Мы видели уже в случае свободного электрона, что волновое уравнение кроме собственных решений с положительной энергией имеет также собствеңные решения, принадлежащие отрицательным энергиям. При наличии силовых полей это обстоятельство может, как показал впервые Клейн \( { }^{2} \) ), привести к своеобразным парадоксам.

Рассматривая классическую теорию при наличии внешних сил, мы видим, что здесь дифференциальноое уравнение в частных производных (106) Гамильтона-якоби догускает оба решеңия:
\[
\pi_{0}=+\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k} \pi_{k}^{2}}
\]

и
\[
\pi_{0}=-\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k} \pi_{k}^{2}} .
\]

Последний случай соответствует отрицательной қинетической энергии частицы и следующей гамильтоновской функции:
\[
H=-c \sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k}\left(p_{k}+\frac{e}{c} \Phi_{k}\right)}-e \Phi_{0} .
\]

Уравнение движения получаем из (100), просто изменив знак квадратного корня, так что при неизменных \( \dot{\pi}_{k} \) имеем:
\[
\dot{x}_{k}=-\frac{c \pi_{k}}{\sqrt{m^{2} c^{2}+\sum_{k} \pi_{k}^{2}}} .
\]

Таким образом, в этом случае ускорение направлетно противоположно силе. Области, которые, согласно (98), (положительная кинетическая энергия) соответствуют определённому значению общей энергии (кинетическая
1) O. K1 ein, Zs. f. Phys., 53, 157, 1929.

плюс потенциальная) и области, которые, согласно (98′), (отрицательная кинетическая энергия) соответствуют тому же значению общей энергии, всегда разделены в. пространстве конечной промежуточной областью.

Перейдем теперь к волновой механике и рассмотрим частный случай одномерного электрического поля ( \( \Phi_{k}=0 \), \( \Phi_{0} \) зависит только от \( x \) ) и зависящую только от \( x \) волновую фуңкцию (движение в направлении \( x \) ); пусть далее \( \Phi_{0} \) непрерывно убывает с возрастанием \( x \). При заданной общей энергии \( E \) следует различить три области:
1. \( x<a, m c^{2}<E+e \Phi_{0}(x) \),
2. \( a<x<b,-m c^{2}<E+e \Phi_{\theta}(x)<m c^{3} \),
3. \( b<x, E+e \Phi_{0}<-m c^{2} \).

Точка \( x=a \) соответствует точке поворота, проходящей в области 1, классической траектории частицы с положительной кинетической энергией; лежащая правее точка \( x=b \) соответствует точке поворота, проходящей в области 3 траектории частицы с отрицательной кинетической энергией и тем же значением \( E \) общей энергии. Область 2 с классической точки зрения недостижима для частицы, так как в этой области импульс
\[
p(x)=\sqrt{\frac{\left[E+e \Phi_{0}(x)\right]^{2}}{c^{2}}-m^{2} c^{2}}
\]

будет мнимым.
В волновой механике эта промежуточная область, однако, не полностью непроницаема. Коэффициент проницаемости \( D \) при весьма общих условиях даётся выражением
\[
D=e^{-2 w},
\]

где
\[
W=\frac{1}{\hbar} \int_{a}^{b}|p(x)| d x=\frac{1}{\hbar} \int_{a}^{b} \sqrt{m^{2} c^{2}-\left[\frac{E+e \Phi_{0}(x)}{c}\right]^{2}} d x .
\]
\( W \) есть разделённый на \( \hbar \) интеграл действия \( { }^{1} \) ), распро-
1) См. W.P auli, loc. cit., стр. 319, для специального поведения нотенциала :\” S auter, Zs. f. Phys., 69, 742, 1931; 73, 547, 1931. Для однородного поля нап ряжённости \( F \) имеем \( W=\frac{\pi}{2} \frac{m^{2} s^{3}}{\hbar e F} \).

странённый по промежуточной области. При этом, вопервых, предположено, что \( W \) очень малое число, что практически всегда выполняется и, во-вторых, что потенциал \( \Phi_{0} \) непрерывен. Первоначальное вычисление Клейна относилось к сингулярному случаю, когда \( \Phi_{0}(x) \) разрывно в некоторой точке, так что область 2 стягивается в одну точку оси \( x \). В этом случае, при котором легко провести непосредственное интегрирование волнового уравнеңия, соотношение (108) более не применимо.

Таким образом теория Дирака приводит к заключению, чго частицы с положительной массой покоя могут с конечной вероятностью проходить через промежуточную область и превращаться в частицы с отрицательной массой покоя (при сохранении суммы кинетической и потенциальной энергий). Очевидно, этот вывод теории нротиворечит опыту и возникает вопрос, как выйти из этого положения? Во-первых, во всяком случае верно, что при всех практически осуществимых напряжённостях поля вероятность «катастрофических переходов ничтожно мала. Так как, однако, речь идёт о принципиальном вопросе, нужно тем не менее потребовать в правильной теории не только малости, но и точного исчезновения этих переходов. При напряжённостях поля, для которых интеграл (109) имеет значение порядка 1 , не могли бы стабильно существовать создающие поле атомы. Поэтому иңтересно исследовать, не вводя понятия внешнего феноменологически заданного электрического поля, при каких взаимодействиях элементарных частиц друг с другом или элементарных частиц с излучением могут произойти, согласно теории, переходы от состояний с положительной энергией к состояниям с отрицательной энергией.

Рассмотрим простейший случай, когда взаимодействуют только две частицы, именно: или соударение двух заряженных частиц, обладающих массой покоя, или рассеяние светового кванта на свободной частице, обладающей массой покоя. В этих случаях уже только из законов сохранения энергии и импульса следует, что переходы к состояниям с отрицательной энергией не могут происходить. Это можно показать следующим образом. Пусть

\( (E, \vec{P}),\left(E^{\prime}, \vec{P}^{\prime}\right) \) – энергия и импульс одной частицы \( \left(E_{1}, \mathbf{P}_{1}\right) \), \( \left(E_{1}^{\prime}, \vec{P}_{1}\right) \) – энергия и импульс другой частицы до и после столкновения. Тогда имеем:
\[
\begin{array}{c}
\frac{E^{2}}{c^{2}}-\vec{P}^{2}=\frac{E^{\prime 2}}{c^{2}}-\vec{P}^{\prime 2}=m^{2} c^{2}, \quad \frac{E_{1}^{2}}{c^{2}}-\vec{P}_{1}^{3}=\frac{E_{1}^{\prime}}{c^{2}}-\vec{P}_{1}^{\prime 2}=m_{1}^{\prime} c^{2}, \\
E+E_{1}=E^{\prime}+E_{1}^{\prime}, \quad \vec{P}+\vec{P}_{1}=\vec{P}^{\prime}+\vec{P}_{1}^{\prime} .
\end{array}
\]

Отсюда получаем, возводя в квадрат два последних равенства:
\[
\frac{E E_{1}}{c^{2}}-\left(\vec{P} \vec{P}_{1}\right)=\frac{E^{\prime} E_{1}^{\prime}}{c^{2}}-\left(\vec{P}^{\prime} \vec{P}_{1}^{\prime}\right),
\]

или
\[
\frac{E E_{1}}{c^{2}}\left(1-\frac{c^{2}\left(\vec{P} \vec{P}_{1}\right)}{E E_{1}}\right)=\frac{E^{\prime} E_{1}^{\prime}}{c^{2}}\left(1-\frac{c^{2}\left(\vec{P}^{\prime} \vec{P}_{1}^{\prime}\right)}{E^{\prime} E_{1}^{\prime}}\right) .
\]

Стоящие в скобках выражения всегда положительны, так как мы предположили, что по крайней мере одна из частиц-материальная частица-и для неё всегда соблюдается \( \frac{c^{2} \mid P}{|E|}<1 \) и \( \frac{c^{2} P^{\prime} \mid}{\left|E^{\prime}\right|}<1 \), в то время как для второй частицы \( \frac{c^{2} P_{1} \mid}{E_{1}}<1 \), если \( m>0 \) (материальная частица), или \( \frac{c^{2}\left|P_{1}\right|}{E_{1}}=0 \), если \( m_{1}=0 \) (световой квант). Таким образом \( E^{\prime} E_{1}^{\prime} \) должно иметь тот же знак, что и \( E E_{1} \), т. е., по предположению, – положительный. Далее, по закону сохранения энергии \( E^{\prime} \) и \( E_{1}^{\prime} \) не могут быть оба отрицательны, если \( E, E_{1} \) оба положительны. Отсюда следует положительный знак для \( E^{\prime} \) и \( E_{1}^{\prime} \) в отдельности \( { }^{1} \) ).

Этот вывод не имеет, однако, принципиального значения, так как при взаимодействии более чем двух частиц «катастрофический» переход к состоянию с отрицательной энергией уже не запрещается законами сохранения. При этом возможны следующие типы процессов:
2) В случае спонтанной эмиссии одного светового кванта при переходе электрона в состояние отрицательной энергии в формуле следовало бы положить \( E_{1}=P_{1}=0 \). Отсюда следует обращение в нуль правой части последнего равенства. Это, однако, возможно лишь, если \( E_{1}^{\prime}=P_{1}^{\prime} \doteq 0 \), т. е. рассматриваемый переход невозможен. Он требует эмиссии по крайней мере двух световых квант.

1. Три заряженные частицы сталкиваются друг с другом, и одна (или больше) из них переходит без излучения в состояние с отрицательной энергией. Можно также предположить, что две частицы, например электрон и протон, первоначально находятся в связанном состоянии (Н-атом), и допустить, что с ними сталкивается в дальнейшем быстрый электрон. Для таких процессов ещё не произведены количественные расчёты, однако, нет сомнения, что, согласно теории Дирака, эти переходы действительно должны происходить.
2. Две частицы, обладающие массой покоя при своём взаимодействии (например, Н-атом), спонтанно излучают световой квант, и система из двух частиц остаётся в состоянии с отрицательной энергией. Кроме спонтанной, здесь также может произойти индуцированная эмиссия света, которая наступает, если в начальном состоянии уже имеется световой квант с той же частотой, что и излучаемый \( { }^{2} \) ). Согласно оценке Оппенгеймера \( { }^{2} \) ), длительность жизни Н-атома в основном состоянии равна по теории лишь \( 10^{-10} \) сек.
3. Рассеяние светового кванта на двух взаимодействующих частицах с конечной массой (например, Н-атом) с переходом системы в состояние с отрицательной энергией.
4. Спонтанная эмиссия свободным электроном двух световых квантов, причём электрон переходит в состояние с отрицательной массой покоя \( { }^{8} \) ). Для расчёта последнего процесса используются высшие приближения тео-
1) Многие авторы предпочитают обсуждение последнего процесса, так как в этом случае при рассмотрении с помощью принципа соответствия (часть I, § 16) не требуется предписание II, подтверждаемое лишь квантовой теорией света связь между спонтанной и индуцированной эмиссиями, а таюе между принципом соответствия и квантовой теорией света, кажется нам, однако, очень тесной, так что нецелесооб разно вводить в этом месте принципиальное различие.
3) J. R. Oppenheimer, Phys. Rev., 35, 939, 1930.
s) Частота этого процесса вычислена оппенгеймером, l. c., и Дираком (Proc. Cambidge Phil. Soc., 26, 361, 1930). Дирак предпочитает, на основании изложенного в примечании 1 , обсуждение такой индуцированной эмиссии, когда вначале существуют два световых кванта, частота кото́рых совпадает с частотой испущенного кванта.

рии излучения подобно тому, как при выводе формулы Клейна-Нинины, в то время как дпя упомянутых ранее процессов это не требуется.

Попытка снасти теорию в её теперешней форме кажется в свете этих следствий уже с самого начала безнадежной; с другой стороны, трудно предсказать, с какой количественной точностью результаты теперешней теории будут приближённо справедливы в будущей, правильной теории. Предлагаемые до сих пор попитки модифицировать теорию едва ли могут рассматриваться, как удовлетворительные. Сам Дирак \( { }^{1} \) ) предиринял такую попытку. Он предположил, что в пустом пространстве все состояния с отрицательной энергией заполнены, қаждое-одним электроном. Вследствие принципа Паули такое состояние стабильно. Далее вводится дополнительное предположение, что бесконечный заряд этих электронов не создаёт поля, но поле создаётся только отклонением заполнения состояний от нормального заполнения. В этом сдучае незаполненные состояния с отрицательной энергией ведут себя как по отношению к создаваемому ими полю, так и по отношению к своему поведению во внешнем поле подобно частицам с зарядом + е и положительной массой. Однако, эти «дырки нельзя отождествить с протонами, так как, во-первых, масса частиц должна точно равняться массе электронов и,: во-вторых, по этой теории должна была бы очень часто происходить аннигиляция электрона и иротона (например, атома водорода), сопровождаемая излучением. Поэтому недавно Дирак предложил уже обсуждавшийся ранее Оппенгеймером выход-отожествить «дырқи» с антиәлектронами, частицами заряда + е с массой электрона. Аналогично этому кроме протонов должны существовать антипротоны. Фактическое отсутствие таких частиц пытаются объяснить особым начальным состоянием, при котором имеются как раз частицы лишь одного сорта. Этот выход является уже потому неудовлетворительным, что законы природы в этой теории соверненно симметричны относительно электрочов и антиэлектронов. Но тогда фо-
2) P. A. M. Ditac. Proc. Roy. Soc. London, 126, 360, 1931; cp. Ibid, 133, 60, 1931 .

тоны \( \gamma \)-излучения (чтобы удовлетворить законам сохранения энергии и импульса, их должно быть по крайней мере два) могут спонтанно превращаться в электрон и антиэлектрон. Мы не думаем, таким образом, чтобы намеченный путь мог быть серьёзно принят во внимание.

Другая модификация теории была предложена Шре дингером \( { }^{1} \) ). Он предложил так изменить разнос’гь – \( \Phi_{0}+e \sum \alpha^{k} \Phi_{k} \) в операторе Гамильтона, чтобы сохранить лишь «чётную» часть оператөра (см. § 2, с). Тогда, если начальное состояние волнового пакета при разложении на собственные функции свободной частицы содержит состояния только с положительной энергией, то это свойство будет всё время сохраняться. Таким образом, переходы в состояния с отрицательной энергией не смогут происходить. Так как, однако, при этом видоизменении теории теряется релятивистская инвариантность и «Eісh-инвариантность», то Шредингер сам отказался от этого пути. Далее при такой модификации теории получилось бы противоречие с классической формулой Томсона для рассеяния света низкой частоты на сводных электронах.

Таким образом, оказывается, что существующая в теории трудность является действительно глубокой, и её нельзя ни отбросить, ни преодолеть каким-либо простым способом. В этой связи мы возвращаемся к критике понятия вероятности положения электрона или импульса электрона в точно определённый момент времени. В части \( 1, \S 2 \) указано, что, как показали Ландау и Пайерлс’, непосредственное измерение координат электрона возможно лишь с точностью:
\[
\Delta x \sim{ }_{m c}^{h} \sqrt{1-\frac{
u^{2}}{c^{2}}}=\frac{h c}{E^{*}}{ }^{*},
\]
1) E. Schrödinger, Berl. Ber., 1931, S. 63.
2) L. Landau u. R.’ Peler1s,’Zs. f’ Phys., 69, 56, 1931.
*) Отсюда впрочем видно, что универсальная наименьшая длина наверное нең може существовать, как это также следует на основании релятивистской инвариантности.

и для временного интервала
\[
\Delta t \sim \frac{1}{c} \Delta x
\]

а измерения импульса для временного интервала \( \Delta t \) возможны лишь с точностью:
\[
\Delta p \sim \frac{h}{c \Delta t} .
\]

A priori мыслима, конечно, непротиворечивая теория, которая использовала бы в качестве вспомогательных средств не непосредственно измеримые величины. Однако, как раз то обстоятельство, что в теории Дирака появляется трудность с состояниями отрицательной энергии, указывает, по нашему мнению, на то, что упомянутые ограничения в возможностях измерения найдут более непосредственное выражение в аппарате. будущей теории и что с этой новой теорией будет связано существенное и глубокое изменение основных понятий и формального аппарата современной квантовой mеории \( { }^{1} \) ). Ограничения в измерении координат и времени, формулированные в уравнениях (110) и (111), как раз таковы, что колебания «средней точки» и общего тока в случае свободной частицы (для волнового пакета, составленного из состояний положительной и отрицательной энергии), дающиеся уравнениями (54) и (57), являются ненаблюдаемыми. Будущая теория должна будет так же, как особенно настойчиво подчёркивает .Бор \( { }^{2} \) ), установить связь между атомистической структурой электрического заряда и существованием-кванта действия и, кроме того, разрешить проблему устойчивости электрона и соотношения масс электрона и протона.
1) Аналогичной точки зрения придерживается E.Schroding er, Berl. Ber., 1931, s. 238.
😉 N. Bohr, Faraday Lecture, Journ. Chem. Soc., 1932, crp. 349.