебнники, цитированные в прим. 1, стр. 186. Обращаясь к истории вопроса, заметим следующее. Проблема многих одинаковых частиц в волновой механике была рассмотрена вшервые Дираком (P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. London (A), 112, 661 1926) (здесь ещё без спина) и Гейзенбергом (W. H is e nberg, Zs.f. Phys., 40, 501, 1926) (здесь впервые сделано важное при любых перестановках частиц. Если частицы имеют спин, то спиновые координаты \( s_{r \text { s }} \) должны при этом переставляться одновременно с пространственными координатами \( x_{r k}(k=1,2,3) \). Если оператор Гамильтона содержит только пространственные координаты, то, конечно, инвариантность относительно одних пространственных координат уже существует, и если зависящая от спина часть функции Гамильтона относительно мала, то такая инвариантность осуществляется приближённо. К этому обстоятельству мы вернёмся позже; снадчала мы рассмотрим одновременную перестановку спиновых и пространственных переменных, по отношению к которой осуществляется точная инвариантность. Итак, пусть \( P \) перестановка \( N \) чисел \( 1,2, \ldots, r, \ldots, N \), нумерующих \( N \) одинаковых частиц; тогда из каждой собственной функции \( \Psi\left(x_{11}, \ldots, x_{N 3}, s_{13}, \ldots, s_{N 3}, t\right) \), применяя перестановку \( P \), мы получим новую собственную функцию, которая принадлежит к тому же самому наблюдаемому состоянию:
\[
\psi^{\prime}\left(x_{11}, \ldots, s_{N 3}, t\right)=P \psi\left(x_{11}, \ldots, s_{N 3}, t\right) .
\]

применение к спектру Не, включая спин). В обеих названных работах имеется также общая волномеханическая формули ровка принципа Паули (W. Pa u1i, Zs. f. Phys., 31, 765, 1925). Статистика частиц с симметричными состояниями была уетановлена впервые Бозе (S. N. Bos e, Zs. f. Phys., 26, 178, 1924) и Эйнштейном (A. Einstein, Berl. Ber., 1924, стр. 261, 1925, S. 1). Сатистика частиц с антисимметричными состояниями – Ферми (E. F erm i, Zs. f. Phys., 36, 902, 1926) и Дираком (l.c.). Общий случай \( N \) частиц и его связь с теорией групп разобрал полностью впервые Вигнер (E. W ign er, Zs. f. Phys., 40, 883, 1927). Применение к ядрам имеется у Гейзенберга (там же, 41, 239, 1927). и Хунда ( \( : \). Hund, там же, 42, 93, 1927). Деннисон (D. M. D e nn ison, Proc. Roy. Soc, London, (A), 115, 483, 1927), исходя из данных о спаде ротационной теплоёмкости водогода, доказал, что прото\”ы, так же как и электроны, имеют спин \( 1 / 2 \) и подчиняются ппинципу Паули. Мотт (N. F. Mot t, там же (A), 125, 222, 1929) и Оппенгеймер (R. Oppenheimer, Phys. Rev., 32, 361, 1928) покззал, что тип симмегрии волновых функций сушественен для пғоблемы соударений. Наряду с расчётами Мотта для удара двух одинаковых заряженных частиц, известно эмпирически из других данных, что ядра Не ( \( \alpha \)-частицы) имеют симметричные состояния (cp. G. Wentze1, HB. d. Phys, т. 24/1, гл. 5, Ziff. 4; Мотт, Волновая механика и физика ядра, § 5).
Действительно, для каждого оператора, симметричного относительно переменных этих частиц, и, в частности, для оператора энергии мы получим одно и то же среднее значение, если один раз вычислим его для \( \psi^{\prime} \), а другой раз для \( \psi \). Но только такие симметричные операторы и соответствуют наблюдаемым величинам для одиниковых частиy. Вследствие полной неразличимости одной частицы от другой имеет смысл спрашивать, например, только о вероятности того, что одна из частиц находится в точке \( x_{1:} \) и имеет спин \( s_{18} \), другая – в точке \( x_{2} \) и имеет спин \( s_{23} \), и т. д., но нельзя говорить о вероятности того, что первая частица имеет пространственные координаты и спин \( x_{1 k}, s_{13} \), вторая – \( x_{2 k}, s_{23} \). Первая из этих вероят-. ностей равна
\[
\sum_{P} P\left|\psi\left(x_{11}, \ldots, s_{N 3}\right)\right|^{2} d x_{11} \ldots d x_{N 3},
\]

если мы всюду считаем просгранственные координаты \( x_{r k} \) определёнными с точностью до \( d x_{r k} \), а спиновые координаты пробегают значения от \( -s \) до \( +s \) (для электронов значения \( -1 / 8 \) и \( +1 / 2 \) ).

Из общих теорем предыдущего параграфа вытекает, что стационарные состояния составной системы должны распадаться на различные системы – серии термов, которые соответствуют различным неприводимым представлениям группы перестановок. Кроме того, матричные элементы симметричных величин отличны от нуля только, если начальное и конечное состояние принадлежит одной и той же серии термов. Если представление имеет степень 1, то термы не вырождены (случайное вырождение или такое вырождение, которое связано с инвариантностью гамильтоновой функции относительно другой группы, отличной от группы перестановок, мы пока не рассматриваем); собственные функции при каждой перестановке умножаются на численный множитель. В более общем случае, когда представление имеет степень \( h \), соответствующие уровни энергии \( h \)-кратно вырождены. В соответствующем \( h \)-мерном линейном векторном пространстве собственных функций можно найти базис из ортогональных друг другу и нормированных собственных функций
\( u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{h} \), которые при перестановке \( P \), соответствующей линейному отображению \( c(P) \) представления, переходят в новые собственные функции
\[
P u_{s}=\sum_{r=1}^{h} u_{r} c_{r s}(P)
\]

Представление унитарно, так как
\[
\sum_{s_{r}} \int u_{r}^{*} u_{s} d x=\sum_{s_{r}} \int\left(P u_{r}\right)^{*}\left(P u_{s}\right) d x
\]
(здесь по каждому \( s_{r} \) производится суммирование от \( -s \) до \( +s \) ), и функции \( P u_{s} \) также ортогональны и нормированы, если таковыми были \( u_{r} \). Из любой функции \( f\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right) \) (где \( q_{r} \) объединяет \( x_{1 r}, x_{2 r}, x_{3 r} \) и \( s_{3 r} \) ) можно получить специальную фунікцию \( v\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right) \), которая преобразуется согласно представлению (327). Действительно, для этого достаточно образовать
\[
v\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right)=\sum_{\boldsymbol{P}} A_{\boldsymbol{P}} \cdot \boldsymbol{P} f\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right),
\]

где коэффициенты \( A_{p} \) выбраны подходящим образом.
Специальные представления степени 1 соответствуют симметричным и антисимметричным собственным функциям. В первом случае
\[
\operatorname{Pu}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right)=u\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right)
\]

представление тождественно. Это означает, что каждому элементу группы соответствует тождество. При антисимметричном представлении следует различать чётные и нечётные перестановки. Пусть \( \delta_{p}=1 \) для чётных и \( \delta_{p}=-1 \) для нечётных функций; тогда для антисимметричных функций имеем:
\[
\boldsymbol{P} u\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right)=\delta_{p} u\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right) .
\]

Поскольку
\[
\delta_{P Q}=\delta_{P} \cdot \delta_{Q}, \quad \delta_{P-1}=\delta_{P}, \quad \delta_{1}=1,
\]

мы действительно получаем представление, и для выполнения равенства’ (330) достаточно, чтобы \( u \) меняло знак
[บ. \( \mathbf{I} \)
при перестановке каждых двух переменных. Согласно (328); из произвольной функции \( f \) получаем симметричную функцию, если положить все \( A_{p} \) равными 1:
\[
v_{\text {symm }}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right)=\sum \boldsymbol{P} f\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right),
\]

или антисимметричную функцию, если положить \( A_{p}=\delta_{p} \) (т. е. \( \pm 1 \) )
\[
v_{\text {antis. }}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right)=\sum_{P} \delta_{P} \boldsymbol{P} f\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right) .
\]

Если имеются только две частицы, то симметричное и антисимметричное представления являются единственными неприводимыми и поэтому уровни энергии распадаются просто на эти две серии.

Если однажды система из \( N \) частиц находилась в определённой серии термов (которая соответствует известному неприводимому представлению \( \boldsymbol{c}(\boldsymbol{P}) \) групгы перестановок), то никакое внешнее воздействие (силовое поле, излучение) не может перевести её в другую серию термов, потому что энергия возмущения симметрична относительно частиц и её матричные элементы с начальным состоянием из рассматриваемой серии и конечнымиз другой серии, обращаются в нуль. Благодаря волновому уравнению для зависящей от времени волновой функции характер симметрии, который имел место при \( t=0 \), сохраняется для любого, времени. Поэтому говорят также о некомбинтрующих сериях пермов. При этом, однако, требует особого рассмотрения тот случай, когда число частиц \( N \) рассматриваемого сорта непостоянно, например, когда система соударяется с новой частицей рассматриваемого рода. .

Пусть, например, дана атомная система с \( N \) электронами. Мы предположим, что она находится в состоянии с собственными функциями \( u_{s}\left(q, \ldots, q_{N}\right) \), которые принадлежат к определённому неприводимому представлению \( D_{(N)} \) группы \( \Sigma_{N} \) перестановок \( N \) элементов. Пусть, далее, атом соударяется с новым ( \( N+1 \) )-ым электроном, а собственные функции \( U_{p}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, q_{N+1}\right) \) всей составной системы до удара выбраны так, что они принадлежат определённому неприводимому представлению
\( D_{(N+1)} \) группы перестановок \( N+1 \) элементов. Тогда \( U_{\rho} \) имеет вид
\[
U_{p}=\sum_{\boldsymbol{P}} A_{P, p} \boldsymbol{P} u_{1}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right) v\left(q_{N+1}\right),
\]

где \( v\left(q_{N+1}\right) \)-собственная функция ударяющего электрона, а \( A_{p, p} \) – соответствующие численные коэффициенты. Представление \( D^{N} \) для \( u \) должно содержаться в представлении \( D^{(N+1)} \) для \( U \) при редукции по подгрупге \( \Sigma_{N} \) группы \( \Sigma_{N+1} \). Так как, кроме того, \( u \) быстро исчезает при удалении на большее расстояние \( R \) одного из электронов \( q_{1}, \ldots, q_{N} \), то мы получаем в хорошем приближении
\[
U_{\mathrm{p}}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, R\right)=A_{1 \rho} u_{1}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right) v(R) .
\]

После удара получается новая функция
\[
U_{\rho}^{\prime}\left(q_{1}, \ldots, q_{N+1}\right)=\sum_{\boldsymbol{P}} A_{\boldsymbol{P}, p}^{\prime} \boldsymbol{P} u_{1}^{\prime}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right) v^{\prime}\left(q_{N+1}\right)
\]

с аналогичным свойством. \( U_{\rho}^{\prime} \) должно обязательно принадлежать тому же представлению \( D^{(N+1)} \) группы \( \Sigma_{N+1} \), что и \( U_{\rho} \). Напротив, \( u^{\prime} \) могут преобразоваться при применении перестановок \( \boldsymbol{P} \) группы \( \boldsymbol{\Sigma}_{N} \) по представлению (приводимому или нет, в зависимости от обстоятельств), которое может содержать любые неприводимые представления \( D^{N} \), получающиеся из \( D^{(N+1)} \) при редукции по подгруппе \( \boldsymbol{\Sigma}_{N} \) группы \( \boldsymbol{\Sigma}_{N+1} \). Таких представлений в общем случае несколько, и поэтому атом, сталкиваясь с новым электроном, может перейти из состояния одной серии в состояние другой серии. Только в двух частных случаях, как уже упоминалось, многозначность \( D^{(N)} \) исключена. А именно, если мы имеем дело с симметричной или антисимметричной функцией \( U\left(q_{1}, \ldots, q_{N+1}\right) \) \( N+1 \) частиц, то \( \bar{u}_{s} \) и \( \bar{u}_{a} \) должны быть обязательно тоже симметричны или, соответственно, антисимметричны по отношению к \( N \) переменным \( q_{1}, \ldots, q_{N} \), что следует из разложений
\[
\begin{aligned}
U_{s}\left(q_{1}, \ldots, q_{N+1}\right) & =\sum_{P} P u\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right) v\left(q_{N+1}\right)= \\
\cdot & =\sum_{k=1}^{N+1} T_{N+1, k} \overline{u_{s}^{\prime}}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right) v\left(q_{N+1}\right),
\end{aligned}
\]

\[
\begin{aligned}
U_{a}\left(q_{1}, \ldots, q_{N+1}\right) & =\sum_{P} \delta_{P} u\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right) v\left(q_{N+1}\right)= \\
& =\sum_{k=1}^{N+1} \delta_{k} T_{N+1, k} \bar{u}_{a}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right) v\left(q_{N+1}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь \( T_{N+1, k} \) означает перестановку двух чисел \( N+1 \) и \( k ; T_{N+1, N+1} \), следовательно, – тождество, а \( \delta_{k}=+1 \) при \( k=N+1 \) и \( \delta_{k}=-1 \) при \( 1 \leqslant k \leqslant N \).

Опыт показывает, что – коль скоро мы одновременно переставляем пространственные и спиновые переменные-для каждого сорта частиц имеется только один единственный класс состояний. Этот класс может быть только либо симметричным, либо антисиммет ричным. Опыт показывает далее, что. элементарные частицы (электроны, протоны) принадлежст к антисимметричному классу, который только и встречается в природе. Для других частиц, например, ядер Не (х-частиц), в природе встречается и симметричный класс. Весьма своеобразно то обстоятельство, что волновая механика приводит к большему числу возможностей, чем встречается в природе, и притом к возможностям, равноправным в смысле принципа соответствия. Можно надеяться, что будущая теория электрических элементарных частиц приведёт также и к более глубокому проникновению в сущность этого ограниченного выбора природы \( { }^{1} \) ).

Свойства классов симметрии выступают более ясно, если рассмотреть частицы, которые в первом приближении не связаны между собой, т. е. свободны от взаимодействия. Они могут, однако, находиться во внешнем силовом поле. Пусть в этом случае \( u_{1}(q), \ldots, u_{N}(q) \) –
1) Часто пытаются искусственно объяснить такое ограничение возможностей, вводя соответствуюшие особенности в энергию взаимодействия двух элементарных частиц в случае совпадения спиновых и пространственных координат. При этом нужно достигнуть того, чтобы только антисимметричные функции оставались регулярными. Математичскки безупречным образом достиг этого Яффе (G. Jaf é, Zs. f. Phys., 66, 748, 1930). Особенности при этом, однако, таковы, что едва ли они могут соответствовать действительности.

—————————————————————-
0002ru_fizik_book4_bez_photo_page-0194.jpg.txt

§ 14] СоБСтВЕН. ФУНКЦИи МНОГИХ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТ ИЦ 193
собственные функции состояний, в которых находятся \( N \) электронов, причём между этими состояниями могут, однако, встречаться также и одинаковые. Тогда симметричной собственной функцией будет сумма произведений:
\[
U_{s}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right)=\sum_{\boldsymbol{P}} P u_{1}\left(q_{1}\right) \ldots u_{N}\left(q_{N}\right) .
\]

Здесь должны переставляться индексы координат частиц при фиксированных индексах \( 1,2, \ldots, N \) состояний, между которыми могут также встречаться и одинаковые. (Для нормировки \( U_{s} \) нужно ввести ещё соответствующий численный множитель.) Подобным образом находят антисимметричную собственную функцию:
\[
\begin{array}{l}
U_{a}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right)=\sum_{P} \delta_{P} P u_{1}\left(q_{1}\right) \ldots u_{N}\left(q_{N}\right)= \\
=\left|\begin{array}{cccc}
u_{1}\left(q_{1}\right) & \ldots & u_{N}\left(q_{1}\right) \\
u_{2}\left(q_{2}\right) & \ldots & u_{N}\left(q_{2}\right) \\
\cdots & \ldots & \cdot & \cdot \\
u_{1}\left(q_{N}\right) & \ldots & \cdot & u_{N}\left(q_{N}\right)
\end{array}\right|, \\
\end{array}
\]

которая записана также в виде детерминанта. Aнmuсимметричная функция тождественно обращается в нуль, если два состояния совпадают \( \left(u_{l}(q) \equiv u_{k}(q)\right. \) при \( k
eq l \) ). Таким образом, пока речь идёт о системе частиц с антисимметричными состояниями, то две частицы никогда не могут находиться в одном и том же состоянии. В этом состоит содержание прйцtппа Паули, который был сформулирован ещё до установления квантовой механики для электронов. Справедливость этого принципа для протонов стала известна позже. Из справедливости принципа Паули для определённого сорта частиц обратно следует, что эти частицы имеют антисимметричное состояние. Ибо только антисимметричные собственные функции имеют свойство всегда обращаться в нуль, если две частицы находятся в одинаковом состоянии.
Для возможности непротиворечивым образом исключить все классы симметрии, кроме одного, существенно то обстоятельство, что в рамках применимости классической механики (геометрической оптики) нельзя установить вид класса симметрии. Рассмотрим для простоты только две частицы. Мы принципиально всегда можем различить эти частицы, используя, например, непрерывность изменения их местоположения, если \( u x \) волновые функции \( \psi_{1}(q, t) u \psi_{2}(q, t) \) нигде не перекрываются, т. е. отличны от нуля в совершенно разделённых между собой областях пространства. (Строго говоря, достаточно нолного разделения областей в пространстве спинов и обычных координат; мы пишем далее временно \( \int d q \) вместо \( \left.\sum_{s_{3}} \int d x_{1} d x_{2} d x_{3} \cdot\right) \).
В этом случае имеет место равенство
\[
\psi_{1}^{*}\left(q_{r} ; t\right) \psi_{2}\left(q_{r}, t\right)=0 \quad \cdot(r=1,2)
\]

во всём \( q \)-пространстве за весь рассматриваемый промежуток времени. Поэтому средние значения любого симметричного относительно частиц оператора \( \boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{p}_{1}, \boldsymbol{p}_{2}, \boldsymbol{q}_{1}, \boldsymbol{q}_{2}\right) \) для симметричных и антисимметричных функций
\[
\left.\begin{array}{l}
\Psi_{s}\left(q_{1} q_{2} t\right)= \\
\quad=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{1}\left(q_{1}, t\right) \psi_{2}\left(q_{2}, t\right)+\psi_{1}\left(q_{2}, t\right) \psi_{2}\left(q_{1}, t\right)\right], \\
\Psi_{a}\left(q_{1} q_{2} t\right)= \\
\quad=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{1}\left(q_{1}, t\right) \psi_{2}\left(q_{2}, t\right)-\psi_{1}\left(q_{3}, t\right) \psi_{2}\left(q_{1}, t\right)\right]
\end{array}\right\}
\]

совпадают
\[
\left.\begin{array}{l}
\bar{F}(t)=\int \Psi_{*}^{*} F \Psi_{s} d q_{1} d q_{1}=\int \Psi_{a}^{*} F \Psi_{a} d q_{1} d q_{2}= \\
=\int \Psi_{1}^{*}\left(q_{1}, t\right) \Psi_{2}^{*}\left(q_{2}, t\right)\left[F \psi_{1}\left(q_{1}, t\right) \psi_{2}\left(q_{2}, t\right)\right] d q_{1} d q_{2}= \\
=\int \Psi_{1}^{*}\left(q_{2}, t\right) \psi_{2}^{*}\left(q_{1}, t\right)\left[F \psi_{1}\left(q_{2}, t\right) \psi_{2}\left(q_{1}, t\right)\right] d q_{1} d q_{2},
\end{array}\right\}
\]

так как в этом случае (по крайней мере, когда \( \boldsymbol{F} \)-целая рациональная функция \( \boldsymbol{p} \) )
\[
\psi_{1}^{*}\left(q_{1}, t\right) \psi_{2}^{*}\left(q_{2} t\right)\left[F \psi_{1}\left(q_{2}, t\right) \psi_{2}(q, t)\right]=0 .
\]
Часто тот факт, что электроны удовлетворяют принципу Паули, т. е. имеют антисимметричные состояния, представляют наглядным образом, говоря, что все электроны «заключают между собой договор» или «должны знать друг о друге», чтобы удовлетворять этому принципу. Мы видим, однако, что этот «договор», если можно так выразиться, автоматически вступает в силу только тогда, когда волновые пакеты электронов перекрываются, т. е. когда возможность их совпадения в пространстве спинов и обычных координат не исключена заранее (не учитывая уже класса симметрии).

Мы рассмотрим теперь ещё несколько подробнее поведение многих электронов, возвращаясь к разделению на пространственные и спиновые координаты. Во многих случаях допустимо рассматривать взаимодействие между спином и орбитой и, следовательно,-ту часть оператора Гамильтона, которая содержит операторы спина-как малое по сравнению с взаимодействием электронов. В нулевом приближении (каждый из электронов движется в одинаковом внешнем поле) оператор Гамильтона имеет вид
\[
\boldsymbol{H}^{(0)}=\sum_{r=1}^{N} \boldsymbol{H}_{r}^{(0)},
\]

где каждое \( \boldsymbol{H}_{r}^{(0)} \) действует только на пространственные координаты \( \dot{r} \)-го электрона. В первом приближении добавляется возмущение
\[
\boldsymbol{H}^{(1)}=\sum_{r, s}^{\prime} \frac{e^{\mathbf{s}}}{r_{r, s}},
\]

симметричное по отношению к пространственным координатам частиц. Это есть введённая уже в (98), (99) кулоновская энергия взаимодействия частиц. Только во втором приближении к ней присоединяется энергия взаимодействия между спином и орбитой
\[
\boldsymbol{H}^{(2)}=V\left(x_{r k}, s_{r 3}\right) .
\]

Если \( \boldsymbol{H}^{(2)} \) можно рассматривать не только как малое по сравнению с \( \boldsymbol{H}^{(0)} \), но и как малое по сравнению с \( \boldsymbol{H}^{(1)} \), то говорят о рессель-саундерсовской связи.
13*

—————————————————————-
0002ru_fizik_book4_bez_photo_page-0197.jpg.txt

196
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ
โบ. 1
Исследуем теперь более подробно на простейшем примере двух частиц поведение собственных функций, соответствующих этим предположениям. Согласно (328\”) целиком антисимметричные решения (т. е. антисимметричные по отношению к спиновым и пространственным координатам вместе) в нулевом и первом приближении имеют вид
\[
\begin{array}{l}
U\left(x_{1}, x_{2}, s_{13}, s_{23}\right)=u\left(x_{1}, s_{13}\right) v\left(x_{2}, s_{23}\right)- \\
-u\left(x_{2}, s_{23}\right) v\left(x_{1}, s_{15}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
u\left(x_{1}, s_{13}\right)=u(x)\left[a_{\alpha} C_{+}\left(s_{3}\right)+a_{8} C_{-}\left(2_{3}\right)\right] \\
v\left(x_{2}, s_{28}\right)=v(x)\left[b_{\alpha} C_{+}\left(s_{3}\right)+b_{\beta} C_{-}\left(s_{3}\right)\right]
\end{array}
\]
(индекс \( k=1,2,3 \) пространственной координаты каждой из частиц мы опускаем). Эта запись выражает разделение пространственных и спиновых переменных в нулевом и первом приближениях, \( u(x) \) и \( v(x) \)-пространственные собственные функции одного электрона в одном из рассматриваемых состояний. Если оба электрона по отношению к пространственным координатам находятся в одинаковом состоянии, то следует положить \( u(x)=v(x) \). Если сначала, как мы предположили, внешнее силовое поле отсутствует, и оператор Гамильтона, следовательно, инвариантен относительно вращений, то при любом выборе \( a_{\alpha}, a_{\beta}, b_{\alpha}, b_{\beta} \) мы получим допустимую собственную функцию. Тогда \( U\left(x_{1}, x_{2}, s_{13}, s_{23}\right) \) представляет собой линейную комбинацию следующих четырёх (ортогональных друг другу и нормированных) собственных функций: трёх функций
\[
\begin{array}{l}
U^{\mathrm{I}}\left(x_{1}, x_{2}, s_{13}, s_{23}\right)= \\
\quad=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[u\left(x_{1}\right) v\left(x_{3}\right)-u\left(x_{2}\right) v\left(x_{1}\right)\right] A_{m_{8}}\left(s_{31}, s_{32}\right),
\end{array}
\]

где \( m_{s}=-1,0,+1 \), a
\[
\begin{aligned}
A_{-1}\left(s_{13}, s_{23}\right) & =C_{-}\left(s_{13}\right) C_{-}\left(s_{28}\right), \\
A_{0} & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left[C_{+}\left(s_{13}\right) C_{-}\left(s_{23}\right)+C_{-}\left(s_{13}\right) C_{+}\left(s_{23}\right)\right], \\
A_{+1} & =C_{+}\left(s_{13}\right) C_{+}\left(s_{23}\right)
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
U^{\mathrm{II}}\left(x_{1}, x_{2}, s_{18}, s_{28}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[u\left(x_{1}\right) v\left(x_{2}\right)+v\left(x_{1}\right) u\left(x_{2}\right)\right] \times \\
\times \frac{1}{\sqrt{2}}\left[C_{+}\left(s_{18}\right) C_{-}\left(s_{23}\right)-C_{-}\left(s_{13}\right) C_{+}\left(s_{28}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Спиновая функция входит здесь как множитель, причём в первом случае она симметрична, а во втором-антисимметрична. Во втором случае применение какого-либо из операторов \( s_{k}=s_{1 k}+s_{2 k} \) к спиновой собственной функции даёт нуль. Уже из этого следует инвариантность этой функции по отношению к вращениям. Это, однако, видно и непосредственно, так как она при любом линейном преобразовании умножается на такой же детерминант преобразования, как и \( C_{+}\left(s_{13}\right) C_{-}\left(s_{13}\right) \) или \( C_{+}\left(s_{\mathbf{3}}\right) C_{-}\left(s_{23}\right) \); но, как мы видели, детерминант преобразования вращения для \( C_{+}, C_{-} \)имеет значение 1. Итак, \( U^{\text {II }} \) соответствует терм с \( S=0 \) (сингулет). Даже тогда, когда благодаря инвариантности оператора Гамильтона по отношению к вращениям одному и тому же значению энергии принадлежит несколько \( u \) и несколько \( v^{1} \) ) (с не равным нулю результирующим вращательным моментом орбитального движения) включение энергии возмущения \( \boldsymbol{H}^{(2)} \) не вызывает дальнейшего расщепления терма. В случае \( u(x)=v(x) \) первый нормирующий множитель в \( U^{\mathrm{II}} \) заменяется на \( 1 / 2 \), так что можно просто писать \( u(x) v(x) \). В первом приближении, т. е. пренебрегая \( \boldsymbol{H}^{(2)} \), получаем для \( U^{\mathrm{II}} \) возмущение терма
\[
\Delta E_{I \mathrm{I}}=J_{0}+J_{1},
\]
rде
\[
\left.\begin{array}{l}
J_{0}=\int\left|u\left(x_{1}\right)\right|^{2}\left|v\left(x_{2}\right)\right|^{2} V\left(x_{1}, x_{2}\right) d x_{1} d x_{2}, \\
J_{1}=\int u^{*}\left(x_{1}\right) u\left(x_{2}\right) v^{*}\left(x_{1}\right) v\left(x_{2}\right) V\left(x_{1}, x_{2}\right) d x_{1} d x_{2} .
\end{array}\right\}
\]
\( J_{1} \) – так называемый обменный интеграл.
В первом случае, т. е. для \( U^{\mathrm{I}} \) спиновые собственные функции симметричны. \( A_{-1}, A_{0}, A_{1} \) преобразуются при
1) В этом случае нужно построить соответствуюпие линейные комбинации различных \( u_{\chi}\left(x_{1}\right) v_{\lambda}\left(x_{2}\right)+u_{x}\left(x_{2}\right) v_{\lambda}\left(x_{1}\right) \).
вращениях друг в друга. Это происходит в конечном счёте потому; что вращения и перестановки коммутативны, и следовательно, при вращении характер симметрии собственных функций никак не может измениться. Собственные функции одного спина \( A_{-1}, A_{0}, A_{1} \) соответствуют здесь значениям \( -1,0,1 \) квантового числа \( m_{s} \) третьей компоненты \( s_{3}=s_{13}+s_{23} \) результирующего спинового момента и значению \( s=1 \) квантового числа модуля результирующего спинового момента. Соответствующее возмущение энергии равно в первом приближеңии
\[
\Delta E_{\mathrm{I}}=J_{0}-J_{1},
\]

где \( J_{0} \) и \( J_{1} \) обозначают те же интегралы, что и выше. Если \( L- \) рбитальный вращательный момент, то, вообще говоря, из-за энергии возмущения \( \boldsymbol{H}^{(2)} \) получается дальнейшее расщепление терма, причём приводимое представление
\[
D_{1} \times D_{2}
\]

группы вращений распадается на свои неприводимые составные части \( D_{J} \), где
\[
J=L+1, L, L-1 .
\]

Для \( L=0 \) (S-терм) расщеплеңия, очевидно, не получается. Таким образом, мы имеем здесь дело с триплетной системой. Следует заметить, что при \( u(x)=v(x) \) собственная функция \( U^{\mathrm{I}} \) тождественно исчезает.

Мы получаем следующий важный результат: благодаря принципу Паули, состояниям двух электронов, симметричным относительно перестановки одних пространственных координат, соответствуют сингулетные термы; состояниям эе, антисимметричным относительно пространственных координат, соответствуют триплетные термы. Даже если пренебречь силами взаимодействия между спином и пространственными координатами, эти термы энергетически различаются обменными интегралами. При не встречающихся в природе целиком симметричных состояниях соотношения мультиплетности для различных классов симметрии относительно одних только пространственных координат были бы как раз обратны.
Это утверждение составляет сущность содержания гейзенберговой теории спектра гелия \( { }^{1} \) ). Благодаря неразличимости электронов перемена мест электронов принципиа.пьно не может наблюдаться. Что же касается «обмена» электронов, то в принципе в атоме Не может самое большее наблюдаться перестановка спина внешнего и внутреннего электронов с течением времени, если эти спины противоположны.

Теория может быть обобщена со случая двух электронов на любое число \( N \) электронов \( { }^{2} \) ). Мы не будем, однако, проводить здесь доказательства, а только набросаем результаты. При этом не рекомендуется исходить из общей теории представлений, так как фактически, благодаря принципу Паули, может встретиться лишь небольшая часть всех возможных представлений для симметрии собственных функций относительно перестановок одних координат. Рекомендуется ввести в детерминант (332) выражения вида (333) и для функции \( u_{n}(q) \) соответствующим образом расположить полученные выражения (195). При этом видно, что результат применения оператора \( s^{2}=\sum_{k=1}^{3} \sum_{r=1}^{N} s_{r k}^{3} \) к спиновой собственной функции всегда состоит в умножении функции на число вида \( s(s+1) \). Характер симметрии спиновых и тем самым-в силу принципа Паули-пространственных собственных фунқций определяется тогда однозначно.

Из этого, далее, следует, что при рессель-саундерсовской связи (малость взаимодействия \( \boldsymbol{H}^{(2)} \) по сравнению с \( \left.\boldsymbol{H}^{(1)}\right) \) термы различной мультиплетности также и для \( N \) электронов разделяются друг от друга; энергетически они отличаются линейными комбинациями «обменных интегралов».

Следует ещё заметить, что применение предыдущих рассуждений о столкновении к вопросу о симметрии соб-
1) Ср. Г. Бете, Квантовая механика простейиих систем.
\( { }^{2} \) Cp. P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. London (A), 123, 714, 1929; J. C. Slater, Phys. Rev., 34, 1293, 1929. Общие обзоры в Rapport du Congrés de Solvay, 1930, Referat W. Payli, в о обенности 1 § 4 ; далее M. В or n; Zs. \( f \). Phys , 64, 729, 1930; Ergebn, d. exakt, Naturwissensch, 10, 387, 1931 ,
ственных функций при перестановке одних пространственных координат показывает, что, даже если пренебречь спиновыми силами при соударении электрона с атомом, этот последний может перейти в терм с иной мультиплетностью, чем исходный терм. Ибо здесь, кроме симметричного и антисимметричного, могут встретиться и другие классы симметрии.

Нам осталось ещё обсудить статистические применения теории, которые характерны для системы из многих одинаковых частиц с определённым классом симметрии (симметричным или антисимметричным). Представим себе большое число невзаимодействующих свободных частиц, заключённых в замкнутом объёме \( V \), так что собственные функции имеют вид плоскйх стоячих волн. Число стационарных состояний частицы, лежащих в элементе объёма \( \dot{p}_{k}, p_{k}+d p_{k}(k=1,2,3) \) пространства импульсов, тогда равно
\[
Z=V \frac{1}{\hbar^{3}} d p_{1} d p_{2} d p_{3} .
\]

Для частиц со спином сюда следует добавить ещё весовой фактор \( g=2 s+1 \) ( \( g=2 \) для электронов и протонов), однако, мы для простоты пока его опустим. При этом целесообразно рассматривать не одно состояние, а группу из \( Z \) состояний рассматриваемого рода, причём \( Z \) должно быть большим числом. С другой стороны, энергия частицы внутри группы должна изменяться так мало, чтобы множитель Больцмана \( e^{-\frac{E}{k T}} \) для группы состояний оставался почти постоянным. Тогда возникает вопрос об априорной вероятности \( W \) того, что \( N \) частиц лежат в рассматриваемой группе состояний. Согласно общим принципам она задаётся числом стационарных состояний составной системы из \( N \) частиц, при которых каждая частица имеет импульс между \( p_{k} \) и \( p_{k}+ \) \( +d p_{k} \). Это число зависит от класса симметрии и отличается от априорной вероятности для независимых частиц, которая равна просто
\[
W=Z^{N} .
\]

Для частиц с симметричными состояниями дело обстоит совершенно иначе. Тому случаю, когда первая частица находится в состоянии 1, а вторая-в состоянии 2 , и другому случаю, когда первая частица находится в состоянии 2 , а вторая-в состоянии 1 , соответствует только одно состояние для системы из двух частиц; следовательно, здесь а priori равновероятно, что одна из двух имеющихся частиц находится в состоянии 1 , а другая-в состоянии 2 , или что обе они находятся в одинаковом состоянии 1, или же в одинаковом состоянии 2 . Для независимых частиц, напротив, вероятность каждой из двух последних возможностей равна только половине вероятности первой. Вообще для \( N \) частиц каждая симметричная функция однозначно охарактеризована, если задано, сколько молекул из общего числа \( N \) находится в каждом из \( Z \)-состояний группы. Такое задание мы будем называть «распределением». Для симметричных собственных функций число таких распределений равно
\[
W=\frac{(N+Z-1) !}{N !(Z-1) !} \text { (симметричные состояния). }
\]

В случае антисимметричных собствеңных функций (принцип Паули) нужно из этих распределений вычеркнуть все те, при которых более чем одна частица находится в одинаковом состоянии. Тогда получается
\[
W=\frac{Z !}{N !(Z-N) !} \text { (антисимметричные состояния), }
\]

причём обязательно должно быть \( N \leqslant Z \). Если имеется несколько грущп состояний отдельных частиц, то общее число соответствующих состояний составной системы равно произведению чисел \( W \) для отдельных групп. (При независимых частицах здесь входит ещё множитель \( N ! / N_{1} ! N_{3} ! \ldots \), где \( N_{n} \) обозначают число частиц в отдельной группе, а \( N=\sum_{n} N_{n} \)-полное число частиц. Для частицы со спином эти \( W \) нужно просто возвести в степень \( g \), если под \( N \) понимается число частиц с определённым спиновым состоянием.)

До того, как были исследованы свойства симметрии собственных фуикций \( N \) одинаковых частиц, эти статистические соотношения казались особым гипотетическим предписаңием, особенно в случае симметричных состояний. Они были введены Бозе \( { }^{1} \) ), тақ как при толковании света как газа, состоящего из корпускулярных световых квантов, они приводят к правильным результатам. (Мы вернёмся к этому в части II, § 6.) Эйнштейн \( { }^{1} \) ) переңёс эти соотношеңия на материальные газы. Поэтому часто говорят о статистике Бозе-Эйнштейна. Здесь речь идёт, однако, не о новом роде статистики, ибо, как мы теперь знаем, априорная вероятность всегда пропорциональна числу соответствующих стационарных состояний составной системы. Мы предпочитаем поэтому говорить о статистике симметричных состояний. Она должна применяться к таким материальным частицам, которые обладают симметричными состояниями, например к \( \alpha \)-частицам: Для частиц, которые удовлетворяют принципу Паули, соответствующие статистические следствия были получены Ферми \( { }^{1} \) ) и независимо от него Дираком \( { }^{1} \) ), который уже основывал свои рассуждения на антисимметрии собственных функций: Поэтому часто говорят также о статистике Ферми-Дирака, мы предпочитаем, однако, говорить о статистике антисимметричных состояний \( { }^{2} \) ).

Мы обсудим ещё одно из применений этих статистик, которое можно формулировать, не вдаваясь в вопросы теории теплоты. Речь идёт о флуктуациях числа частиц и энергии в выделенной части объёма для рассматриваемой здесь совокупности \( N \) свободных частиц, лежащих внутри определённого интервала скоростей. Мы рассмотрим сначала более простые соотношения для числа частиц. Пусть \( x_{r} \)-сокращённое обозначение для трёх пространствеңных координат \( n \)-й частицы, тогда число пространственных координат \( x_{r} \), лежащих в рассматриваемой части объёма, равно
\[
n\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right)=\sum_{r=1}^{N} \int_{v} d x \delta\left(x-x_{r}\right),
\]
1) L. C., см. прим. 1, стр. 186.
2) О дальнейших термодинамических следствиях и применениях см. также монографию Брилюэна, Квантовая статистика, ОНТИ, 1934; П. Иордан, Статистическая механика на основе квантовой теории.
где интегрирование выполняется по объёму \( v \). Далее имеем
\[
\begin{array}{l}
\bar{n}=\int n\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right)\left|U\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right)\right|^{2} d x_{1} \ldots d x_{N}, \\
\overline{n^{2}}=\int n^{2}\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right)\left|U\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right)\right|^{2} d x_{1} \ldots d x_{N},
\end{array}
\]

где \( U\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right) \) обозначает собственную функцию. Иңтегрирование здесь возможно. Если в рассматриваемой группе \( Z \) состояний, где \( Z \)-большое число, каждое состояние составной системы рассматривается как равновероятное, и если для простоты ограничиться случаем частичного объёма \( v \), малого по сравнению с полным объёмом, то для числа частиц в \( v \) получается известный результат \( { }^{2} \) ):
\( \overline{(\Delta n)^{2}}=\bar{n}^{2}-(\bar{n})^{2}=\bar{n}+\frac{\bar{n}^{2}}{z} \) для симметричных
состояний,
(338a)
\( \overline{(\Delta n)^{2}}=\overline{n^{2}}-(\bar{n})^{2}=\bar{n}-\frac{\bar{n}^{2}}{z} \) для антисимметричных
состояний,
(338b)

где \( z=Z \frac{v}{V} \). Напротив, для независимых частиц, как известно, \( \overline{(\Delta n)^{2}}=\bar{n} \). При этом важно заметить, что здесь мы пренебрегаем величинами порядка \( 1 / z \) по сравнению с выписанными членами.

Аналогичный вопрос об энергии выделенного объёма требует известной осторожности, так как знание импульса частицы влечёт за собой неопределённость в знании её положения. Измерение числа частиц в выделенной области можно осуществить просто, определяя координаты всех частиц, численное значение которых лежит в требуемых границах. Наоборот, для определения энергии нужно обязательно ввести стены (потенциальные барьеры) или включить аналогичные внешние влияния, которые осуществляют ограничение объёма. После такого включения энергия в общем совпадает с энергией, находившейся до включения в некотором объёме. Однако, граңицы этого объёма определены с точностью
1) Вылолнением вычислений этим методом я обязан P. Пайерсу.
до величины порядка длины волны материи. Толыко когда выделенная область велика по сравнению с такой средней длиной волны, вопрос об энергии выделенной области вообще получает определённый смысл. Следует заметить, что если записать энергию выделенной области в форме
\[
\boldsymbol{E}=\frac{1}{2 m} \sum_{r} \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{r}} D\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{r}}\right) \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{r}}, \quad D(x)=\int_{v} \delta\left(x-x^{\prime}\right) d x^{\prime},
\]

то появляются известные особенности, которых можно, однако, как заметил Гейзенберг \( { }^{1} \) ), избежать, если заменить функцию \( D(x) \) непрерывной функцией, т. е. ввести весовую функцию, которая вне рассматриваемой области \( v \) хотя и спадает круто, но всё же исчезает непрерывно.
\[
\int G\left(x^{\prime}\right) \delta\left(x-x^{\prime}\right) d x^{\prime}=G(x), \quad E=\frac{1}{2 m} \sum_{r} p_{r} G\left(x_{r}\right) p_{r} .
\]

Тогда аналогично (338) получаем:
\[
\overline{(\Delta E)^{2}}=\overline{E^{2}}-\bar{E}^{2}=\frac{1}{2 m} p^{2} \bar{E}+\frac{\bar{E}^{2}}{z} \text { для симметричных }
\]

состояний,
\( \overline{(\Delta E)^{2}}=\overline{E^{2}}-\bar{E}^{2}={ }_{2 m}^{1} p^{2} \bar{E}-\frac{\bar{E}^{3}}{z} \) для антисимметричных
состояний.

Здесь следует обсудить своєобразный математический метод, развитый Иорданом и Клейном \( { }^{2} \) ) (случай симметричных состояний) .и Иорданом и Вигнером \( { }^{3} \) ), который может быть назван вторичным квантованием волн в обычном трёхмерном пространстве. Этот метод возник исходя из аналогии между материальными частицами (состояния которых симметричны), с одной стороны, и световыми квантами излучения, с другой стороны. (Ср. часть II, § 6.) Представляется сомнительным, чтобы речь шла здесь действительно о глубоко идущей физической аналогии. Кроме того, известно, что все результаты волновой механики могут быть получены и без применения этого метода. Олнако, он должен быть приведён, по крайней мере, как метод вычислительный.
1) W. H eis en berg, Leipziger Akad., math.-phys. Kl., 83, 3, 1931.
2) P. Jordan и O. Klein, Zs, f. Phys., 45, 751. 1927.
3) P. Jordan и:E. Wigner, Zs. f. Phys., 47, 631, 1928,

В § 9 мы описывали посредством \( c_{n}^{*} c_{n} \) вероятность того, что частица находится в состоянии, характеризуемом собственной функцией \( u_{n}(x) \). Введём теперь (зависящие от времени) операторы (матрицы) \( \boldsymbol{a}_{n}^{*} \) и \( \boldsymbol{a}_{n} \), которые удовлетворяют перестановочным соотношениям
\[
a_{n} a_{m}^{*}-a_{m}^{*} a_{n}=\left\{\begin{array}{l}
0 \text { при } n
eq m, \\
1 \text { при } n=m,
\end{array}\right.
\]

тогда как
\[
a_{n} a_{m}-a_{m} a_{n}=0, \quad a_{k}^{*} a_{m}^{*}-a_{m}^{*} a_{k}^{*}=0 .
\]

При этом \( \boldsymbol{a}^{*} \) всегда обозначает оператор, эрмитовски сопряжённый оператору \( \boldsymbol{a} \). Тогда легко видеть, что собственные значения
\[
a_{m}^{*} a_{m}=N_{m}
\]

представляют собой целые числа \( 0,1,2, \ldots \) Если записать \( N_{m} \) в виде диагональной матрицы, то матрицы \( \boldsymbol{a}_{m}^{*} \) и \( \boldsymbol{a}_{m} \) примут следующий вид
\[
\begin{array}{l}
\left(a_{m}^{*}\right)_{N_{m} N_{m}^{\prime}}=\left\{\begin{array}{ccc}
\sqrt{N_{m}} & \text { при } & N_{m}^{\prime}=N_{m}-1, \\
0 & \text { при } & N_{m}^{\prime}
eq N_{m}-1 .
\end{array}\right. \\
\left(a_{m}\right)_{N_{m} N_{m}^{\prime}}=\left\{\begin{array}{cl}
\sqrt{N_{m}+1} & \text { при } N_{m}^{\prime}=N_{m}+1, \\
0 & \text { при } N_{m}^{\prime}
eq N_{m}+1 .
\end{array}\right. \\
\end{array}
\]

Следовательно, \( \boldsymbol{a}_{m}^{*} \) как оператор, действуюций на функцию \( f\left(N_{m}\right) \), переводит последнюю в \( \sqrt{N_{m}+1} f\left(N_{m}+1\right) \), тогда как \( \boldsymbol{a}_{m} \) переводит \( f\left(N_{m}\right) \) в \( \sqrt{N_{m}} f\left(N_{m}-1\right) \). Положим:
\[
a_{m}^{*}=\sqrt{-} N_{m} \vec{\Delta}_{m}^{*}, \quad a_{m}=\vec{\Delta}_{m} \sqrt{\bar{N}_{m}},
\]

где
\[
\left.\overrightarrow{\Delta_{m}^{*}} \overrightarrow{\Delta_{m}}=1^{1}\right)
\]

тогда
\[
\left.\begin{array}{rl}
\vec{\Delta} f\left(N_{m}\right) & =f\left(N_{m}+1\right), \\
\vec{\Delta}^{*} f\left(N_{m}\right) & =f\left(N_{m}-1\right) .
\end{array}\right\}
\]

Совершенно аналогичные перестановочные соотношения могут быть по Иордану и Вигнеру, установлены для частиц с антисимметричными состояниями, где \( N_{n} \) имеют значения только 0 и 1. Согласно этим авторам здесь можно положить
\[
\boldsymbol{a}_{n} \boldsymbol{a}_{m}^{*}+\boldsymbol{a}_{m}^{*} \boldsymbol{a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}
0 \text { при } n
eq m, \\
1 \text { при } n=m,
\end{array}\right.
\]

причём
\[
a_{n} a_{m}+a_{m} a_{n}=0, a_{n}^{*} a_{m}^{*}+a_{m}^{*} a_{n}^{*}=0 \quad \text { при } \quad m
eq n,(340 \text { ‘b) }
\]
1) Часто пишут \( \Delta_{m}=e^{\frac{i}{\hbar} \theta_{m}} \), чтобы (344а) выполнялось тождественно.
и снова
\[
a_{n}^{*} a_{n}=N_{n} .
\]

Теперь матрицы \( \boldsymbol{a} \) имеют вид
\[
\left(a_{*}^{*}\right)_{1,0}=\varepsilon_{n}, \quad\left(a_{n}\right)_{0,1}=\varepsilon_{n}, \quad\left(a_{n}^{*}\right)_{N_{n} N_{n}^{\prime}}=\left(a_{n}\right)_{N_{n}^{\prime} N_{n}},
\]

где \( \varepsilon_{n}= \pm 1 \); знак зависит от \( n \) и подлежит ещё определению. Чтобы установить этот знак, нужно представить себе состояния \( n \) распределёнными в определённой последовательности. Тогда можно положить
\[
\varepsilon=\prod_{m \leqslant n}\left(1-2 N_{m}\right) .
\]

Это выражение равно +1 или -1 , в зависимости от того, является ли число лежащих пегед рассматриваемым состоянием занятых состояний чётным или нечётным Далее следует положить
\[
\left.\begin{array}{rl}
a_{n}^{*} f\left(N_{1}, \ldots, 0_{n}, \ldots\right) & =\varepsilon_{n}\left(N_{1}, \ldots, 0_{n}, \ldots\right) f\left(N_{1}, \ldots, 1_{n}, \ldots\right)= \\
& =-\varepsilon_{n}\left(N_{1}, \ldots, 1_{n}, \ldots\right) f\left(N_{1}, \ldots, 1_{n}, \ldots\right), \\
a_{n}^{*} f\left(N_{1}, \ldots, 1_{n}, \ldots\right) & =0 \\
a_{n} f\left(N_{1}, \ldots, 0_{n}, \ldots\right) & =0 \\
a_{n} f\left(N_{1}, \ldots, 1_{n}, \ldots\right) & =\varepsilon_{n}\left(N_{1}, \ldots, 0_{n}, \ldots\right) f\left(N_{1}, \ldots, 0_{n}, \ldots\right)= \\
& =-\varepsilon_{n}\left(N_{1}, \ldots 1_{n}, \ldots\right) f\left(N_{1}, \ldots, 1_{n}, \ldots\right) .
\end{array}\right\}(34
\]

От \( \boldsymbol{a}_{n} \boldsymbol{a}_{.}^{*} \) легко перейти к самымфункциям \( џ \) согласно соотношениям:
\[
\vec{\psi}(q)=\sum_{n} a_{n}(t) u_{n}(q), \quad \vec{\psi}^{*}(q)=\sum_{n} a_{n}^{*}(t) u_{n}^{*}(q),
\]

где \( q \) объединяет пространственные и спиновые координаты, а \( u_{n} \) и \( u_{n}^{*} \) представляют собой обыкновенные числа, образующие нормированную ортогональную систему. Последнее обстоятельство влечёт за собой перестановочные соотношения, аналогичные \( (342 \mathrm{a}, \mathrm{b}) \) :
\[
\left.\begin{array}{rl}
\vec{\psi}(q) \vec{\psi}^{*}\left(q^{\prime}\right) \mp \overrightarrow{\psi^{*}}\left(q^{\prime}\right) \vec{\psi}(q)=\delta\left(q-q^{\prime}\right) \cdot 1, \\
\overrightarrow{\psi^{*}}(q) \overrightarrow{\psi^{*}}\left(q^{\prime}\right) \mp \overrightarrow{\psi^{*}}\left(q^{\prime}\right) \stackrel{\rightharpoonup}{\psi^{*}}(q)=0, \\
\vec{\psi}(q) \vec{\psi}\left(q^{\prime}\right) \mp \vec{\psi}\left(q^{\prime}\right) \vec{\psi}(q)=0,
\end{array}\right\}
\]

где верхний знак соответствует симметричным состояниям, а нижний – антисимметричным. Здесь стоит \( \delta\left(q-q^{\prime}\right) \) вместо \( \delta\left(x-x^{\prime}\right) \delta_{\mu \mu^{\prime}} \), причём \( \delta_{\mu \mu^{\prime}}- \) обыкновенный \( \delta \)-символ для дискретной спиновой координаты.
В качестве применения этого метода можно прежде всего снова вычислить флуктуации энергии и флуктуации плотности, причём следует постюоить
\[
\begin{array}{l}
n=\sum_{\varepsilon_{s}} \int_{v} \vec{\psi} \psi^{*} d x, \\
E=\sum_{s_{2}} \int_{v} \frac{\hbar}{2 m} \frac{\overrightarrow{\partial \psi}}{\partial x} \frac{\vec{y}^{*}}{\partial x} d x,
\end{array}
\]

и образовать средние значения (математические жидания) величины \( n, n^{2} \) и \( E, E^{2} \) для рассматриваемой группы состояний. Результат получается такой же, как и при вычислении в конфигурационном пространстве \( { }^{1} \) ).

Это есть частный случай общей эквивалентности метода квантованных собственных колебаний и метода конфигурачионного пространства, которая, как показали названные авторы, распространяется даже на проблему одинаковых взаимодействующих частиц. Пусть
\[
\boldsymbol{H}=\frac{1}{2 m} \sum_{r}\left[-\hbar^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{r}^{2}}+\sum_{r} V_{r}\left(q_{r}\right)+\sum_{r<s} \varrho\left(q_{r}, q_{s}\right)\right]
\]

оператор Гамильтона. Здесь внешние силы представлены потенциалом \( V\left(q_{r}\right) \), а функции \( Q \), зависящие от пары частиц, описывают взаимодействие. Для кулоновских электгостатических сил было \( H_{r s}=\frac{e^{2}}{r_{r s}} \). Имея в виду дальнейшее обобщение, которое касается магнитного взаимодействия частиц, мы допустим, что \( V \) и зависят от спиновых координат. Рассматривая \( p(q)= \) \( =\psi^{*}(q) \psi(q) \) как классическую плотность заряда электронного облака, можно записать энергию взаимодействия частиц \( s \) и \( r \) классически
\[
\iint d q_{r} d q_{s} Q\left(q_{r}, q_{s}\right) p\left(q_{r}\right) p\left(q_{s}\right) .
\]

По аналогии с этим можно определить оператор Гамильтона как
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{H}= & \frac{1}{2 m} \sum_{s_{s r}} \int\left[\hbar^{2} \frac{\overrightarrow{\partial \psi^{*}}}{\partial x_{r}} \frac{\partial \vec{\psi}}{\partial x_{r}}+V\left(q_{r}\right) \vec{\psi}^{*} \vec{\psi}\right] d x_{r}+ \\
& +\sum_{s_{8 r}} \sum_{s_{8 s}} \iint \vec{\psi}^{*}\left(q^{\prime}\right) \vec{\psi}^{*}(q) Q\left(q, q^{\prime}\right) \vec{\psi}\left(q^{\prime}\right) \vec{\psi}(q) d x d x^{\prime},
\end{aligned}
\]
1) При таком методе рассмотрения плотность энергии свободных частиц формально аналогична плотности энергии колеблющейся струны с проквантованными собственными колебаниями. Флуктуационные свойства этой последней системы были исследованы уже в работе M. Бorn, W. Не is enberg и P. Jordan, Zs. f. Phys., 35, 557, 1925.
где \( \psi \) ‡ точно так же операторы, которые, согласно (346), могут быть выражены через \( a_{r}^{*} a_{\lambda} \), появляющиеся при разложении \( \psi \) по подходящей системе ортогональных функций. Введём число частиц \( N_{n} \) в определяемџх этой системой состояниях \( n \) в качестве переменных волновой функции \( \Phi\left(N_{1}, N_{2}, \ldots, t\right) \), на которую действует оператор ( \( \left.348^{\prime}\right) \). Тогда мы можем установить волновое уравнение
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Phi}{\partial t}=H \Phi\left(N_{1}, N_{2}, \ldots, t\right) .
\]

Можно показать, что вытекающие из этого уравнения следствия полностью совпадают со следствиями полученного с помощью оператора (348) волнового уравнения в пгостранстве конфигураџий. Это справедливо как для частиц с симметричными состояниями, так и для частиц с антисимметричными состояниями \( { }^{2} \) ). Для этого совпадения существенна последовательность множителей в (348’).

Если имеется несколько раз.иичных сортов частиц (электроны, протоны), то можно для каждого сорта частиц ввести особый \( \vec{\psi} \)-оператор, причём \( \vec{\psi} \)-операторы, принадлежащие частицам различного сорта, коммутативны.

Это и есть вкратце метод квантованных собственных колебаний. Следует подчеркнуть, что несмотря на формальную математическую аналогию, имеется существенное физическое различие между переходом от величин \( p, q \) классической механики материальной точки к волновомеханическим операторам \( p, q \), с одной стороны, и переходом от функций \( \psi^{*}, \psi \) в обычном пространстве к операторам \( \vec{\psi}, \vec{\psi} \), с другой стороны, потому что уже функции \( \psi^{*}, \psi \) являются символическими величинами, которые сами не могут быть непосредственно наблюдаемы и содержат квант действия.