Для многих приложений существенно иметь приближённый метод для решения волнового уравнения, который был бы применим, когда матрица энергии хотя и не совсем диагональна, но недиагональные элементы \( H_{m, n} \) малы по сравнению с разностями диагональных элементов
\[
H_{m, n} \ll H_{m, m}-H_{n, n} .
\]

При этом мы вначале ограничимся исследованием стационарных решений волнового уравнеңия и будем предполагать, что уже введена подходящая полная ортогональная система функций \( v_{1}, v_{2}, \ldots \), в которой это условие выполнено. В этой системе волновое уравнение для стационарных состояний гласит
\[
\sum_{(n)} H_{m, n} c_{n}=c_{m} E .
\]

Собственная функция, принадлежащая \( E \), равна
\[
u(E)=\sum_{n} c_{n}(E) v_{n},
\]

так как из
\[
\boldsymbol{H} v_{m}=\sum_{n} v_{n} H_{n, m},
\]

тогда, в силу (225), действительно следует
\[
H u \doteq E u .
\]

Если \( v_{n} \) ортогональны и нормированы, то чтобы нормировать \( u \), необходимо потребовать
\[
\left.\sum_{n} c_{n}\right|^{2}=1
\]

из (225) далее следует, что для различных \( E \) всегда имеет место равенство
\[
\sum_{n} c_{n}^{*}(E) c_{n}\left(E^{\prime}\right)=0, \quad \text { когда } E
eq E^{\prime} .
\]

Если \( E \) дискретно, т. е. если (225) разрешимо только для дискретных значений энергии \( E_{1}, E_{2}, \ldots \), то можно вместо \( c_{n}\left(E_{k}\right) \) писать также
\[
c_{n}\left(E_{k}\right)=S_{n, k} \text {, }
\]

причём тогда, в силу (226) и (226′), \( S_{n, k} \) образуют унитарную матрицу. Предполагая, что \( k \) может также пробегать известные области зңачений (быть может, многомерные) непрерывно, мы получим самый общий случай, если заменим в этих областях все суммы по \( k \) интегралами.

Введём теперь для того, чтобы приближённо решить уравнения (225), предположение, что недиагональные элементы \( H_{n, m} \) малы по сравнению с диагональными элемеңтами. Чтобы формально выразить это обстоятельство, мы представим себе недиагональные элементы умноженными на некоторый числовой параметр \( \varepsilon \), по степеням которого должны быть разложены \( \boldsymbol{c}_{n} \). Мы полагаем
\[
H_{n, n}=E_{n}^{(0)}+\varepsilon Q_{n, n} ; \quad H_{m, n}=\varepsilon Q_{m, n} \quad \text { при } n
eq m_{*} \text { (227) }
\]

и будем искать теперь решение, лежащее вблизи собственного значения \( E_{k}^{(0)} \), т. е. систему коэффициентов \( c_{n} \), которая в нулевом приближении обращается в \( \delta_{n k} \) :
\[
\left.\begin{array}{rl}
E_{k} & =E_{k}^{(0)}+\varepsilon E_{k}^{(1)}+\varepsilon^{2} E_{k}^{(2)}+\ldots \\
c_{n, k} & =\delta_{n, k}+s c_{n, k}^{(1)}+\varepsilon^{2} c_{n, k}^{(2)}+\ldots
\end{array}\right\}
\]

\( [\mathbf{q .} 1 \)
Приравнивая в уравнении (225) выражения при равньх степенях \( \varepsilon \), получаем:
\[
\begin{array}{l}
E_{m}^{(0)} c_{m ; k}^{(1)}+Q_{m, k}=\delta_{m ; k} E_{k}^{(1)}+c_{m ; k}^{(1)} E_{k}^{(0)}, \\
E_{m}^{(0)} c_{m ; k}^{(2)}+\sum_{n} Q_{m, n} c_{n ; k}^{(1)}= \\
=\delta_{m, k} E_{k}^{(2)}+c_{m ; k}^{(1)} E_{k}^{(1)}+c_{m ; k}^{(2)} E_{k}^{(0)} . \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Из первого уравнения (229) прежде всего следует, что при \( m=k \)
\[
E_{k}^{(1)}=Q_{k, k} .
\]

Изменение \( k \)-го собственного значения равно диагональному элементу (математическому ожиданию) энергии возмущения 8 в этом состоянии. При \( m
eq k \) получаем
\[
\begin{array}{c}
c_{m ; k}^{(1)}\left[E_{k}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right]=Q_{m, k}, \\
c_{m ; k}^{(1)}=-\frac{Q_{m, k}}{E_{m}^{(0)}-E_{k}^{(0)}} \quad \text { при } m
eq k .
\end{array}
\]

Значеңие \( c_{k, k}^{(1)} \) при этом остаётся неопределённым. Мы должны, однако, принять ещё во внимание условие нормировки (226), которое после разложения по в даёт
\[
\begin{array}{c}
c_{k k}^{(1)}+c_{k k}^{(1)}=0 \\
c_{k k}^{(2)}+c_{k k}^{(2)}+\sum_{n}\left|c_{n ; k}^{(1)}\right|^{2}=0 .
\end{array}
\]

Из первого уравнения тогда следует, что \( c_{k k}^{(1)} \) может быть произвольным, чисто мнимым числом. Эта неопределённость соответствует тому обстоятельству, что в решении (225) всегда остаётся произвольной фазовая постоянная.-Если \( c_{n ; k} \) является решением, то и
\[
c_{n ; k}^{\prime}=c_{n ; k} e^{i \delta_{k}}
\]

при произвольном \( \delta_{k} \) также будет решением, и можно, не приходя в противоречие с предположением (228), допустить, что
\[
\delta_{k}=\varepsilon \delta_{k}^{(1)}+\varepsilon^{2} \delta_{k}^{(2)}+\ldots,
\]

где \( \delta_{k}^{(1)}, \delta_{k}^{(2)}, \ldots \) совершенно произвольны.

Перейдём теперь к обсуждению второго приближения. Прежде всего из \( \left(229_{2}\right) \), принимая во внимание \( \left(230_{1}\right) \), получаем для \( m=k \)
\[
\begin{aligned}
E_{k}^{(2)}=\sum_{n}^{\prime} \mathrm{Q}_{k n} c_{n ; k}^{(1)} & =-\sum_{n}^{\prime} \frac{\Omega_{k, n} Q_{n, k}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}= \\
& =-\sum^{\prime} \frac{\left|\Omega_{k, n}\right|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}} .
\end{aligned}
\]

Штрих у знака суммы означает, что при суммировании опускается значение \( n=k \). Для самого нижнего состояния \( k \) это возмущение собственного значения всегда отрицательно. При \( m
eq k \) из \( \left(229_{3}\right) \) получаем
\[
\begin{array}{l}
c_{m ; k}^{(2)}\left[E_{m}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right]=-\left(Q_{m, m}-Q_{k, k}\right) c_{m ; k}^{(1)}-\sum_{\substack{n \\
n
eq m}}^{\prime} Q_{m, n} c_{n, k}^{(1)}, \\
c_{m ; k}^{(2)}=\frac{\left(\Omega_{m, m}-\Omega_{k, k}\right) \Omega_{m, k}}{\left(E_{m}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}+ \\
+\sum_{\substack{n \\
n
eq m}}^{\prime} \frac{Q_{m, n} Q_{n, k}}{\left(E_{m}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)} \text { для } m
eq k \quad\left(231_{2}\right) \\
\end{array}
\]
\( c_{k h}^{(2)} \) не входит в эти уравнения и должно только удовлетворять условию (232). Мы можем сформулировать эти результаты более наглядно, введя эрмитову матрицу \( \boldsymbol{T} \) с элементами
\[
T_{k, k}=0, \quad T_{m, k}=i \frac{\Omega_{m, k}}{E_{m}^{(0)}-E_{k}^{(0)}} \quad \text { для } \quad m
eq k ;
\]

тогда
\[
\begin{array}{c}
c_{m ; k}^{(1)}=i T_{m, k} \quad \text { при } m
eq k, \\
E_{k}^{(2)}=\left(T^{2}\right)_{k k}, \\
c_{m, k}^{(2)}=-i \frac{\Omega_{m, m}-\Omega_{k, k}}{E_{m}^{(0)}-E_{k}^{(0)}} T_{m, k}-\left(T^{2}\right)_{m, k} \text { при } m
eq k .
\end{array}
\]

Заметим, кроме того, что бесконечно малое унитарное преобразование \( \boldsymbol{S} \) всегда может быть представлено с помощью эрмитовой матрицы \( T \), умноженной на мнимую единицу \( i \). Действительно, если
\[
S=1+\varepsilon i T,
\]
\( 9 * \)

то условие
\[
S \tilde{S}=\tilde{S} S=1 .
\]

При пренебрежении высшими степенями є эквивалентно
\[
\boldsymbol{T}=\tilde{\boldsymbol{T}},
\]
т. е. эрмитовости \( \boldsymbol{T} \) (ср. § 8). Благодаря этому согласно \( \left(232_{1}\right. \) ) и (231′) \( c_{k ; n}^{(1)} \) с точностью до множителя \( i \) равно эрмитовой матрице.

Из выражения (231) для \( c_{m ; k}^{(1)} \), учитывая (227), можно видеть, что условие (224) действительно необходимо для применимости нашего метода разложения. Если это условие нарушено, то малость є ецё не оправдывает применения нашего метода, так как \& \( c_{m ; k}^{(1)} \) становится тогда по порядку величины сравнимым є 1. В частности, это имеет место, когда рассматриваемая система вырождена, т. е. когда несколько значений энергии точно совпадают. В этом случае приходится сначала особо рассматривать соответствующее подпространство конечного числа измерений и отдельно решать задачу о собственных значениях
\[
\sum_{n=1}^{0} H_{m, n} c_{n}=c_{m} E, \quad m=1,2, \ldots, g .
\]

В пространстве \( g \) измерений, в котором \( E_{*}^{(0)}-E_{m}^{(0)} \) совпадает по порядку величины с \( Q_{m, n} \), эта задача представляет собой чисто алгебраическую проблему и всегда разрешима. g новых собственных значений \( E \) определяются из условия равенства нулю определителя [так называемого «секулярного (или векового) детерминанта»]:

которое представляет собой уравнение степени \( g \) относительно \( E \) и при эрмитовом \( H_{n, m} \) имеет всегда \( g \) вещественных корней. После выполнения преобразования \( \bar{v}_{m}=\sum_{n} c_{n ; m} v_{n} \), с \( c_{n ; m} \), определёнными из (225′) при \( E=E_{m} \), наша орто-

гональная система \( v_{n} \) как бы приспособляется к функции возмущения \( Q \), и тогда можно снова применять первоначальный метод возмущения. После такого преобразования обращаются в нуль все \( \mathbf{Q}_{m, k} \), для которых \( \boldsymbol{m} \) и \( k \) оба лежат в рассматриваемом подпространстве. Поэтому (231, ) и (2302) опять применимы, если соответствующим образом обобщить определение при \( m
eq k \) и \( n
eq k \). Мы будем телерь под этим понимать: что состояния \( m \) и \( k \) или, соответственно, \( n \) и \( k \); обладают существенно различными невозмущёнными энергиями (лежат в различных из рассмотренных выше конечных подпространств). Неравенство (224) теперь должно выполняться только для этих пар состояний.

Разберём вкратце, как видоизменяется рассмотренный метод возмущения, когда соответствуюшие значения энергии лежат в непрерывном спектре. Если заменить индекс \( \boldsymbol{n} \) нешрерывным параметром \( n \), то получаем:
\[
\begin{array}{l}
u(k)=\int c(n, k) v(n) d n, \\
H v(m)=\int v(n) H(n, m) d n, \\
\int H(m, n) c(n, k) d n=c(m, k) E(k) .
\end{array}
\]

Зависимость \( E \) от \( \boldsymbol{k} \) остаётся при этом ещё совершенно произ. вольной, и мы можем определить её из соображений удобства: Вместо (227) следует положить
\[
H(m, n)=E_{n}^{(0)} \delta(m-n)+\varepsilon Q(m, n),
\]

причём теперь сюда вошла несобственная \( \delta \) функция, определённая носредством (145). Точно так же
\[
c(n, k)=\delta(n-k)+s c^{(1)}(n, k)+c^{2} c^{(2)}(n, k)+\cdots
\]
\( \left(229_{1}\right) \) принимает следующий вид:
\[
\left[E^{0}(m)-E^{0}(k)\right] c^{(1)}(m, k)=-\left[Q(m, k)-E^{(1)}(k) \delta(m-k)\right] .
\]

Благодаря присутствию \( \delta \)-функции здесь нельзя просто подставить \( \boldsymbol{m}=k \) и \( E^{(1)}(k) \) оставить произвольным. Если \( \Omega(m, k) \) не обладает особенностью при \( m=k \) или, точнее говоря, если \( \int_{m-s}^{m+s} \Omega(m, k) d k \) при в \( \rightarrow 0 \) исчезает, то целесообразно положить просто \( E^{(1)}(k)=0 \). Итак, мы полагаем
\[
Q^{\prime}(m, k)-E^{(1)}(k) \delta(m-k)=Q^{\prime}(m, k)
\]

и требуем, чтобы
\[
\lim _{a \rightarrow 0} \int_{m-8}^{m+8} \Omega^{\prime}(m, k) d k=0 .
\]

Тогда
\[
c^{(1)}(m, k)=-\frac{Q^{\prime}(m, k)}{E^{(0)}(m)-E^{(0)}(k)}
\]

обладает особенностью при \( m=k \). Более подробное рассмотрение показывает, что для интеграла
\[
\int_{k-a}^{k+a} f(m) c^{(1)}(m, k) d m
\]

где \( f(m) \) непрерывно, но в остальном произвольно, всегда допустимо брать его главное значение. Это последнее определяется как
\[
\boldsymbol{H} \int_{k-a}^{k+a}=\lim _{\boldsymbol{e} \rightarrow 0}\left[\int_{k \rightarrow a}^{k-\boldsymbol{a}}+\int_{k+\mathbf{a}}^{k+a}\right]
\]

или же как
\[
\boldsymbol{H} \int_{k-a}^{k+a} F(m, k) d m=\frac{1}{2} \int_{k-a}^{k+a}[F(m, k)+F(2 k-m, k)] d m,
\]

где подинтегральная функция теперь регулярна. Это справедливо, в частности, для вычисления \( u(k) \) и \( v(n) \) с помощью \( c(n, k) \), а также для вычисления \( E^{(2)}(k) \) и \( c^{(2)}(m, k) \).

Перейдём теперь к рассмотрению возмущений, зависящих от времени. Мы будем искать решение уравнений
\[
-\frac{\hbar}{i} \dot{c}_{m}=\sum_{n} H_{m, n} c_{n},
\]

считая заданным начальное состояние (при \( t=0 \) ). Здесь матричные элементы разложения \( H \) по зависящей от времени ортогональной системе равны
\[
H_{m, n}=E_{n} \delta_{m, n}+\varepsilon Q_{m, n}(t),
\]

причём может быть задана любая зависимость матричных элементов \( Q \) от времени. Невозмущённое решение имеет вид
\[
c_{n}^{(0)}(t)=c_{n}^{(0)}(0) e^{-\frac{i}{\hbar} E_{n}^{(0)} t}
\]

Возмущённое решение мы будем искать в форме
\[
c_{n}(t)=c_{n}^{(0)}(t)+\varepsilon c_{n}^{(1)}(t)+\varepsilon^{2} c_{n}^{(2)}(t)+\ldots
\]

с заданными значениями \( c_{n}(0)=c_{n}^{(0)}(0) \); таким образом \( c_{n}^{(1)}(0)=c_{n}^{(2)}(0)=\ldots=0 \). Целесообразно выделить в \( c_{n} \) множитель \( e^{-\frac{t}{\hbar} E_{*}^{(0)} t} \) :
\[
c_{n}(t)=a_{n}(t) e^{-\frac{i}{\hbar} E_{n}^{(0)} t}
\]

и положить
\[
Q_{m, n}^{\prime}(t)=Q_{m, n}(t) e^{\frac{i}{\hbar}\left(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right) t} .
\]

Тогда
\[
-\frac{\hbar}{i} \dot{a}_{m}=\varepsilon \sum_{n} \mathrm{Q}_{m, n}^{\prime}(t) a_{n}(t)
\]

и, полагая
\[
\begin{array}{c}
a_{n}(t)=a_{n}^{(0)}(t)+\varepsilon a_{n}^{(1)}(t)+\varepsilon^{2} a_{n}^{(2)}(t)+\ldots, \\
\left(a_{n}^{(0)}(t)=a_{n}^{(0)}(0)=\mathrm{const}\right),
\end{array}
\]

имеем
\[
\begin{array}{l}
-\frac{\hbar}{i} \dot{a}_{m}^{(1)}=\sum_{n} Q_{m, n}^{\prime}(t) a_{n}^{(0)}(0), \\
-\frac{\hbar}{i} \dot{a}_{m}^{(2)}=\sum_{n} Q_{m, n}^{\prime}(t) a_{n}^{(1)}(t) .
\end{array}
\]

Эти уравнения можно непосредственно проинтегрировать
\[
\begin{array}{l}
a_{m}^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar} \sum_{n} a_{n}^{(0)}(0) \int_{0}^{t} Q_{m, n}^{\prime}(t) d t, \\
\left.\begin{array}{l}
a_{m}^{(2)}(t)=-\frac{i}{\hbar} \sum_{l} \int_{0}^{t} Q_{m, l}^{\prime}(t) a_{l}^{(1)}(t) d t= \\
=-\frac{1}{\hbar^{2}} \sum_{n} a_{n}^{(0)}(0) \sum_{l} \int_{0}^{t} Q_{m, l}^{\prime}(\tau) d \tau \int_{0}^{\tau} Q_{l, n}\left(\tau^{\prime}\right) d \tau^{\prime},
\end{array}\right\} \\
\left(240_{2}\right) \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Особый интерес представляет тот частный случай, когда \( Q_{m}{ }^{n} \) не зависит от времени, так что, согласно (239),
\[
Q_{m, n}^{\prime}(t)=Q_{m, n} e^{\frac{i}{\hbar}\left(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right) t} .
\]

Тогда (240) даёт
\[
\begin{array}{c}
a_{m}^{(1)}(t)=-\sum_{n} a_{n}^{(0)}(0) Q_{m, n}(0) \frac{e^{\frac{i}{\hbar}\left(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right) t}-1}{E_{m}^{(0)}-E_{m}^{(0)}},\left(241_{1}\right) \\
a_{m}^{(3)}(t)=+\sum_{n} a_{n}^{(0)}(0) \sum_{l} Q_{m, l}(0) Q_{l, n}(0) \times \\
\times\left[\frac{e^{i}{ }^{\left(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right) t}-1}{\left(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right)\left(E_{l}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right)}-\frac{e^{\frac{i}{\hbar}\left(E_{m}^{(0)}-E_{l}^{(0)}\right) t}-1}{\left(E_{m}^{(0)}-E_{l}^{(0)}\right)\left(E_{l}^{(0)}-E_{*}^{(0)}\right)}\right] \cdot(241,)
\end{array}
\]

Если в \( \left(241_{1}\right) E_{m}^{(0)}=E_{m}^{(0)} \), то рассматриваемая величина принимает следующий вид:
\[
a_{n}^{(0)}(0) Q_{m, n}(0) \frac{t}{\hbar} t
\]

Эта формула применима, пока \( \varepsilon|| Q_{m, n}(0) \left\lvert\, \frac{t}{\hbar} \ll 1\right. \). Если в этом случае, когда один из знаменателей исчезает (резонансный знаменатель), нужно получить решение, пригодное для большого промежутка времени, ‘ то метод возмущений следует видоизменить аналогично тому, как это было сделаңо в случае стационарных решений для вырождённых или почти вырождённых систем.

Часто встречается смешанный случай, при котором отдельное собственное значение энергии невозмущённой системы лежит в области, содержащей также и непрерывный спектр собственных значений (явление предиссоциации, эффект Оже). В этом случае мы будем считать в ( \( 241_{1} \) ) индекс \( n \) дискретным, а \( m \)-непрерывным, причём матричные элементы \( Q_{m, n} \) предположим нормированными относительно непрерывного параметра \( m \). (Случай нескольких параметров \( m \) совершенно аңалогичен этому.) Тогда может возникнуть вопрос о вероятности перехода системы за время \( t \) в какое-либо состояние \( m \),

для которого:
\[
E_{n}^{(0)}-\Delta E<E^{(0)}(m)<E_{n}^{(0)}+\Delta E,
\]

если в момент времени \( t=0 \) она с достоверностью находилась в дискретном состоянии \( n\left[a_{n}^{(0)}(0)=1 ; a_{n}^{(0)}(m ; 0)=0\right] \). Для этой вероятности перехода \( W(t) \) получаем
\[
\begin{aligned}
W(t)=\int\left|a^{(1)}(m, t)\right|^{2} d m & =\int d m\left|Q_{m, n}(0)\right|^{8} \times \\
& \times \frac{4 \sin ^{2}\left[\left(E^{(0)}(m)-E_{n}^{(0)}\right) \frac{t}{2 \hbar}\right]}{\left[E^{(0)}(m)-E_{n}^{(0)}\right]^{2}} .
\end{aligned}
\]

При этом иңтегрирование по \( m \) нужно выполнить по области, соответствующей интервалу энергии \( \left(E_{n}^{(0)}-\Delta E\right. \), \( \left.E_{n}^{(0)}+\Delta E\right) \). Если
\[
\frac{\Delta E t}{\hbar} \gg 1,
\]

то здесь можно, введя в качестве переменной интегрирования
\[
\frac{\left[E^{(0)}(m)-E_{n}^{(0)}\right] \boldsymbol{t}}{2 \hbar}=\boldsymbol{x},
\]

с достаточным приближением вынести из-под знака интеграла \( \left|Q_{m, n}(0)\right|^{2} \) и взять оставшийся интеграл в пределах от \( -\infty \) до \( +\infty \) по \( x \). Таким образом получаем
\[
W(t)=\left|Q_{m, n}(0)\right|^{2} \frac{t}{2 \hbar} \frac{d m}{d E^{(0)}(m)} 4 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{2}} d x,
\]

и, так как интеграл равен \( \pi \), то
\[
W(t)=\frac{2 \pi t}{\hbar}\left|Q_{m, n}(0)\right|^{\prime} \frac{d m}{d E^{(0)}(m)} .
\]

Множитель \( \frac{d m}{d E^{(0)}(m)} \) соответствует переходу от нормировки матричного элемента \( Q \) относительно \( m \) к нормированию по \( E^{(0)}(m) \). Если имеется несколько параметров \( m \), например \( m_{1}, m_{2}, m_{3} \), то следует рассмотреть элемент объёма в \( m \)-пространстве для области энергии \( E_{n}^{0}-\Delta E< \) \( <E\left(m_{1}, m_{3}, m_{3}\right)<E_{n}^{0}+\Delta E \). Если объём этой области

равен
\[
\begin{array}{c}
\int d m_{1} d m_{2} d m_{3}=\omega\left(E_{n}^{0}\right) 2 \Delta E, \\
\left(E_{n}^{0}-\Delta E<E\left(m_{1}, m_{2}, m_{3}\right)<E_{n}^{\jmath}+\Delta E\right),
\end{array}
\]

то вместо \( \frac{d m}{d E^{0}(m)} \) в (243) входит множитель \( \omega\left(E_{n}^{J}\right) \).
Использованное в § 9 уравнение (219) для вероятности перехода при соударении точно так же получается из общей формулы (241). В этом случае невозмущённая система состоит из двух независимых частей. При этом полная энергия системы, входящая в \( \left(241_{1}\right. \) ), равна сумме энергии обеих подсистем, так что \( E_{n}^{0} \) следует заменить через \( E_{n}+\varepsilon \), а \( E^{0}(m) \) соответственно через \( E_{m}+\varepsilon^{\prime} \). \( E_{n} \) и \( E_{m} \) здесь относятся к одному атому, а \( \varepsilon \) и \( \varepsilon^{\prime}- \) к ударяющей частице.

До сих пор мы выбирали в качестве начальных состояний системы дискретные состояния. Можно точно так же рассмотреть и случай непрерывных состояний. Из (241) снова получается формулы типа (243):
\[
W_{n}(t)=\frac{2 \pi t}{\hbar}\left|Q_{n, m}(0)\right|^{2} \frac{d m}{d E^{0}(m)} P\left(m_{0}\right),
\]

где \( P(m) d m \)-плотность систем в \( m \)-пространстве. Это означает, что мы рассматриваем большое число систем, \( P(m) d m \)-ая часть которых обладает значением \( m \) между \( m \) и \( m+d m \). Далее: \( m_{0} \) означает такое \( m \), для которого \( E\left(m_{0}\right)=E_{n}^{0} \). При этом, однако, здесь произведено усреднение по фазам \( a_{m}^{0}(0) \), а \( \left|a_{m}^{0}(0)\right|^{2} \), псак не зависящее в рассматриваемом интервале от \( m \), вынесено из-нод знака интеграла и заменено через \( P\left(m_{0}\right) \). Вследствие эрмитовости \( O \) всегда \( \left.Q_{m, n}(0)\right|^{2}=\left|Q_{n, m}(0)\right|^{2} \), что, согласно (243) и (243’), приводит к важному при рассмотрении теплового равновесия соотношению между частотой прямого и обратного перехода.

Рассмотренные здесь «процессы перехода» уже и в старой квантовой теории представляли собой случай, где причинное описание явлений становится невыполнимым, – в частности, уже потому, что из одного и того же начального состояния возможны различные переходы, выбор между которыми производит исключительно слепой случай. Квантовая механика, строго говоря, не знает таких понятий, как разрывный «нроцесс», так как все изменения состояния системы во времени происходят непрерывно. Только наблюдение (измерение) устанавливает, в какое состояние система фактически перешла и дискретность, обусловленная конечностью кванта действия, связана исключительно с редукцией волнового пакета (символического и описывающего систему только статистически), которая необходима для разделения наблюдаемой системы и средств наблюдения.